2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(十) 导数的简单应用 Word版含解析

专题检测（十） 导数的简单应用

一、选择题

1．函数f (x )＝1

2x 2－ln x 的最小值为( )

A.1

2 B ．1 C ．0

D ．不存在

解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2

－1

x ，且x >0.

令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0

∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝1

2.

2．函数f (x )＝x ＋1

x 的极值情况是( )

A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值

B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值

C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2

D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2 解析：选D f ′(x )＝1－1

x

2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，

函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， 所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.

3．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．e

12

－ B ．2e

12

－

C ．e 12

D ．2e 12

解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0

，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0

，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝e ，a ＝2e －12.

4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．0

D ． 2

解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a

2

≥1，得a ≥2.

又∵g ′(x )＝2x －a

x ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒

成立，有a ≤2，∴a ＝2.

5．若函数f (x )＝x ＋b

x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )

A ．(－2,0)

B ．(0,1)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，－2)

解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b

x

2，

∵函数f (x )＝x ＋b

x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，

令当1－b

x 2＝0，得b ＝x 2，

又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．

令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，

即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．

6．已知f (x )＝ln x －x 4＋3

4x ，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，

使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )

A.⎣⎡⎭⎫54，＋∞

B.⎣⎡⎭⎫－1

8，＋∞ C.⎣⎡⎦

⎤－18，54 D.⎝

⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2

＋4x －3

4x 2

＝－(x －1)(x －3)4x 2

， 易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝1

2

.

对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，

即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．

要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且1

2

≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且1

2≥－4－4a ＋4，

解得a ≥54.

二、填空题

7．(2017·长春质检)⎠⎛1

e ⎝⎛⎭

⎫x ＋1

x d x ＝________. 解析：⎠⎛1

e ⎝

⎛⎭⎫x ＋1x dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ⎪⎪⎪

e 1

＝e 22＋1－12＝e 2＋12.

答案：e 2＋1

2

8．已知函数f (x )＝1

2x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．

解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1

x

在区间⎣⎡⎦

⎤13，2上恒成立．

又∵y ＝－x ＋1

x 在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减， ∴⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.

答案：⎣⎡⎭

⎫4

3，＋∞ 9．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋1

2的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB |

的最小值为________．

解析：显然m ＞0，由e x

＝m 得x ＝ln m ，由ln x 2＋12

＝m 得x ＝2e 1

2

m －，则|AB |＝2e 1

2

m －－ln m ．令h (m )＝2e

12

m －

－ln m ，由h ′(m )＝2em －12－1m ＝0，求得m ＝12.当0＜m ＜1

2

时，