线性方程组n维向量

2. 齐次线性方程组解的结构
定义 齐次线性方程组解向量组的极大无关组称为齐 次线性方程组的基础解系. 【注1】齐次线性方程组的基础解系不唯一. 【注2】齐次线性方程组的基础解系 1 ,2 ,L ,s 满足: ①是方程组的解; ②线性无关;
③解向量组的任一向量都可由 1 ,2 ,L ,s 线性表示.
【注3】仅有零解的齐次线性方程组没有基础解系.
r( A) r( A)
系数矩阵的秩等于 增广矩阵的秩
推论1 线性方程组(I)无解 r( A) r( A)
推论2 线性方程组(I)有唯一解 r( A) r( A) n
【注】 可以由1 ,2 ,L s 线性表示
则1 ,2 ,L s 线性无关
表示法唯一.
推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r( A) r( A) n
特别地, 齐次线性方程组（Ⅱ）一定有解.
齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解 r( A) n
齐次线性方程组（Ⅱ）仅有零解 r( A) n
与前面对齐次线性方程组解的判定方法作比较 ➢ 解的状况 一定有解 ➢ 解的判断 定理1 如果方程个数m小于未知量个数n，一定有非零解.
【说明】当m<n时,一定有 r( A) n ,则齐次线性 方程组一定有非零解.
L
1 brr1
L
brn
0
0 0 L 0 0
L 0 0
M M M M
M M
0 0 L 0 0 L 0 0
对应的齐次线性方程组
x1
b1r1 xr1
b1n xn
(*)
xr brr1 xr1 brn xn
与原方程组同解, 其中
xr1 ,L , xn 为自由未知量.
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数, 并代入(*)：
xr1 1 0
0
xr2
0
,
1
,
,
0
.
xn 0 0
1
依次得
x1
b1r 1
,
b1r 2
,
xr brr 1 brr 2
b1n , . brn
从而求得原方程组的 n r 个解：
b1r1
brr
1
1 1 ,
A
a21
a22
L LL
a1n b1 b1
a2n
b2
Baidu Nhomakorabea
A
b2
M
bm
0
x11 x22 L xnn (I)
am1 am2 L
amn bm
bm
x11 x22 L xnn 0 (II)
2˚ 线性表示的核心定理
可以由 1 ,2 ,L ,n线性表示
线性方程组 x11 x22 L xnn () 有解.
amn
bm
（1）
c1r
c1n
d1
r1
， 无解
c2r
crr
c2n cr n 0 0
d2
（2）
dr1
0
，有解
r n 有唯一解
dr
d
r
1
rn
有无穷多解， 恰有 n r
0
个自由未知量.
0 0
一、 线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 L xnn (I) 有解
§3.1 消元法解线性方程组
§3.2 n维向量——线性表示，相关、无关概念
§3.3 向量组的秩——极大无关组
是向量组
§3.4 矩阵的秩 ——讨论向量组的工具 的代表!
§3.5 线性方程组解的一般理论
【回顾】1˚线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
0 1
线性无关，
0 0
1
所以 n r 个 n 维向量 1,2 , ,nr 亦线性无关.
“无关增维仍无关”
(2)证明方程组的任一解都可由 1,2, ,nr线性表示.
设 1, , r , r1, ,n T 为该方程组的一个解.
设 1, , r , r1, ,n T 为该方程组的一个解.
a21 x1 a22 x2 L LL
a2n xn
b2
(I)
0 0
(II)
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm 0
a11
a21
M
,
2
am1
b1
b2
M
,
a12
a22 M
,L
,n
am2
0
0
0
M
a1n
a2n
M
amn
,
a11 a12 L
代入与原方程组同解的方程组(*):
x1
b1r1 xr1
b1n xn
(*)
xr
brr 1 xr1
brn xn
1 b1r 1 r1 L b1nn
3˚ 等价的两向量组 秩相等.
【回顾】消元法解线性方程组
a11
a21
A
ar1
a
m
1
c11 c12 0 c22 0 0
0
0
0 0
0 0
a12 a1n b1
a22 a2n b2
ar2
arn
br
...
(其中 ci i
0, i
1,2,..r)
d 0 am2
定理2
齐次线性方程组(Ⅱ)系数
矩阵的秩 r( A) r n
该方程组有基础解系，
且任一基础解系中解向
量的个数为 n r .
【证明思路】
对增广矩阵施以初等行变换(必要时可重新排列未知量的顺序)
1 0 L
0
1
L
0 b1r1 L 0 b2r1 L
b1n 0
b2n
0
M M M M
M M
AL
0
0
(II) 或
k1
k2
M
性质1
1
k1
k2
M
,2
l1
l2
M
是(Ⅱ)的解
1
kn
2
kn
ln
也是(Ⅱ)的解.
k1
性质2
k2
M
是(Ⅱ)的解
c 也是(Ⅱ)的解.
(c为任意常数)
kn
重要推论 1 ,2 ,L ,s 是（Ⅱ）的解
c11 c22 L css 也是（Ⅱ）的解.
定理2 n个未知量，n个方程的齐次线性方程组仅有零解 的充分必要条件是系数行列式 D≠0.
【说明】 D≠0,一定有 r( A) r(1,2 ,L ,n ) n,则齐
次线性方程组一定仅有零解.
二、齐次线性方程组解的结构
x11 x22 L xnn 0
1. 齐次线性方程组解的性质
解向量记作 (k1, k2 ,L , kn )
0
0
b1r2
b1n
brr
2
brn
2 0 , , nr 0 .
1
0
0
1
下面证明1 ,2 , ,nr 是齐次线性方程组的一个基础解系.
(1)证明1,2 , ,nr 线性无关.
由于 n r 个
nr
维向量
1 0,
0
1,
,
0 0