线性方程组n维向量
线性方程组2.n维向量
,
例 3 . 零向量可由任意向量组线性表示 ， 只要取组合系数全部为零即可 。
9
称向量组
1 1 , 0 0 , 2 0 , 1 , 0 0
n 0 , 0 0 , 1 为 n 维基本
则 有 :任 意 一 个 n 维 向 量
单位 向量组
1
的一组解
x1 c1 , x 2 c 2 x n c n
也可以记为 c1 c2 cn 并且称 是线性方 程组 ⑴ 的一个解向量 ，简称 是线性方程组 ⑴ 的 一个解 。
特殊向量 : . 分量全是零的向量称为 零向量 ,
4
1 零向量
记为 0 0 , 0 0 , 简记为 0 .
n 维向量是平面(空间)解析几何中，2 (3) 维几何 向量的推广，只不过当 n ＞3 时，它没有几何上的直 观意义，只是沿用几何上的术语而已。
例如，导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成 一个七维向量， m , x , y , z , v x , v y , v z 其中m 表示导弹的质量 ，
x1 1 , 1 , 0 x 2 1 , 2 , 1 x 3 x1 2 x 2 , x 2 x 3
0 , 0 , 1
( 向量相等即向量的对应分量相等 )
x1 x 2 1 x1 2 x 2 2 x2 x3 3
1
.
分 配 律 .
8 1
.
7
7
结 合 律
例 2 . 已知 1 1 , 4 , 0 , 2 , 设向量
2
3 , 1 , 2 , 5 ,
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数-n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
线性代数-知识点总结part 2
线性代数知识点总结—part 2三、向量组的线性相关与线性方程组（1）n 维向量记为a=(a 1,a 2……a n )第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。
（2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组0 ,0 ,,,;,0 ,,,,,,, 3.42122112122112121。
可以推出称为线性无关，如果由一向量组则称该向量组线性相关使全为零的数如果存在不给定向量组定义=====+++=+++m m m m mm m m k k k k k k k k k k k k ΛρΛΛρΛΛΛαααααααααααα（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
唯一表示。
可由线性相关，则，线性无关，而设mm m αααββαααααα,,,,,,,,, 212121ΛΛΛ向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=n n T T a a aa a a A M MML L M 222211121121αα（7）若（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
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线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
第一节n维向量与向量组[1]
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三、线性相关性的判定
定理1.向量组 1 , 2 ,, m （当 m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量(不妨设 能由其余向量线性表示. 即有
α x α x
1 1 2
2
αx
n
n
β
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
T m
T 2
T 1
T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个 n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
1 , 2 , 3线性无关.
定理3 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 ,, m 线性相关, 则
向量组 B : 1 ,, m , m 1 也线性相关.反言之, 若向 量组B 线性无关, 则向量组A也线性无关 .
亦即 （ x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
线性代数第3章 n维向量与线性方程组
29
例3.3.3判定向量组α1=（1，0，3，2），α2=（0， 1，4，3）的线性相关性. 定理3.3.6 如果向量组α1，α2，…，αs线性无 关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可 由α1，α2，…，αs线性表示，且表示式是惟一 的.
30
31
32
3.4 在实际问题中，一个向量组有时含有很多个 向量.对于一个线性相关的向量组，只要所含的向 量不全是零向量，就一定存在一部分向量，它们 是线性无关的.本节主要介绍向量组的最大线性无 关组和向量组的秩.
2
由n维向量加法与数乘运算的定义，不难证明， n维向量的线性运算满足下列运算规律：
3
例3.1.1 设
解
4
例3.1.2 将线性方程组
写成向量方程的形式.
5
解
令
6
即
7
3.2 3.2.1 向量的线性组合 定义3.2.1 例3.2.1 设有向量0=（0，0，0），α1=（1，-1， 2），α2=（3，5，6），α3=（-2，4，3），问： 向量0能否表为向量α1，α2，α3的线性组合？
8
例3.2.2 求证：任何一个n维向量 α=（a1,a2,…,an）都可由向量组
线性表示.
9
证明 因为
10
例3.2.3设β=（1，1，1），α1=（0，1，-1），α2= （1，1，0），α3=（1，0，2），问β能否由α1， α2，α3线性表示？若能，写出线性表示式. 解 设
11
12
3.2.2 向量组的线性相关性 定义3.2.2 例3.2.4 已知α1=（1，1，1），α2=（0，2，5）， α3=（2，4，7），试判定向量组α1，α2，α3的 线性相关性.
33
3-1 n维向量及其运算
第一节 n维向量及其运算
v n维向量的概念 v n维向量的运算
一、n 维向量的概念
定义1 n 个数 a1 , a2 ,L, an 组成的有序数组称为 n 维向量，数 ai (i = 1, 2,L, n)称为该向量的第i 个分 量(或坐标), 分量为实数的向量称为实向量，分量为
2
4. 零向量: 分量皆为零的向量称为零向量.
5. 负向量 称向量 (-a1, -a2 ,L, -an )T 为向量 α = (a1, a2 ,L, an )T 的负向量，记为 -α.
注: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都 当作列向量.
6. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
矩
阵
A的
列
向
量
组
.
类似地,矩阵A = (aij )m´n 有m个n维行向量
a a a æ
ç 11
L
12
ö 1n ÷
βT 1
aç 21
ç A=ç
M
a 22
M
a L
L
2n ÷
M
÷ ÷
βT 2
a a a ç
ç i1
L
i2
÷ in ÷
βT i
çM M L M÷
a a a ç
è m1
L
m2
÷ mn ø
βT m
向量组
β
T 1
,
β
T 2
,L
β
T m
称为矩阵A的行向量组．
1
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成 一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组α1, α2 ,L, αm A = (α1 , α2 ,L , αm ) 构成一个n ´ m矩阵
线性代数n维向量和向量组的线性相关性
第三章 线性方程组 § n 维向量及其线性相关性教学目标：掌握n 维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法.重 点：★ n 维向量的概念 ★ 向量的线性运算 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 向量组间的线性表示 ★ 线性相关和线性无关的概念 ★ 向量组的线性相关和线性无关判定难 点：★ 线性相关和线性无关的概念的理解， ★ 向量组的线性相关和线性无关的证明内容要点一、n 维向量及其线性运算定义 数域F 上的n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的有序数组),,,(21n a a a称为数域F 上的n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.向量常用小写希腊字母,,,αβγ来表示；向量通常写成一行 12(,,,)n a a a α= 称之为行向量；向量有时也写成一列 12n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭T n a a a ),,,(21 = 称之为列向量．注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.=n F {数域F 上n 维向量的全体},=n R 实数域上的n 维向量的全体.例如，一个n m ⨯矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.定义 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律:(1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、 n 维向量空间定义：数域P 上的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称为数域F 上的n 维向量空间，记作n F ．n R 称为你n 维实向量空间.三、 向量组的线性组合定义 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数. 注：s k k k ,,,21 可以都取零定义 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组s A ααα,,,:21 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；四、向量组间的线性表示定义 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα 如果向量组A ：t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组:B s βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以经向量组s βββ,,,21 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组t ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，向量组s βββ,,,21 可以经向量组pγγγ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 可以经向量组p γγγ,,,21 线性表出. 向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，那么向量组tβββ,,,21 与s ααα,,,21 等价.3）传递性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，t βββ,,,21 与p γγγ,,,21 等价，那么向量组s ααα,,,21 与p γγγ,,,21 等价.例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT---=--=αα 如果向量满足,0)(2321=+-αβα 求β.解 由题设条件,有022321=--αβα 则有β)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 问β是否可由21,αα线性表示. 解： 设2211ααβk k +=，可求得1,221-==k k ，所以有212ααβ-=,因此β是21,αα的线性表出.例3 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证 先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+= 向量组的线性组合例4 任何一个n 维向量Tn a a a ),,,(21 =α都是n 维单位向量组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.解：因为 .2211n n a a a εεεα+++=例5 零向量是任何一组向量的线性组合. 解：因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例6 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 解：因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=五、线性相关性的概念定义 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 线性相关的概念的理解：“有一组不全为零的常数”，“存在一组不全为零的常数”，“找到一组不全为零的常数”使得,02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,,,,:21s A ααα 线性相关.例 向量组14433221αααααααα++++，，，，判定该向量组线性相关.解：取一组常数1，-1，1，-1使得01-11-114433221=+++++）（）（）（）（αααααααα，所以14433221αααααααα++++，，，线性相关. 线性无关的定义的理解：线性无关的定义：若向量组12,,,s ααα不线性相关，即没有不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使11220s s k k k ααα+++=则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，若11220s s k k k ααα+++=，只有120s k k k ====时成立，则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使,02211≠+++s s k k k ααα 则称该向量组线性无关.等价定义：一个向量组12,,,s ααα，存在一组常数12,,,s k k k P ∈使得11220s s k k k ααα+++=，可求得120s k k k ====，则称12,,,s ααα为线性无关.例5.2 若向量组），（），，（1001==βα，则向量组βα，线性无关. 找不到一组不全为零的常数21,k k 使得021=+βαk k ，所以向量组βα，线性无关.或者，若存在一组常数21,k k 使得021=+βαk k ，则可求得021==k k ， 所以，向量组βα，线性无关.例 若向量组),(11k k ==βα），，（，则向量组βα，线性相关. 因为0,=-=βααβk k 有，即存在1,-k 不全为零的数使得0=-βαk ，所以向量组βα，线性相关例 向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε线性无关注: 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在数,,,,21s k k k 使得,02211=+++s s k k k ααα (1)① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.六、线性相关性的判定定理 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 证明：必要性 设向量组12,,,s ααα线性相关，即存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 不妨设，01≠k ，则有s s k k k k k k αααα13132121----= ， 所以必要性成立.充分性 不妨设1α可由s ααα,,,32 线性表示，即,33221s s l l l αααα+++= 于是有,033221=++++-s s l l l αααα 成立.因为s l l l ,,,132-不全为零，故向量组12,,,s ααα线性相关.定理的逆否命题是：定理6.1’ 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关的充分必要条件是向量组中任一向量不能由其余1-s 个向量线性表示.例 设n 维向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε，证明该向量组线性无关.证：设一组常数,,,,21n k k k 使,02211=+++n n k k k εεε 可得021====n k k k ，故该向量组线性无关.例 如果向量组m ααα,,,21 中有一部向量线性相关， 则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.证：不妨设)(,,,21m j j <ααα 线性相关，由线性相关的定义，存在不全为零的数,,,,21j k k k 使,02211=+++j j k k k ααα 从而有不全为零的数,0,0,,,,21 j k k k使得,00012211=+++++++m j j j k k k ααααα 故，m ααα,,,21 .该题的逆否命题是：如果向量组m ααα,,,21 线性无关，则该向量组中一部向量组)(,,,21m j j <ααα 线性无关.结论：向量组m ααα,,,21 部分向量线性相关， 则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.向量组m ααα,,,21 整体线性无关，该向量组部分向量线性无关.定理 设列向量组),,,2,1(,21r j a a a nj j j j=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组r ααα,,,21 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 0=AX （）有非零解，其中矩阵==),,,(21r A ααα .,21212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛r nr n n r r x x x X a a a a a a a a a证：设 ,02211=+++r r x x x ααα （）即2121111x a a a x n +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 22212n a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021 nr r r r a a a x . （） 将（）式做向量的线性运算，即得（）线性方程组.向量组r ααα,,,21 线性相关，就必有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，即是齐次线性方程组 0=AX 有非零解；反之，如果齐次线性方程组 0=AX 有非零解，也就是有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，则向量组r ααα,,,21 线性相关.该定理的等价命题：向量组r ααα,,,21 线性无关的充要条件是齐次线性方程组0=AX 只有零解结论：任何1+n 个n 维向量都是线性相关的.理由：由定理 当方程个数少于未知数的个数时，齐次线性方程组有非零解.定理 若向量组r ααα,,,21 线性无关，而,βr ααα,,,21 线性相关，则β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.证：因为,βr ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数,,,,,21r k k k k使,02211=++++r r k k k k αααβ 其中0≠k （如果0=k ，则由r ααα,,,21 线性无关，又使得,,,,,21r k k k k 必须全为零，这与,,,,,21r k k k k 不全为零矛盾） 于是β可由r ααα,,,21 线性表示，且r r kkk k k k αααβ---= 2211-， 在证表示法唯一，设有两种表示法：,2211r r l l l αααβ+++=,2211r r h h h αααβ+++=于是.0)()()(222111=-++-+-r r r h l h l h l ααα因为向量组r ααα,,,21 线性无关，所以必有,0=-i i h l 即,,,2,1,r i h l i i == 故β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.推论 如果n F 中的n 向量n ααα,,,21 线性无关，则nF 中的任意向量α可由n ααα,,,21 线行表示，且表示法唯一.例 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλ.0002121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ 于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位向量组, 讨论其线性相关性. 解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.齐次线性方程组0=EX ，由,01≠=E 0=EX 只有零解 故该向量组是线性无关的.例 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 由定理 )(321a a a A ,,= 求齐次线性方程组0=AX 的解，由高斯消元法，对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵A ),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0=AX 有非零解故向量组,,,321ααα线性相关.同样，),(21αα=B 有0=BX 只有零解，故向量组21a a ,线性无关. 例 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明(1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.随堂练习：1. 判断下列命题是否正确，如正确，证明之，如不正确，举反例：（1） )2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关； （2） )2(,,,21>m m ααα 线性相关的充要条件是有1-m 个向量线性相关；（3） 若向量组21,a a 线性相关, 向量组21,ββ线性相关，则有不全为零的数21,k k ，使得,02211=+ααk k 且,02211=+ββk k 从而使,0)()(222111=+++βαβαk k故2211,βαβα++线性相关；（4）若向量组321,,αa a 线性无关，则133221,,αααα---a a 线性无关；（5）若向量组4321,,,ααa a 线性无关，则14433221,,,αααααα++++a a 线性无关； （6）若向量组n a a α,,,21 线性相关，则113221,,,,αααααα++++-n n n a a 线性相关.百度文库 - 好好学习，天天向上-11 （7）)2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意一个向量都不能由其余的向量线性表示；（8）若有一组全为零的数,021====r k k k 使得,02211=+++r r k k k ααα 则 r ααα,,,21 线性无关.（9）若有一组不全为零的的数,,,,21j k k k 使得,02211≠+++j j k k k ααα 则向量组 j ααα,,,21 线性无关.（10）若向量组r ααα,,,21 线性相关，则任一向量可由其余向量线性表示.2. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;(2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
《线性代数》教学大纲
《线性代数》教学大纲教学目的和要求：线性代数是数学学科中的一门重要基础课程，也是高等院校大部分专业的主要基础理论课，对于培养面向21世纪人才起着重耍的作用。
目前也是华东师范大学各专业的重要基础课之一本课程主要学习线性代数中行列式，矩阵，n维向量和线性方程组，向量空间，矩阵的特征值和特征向量，二次型，线性变换的基本概念，基本计算及有关的计算方法。
为适应培养面向21世纪人才的需要，要求学生比校系统理解线性代数的基本概念，基本理论，掌握线性代数的基本计算方法。
要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论，具有严谨逻辑推理能力，空间想象能力，运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
教学基本内容和学时分配：第一章:行列式教学内容:行列式的定义，行列式的基本性质，行列式按行(列)展开定理，行列式的计算，克莱姆法则。
教学要求:理解行列式的概念，掌握行列式的性质，会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式，会用克莱姆法则解线性方程组。
第二章:矩阵教学内容:矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法，分块矩阵及其运算。
教学要求:理解矩阵的概念，了解单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，三角矩阵，对称矩阵，正交矩阵，掌握矩阵的加法，数乘，乘法，转置及它们的运算法则，了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式。
理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵，了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，理解矩阵秩的概念。
掌握矩阵的初等变换，会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵，了解分块矩阵掌握分块矩阵的运算法则。
第三章：n维向量与线性方程组教学内容：向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩和矩阵的秩之间的关系、齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组及基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解，行初等变换求线性方程组的方法。
线性代数2.2n维向量
06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意 标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个 新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当 这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和 标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例 如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像 处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大 小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个 标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如 果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则 两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反 。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直 关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且 该向量组可以生成整个向量空间，则 该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、 向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵 形式，便于求解。
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
(完整版),n维向量及其运算向量组的线性相关性
亦即（k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 0,
因
1，
2，
线性无关，故有
3
k1 k3 0, k1 k2 0,
k2 k3 0.
由于此方程组的系数行列式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组只有零解 k1 k2 k3 0，所以向量组 b1, b2 , b3线性无关.
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
因 k1, k2 ,L , ks , k中至少有一个不为0，
注意
1. 若 1,2 ,L
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 L km 0时, 才有
k11 k22 L kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
4令.包k含零 0向，量的任何向量 组是线性相关的.
向量
组线性 a无rj 关，
则它的a任rj 何 部分组都线性无关.
ar
1,
j
即 j添上一个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 , ,m线性无关,则向量组B：b1, b2 , , bm也线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线 性相关 .
线性代数课件-3.2 n维向量
定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义 若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】 已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系 】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系
n维向量
二、向量间的线性关系
（一）线性组合 引例 R2 中的两向量 ( a1 ,a2 ), ( b1 ,b2 ),关系只有 两种: (1)共线(分量成比例) (2) 不共线(分量不成比例) 例如: (2, 1), (1, 1/ 2) (2, 1), (2, 2), (1, 2)
2
例2 用向量表示线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
解
a11 a12
a1n
b1
a211
M
x1
a222
M
x2
L
a2nn
M
xn
b2
M
am1
am2
amn
bm
即 x11 x22 L xnn
➢向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A (aij)mn有n个m维列向量
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
➢加法 (a1, a2 , ..., an ) (b1, b2 , ..., bn ) (a1 b1, a2 b2 , ..., an bn )
减法 ( ) (a1 b1, a2 b2 , ..., an bn )
➢数乘 k (ka1, ka2 , ..., kan )
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
工程数学第三章 线性方程组
观察这个式子我们发现，系数列向量组和常数列向量之间存在一种线性关系.如果方程
组有解，则 可以写成 1 , 2 , , n 的线性组合.于是，求解方程组的问题就转化为求 一组数 x1, x2 ,L , xn ，使得 x11 x22 L xnn 成立，即方程组有解 可 表示为向量组 1 , 2 , , n 的线性组合；方程组有唯一解 能由1 , 2 , , n 线 性表示，且表示形式唯一；方程组有多组解 由1 , 2 , , n 表示的形式不唯一； 方程组无解 不能由1 , 2 , , n 线性表示.
注：维数不同的零向量是不相同的．
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结束
定义 2 向量 ＝ a1，a2， ，an 的各分量取相反数所得到的向量称为向量 的负 向量，记作 ，即 a1， a2，L ， an ．
定义 3 如果 a1，a2，L ，an ， b1，b2，L ，bn ，当 ai bi (i 1, 2,L , n)
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结束
例 2 设 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0) ,3 (0, 0,1) ，试证这三个向量中的任一向量均
不能由其余两个向量线性表出.
证 假设存在 k1, k2 ，使得 k1 2 k23 1 ，即 k1(0,1, 0) k2 (0, 0,1) (1, 0, 0) ，化
+
a 22 am2
x2
+
a2n amn
xn
=
b2
bm
，
即 x1 1 + x2 2 + xn n = ，这就是线性方程组的向量形式.
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结束
第二节 向量组的线性相关性
第1节 n维向量其线性相关性-文档资料
列向量。
本书中，列向量用黑色小写字母a,b,β 等表示，行向量则
用aT,bT,T,T表示。
定义4.2.2：设 i ， n k( =1, 2, …, m)，则向量组 ii
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组a1 , a2 , … , am在实数域上的一个线性组合，
n , , 中的任一向量 1 2,线性无关，则 n
可由 例3 设
1
线性表示，且表示法唯一 . , , 1 2, n
( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 3 , 7 ) . 2 3 4
线性无关.
定理4.2.2 设n维向量组 ，其中 , 1, 2, r
T T T ( a , a , , a ) , ( a , a , , a ) , , ( a , a , , a ) 11 1 2 1 n 121 2 2 2 n 2 r 1 r 2 r n r
, 则向量组 1, 2, 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 r （4.1） Ax 0 有非零解， 其中 ， . T A ( , , , ) x ( x , x , , x ) 1 2 r 1 2 r
T 例1 设n维向量 ，即第个分量为 1， (, 0 , 0 ,, 1 0 , , 0 ) i
其余分量为0，则
是线性无关的 1,2, n .
证 设存在n个数 k1 , k2 使 kn 即 则必须
k k k 0 11 22 nn
T ( k , k k ) 0 1 2 n k k k 0 1 2 n 1,2, , 线性无关 .n
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
线性方程组6.n 维向量空间
例 2. 设 1 1 , 3 , 0 , 2 , 2
1 , 0 , 3 ,1 ,
3 2 , 7 ,1 , 5 , 4 4 , 4 , 2 , 6 ,
求 子 空 间 M L 1 , 2 s 的 一 组 基 .
b1 b2 a 1 , a 2 a n bn
行向量
T . 称为向量内积的
矩阵表示 ！！
11
a1 a2 * 若 an
b1 b2 , , 则 , bn
7
解 ：设
1 0 0 0
3 1 1 0 A 2 7 4 4 3 0 2
0 3 1 2
2 1 5 6
2 3 4
1
②＋①×1 ③－①×2 ④－①×4
3 1 8
3 1 2
3 1 2
2 1 3 1 4 4 1
1
即 求 与 1的 系 数 矩 阵 A的 行 向 量 组 均 正 交 的 所 有 实 n维 向 量 .
而 求 解 实系数 方程组 AX b
设
A 为 m n矩阵 非齐次线性
2 其 中b b1 , b2 bmT
0,
即 求 与 系 数 矩 阵 A的 行 向 量 组 内 积
下面我们再作一些进一步的讨论 。
1. n 维向量空间的定义
1
我们将数域 F上全体 n 维向量所成集合记为 F , n 则 F 中有两个普遍可行的运算(向量的加法与数乘) 运算结果唯一且封闭 , 适合八条运算性质 。将它们 视为一个整体 , 称为数域 F上的一个 n 维向量空间 , n 仍记为 F 。 Fn={(a1 ,a2 . . .an ),两个运算,八条性质|ai F}
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特别地, 齐次线性方程组（Ⅱ）一定有解.
齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解 r( A) n
齐次线性方程组（Ⅱ）仅有零解 r( A) n
与前面对齐次线性方程组解的判定方法作比较 ➢ 解的状况 一定有解 ➢ 解的判断 定理1 如果方程个数m小于未知量个数n，一定有非零解.
【说明】当m<n时,一定有 r( A) n ,则齐次线性 方程组一定有非零解.
§3.1 消元法解线性方程组
§3.2 n维向量——线性表示，相关、无关概念
§3.3 向量组的秩——极大无关组
是向量组
§3.4 矩阵的秩 ——讨论向量组的工具 的代表!
§3.5 线性方程组解的一般理论
【回顾】1˚线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
0 1
amn
bm
（1）
c1r
c1n
d1
r1
， 无解
c2r
crr
c2n cr n 0 0
d2
（2）
dr1
0
，有解
r n 有唯一解
dr
d
r
1
rn
有无穷多解， 恰有 n r
0
个自由未知量.
0 0
一、 线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 L xnn (I) 有解
定理2
齐次线性方程组(Ⅱ)系数
矩阵的秩 r( A) r n
该方程组有基础解系，
且任一基础解系中解向
量的个数为 n r .
【证明思路】
对增广矩阵施以初等行变换(必要时可重新排列未知量的顺序)
1 0 L
0
1
L
0 b1r1 L 0 b2r1 L
b1n 0
b2n
0
M M M M
M M
AL
0
0
(II) 或
k1
k2
M
性质1
1
k1
k2
M
,2
l1
l2
M
是(Ⅱ)的解
1
kn
2
kn
ln
也是(Ⅱ)的解.
k1
性质2
k2
M
是(Ⅱ)的解
c 也是(Ⅱ)的解.
(c为任意常数)
kn
重要推论 1 ,2 ,L ,s 是（Ⅱ）的解
c11 c22 L css 也是（Ⅱ）的解.
代入与原方程组同解的方程组(*):
x1
b1r1 xr1
b1n xn
(*)
xr
brr 1 xr1
brn xn
1 b1r 1 r1 L b1nn
线性无关，
0 0
1
所以 n r 个 n 维向量 1,2 , ,nr 亦线性无关.
“无关增维仍无关”
(2)证明方程组的任一解都可由 1,2, ,nr线性表示.
设 1, , r , r1, ,n T 为该方程组的一个解.
设 1, , r , r1, ,n T 为该方程组的一个解.
0
0
b1r2
b1n
brr
2
brn
2 0 , , nr 0 .
1
0
0
1
下面证明1 ,2 , ,nr 是齐次线性方程组的一个基础解系.
(1)证明1,2 , ,nr 线性无关.
由于 n r 个
nr
维向量
1 0,
0
1,
,
0 0
L
1 brr1
L
brn
0
0 0 L 0 0
L 0 0
M M M M
M M
0 0 L 0 0 L 0 0
对应的齐次线性方程组
x1
b1r1 xr1
b1n xn
(*)
xr brr1 xr1 brn xn
与原方程组同解, 其中
xr1 ,L , xn 为自由未知量.
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数, 并代入(*)：
a21 x1 a22 x2 L LL
a2n xn
b2
(I)
0 0
(II)
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm 0
a11
a21
M
,
2
am1
b1
b2
M
,
a12
a22 M
,L
,n
am2
0
0
0
M
a1n
a2n
M
amn
,
a11 a12 L
3˚ 等价的两向量组 秩相等.
【回顾】消元法解线性方程组
a11
a21
A
ar1
a
m
1
c11 c12 0 c22 0 0
0
0
0 0
0 0
a12 a1n b1
a22 a2n b2
ar2
arn
br
...
(其中 ci i
0, i
1,2,..r)
d 0 am2
A
a21
a22
L LL
a1n b1 b1
a2n
b2
A
b2
M
bm
0
x11 x22 L xnn (I)
am1 am2 L
amn bm
bm
x11 x22 L xnn 0 (II)
2˚ 线性表示的核心定理
可以由 1 ,2 ,L ,n线性表示
线性方程组 x11 x22 L xnn () 有解.
2. 齐次线性方程组解的结构
定义 齐次线性方程组解向量组的极大无关组称为齐 次线性方程组的基础解系. 【注1】齐次线性方程组的基础解系不唯一. 【注2】齐次线性方程组的基础解系 1 ,2 ,L ,s 满足: ①是方程组的解; ②线性无关;
③解向量组的任一向量都可由 1 ,2 ,L ,s 线性表示.
【注3】仅有零解的齐次线性方程组没有基础解系.
r( A) r( A)
系数矩阵的秩等于 增广矩阵的秩
推论1 线性方程组(I)无解 r( A) r( A)
推论2 线性方程组(I)有唯一解 r( A) r( A) n
【注】 可以由1 ,2 ,L s 线性表示
则1 ,2 ,L s 线性无关
表示法唯一.
推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r( A) r( A) n
定理2 n个未知量，n个方程的齐次线性方程组仅有零解 的充分必要条件是系数行列式 D≠0.
【说明】 D≠0,一定有 r( A) r(1,2 ,L ,n ) n,则齐
次线性方程组一定仅有零解.
二、齐次线性方程组解的结构
x11 x22 L xnn 0
1. 齐次线性方程组解的性质
解向量记作 (k1, k2 ,L , kn )
xr1 1 0
0
xr2
0
,
1
,
,
0
.
xn 0 0
1
依次得
x1
b1r 1
,
b1r 2
,
xr brr 1 brr 2
b1n , . brn
从而求得原方程组的 n r 个解：
b1r1
brr
1
1 1 ,