抛物线-的定义第2课时
抛物线的定义课件
抛物线的定义课件导语：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
下面就是小编给大家整理的抛物线的定义课件，希望对大家有用。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
发展历程Apollonius所著的八册《圆锥曲线》(Conics)集其大成抛物线问题，可以说是古希腊解析几何学一个登峰造极的精擘之作。
今日大家熟知的ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是 Apollonius 所发明的。
当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的.自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。
标准方程右开口抛物线：y2=2px左开口抛物线：y2= -2px上开口抛物线：x2=2py下开口抛物线：x2=-2py[p为焦准距（p>0）]特点在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；在抛物线y2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；在抛物线x2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；在抛物线x2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；共同点：①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4不同点：①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
抛物线优秀课程设计
抛物线优秀课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解抛物线的定义，掌握其标准方程及基本性质。
2. 学生能运用抛物线知识解决相关问题，如计算焦点、准线、对称轴等。
3. 学生了解抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。
技能目标：1. 学生通过观察、分析、总结，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 学生能够熟练运用抛物线相关公式，解决实际问题。
3. 学生在小组合作中，提高沟通协调能力和团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对抛物线知识产生兴趣，激发学习数学的热情。
2. 学生在学习过程中，培养勇于探索、克服困难的精神。
3. 学生通过抛物线知识的学习，认识到数学与生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程目标具体、可衡量，旨在帮助学生掌握抛物线知识，提高解决问题的能力，培养空间想象力和逻辑思维，同时注重培养学生的情感态度价值观，使学生在学习过程中获得全面、和谐的发展。
后续教学设计和评估将围绕这些具体学习成果展开。
二、教学内容本章节教学内容围绕抛物线的相关知识展开，包括以下方面：1. 抛物线的定义及标准方程- 引导学生理解抛物线的概念，掌握其标准方程y²=4ax和x²=4ay。
- 分析抛物线的焦点、准线、对称轴等基本性质。
2. 抛物线的图形及性质- 通过图形展示，让学生直观了解抛物线的图形特点，如开口方向、对称性等。
- 探讨抛物线与x轴、y轴的交点、顶点、对称轴等性质。
3. 抛物线的应用- 介绍抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。
- 分析具体问题，让学生学会运用抛物线知识解决实际问题。
4. 综合练习与拓展- 设计不同难度的练习题，巩固学生对抛物线知识的掌握。
- 拓展抛物线相关的高级性质和复杂问题，提高学生的思维深度。
教学内容按照以下进度安排：1. 第1课时：抛物线的定义及标准方程2. 第2课时：抛物线的图形及性质3. 第3课时：抛物线的应用4. 第4课时：综合练习与拓展教学内容与教材章节关联，以人教版数学九年级下册教材为例，涉及第十七章“圆锥曲线与方程”中的抛物线相关内容。
抛物线的定义及标准方程PPT课件-2024鲜版
抛物线具有对称性，其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线；抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点，用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线，焦点在准线 的上方；对于开口向下的抛物线，焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线，用l表示。
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05
抛物线与相关曲线的联系与区别
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与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
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交点个数的判断及位 置关系
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与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
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无限延伸
抛物线在两端无限延伸，且越来越 接近其对称轴。
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抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点，也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上，且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后，都会与准线相交。
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抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称，即如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a，y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向，只会改 变其位置和顶点坐标。
抛物线的定义课件
工程技术中的应用
抛物线型弹道
在军事和民用领域，抛物线型弹 道是一种常见的弹道形式。通过 计算和调整弹丸的初速度和发射 角度，可以实现精确打击和有效
射程。
抛物ห้องสมุดไป่ตู้型天线
在通信和广播领域，抛物线型天 线是一种常见的天线形式。它具 有定向性好、增益高等优点，被 广泛应用于卫星通信、微波通信
等领域。
抛物线型喷嘴
对称性表现
抛物线关于其对称轴对称，即对于任意一点P(x,y)在抛物线上，其关于对称轴的 对称点P'也在抛物线上。
顶点位置
1 2
顶点坐标
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其顶点坐标 为(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其顶点为原点(0,0)。
02
抛物线图像特点
开口方向与宽度
开口方向
抛物线开口方向由二次项系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
宽度
抛物线的宽度与二次项系数的绝对值|a|有关。|a|越大，抛物线越窄；|a|越小， 抛物线越宽。
对称性
对称轴
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其对称轴为x=-b/2a。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其对称轴为y轴。
根据题目条件，设定一个 包含待定系数的抛物线方 程。
代入已知条件
将题目中给出的已知条件 代入设定的抛物线方程， 解出待定系数。
求解问题
利用解出的待定系数，进 一步求解与抛物线相关的 问题。
数形结合法
绘制图形
根据题目条件，绘制出抛 物线的图形，标注出关键 点和线。
抛物线的简单几何性质(教学设计)高中数学 人教A版2019选择性必修第一册
3.3.3抛物线的简单几何性质(第二课时)教学设计(一) 教学内容：通过解决具体问题体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及抛物线在实际生活动中的应用举例.(二) 教学目标1.通过解决问题，能熟练利用抛物线的定义、方程和性质解决综合问题，提升学生的解题能力；2.通过实例，能体会抛物线在实际生活中的应用，发展学生的数学应用意识.(三) 教学重点和难点重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养(四) 教学过程设计引入：我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
问题 1 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.【师生活动】教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？学生：只要证明证明点D的纵坐标和点B的纵坐标相等即可.教师：D、B两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？学生：D、B两点的坐标与点A的坐标和直线AB有关，【分析】既然D、B两点的坐标与A有关，我们可以先把点A坐标设出来，然后用点A 的坐标表示D 、B 的坐标.教师引导和板书，学生思考：如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy .设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),点A 的坐标为(y 022p,y 0)(y 0≠0)，则直线OA 的方程为y =2p y 0x,抛物线的准线方程是x =−p2.联立直线OA 和准线方程可得点D 的纵坐标为−p 2y 0.焦点F 的坐标是(p2,0)，当y 02≠p 2时，直线AF 的方程为y =2py 0y 02−p 2(x −p2).联立直线AF 和抛物线方程可得点B 的纵坐标为−p 2y 0，与点D 的纵坐标相等，于是DB 平行于抛物线的对称轴.当y 02=p 2时，易知结论成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴. 追问1 你还有其他证明方法码？学生回答：由于点D 、B 的坐标还和直线AB 有关，我们还可以先设直线AB 的方程.学生解答：如图所示，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),焦点F坐标为(p2,0), 易知直线AB斜率为不0,可设过点F的直线AB的方程为x=my+p2，点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2).联立直线AB和抛物线的方程得y2−2py−p2=0，由韦达定理可知y1y2=−p2,则有y2=−p2y1,即点B的纵坐标为−p 2y1 .准线方程为x=−p2，直线OA的方程为y=y1x1x，联立直线OA和准线的方程可得点D的纵坐标为−py12x1.又点A在抛物线上，满足y12=2px1，可得x1=y122p,故−py12x1=−p2y1，即点D的纵坐标为−p2y1，与B的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.【设计意图】问题1是教材136的例5, 例5是抛物线的一个性质，目的是让学生体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及提升解决抛物线综合问题的能力，教材后面的追问环节是加深理解相应的数学方法. 师生活动中的目的是引导学生转化问题和提示学生解题方向，也为后面一题多解做铺垫。
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
《2.4.2抛物线方程及性质的应用》课件
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根，
所以
k
0, 0,
即
k0,
164k812k 0,
解得 k 或1 k=-1.
3
则直线方程为 y2 1(或xy3-)2=-(x+3),
3
即x-3y+9=0或x+y+1=0. 故所求直线有三条，其方程分别为y=2或x-3y+9=0或 x+y+1=0.
【补偿训练】直线ax-y-a=0与抛物线y2=2px(p>0)的公共点的
4 x 2，
当x1≠x2,即直线的斜率存在时，设直线的斜率为k,
则 ky1y2 4 2.
x1x2 y1y2 y
又由斜率公式得 k y1所x以2,
x2
整理得y2-2x-y+4=0(x≠2)①.
y1 2. x2 y
当x1=x2，即x=2时，此时斜率不存在，弦的中点坐标为(2， 0)，也符合①式，
故中点的轨迹方程为y2-2x-y+4=0.
【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点 的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜 率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.
(2)由方程组
y y
k x消去1 ,y得
2 4x,
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
记Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2),
4
y 2 x 1.
4
【补偿训练】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C
交于A,B两点，则cos∠AFB=( )
A .4 B .3 C . 3
55
5
抛物线的知识点高二
抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。
一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。
当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。
2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。
4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。
三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。
2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。
3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。
4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。
五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。
2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。
3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。
4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。
3.3.2抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)课件(人教版)
p 2 y0
( x1 x2 ) p y1 y2 p
2p
p 2 y0 ( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
PART
ONE
抛物线的简单几何性质
焦点弦问题
如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，称为焦
点弦．设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x0，y0)，过 A，M，B 分别向抛物 线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1，M1，B1，则根据抛物线的定
ONE
课堂小结
抛物线的简单几何性质
8.直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段|AF|，|BF|
的长分别为 m，n，则m1 ＋1n＝( C )
A.14 C．1
B.12 D．2
由焦点弦性质得 1 ＋ 1 ＝2，即1＋1＝1. |AF| |BF| p m n
03课堂小结
PART抛物线的简单几源自性质（2）分别过 A，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1.根据抛物线定义知 |FA|＝|AA1|＝x1＋p2，|FB|＝|BB1|＝x2＋p2， ∴|F1A|＋|F1B|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2
＝2x12＋p＋2x22＋p＝2（（2x22＋ x1＋p）p）＋（22（x22＋x1p＋）p） ＝4x1x42＋（2xp1＋（xx21）＋＋x2）4p＋p2＝24p（（xx11＋＋xx22＋＋pp））＝2p.
解：设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，则其准线方程为 x＝－p. 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，
抛物线的简单几何性质
完整版人教版高中数学第二册上《抛物线及其标准方程》2课时单元教学设计
抛物线及其标准方程” 单元讲课方案（选自人教版高中数学第二册（上）第八章第五节）一、教材解析1.在教材中的地位与作用（1）抛物线在初中以二次函数图象的形式初步商讨过，在物理上也研究过“抛物线是抛体的运动轨迹” ，这些足以说明抛物线在本质生活中应用的广泛性，在这一带里我们将更深入地研究抛物线的定义及其标准方程。
（2）抛物线是在学习了椭圆、双曲线的基础上研究的又一种圆锥曲线，它是以圆锥曲线统必定义（即第二定义）进行张开学习的，由此形成了圆满的圆锥曲线看法系统。
本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是相同的。
利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为此后用解析法研究抛物线的几何性质，本节起到一个承上启下的作用。
（3）本节可经过类比的思想，由椭圆与双曲线的第二定义顺利得出抛物线及其焦点与准线的定义，接下来用轨迹思想建立合适坐标系求出抛物线的标准方程，一共有四种（开口向上、向下、向左或向右），在讲课过程中应重视标准方程中的“ P”，P 的几何意义以及焦点坐标、标准方程与 P 的关系是本节的要点，学生应掌握如何依据标准方程求P，焦点坐标与准线方程或依据三者求标准方程。
2．教材的编排系统解析教材内容表现的序次是：回顾椭圆与双曲线的第二定义（P132练习2）依据e＝1的几何意义设计试验活动抛物线的定义轨迹思想推导抛物线的标准方程总结抛物线标准方程及相关看法标准方程的直接运用（例1、 P132 练习 1、 3、 4， P133习题 1、2、4）抛物线定义的灵巧运用及定义法求解轨迹方程（例2、 P132 练习 5、P133 习题 3、）抛物线焦点弦长解析（例3、 P133 习题 7）直线与抛物线关系分析（ P133 习题 5、 6）3.例习题解析与教材发掘①教材在编排中特别是 P132 练习 2 的设计本质上已经表现了圆锥曲线统必定义这一假想，所以在总结中没关系明示这一知识的整合结论。
②定义的讲课中联合椭圆、双曲线定义中简单被忽视的条件的回顾，思虑教材定义表达中的不慎重性（应要求：定点 F 不在定直线l上），借此培育学生类比思想能力及慎重的思想意识。
抛物线的简单几何性质(第2课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
|MF|=|MN|= (3 + 1)2 + (2 3 − 2 3)2
=4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形.
∴点M到直线NF的距离为2 3.
2
=4.
1−cos60°
点M到直线NF的距离为4×
3
=2
2
3.
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(−2)2
设A(x1,y1),则x1= 2
=
2 −4+4
.
2
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
解 由焦点弦长公式知|PQ|=x1+x2+p=4p.
跟踪练习
3.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( A )
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
解 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，
由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，
或(x-11)2+(y+6)2=144.
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦
例2 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 3的直线交C于点M(M在x轴的上方),
l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(
抛物线的教学设计完整版课件
抛物线的教学设计完整版课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学必修二第七章第二节，主要包括抛物线的定义、标准方程、性质及其应用。
具体章节内容如下：1. 抛物线的定义：通过实际情景引入抛物线，引导学生探究抛物线的几何特征，得出抛物线的定义。
2. 抛物线的标准方程：引导学生根据抛物线的定义，推导出抛物线的标准方程，并掌握方程的变换。
3. 抛物线的性质：分析抛物线的几何性质，如焦点、准线、顶点等，并能运用性质解决问题。
4. 抛物线的应用：通过例题讲解，让学生学会利用抛物线解决实际问题，如抛物线上的点到焦点的距离等。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其变换。
2. 掌握抛物线的性质，并能运用性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
三、教学难点与重点1. 抛物线的定义及其几何特征。
2. 抛物线的标准方程及其变换。
3. 抛物线的性质及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：教材、笔记本、三角板、尺子。
五、教学过程1. 引入：通过实际情景，如抛物线形的操场、篮球筐等，引导学生观察并提出问题，激发学生对抛物线的兴趣。
3. 推导抛物线的标准方程：引导学生根据抛物线的定义，利用几何方法推导出抛物线的标准方程，并掌握方程的变换。
4. 分析抛物线的性质：引导学生运用数学方法分析抛物线的性质，如焦点、准线、顶点等，并通过例题讲解，让学生学会运用性质解决问题。
5. 抛物线的应用：让学生通过实际问题，运用抛物线的性质解决问题，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置随堂练习，让学生巩固本节课所学知识。
六、板书设计1. 抛物线的定义。
2. 抛物线的标准方程及其变换。
3. 抛物线的性质及其应用。
七、作业设计1. 请用一句话概括抛物线的定义。
2. 请写出抛物线的标准方程，并说明其变换规律。
3. 分析下列抛物线的性质，并解答相关问题：（1）抛物线y = x² 的焦点坐标是多少？（2）抛物线y = 1/4x² 的准线方程是什么？（3）点 P(2, 3) 是否在抛物线y = x² 上？说明理由。
3.2抛物线的简单几何性质2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
例 2 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，O
为坐标原点，且―O→A ·―O→B ＝2.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)点 M 坐标为(－2，0)，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k11＋k12为定值．
解：(1)设 l 的方程为 x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， (2)证明：因为 M 坐标为(－2，0)，
(1)求p
（2）若点p在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，
PAB面积的最大值
y
x 2
1x 2 4y
x0
y 0
得 x2 2x0x 4 y0
0
4x02
16 y0
由韦达定理可得 xA xB 2x0, xAxB 4 y0
AB 1 K 2AB
(xA xB )2 4xAxB
＝y21y2＋y22y1＋y1y22（y1＋y2）＝（y1y2＋2y）1y（2 y1＋y2）， 由(1)可得 y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
所以 p＝12，所以抛物线 C 的方程为 y2＝x.
所以k11＋k12＝0 为定值．
背景分析 题目展示 解法分析 拓展延伸 大胆猜想 感悟数学
定量到定性分析 数形结合思想 遵循逻辑推理
背景分析 题目展示 解题思路 大胆猜想 拓展延伸 感悟数学
本题中，1、过抛物线x2 2 py 外点 x0, y0 抛物线切点弦方程：x x0 p( y0 y)
过椭圆
外点 x2
a2
y2 b2
1
x0, y0
椭圆切点弦方程：xa02x
y0 y b2
1
过圆 x2 y2 r2 外点 x0, y0 切点弦方程：x0 x y0 y r 2
高中数学选择性必修第一册 抛物线的简单几何性质(第2课时)
1．涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦所在的直线的斜率问题，注意韦达定 理的应用．过焦点的弦的问题，注意抛物线的定义的应用．
2．直线和抛物线的相交问题，一般常用“设而不求”的解题思想．
课后巩固
1．直线 2x－y－4＝0 与抛物线 y2＝6x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为
(B )
A．8
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x＜0)．
(2)若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆 圆心的轨迹方程．
【解析】 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2， 0)，半径 r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距离． 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＝－2 为准线的抛物线， 且p2＝2，p＝4， 故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2＝8x.
285 B. 2
C.
305 2
D.
335 2
2．已知 AB 是过抛物线 y＝2x2 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐
标是( D )
A．1
B．2
5
15
C.8
D. 8
3．(2018·北京)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为__(_1_，_0_)__．
当二次项系数 A≠0 时，Δ＝B2－4AC.
若 Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若 Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若 Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．
抛物线-的定义第2课时
(2) (3) (4)
（0，—1 ） （- —5 ，8 0）
8
（0，-2）
y= - —1
8
x= —5 y=28
课堂练习1
3、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y＝ 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；
解（：1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是
x＝－3．
（2）先化为标准方程 x 2
少了运算量，提高了解题效率.
课堂练习4
1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（ B）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．过原点的直线l与双曲线 x2 y2 1 43
交于两点，则l的斜率的取值范围是__(___2_3_,_2_3_)_.
3．过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中，最短的 弦长是 2p 。
为
(0,
1) 24
6
,准线方程为
y
1. 24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求
它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2= - 8y
课堂练习1
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是 x
=
1 4
ly
A
O
F
X
B
例题讲解
分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点 坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。
解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛 物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为
y=x－1.
抛物线的第二定义和第三定义
抛物线的第二定义和第三定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊抛物线的第二定义和第三定义呀！你看那抛物线，多像人生的轨迹啊！有时候高，有时候低，起起伏伏的。
抛物线的第二定义说的是啥呢？简单来说，就是到一个定点和一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹。
哎呀，这就好比我们追求梦想的过程中，总会有个目标在那，就像那个定点，而我们努力的方向就像是那条定直线，我们和目标之间的距离，以及我们努力的程度，就决定了我们能不能沿着这条抛物线达到梦想的彼岸呀！你想想，要是我们离那个定点太远，就像我们离梦想还很遥远，那得加把劲呀！而那个常数呢，就像是我们努力的效率，效率高，就能更快地接近梦想。
这多有意思啊！再说说抛物线的第三定义。
这就像是人生中的另一种规律，它告诉我们一些更深层次的东西。
它说呀，抛物线上一点到焦点和准线的距离相等。
这就好比我们在生活中，有时候看似走了不同的路，但最终都会到达同一个地方。
就像我们学习不同的知识，做不同的事情，可能过程不一样，但最终都能让我们成长，都能让我们更接近自己心中的那个“焦点”。
你说这抛物线是不是很神奇？它看似简单的曲线，却蕴含着这么多的道理。
我们在学习抛物线的时候，不也像是在探索人生的奥秘吗？有时候我们会遇到难题，就像抛物线中的一些复杂的计算，但只要我们不放弃，就像在人生路上坚持走下去一样，总会找到解决的办法。
而且啊，抛物线还告诉我们，没有什么是一成不变的。
它的形状会随着一些条件的改变而改变，我们的人生不也是这样吗？环境变了，我们也要学会适应，改变自己的轨迹。
所以啊，朋友们，好好去研究抛物线吧，不仅能学到数学知识，还能领悟到很多人生的真谛呢！别小看这小小的抛物线，它可是有着大大的智慧呀！咱们要像对待宝贝一样对待它，从它身上挖掘出更多的宝藏！这就是我对抛物线第二定义和第三定义的理解，你们觉得呢？。
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；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
课堂练习： 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0 2
焦点坐标
准线方程
(1) （5，0） x=-5
解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，
|AF|=
AA ,而 |
AA |
x1
p 2
x1
1.
同理 BF BB x2 1,
于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2＋2.
由方程x2－6x＋1=0，根据根与
系数关系可以得 x1+x2=6
于是
|AB|=6+2=8
说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减
O
x
2
得p=
∴抛物3线的标准方程为x2
=
9
y或y2 = 4 x
。Hale Waihona Puke 23课堂练习2
已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的
标准方程。
提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线 的标准方程为y2=2px或x2=-2py
解： 点P(4,2)位于第四象限，设所求方程为
y2 2 p1x或x2 2 p2 y，将x 4, y 2代入，
y 4.过点(0,2)与抛物线 2 8x 只有一个公共点的
直线有
( C)
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条
课堂新授
小结：
本节主要学习内容
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线方程
3、求标准方程常用方法：
（1）用定义 ； （2）用待定系数法。
等于 | x0 | 2
课堂练习3
1. 抛物线 y2 = 2px ( p>0 ) 上一点
M到焦点的距离是 a ( a> p ),则点M
2
到准线的距离是 a
横坐标是
a－ p
2
.
, 点 M的
2. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等
于9的点的坐标是 (6,6 2) .
例题讲解
例5. 斜率为1的直线经过抛物线y2 =4x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B, 求线 段AB的长.
设A(x1,y1),B(x2,y2)得：
x1+x2=6 , x1x2=1
将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式
| AB | (x1 x2 )2 4x1x2 1 k 2
36 4 2 8
例题讲解
分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生
联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦
（两个焦半径的和），从而达到求解目的.
4、直线与抛物线的位置关系，注意焦半径、焦 点弦的应用，到焦点和到准线的线段的转化。
课堂新授
一、定义
定点F与定直线l的 位置关系是怎样的？
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N
定点F叫做抛物线的焦点。
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线。
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
1、标准方程的推导
课堂新授
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 l y
为
(0,
1) 24
6
,准线方程为
y
1. 24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求
它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2= - 8y
课堂练习1
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是 x
=
1 4
少了运算量，提高了解题效率.
课堂练习4
1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（ B）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．过原点的直线l与双曲线 x2 y2 1 43
交于两点，则l的斜率的取值范围是__(___2_3_,_2_3_)_.
3．过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中，最短的 弦长是 2p 。
抛物线 及其标准方程
复习
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹. (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
问题
当e=1时，它的轨迹是什么？
l M
l M
·F
F·
动画
l
M
N•
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
抛物线的生活实例 抛球运动
M (x , y)
F(4,0) x
课堂练习3
例4、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
p
X0
+
— 2
————————————
． y M
抛物线 y 2 2 px (p.0) 上任意一点P
( x0 , y0 ) 到焦点的
．
OF
x
距离（称为焦半径） P
可得p1
1 2
,
p2
4,
所求为y2 x或x2 8y
例题讲解
例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线
l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
y
分析：如 图 可 知 原 条 件 等
价于M点到F（4，0）和到 x＝－4距离相等，由抛物 线的定义，点M的轨迹是 -5 -4 以F（4，0）为焦点，x＝ －4为准线的抛物线．因为 p/2=4,所以p=8,所求方程是 y2＝16x．
(2) (3) (4)
（0，—1 ） （- —5 ，8 0）
8
（0，-2）
y= - —1
8
x= —5 y=28
课堂练习1
3、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y＝ 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；
解（：1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是
x＝－3．
（2）先化为标准方程 x 2
· N M ·x
Ko F
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
方程y2 = 2px（p＞0）表示抛物线的焦点
在 X轴的正半轴上
焦点：F（
p 2
，0），准线L：x = -
p 2
课堂新授
一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛 物线的标准方程还有其它形式.
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是
第二：一次的系数的正负决 定了开口方向
例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求解它：的因焦为点ｐ坐＝标3 ３和，准故线焦方点程坐；标为（－32,０） 准线方程为x=- －2 . （2）已知抛物线的方程是y = －6x2,求它的焦
点坐标和准线方程；
解:方程可化为: x2 1 y, 故焦点坐标
ly
A
O
F
X
B
例题讲解
分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点 坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。
解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛 物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为
y=x－1.
①
将方程①代入抛物线方程y2=4x,得
（x－1）2=4x 化简得x2－6x＋1=0 .
x= 2
p F (0, )
2 y=- p
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
课堂新授
想一想:
1、椭圆，双曲线，抛物线各有几条
准线？
2。 根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、准线
方程的应关系，如何判断抛物线的焦点 位置，开口方向？
课堂新授
如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一：一次项的变量如为X （或Y） 则X轴（或Y轴）为抛 物线的对称轴，焦点就在对称轴 上。
x轴，线段KF的中垂线 为y轴
设︱KF︱= p
p 则F（ 2
，0），l：x = -
p 2
设点M的坐标为（x，y），
· N M ·x
Ko F
由定义可知，
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
课堂新授
2、抛物线的标准方程
ly
方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
如何建系的?
三. 四种抛物线及其它们的标准方程 课堂新授
y
图
OF
x
形
l
y
y
FO x
F
O
l
l
y l
O
x
F
x
焦点位置 x轴的
x轴的
y轴的
y轴的
正半轴上 负半轴上 正半轴上 负半轴上
标准方程 y2=2px y2=-2px
x2=2py x2=-2py
焦点坐标 准线方程
p F ( ,0)
2 x=- p
2
F(- p ,0) 2 p
1y 12
，p
1 24
，
1
焦点坐标是（0，48 ），
1
准线方程是y＝－ 48 .
例题讲解
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴