马氏链简介

合集下载

第十一章马氏链模型

设投保 a1(n) 0 时疾病 a2(n) 1
0.7 0.77 0.777 … 7/9 0.3 0.33 0.333 … 2/9
n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
健康与疾病
例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病
死亡为第3种状态，记Xn=3 0.8
0.18
0.25
有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式
P
Irr R
0 R有非 Q 零元素
M(IQ)1
Qs s0
y (y 1 ,y 2 , y k r) M
e(1 ,1 , ,1 )T
yi ~ 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。
11.2 钢琴销售的存贮策略
背景与问题
钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。
=a:2b:c
状态定义为配对的基因类型组合
动时，最终结果有多大变化。
设Dn服从均值为
的波松分布
状态转移阵
P (D n k ) k e /k !,( k 0 ,1 ,2 )
e 0
1e
P
e
e
1(1)e
2e/2 e 1(2/2)e
第n周(n充分大)失去销售机会的概率 PP(DnSn)
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
P 0.073 0.089 0.105 0.122 0.139
p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02
0.65
1
2

正常返的马氏链

正常返的马氏链1 马氏链的定义和基本概念马氏链是概率论中的一个重要概念，它是一种满足马氏性质的随机过程。

马氏性质是指在给定当前状态下，未来的状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。

因此，马氏链可以看作是一个状态转移的过程，每个状态的转移概率只与当前状态有关。

马氏链通常用S表示状态集合，P表示状态转移概率矩阵。

其中，S可以是有限集合或者可数集合。

P是一个n×n的矩阵，其中n为状态数，满足以下两个条件：1. 对于任意状态i∈S，转移概率P(i,j)≥0，且∑P(i,j)=1。

2. 对于任意状态i∈S和j,k∈S，有P(i,j)+P(i,k)=P(i,j∣k)×P(k,j)+P(i,k∣j)×P(j,k)。

2 正常返的定义正常返是指从一个状态i出发，经过若干次迭代后返回的概率大于零的状态。

换句话说，正常返状态是指从该状态出发，最终有一定的概率回到该状态，而不会永远离开该状态。

对于马氏链中的一个状态i，如果存在一个时刻n，使得从i出发迭代n次后，状态i有正常的返回概率，则该状态称为正常返状态。

具体来说，如果状态i是正常返状态，则有：lim n→∞P(i,i_n)>0其中i_n表示从状态i出发经过n次迭代到达的状态。

如果从状态i出发最终无法返回，即存在一个时刻n，使得从i出发迭代n次后，状态i无法返回，则该状态称为非正常返状态。

3 正常返的性质正常返状态具有以下性质：1. 正常返状态一定是闭合集合。

如果一个状态是正常返状态，则从该状态出发最终一定会回到该状态，因此该状态所在的集合是一个闭合集合。

2. 非正常返状态对应的集合是不闭合的。

如果从一个状态出发不断迭代，最终不能返回，则该状态对应的集合是不闭合的。

因此，非正常返状态所在的集合是不闭合的。

3. 非正常返状态的概率为0。

由于从非正常返状态出发最终无法返回，因此从该状态出发的概率一定是0。

4. 如果存在一个正常返状态，则所有状态都可以到达。

马氏链转移矩阵

马氏链转移矩阵什么是马氏链马尔可夫链（Markov Chain），又称为马尔科夫链，是一个数学模型，它描述了一系列事件在给定一定条件下从一个状态转移到另一个状态的概率。

马尔可夫链的状态转移仅取决于当前的状态，与之前的状态无关。

马氏链在实际应用中非常广泛，特别是在概率论、统计学和操作研究中具有重要的地位。

其中，马氏链转移矩阵是描述系统状态转移概率的重要工具。

马氏链的性质马氏链具有一些重要的性质，这些性质对于进一步理解马氏链转移矩阵非常关键。

有限状态空间马氏链的状态空间是有限的，即状态的数量是有限的。

每个状态可以表示为一个离散的值。

马氏性马氏链具有马氏性，即未来的状态仅取决于当前的状态，与过去的状态无关。

这意味着过去的状态对于预测未来的状态没有影响。

稳态分布马氏链在长时间运行后，会收敛到一个稳态分布。

稳态分布是指系统在马氏链中各个状态的概率值不再发生变化。

马氏链转移矩阵的定义马氏链转移矩阵是一个正方形矩阵，用于描述状态之间的转移概率。

矩阵的行数和列数等于状态的数量。

马氏链转移矩阵的定义如下：P=[p11p12p13 (1)p21p22p23 (2)⋮⋮⋮⋱⋮p n1p n2p n3…p nn]其中，p ij表示从状态i转移到状态j的概率。

马氏链转移矩阵的性质马氏链转移矩阵具有以下性质：概率性质马氏链转移矩阵的所有元素都是非负数，并且每一行的和等于1。

这是因为转移概率是概率论中的基本概念，其取值范围为0到1，且所有可能的转移路径的概率之和为1。

状态转移概率马氏链转移矩阵可以表示从一个状态到另一个状态的转移概率。

例如，p ij表示从状态i转移到状态j的概率。

稳态分布马氏链转移矩阵可以用于计算系统的稳态分布。

稳态分布是指系统在长时间运行后，各个状态的概率值不再发生变化，达到平衡。

计算稳态分布的方法之一就是通过马氏链转移矩阵进行迭代计算。

马氏链转移矩阵的应用马氏链转移矩阵在实际应用中具有广泛的用途，以下列举了几个常见的应用场景：自然语言处理马氏链转移矩阵可以用于自然语言处理领域中的语言模型。

马氏链简介

显然，cij 0
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
用随机变量 X n 表示第 n 个月的经营状况
Xn 1 Xn 2
表示销路好；表示销路坏；
n 0,1,2
X n 称为这个经营系统的状态。
用ai n表示第 n 月处于状态 i 的概率， i 1,2,
即
ai n PXn i ai n 称为状态概率。
pij 表示已知这月处于状态 i ，下月处于状态 j 的概率，i, j 1,2, 即
每次传播消息的失真率为 p, 0 p 1,
即 ai 将消息传给 ai1, 时，传错的概率为 p
这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息的真实程度如何？
第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为
Xn 1 Xn 2
表示消息假；表示消息真；
n 0,1,2
用ai n表示第 n 个人处于状态 i 的概率， i 1,2,
n01 2 3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0.5 0.45 0.445 0.4445 ？
0 0.5 0.55 0.555 0.5555 ？
a1(n)

5 10

5 102

a2 (n)

4 9

5 10n

5 10
1 (

1 10n1

4马氏链

可见,｛Xn,n=0，1，2,…｝是一个马氏链。
Pij ( m , m + n)∆ P { X n + m = j | X m = i}
称为马氏链在时刻 m 系统处于状态 i 的条件下，在时刻 m+n 转移到状态 j 的转移概率。
2．转移概率的性质
(1) Pij≥0；
(2)
∑ P (m , m + n) = 1, i = 0,1, 2,⋯
对任意的 n 及 i 0 , i 1 , ⋯ , i n , i n + 1 ∈ x ,
P {X n +1 = i n +1 X 0 = i 0 , X 1 = i1 , ⋯ , X n = i n } 0 i n+1 > i n =1 = P{X n+1 = i n+1 | X n = i n } i n +1 ≤ i n in
马尔可夫链及其概率分布引言
直观上，过程（或系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t＞t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。用分布函数表达此性质，设随机过程{X(t),t∈T}，状态空间为χ，若对于t 的任意n个值t1<t2<…<tn,n≥3, 有
P {X ( t n ) ≤ xn X ( t1 ) = x1 , X ( t 2 ) = x 2 , ⋯ , X ( t n−1 ) = x n−1 }
条件下，即在 X ( t i ) = x i , i = 1,2,⋯ , n − 1条件下，X ( t n )的条件分布函数等于在条件 X ( t n−1 ) = x n−1下X ( t n )的条件分布函数。
则称过程{X(t),t∈T}具有马尔可夫性，或称 {X(t),t∈T}为马尔可夫过程。

随机过程(七)-马氏链

第四章Markov过程主要内容⏹离散时间Markov链⏹转移概率⏹平稳分布⏹状态分类⏹极限定理⏹连续时间Markov链⏹Kolomogrov微分方程⏹连续时间马氏过程第一节离散时间Markov 链一、Markov 链的定义⏹ 直观含义：要确定过程将来的状态，只需知道过程现在的状态就足够了，并不需要知道过程以往的状态。

⏹ 定义：随机过程{,0,1,2,}n X n =⋅⋅⋅称为马氏链（Markov 链），若它只取有限或可列个值E 0, E 1,E 2,…，且对任意的n ≥0及状态011,,,,,n i j i i i -⋅⋅⋅有10011111{|,,,,}{|}n n n n n n P X j X i X i X i X i P X j X i +--+===⋅⋅⋅=====用条件概率的语言来说11011{,,|,,,}{,,|}n n k k n k k n P X j X j X X X P X j X j X ++==⋅⋅⋅===注：1、E 0, E 1,E 2,…称为Markov 链的状态，通常用0，1，2，…来标记E 0, E 1,E 2,…。

{0，1，2，…}称为过程的状态空间，记为S 。

2、若Markov 链的状态是有限的，则称为有限链，否则称为无限链。

2、条件概率11{|}n n n n P X i X i --==，n ＝1，2，……称为Markov 链的一步转移概率。

3、若转移概率1{|}n n P X j X i -==只与状态,i j 有关，而与时间n 无关，则称该Markov 链是时齐Markov 链，并记1{|}ij n n p P X j X i -===，否则称Markov 链是非时齐的。

矩阵000102101112012()ij ij Sn n n p p p p p p P p p p p ∈⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为转移矩阵。

4、(){|}k ij n k n p P X j X i +===称为k 步转移概率，()k P 称为k 步转移矩阵。

马尔科夫链模型简介

马氏链模型简介1、随机过程的概念。

定义：设集合{}T t t ∈:ξ是一族随机变量，T 是一个实数集合，如果对于任意T t ∈，t ξ是一个随机变量，则称{}T t t ∈:ξ是一个随机过程。

其中：（1）t 为参数可以认为是时间，T 为参数集合。

（2）随机变量t ξ的每一个可能值，称为随机过程的一个状态。

其全体可能值构成的集合，称为随机过程的状态空间，用E 表示。

（3）当参数集合T 为非负整数集时，随机过程又称为随机序列。

随机序列可用{} ,3,2,1:=n n ξ表示。

当T 为时间时，该随机序列就是一个时间序列。

如：（1）用t ξ表示“t 时刻，某商店的库存量”，则{}),0[:+∞∈t t ξ就是一个随机过程。

（2）用t ξ表示“在一天中t 时刻，某地区的天气状况”，则{}]24,0[:∈t t ξ是一个随机过程。

（3）用t ξ表示“在一天中t 时刻（整数），某城市的出租汽车的分布状况”，则{}24,,2,1,0: =t t ξ是一个随机时间序列。

马氏链，也称为马尔可夫链，就是一个特殊的随机时间序列，也为随机序列。

2、（离散时间）马尔可夫链——马氏链。

定义：设{} ,3,2,1:=n n ξ是一个随机序列，状态空间E 为有限或可列集。

若对于任意正整数m 、n 。

如果E i ∈、E j ∈、E i k ∈ （1,,2,1-=n k ）满足)(),,,(1111i j P i i i j P n m n n n n m n =======+--+ξξξξξξ 成立，则称随机序列{} ,3,2,1:=n n ξ为一个马尔可夫链，简称为马氏链。

（时间、状态均为离散的随机转移过程）从该定义可知：（1）如果将随机变量n ξ的下角标n ，理解为步数。

则随机变量n ξ就是从起始点经过n 步，到达的随机变量。

（2）随机变量)(i n =ξ，是指第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 。

（3）条件概率)(i j P n m n ==+ξξ是指，第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 发生的条件下，第m n +步时的随机变量m n +ξ所处的状态j ，发生的条件概率。

第十八讲马氏链

1
2
3
4
5
• 解：因为第n个时刻所处的位置只取决于前一个时刻的位置，所以，Xn是马氏链。而且一步转移概率矩阵为 1 2 3 4 5 1 1 0 0 0 0 2 p 0 q 0 0 P= 3 0 p 0 q 0 4 0 0 p 0 q 0 0 0 0 1 5
只取决于t1时刻的分布和多步转移概率
总结
• 对于齐次马氏链，只要知道初始分布和多步转移概率矩阵，所有的分布就完全清楚了。
作业P333
1、3、4、
= (0.61,0.39)
马氏链的n维分布
对于任意n个时刻，t1 < t 2 < ... < t n , 任意n个状态ai1 , ai2 ,...ain
P{ X t1 = ai1 , X t2 = ai2 ,..., X tn = ain }
= P{ X t1 = ai1 } ⋅ P{ X t2 = at2 | X t1 = ai1 } ⋅ P{ X t3 = ai3 | X t1 = ai1 , X t2 = ai2 } ...P{ X tn = ain | X t1 = at1 ,...X tn−1 = ain−1 }(乘积公式)
1
2
3
4
5
例2、(Random walk)带吸收壁的随机游动一随机点Q在直线点集{1,2,3,4,5}作随机游动，且仅在1秒,2秒,…,等时刻发生游动。若Q位于 2、3、4位置时，下一时刻左移一格的概率为 p,右移一格的概率为q=1-p；当Q位于1或5，则下一时刻停留在原地. 设{Xn}表示n时刻Q的位置，试说明它是齐次马氏链并求一步转移概率矩阵。
P{ X (0) = 3, X (1) = 2, X (2) = 1}

《马氏链及其应用》课件

马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于估计策略值函数和近似最优策略，提高机器学习的效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随机过程，实现图像的降噪、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编码和压缩，降低存储和传输成本，提高数据处理的效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不断完善和发展，以适应不断涌现的新问题和挑战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域已经取得广泛应用，但仍需拓展更多应用领域，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大，如何提高马氏链的计算效率成为亟待解决的问题。
THANKS

马氏链理论与随机过程的连接

马氏链理论与随机过程的连接马氏链理论是概率论中非常重要的一个分支，它主要研究随机过程中状态与状态之间的转移概率以及状态的演变规律。

随机过程则是一种在时间或空间上随机变化的数学模型。

马氏链理论与随机过程之间有着密切的联系，下面将详细探讨二者之间的关系。

1. 马氏链理论的基本概念马氏链是一个具有马氏性质的随机过程，其特点是在给定当前状态下，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。

这一性质称为马氏性。

马氏链理论主要研究马氏链的性质及其在不同领域中的应用。

2. 马氏链的应用领域马氏链理论在众多领域中都有着广泛的应用，如金融工程、生态学、信号处理等。

以金融工程为例，股票市场的涨跌可以看做是一个随机过程，而马氏链理论可以用来描述市场的波动规律，从而帮助投资者做出正确的决策。

3. 马氏链与随机过程的联系马氏链可以被看作是一个离散时间的马氏过程，而随机过程则是一个更加广泛的概念，包括了连续时间的随机变量。

马氏链理论是随机过程理论的一个重要组成部分，通过研究马氏链的性质，可以更好地理解随机过程的基本规律。

4. 马氏链与随机过程的统一性马氏链理论和随机过程理论虽然有着一定的差异，但二者又有着紧密的联系和统一性。

马氏链可以被看作是随机过程的一个特例，是随机过程理论中的一个重要分支。

通过对马氏链的研究，可以更好地理解随机过程的特性和规律。

总之，马氏链理论与随机过程有着密切的联系与相互作用，通过研究二者之间的关系，可以更好地理解和应用概率论在实际问题中的解决方法。

希望本文能够帮助读者更好地理解马氏链理论与随机过程的连接。

《马氏链及其应用》课件

通过游走过程，可以观察系统在不同状态之间的转移情况。
2
直接求解
可以使用转移概率矩阵，直接计算系统在不同状态之间的转移概率。
马氏链的评指标
平稳分布
马氏链的平稳分布表示系统在长时间后达到的稳定状态。
收敛速度
衡量马氏链从初始状态收敛到平稳分布所需的步数。
误差分析
通过分析马氏链模型的误差情况，评估其在实际应用中的可行性。
转移概率
马氏链的转移概率描述了系统在不同状态之间的可能转移情况。
马氏链应用场景
金融市场
马氏链可以用于分析金融市场的波动性和风险。
智能客服
马氏链可以应用于智能客服系统，提供更准确和高效的服务。
自然语言处理
马氏链能够帮助解决自然语言处理任务，如文本生成和敏感词过滤。
马氏链的使用方法
1游Leabharlann 过程《马氏链及其应用》PPT 课件
# 马氏链及其应用
马氏链是一种数学模型，描述一个系统在一系列状态之间的随机转移。它在多个领域具有广泛的应用。
什么是马氏链？
定义
马氏链是一个随机过程，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
特点
马氏链具有无后效性、有限维状态空间和固定转移概率矩阵等特点。
实战案例
大盘指数预测
通过利用历史数据构建马氏链模型，预测未来的大盘指数走势。
销售额预测
应用马氏链模型分析销售历史数据，预测未来的销售额变化。
文本分类
利用马氏链模型对文本进行分类，提高自然语言处理的准确性。
总结
1 优势和不足
马氏链具有简单和灵活的特点，但对初始状态和转移概率的准确性要求较高。
2 未来发展方向

第四章马氏链(1)

1234 5
若以Xn表示时刻n时Q的位置，不同的位置就是Xn的不同状态，那么｛Xn,n=0，1,2,…｝是一随机过程，状态空间就是I，而且当Xn=i,iI为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布只与Xn=i有关，而与Q在时刻n以前如何到达i是完全无关的，所以｛Xn,n=0，1,2,… ｝是一马氏链，且是齐次
例4.1.2(一维随机游动) 设一醉汉Q（或看作一随机游动的质点），在如图所示直线的点集I＝｛1，2，3，4， 5｝上作游动，仅仅在1秒、2秒…等时刻发生游动。游动的概率规则是：如果Q现在位于点i (1<i <5)，则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动一格，或以1/3的概率留在原处；如果Q现在位于1（或5）这点上，则下一时刻就以概率1移动到2（或4）点上。1和5这两点称为反射壁。上面这种游动称为带有两个反射壁的随机游动。
{ } pij pij 1 = P Xm+1 = j | Xm = i
称为齐次马氏链的一步转移概率；
P P(1) = pij (1)
a1 a1 p11 P(1) = a2 p21
ai pi1
a2 p12 p22
pi2
aj p1 j p2 j
pij
称为齐次马氏链的一步转移概率矩阵。
14
例：（订货问题）设某商店使用(s,S)订货策略，每天早上检查某商品的剩余量，设为x,则订购额为：
设订货和进货不需要时间，每天的需求量独
立同分布且 P{Yn = j} = aj ( j = 0,1, 2,...)。
4. n步转移概率及C-K方程
称条件概率Pij (m, m + n) {P Xn+m = j | Xm = i} 为马尔

第7章马氏链

令 Un+1—表示在第n+1个顾客的服务时间内到达的顾客数，在（t，tn+1）时段内到达的顾客数. 则 Xn+1 = Un+1
Xn+1 tn+1
M/G/1 排队系统 X(t)——时刻t系统中的顾客数（队长），令tn--第n个顾客服务完毕离开系统的时刻，令 Xn = X(tn+)--第n个顾客离开时系统中的顾客数。

一步转移概率 ��ij aj , i =0 = a j−i+1 І{ ��−i+1 } , i > 0
p00 p01 p0 j p 10 p11 p1j P pi0 pi1 pij
对第n+1个顾客的服务时间取条件
=
=
∞ P( 0
Un+1 =k │Bn+1 = x ) d G(x)
�� −λx d G(x)
∞ (λx)k 0 �� !
k, λ, G(x) 都是已知的（记为）≜ ak ， k0, ak与n无关。
��ij = ��( ��n+1 =�� │��n = �� )
当�� = 0，即 Xn = 0
Xn+1 =
Xn − 1 + Un+1 , Xn > 0 Un+1, Xn = 0
��ij = ��( ��n+1 =�� │��n = 0 ) = ��( ��n+1 =��) = aj
当�� > 0，即 Xn > 0

4 马氏链

P X1 1, X 2 1, X 3 1| X 0 0
7.2 马尔可夫链的状态分类
设 { Xn , n >0 } 是齐次马尔可夫链，其状态空间
I = { 0, 1, 2, … }，转移概率是 pij ， i , j I
1
7 1
8
1
9
1
1 1/3 121源自3615
2/3
4
1
（1）状态的周期性
2
设初始分布p1 0 P X 0 1 , p0 0 P X 0 0 1 ,
若系统经n级传输后输出为 1，求原发字符也是 1的概率。
0.9 0.1 0.82 0.18 2 解：（1）P , P 2 P , 0.1 0.9 0.18 0.82 0.756 0.244 3 P 3 P 0.244 0.756
马尔可夫链
内容提要
马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的状态分类状态空间的分解
pij(n) 的渐近性质与平稳分布
马尔可夫过程的四种类型

马尔可夫链(马氏链)

时间、状态都离散时间连续、状态离散

连续时间马氏链

马尔可夫序列

时间离散、状态连续
时间、状态都连续

连续时间马尔可夫过程（或扩散过程）
[定义] 如集合 { n : n 1, pii(n) > 0 } 非空，则称该集合
的最大公约数 d = d(i) = G.C.D{ n : pii(n) > 0 }为状态 i
则称 { Xn , n T } 为马尔可夫链，简称马氏链。
马氏性（无后效性）

正则马氏链模型

正则马氏链模型正则马氏链模型是一种常用的概率模型，它是一种离散时间、离散状态的随机过程。

该模型的基本假设是：在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

正则马氏链模型可以用来描述许多实际问题，比如天气预报、股票价格变化、人口迁移等。

一、基本概念1. 马氏性质马氏性质是指一个随机过程中，在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

这种性质也称为无后效性。

2. 状态转移矩阵状态转移矩阵是一个n×n 的矩阵，其中第 i 行第 j 列表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

对于正则马氏链模型而言，每个状态可以转移到任何其他状态，因此矩阵中所有元素都大于等于 0，并且每行元素之和为 1。

3. 平稳分布平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言，其平稳分布存在且唯一。

二、模型定义正则马氏链模型可以用一个四元组来表示，即(S, P, π, T)。

其中：1. S 表示状态集合，每个状态都有一个唯一的标识符。

2. P 表示状态转移矩阵，P(i,j) 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

3. π 表示初始分布，π(i) 表示初始时系统处于状态 i 的概率。

4. T 表示时间步数，表示模型运行的时间长度。

三、模型计算1. 状态转移概率计算对于正则马氏链模型而言，任意时刻系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

因此，在已知 t 时刻系统处于某一特定状态 i 的条件下，t+1 时刻系统处于某一特定状态 j 的概率可以用如下公式计算：P(i,j,t+1) = Σ P(i,k,t) × P(k,j)其中 k 是所有可能的中间状态。

2. 平稳分布计算平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言，其平稳分布可以通过不断迭代计算得到。

马氏规则原理

马氏规则原理马氏规则原理马氏规则是一种概率统计学中的理论，它描述了在已知过去事件的情况下，预测未来事件发生的概率。

该原理由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出，并因此而得名。

一、马氏链要理解马氏规则，首先需要了解“马氏链”这个概念。

所谓“马氏链”，指的是一个随机过程，在该过程中，当前状态只与前一状态有关，与更早的状态无关。

这种特殊的随机过程被称为“马氏过程”。

二、条件概率为了理解马氏规则，还需要了解“条件概率”的概念。

所谓“条件概率”，指的是在已知某个事件发生时，另一个事件发生的概率。

用符号表示为P(A|B)，表示在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率。

三、转移矩阵在马氏链中，每个状态之间都有一个转移概率。

这些转移概率可以用一个矩阵来表示，称为“转移矩阵”。

假设有n个状态，则转移矩阵为n×n的矩阵。

四、稳态分布在马氏链中，如果状态之间的转移概率是固定的，那么该链将会趋于一个稳态分布。

所谓“稳态分布”，指的是当时间趋近于无穷大时，各个状态出现的概率趋于一个固定值。

这个固定值就是该马氏链的稳态分布。

五、马氏规则了解了以上概念后，我们就可以来理解“马氏规则”了。

所谓“马氏规则”，指的是在已知某个状态下，预测未来状态发生的概率。

具体来说，假设当前处于状态i，想要预测下一步会进入状态j的概率，则可以通过以下公式计算：P(i→j) = P(j|i) × P(i)其中，P(j|i)表示从状态i转移到状态j的概率；P(i)表示当前处于状态i 的概率。

六、应用马氏规则在实际应用中有很多用途。

例如，在自然语言处理中，可以利用马氏模型来进行文本分类和词性标注；在金融领域中，可以利用马氏模型来预测股票价格等。

总之，马氏规则是一种非常有用且广泛应用的概率统计学理论。

了解马氏规则的原理和应用，可以帮助我们更好地理解和应用这个理论。

马氏链的平稳分布

马氏链的平稳分布
马氏链，又称为马可夫链，是个有连续马可夫性质的随机序列，由柯布朗在
20世纪30年代提出，是个基于多状态概念的随机过程，既有拓展性，又具备稳定性。

其特点是从当前状态出发，概率无论状态如何变化，总是收敛于某一稳定的分布形态，这就是“平稳分布”。

马氏链的平稳分布特性主要表现在以下几个方面：首先，它具有良好的可预测性，即随着时间的推移，马氏链出现的状态分布总会收敛于某一稳定的分布形态；其次，它可以提供精确的参数拟合，即在实际应用中，为了满足需求，可以通过对马氏链的参数调整拟合任何特定分布；最后，它可以提供同样的期望值与方差，即使在不同的时间段中，马氏链的期望值与方差也相等。

因此，马氏链的平稳分布在统计学、机器学习、网络模型估计等方面都得到了
广泛应用。

例如在统计学中，它可以给出精确的分布估计，对抽样误差进行控制，获得较高准确率的期望值；在机器学习中，它可以实现良好的性能与公平性的结合，并可以在模型建构方面提供更加有效的优化方法；在网络模型估计方面，它可以提供准确的分布估计，以及减少异常值的影响，从而提高模型的准确度与稳定性。

总之，马氏链的平稳分布具有良好的可预测性，可以提供精确的参数拟合，同
样的期望值与方差，并拥有良好的性能与拓展性，用于统计学、机器学习、网络模型估计等应用方面，皆可取得较好的效果，为科学研究与工程应用都提供了有效的指导。

马氏链简介

第十一章 马氏链模型

正常返的马氏链

马氏链转移矩阵

马氏链简介

4马氏链

随机过程(七)-马氏链

马尔科夫链模型简介

第十八讲马氏链

《马氏链及其应用》课件

马氏链理论与随机过程的连接

《马氏链及其应用》课件

第四章马氏链(1)

第7章 马氏链

4 马氏链

正则马氏链模型

马氏规则原理

马氏链的平稳分布

第十一章马氏链模型

第7章马氏链