高中数学人教版A版必修五学案：§3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2 (二)

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人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计

人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。

本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。

a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。

人教版高中数学必修五学案 §3.4 基本不等式：√ab≤(a b)_2(二)

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(二)学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重点)；3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题(难点).知识点基本不等式求最值 1.理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2.基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.3.利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正. (2)和或积为定值.(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可. (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值.( ) 提示 (1)当x ＞0时，x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时等号成立).当x ＜0时，y ＝x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2(当且仅当x ＝－1时等号成立).(2)不一定，应用不等式求最值时还要求等号能取到，如：sin x 与4sin x ，x ∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值.但是由于0＜sin x ≤1知sin x ≠2，所以sin x ＋4sin x ＞2sin x ·4sin x ＝4，等号不成立，取不到最小值.答案 (1)× (2)×题型一利用基本不等式求函数的最值【例1】 (1)若x ＜0，求f (x )＝12x ＋3x 的最大值； (2)若x ＞2，求f (x )＝1x －2＋x 的最小值； (3)已知0＜x ＜12，求f (x )＝12x (1－2x )的最大值； (4)已知x ＞1，求函数y ＝x 2＋2x －1的最小值.解 (1)因为x ＜0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以f (x )的最大值为－12. (2)因为x ＞2，所以x －2＞0，f (x )＝1x －2＋x －2＋2≥ 2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，所以f (x )的最小值为4.(3)因为0＜x ＜12，所以1－2x ＞0，f (x )＝12x (1－2x )＝14·2x (1－2x )≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（1－2x ）22＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时等号成立，所以f (x )的最大值为116.(4)因为x ＞1，所以x －1＞0.设t ＝x －1(t ＞0)，则x ＝t ＋1，所以y ＝x 2＋2x －1＝（t＋1）2＋2t ＝t＋3t＋2≥2t·3t＋2＝23＋2，当且仅当t＝3t，即t＝3，x＝3＋1时等号成立，所以f(x)的最小值为23＋2. 规律方法利用基本不等式求最值的策略【训练1】下列各函数中，最小值为2的是()A.y＝x＋1 xB.y＝sin x＋1sin x，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.y＝x2＋3 x2＋2D.y＝x＋1 x解析对于A，∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2x1x＝2，当且仅当x＝1时取等号.选项B，C中等号取不到，选项D中，x<0时，没有最小值，故选A.答案 A题型二利用基本不等式解决实际应用问题【例2】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1＝x(x＞1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x. 则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1). (2)8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.【训练2】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.【探究1】已知x ＞0，y ＞0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 解析法一 (1的代换)：因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x ＞0，y ＞0，所以y x ＋9x y ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y ＝1，②解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞9.所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. 因为y ＞9，所以y －9＞0，所以(y －9)＋9y －9≥2（y －9）·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4，所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，所以x ＞1，y ＞9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xy ⇒xy －9x －y ＋9－9＝0⇒(x －1)(y －9)＝9(定值). 所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16.当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 答案 16【探究2】已知a ＞0，b ＞0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7解析因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋b ＞0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以m ≤9. 答案 B【探究3】已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则x ＋yxy 的最小值是________. 解析 x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，可得x ＋3y ＝1.x ＋y xy ＝（x ＋y ）（x ＋3y ）xy ＝x 2＋3y 2＋4xy xy ＝x 2＋3y 2xy ＋4≥2x 2·3y 2xy ＋4＝23＋4.当且仅当x ＝3y ，x ＋3y ＝1，即y ＝13＋3＝3－36，x ＝33＋3＝3－12时取等号.x ＋yxy 的最小值是23＋4. 答案 23＋4【探究4】已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 解析正数x ，y 满足x ＋y ＝1，即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94，当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94.答案 94规律方法利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的一元二次不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.课堂达标1.下列函数中，最小值为4的函数是( ) A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π) C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 答案 C2.函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A.1＋ 2B.2C.3D.4解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1 ≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少，故选C.答案 C4.若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.解析由已知得1a＋2b＝1，又∵a>0，b>0，∴(2a＋b)＝(2a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋2b＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8(当且仅当a＝2，b＝4时等号成立)，∴2a＋b的最小值为8.答案8课堂小结1.利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋px(p>0)的单调性求得函数的最值.2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.基础过关1.已知x＞1，y＞1且lg x＋lg y＝4，则lg x lg y的最大值是()A.4B.2C.1D.1 4解析 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号. 答案 A2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A.2 2 B.4 2 C.16D.不存在解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立. 答案 B3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( )A.－3B.3C.4D.－4解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6 ≥2（x －1）·1x －1＋6＝8.∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3， ∴y min ＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B4.周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________.解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案 145.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析一年的总运费与总存储费用之和y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 306.已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的取值范围.解因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立.所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的取值范围是(0，18].7.已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.解因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a 时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升8.已知a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正实数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12B.－12C.1D.－1解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12，当且仅当2x ＝y 时，等号成立.答案 A9.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B.12C.2D.4 解析圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，等号成立.答案 D10.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.解析二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立.答案 511.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 2＝2b 2＝22时取等号. 答案 412.某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x (x ∈N *，x ≤16)年末可以以(80－5x )万元的价格出售.(1)写出基建公司到第x 年末所得总利润y (万元)关于x (年)的函数解析式，并求其最大值；(2)为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由.解 (1)y ＝22x ＋(80－5x )－100－(2＋4＋…＋2x )＝－20＋17x －12x (2＋2x )＝－x 2＋16x －20＝－(x －8)2＋44(x ≤16，x ∈N *)，由二次函数的性质可得，当x ＝8时，y max ＝44，即有总利润的最大值为44万元.(2)年平均利润为y x ＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，设f (x )＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，x ＞0，由x ＋20x ≥2x ·20x ＝45，当x ＝25时，取得等号.由于x 为整数，且4＜25＜5，f (4)＝16－(4＋5)＝7，f (5)＝7，即有x ＝4或5时，f (x )取得最大值，且为7万元.故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机.创新突破13.设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值.解 (1)∵a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22≥21ab (a ＝b 时等号成立). 即ab ≥12(a ＝b 时等号成立).∵a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(a ＝b 时等号成立).∴a 2＋b 2的最小值为1.(2)∵1a ＋1b ＝22，∴a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2≥4(ab )3，∴(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3.即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0，∵a ，b 为正实数，∴ab ＝1.。

人教A版高中数学必修5《三章不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》示范课课件_4

2
3. 基本不等式变形公式
a b 2 ab
ab (a b)2 4
作业
1.预习课本第99页例1和例2 2.思考：基本不等式有什么作用？在利用基本不等式时需要满足什么条件？
3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C 2.四个直角三角形的
当 a 0,b 0 时， a b≥ ab , 当且仅当
a = b时，等号成立.
2
基本不等式的几何解释是什么？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过
点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
x
等号成立的条件.
2.已知 0 x 1，求证：x(1 x) 1 ，并推导出式中等
4
号成立的条件.
小结：
1. 重要不等式
当 a, b R时，a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立.
2. 基本不等式
当 a, b R时，a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
面积和 S=＿2a＿b
３、S与 S有什么
样的不等关系？
B
S>S′ 即 a2 b2 2ab
问：那么它们有相等的情况吗？
D

高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案新人教A版必修5

3．4 基本不等式第一课时基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +）提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？（2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调（1）当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证：例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。

高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《3.4 基本不等式》教案新部编本3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
高二数学教·学案
【学习目标】
12
a b
+≤
；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，2
a b
+≤
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【学习重点2
a b
+≤
，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值
【学习难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。

【授课类型】新授课【学习方法】诱思探究。

人教版高中数学必修五学案8：3.4 基本不等式：√ab≤(a b)_2

3.4 基本不等式：2a b ab +≤ 学习目标：1．复习巩固基本不等式．2．能利用基本不等式求函数的最值，并会解决有关的实际应用问题．学习过程：基础知识梳理：1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab(1)不等式的证明：课本应用了图形间的面积关系推导出了a 2＋b 2≥2ab ，也可用分析法证明如下：要证明a 2＋b 2≥2ab ，只要证明a 2＋b 2－2ab ≥0，即证明(a －b )2≥0，这显然对a ，b ∈R 成立，所以a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．(2)关于不等式a 2＋b 2≥2ab 的几点说明：①不等式中的a ，b 的取值是任意实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式． ②公式中等号成立的条件是a ＝b ，如果a ，b 不能相等，则a 2＋b 2≥2ab 中的等号不能成立． ③不等式a 2＋b 2≥2ab 可以变形为ab ≤a 2＋b 22，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab,2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2等．做一做1：不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝02．基本不等式如果a ，b 为正实数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．我们应该从以下几个方面来理解基本不等式：(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：一是其成立的条件是a ，b 都是正数；二是“当且仅当a ＝b ”时等号成立．(2)它还可以描述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．(3)基本不等式是非常重要又极为有用的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理体系，奠定了不等式的理论基础．做一做2：已知0＜α＜π，则2sin α＋12sin α的最小值是__________．重难点突破：利用基本不等式解应用题的步骤剖析：(1)审清题意，读懂题；(2)恰当地设未知数，通常情况下把欲求最值的变量看成函数y ；(3)建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域，把实际问题转化为求函数最值的问题；(4)在函数的定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；(5)根据实际问题写出答案．典型例题：题型一实际应用题例1：某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)反思：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④根据实际背景写出答案．题型二求函数最值例2：求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．反思：利用基本不等式求函数的最值时，若出现等号不成立时，则可借助于函数的单调性来解决．随堂练习：1．函数y ＝3x ＋32－x 的最小值为__________．2．两直角边之和为4的直角三角形面积的最大值等于__________．3．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________ dm 2.4．函数y ＝13x x +-(x ≥5)的最小值为__________． 5．已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x 不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利16125x ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元；当待岗员工人数x 超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？参考答案基础知识梳理：1．做一做1： B做一做2： 2典型例题：例1：解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)．所以f (x )＝560＋48x ＋10 800x≥560＋248×10 800＝2 000，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取等号．因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000，即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．例2：解：设t ＝x 2＋2，则y ＝t ＋1t，t ≥ 2. 可以证明y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上为增函数，则y ≥2＋12＝322，即y min ＝322，此时t ＝2，则x ＝0. 随堂练习：1．62．23．564．1125．解：设重组后，该企业年利润为y 万元．当待岗人员不超过1%时，由16125x＞0，x ≤2 000×1%＝20，得0＜x ≤20(x ∈N )，则y＝(2 000－x)163.510.525xx⎛⎫+--⎪⎝⎭＝25659000.64xx⎛⎫-++⎪⎝⎭；当待岗人员超过1%且不超过5%时，由20＜x≤2 000×5%，得20＜x≤100(x∈N)，则y＝(2 000－x)(3.5＋0.9)－0.5x＝－4.9x＋8 800.故y＝2569000.645,020,4.98800,20100,.x x xxx x x⎧⎛⎫-+<∈⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+<∈⎩NN≤≤当0＜x≤20，且x∈N时，有256256232 x xx x+⋅=≥，则y＝25659000.64xx⎛⎫-++⎪⎝⎭≤－5×32＋9 000.64＝8 840.64，当且仅当x＝256x，即x＝16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；当20＜x≤100，且x∈N时，函数y＝－4.9x＋8 800为减函数．所以y＜－4.9×20＋8 800＝8 702.又8 840.64＞8 702，故当x＝16时，y有最大值8 840.64.即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．。

【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)

课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证（ - ）2 （4）显然，（4）是成立的。

人教版高中数学必修五学案5：3.4 基本不等式：√ab≤(a b)_2

3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2学习目标：1．理解并掌握基本不等式及变形应用．2．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．学习重难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化．(难点)学习过程：知识梳理1．一个常用的基本不等式链设a >0，b >0，则有：min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }，当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有：b <21a ＋1b <ab <a ＋b 2< a 2＋b 22<a . 2．基本不等式的拓展(1)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 可以加强为a 2＋b 2≥2|a |·|b |，当且仅当|a |＝|b |时取等号．(3)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立．(4)若ab >0，则a b ＋b a≥2. 3．利用基本不等式求最值的法则基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性在求最值中的应用有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性加以解决．利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x(k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在 [－k ，0)上为减函数．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在定义域上的单调性如图所示．例如：求函数f (x )＝sin 2x ＋5sin 2x，x ∈(0，π)的最小值．解：令t ＝sin 2x ，x ∈(0，π)，g (t )＝t ＋5t. t ∈(0,1]，易知g (t )在(0,1]上为单调递减函数，所以当t ＝1时，g (t )min ＝6.即sin x ＝1，x ＝π2时，f (x )min ＝6. 例题讲解：一、利用基本不等式求最值方法链接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．例1：求函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．二、利用基本不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立⇔a>[f(x)]max，a<f(x)恒成立⇔a<[f(x)]min.例2：已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是() A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)三、利用基本不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3：已知a>2，求证：log a(a－1)·log a(a＋1)<1.四、基本不等式的实际应用方法链接：应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4：某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)课堂检测：1．求f(x)＝2＋log2x＋5log2x(0<x<1)的最值．2．已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b (a、b为大于0的常数且a≠b)，求mx＋ny的最大值．3．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．4．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围.参考答案例题讲解：例1：解：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t ＝24. 当且仅当2t ＝1t，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24. 例2：【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22， ∴k ＋1<22，k <22－1.【答案】B例3：证明：因为a >2，所以log a (a －1)>0，log a (a ＋1)>0.又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，所以log a (a －1)·log a (a ＋1)<log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12log a (a 2－1)<12log a a 2＝1. 所以log a (a －1)log a (a ＋1)<1.例4：解：设建造这幢办公楼的楼层数为n ，总费用为y 元，当n ＝1时，y ＝2.5·A ·2 388＋445A ＝6 415A (元)，当n ＝2时，y ＝2.5·A 2·2 388＋445A ＝3 430A (元)，当n ≥3时，y ＝2.5·A n ·2 388＋445·2A n ＋(445＋30)·A n ＋(445＋60)·A n ＋…＋[445＋30(n －2)]·A n＝6 000·A n＋15nA ＋400A ≥2A 6 000×15＋400A＝1 000A (元)(当且仅当n ＝20时取等号)．即n ＝20时，有最小值1 000A 元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A 元．课堂检测：1．解：∵0<x <1，∴(－log 2 x )>0，⎝⎛⎭⎫－5log 2x >0. ∴(－log 2 x )＋⎝⎛⎭⎫－5log 2x ≥2(－log 2 x )⎝⎛⎭⎫－5log 2x ＝2 5. ∴log 2x ＋5log 2x≤－2 5. ∴f (x )＝2＋log 2 x ＋5log 2 x≤2－2 5.当且仅当log 2 x ＝5log 2 x时，即x ＝2 ∴f (x )max ＝2－2 5.2．解：∵m 2＋n 2＝a ，∴设,m n αα== (α∈[0,2π))，∵x 2＋y 2＝b ，∴设,x y ββ==(β∈[0,2π))∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．3．解：因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号．所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 4．解：方法一把代数式ab 转化为a (或b )的函数．∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1∵b >0，∴a >1.∴ab ＝a 2＋3a a －1＝(a －1)2＋5a －1a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5 ∵a >1，∴a －1>0，∴(a －1)＋4a －1≥2(a －1)·4a －1＝4. ∴ab ≥9，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3，b ＝3时，取“＝”．方法二利用基本不等式a ＋b ≥2ab ，把a ＋b 转化为ab ，再求ab 的范围．∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.∴ab －2ab －3≥0，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9，从以上过程可以看出：当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．方法三把a ，b 视为一元二次方程x 2＋(3－ab )x ＋ab ＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．所以有()121220,30,340.x x ab x x ab ab ab ⎧⋅=>⎪+=->⎨⎪∆=--≥⎩其中由Δ＝(3－ab )2－4ab ＝a 2b 2－10ab ＋9＝(ab －9)(ab －1)≥0，解得ab ≥9或ab ≤1. ∵x 1＋x 2＝ab －3>0，∴ab ≥9.又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＝6，∴当且仅当a＝b＝3时取“＝”．。

人教版高中数学必修五学案9：3.4 基本不等式：√ab≤(a b)_2

3.4 基本不等式：2a b ab +≤ 学习目标：1．理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件．2．能利用基本不等式求代数式的最值．学习过程：基础知识梳理：1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．归纳总结：(1)公式中a ，b 的取值是任意的，a 和b 代表的是实数，它们既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明．(2)公式中a 2＋b 2≥2ab 常变形为ab ≤a 2＋b 22或a 2＋b 2＋2ab ≥4ab 或2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2等形式，要注意灵活掌握．做一做1：x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( )A ．12B ．1C ．2D ．42．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)几何意义：半弦不大于半径．如图所示，AC =a ，CB =b ，则OD =a ＋b 2，DC =ab =12DE ，则DC ≤OD .(4)变形：22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，a +b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a =b 时等号成立)．名师点拨：从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．做一做2：已知ab ＝16，a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的最小值为__________．重难点突破：1．应用基本不等式ab ≤a ＋b 2求最值的条件剖析：应用基本不等式ab ≤a ＋b 2求最值的条件是一正二定三相等，具体如下：一正：a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误的答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，那么显然这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用基本不等式求f (x )＝x ＋1x的最值．因此，利用基本不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋⎝⎛⎭⎫1－x ≥2(－x )×⎝⎛⎭⎫1－x ＝2，此时有f (x )≤－2.由此看，所求最值的代数式中的各项不都是正数时，要利用变形，先转化为各项都是正数的代数式，再求最值．二定：ab 与a ＋b 有一个是定值．即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误的答案，陷入困境．例如，当x ＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2x x －1是一个与x 有关的代数式，显然这是一个错误的答案．其原因是没有掌握基本不等式求最值的条件，ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝⎣⎡⎦⎤(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.由此看，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．三相等：等号能够成立，即存在正数a ，b 使基本不等式两边相等．也就是存在正数a ，b ，使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误的答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x 中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是基本不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用基本不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x是增函数，所以函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52. 2．与基本不等式有关的常用结论剖析：(1)已知x ，y ∈R ，①若x 2＋y 2＝S (平方和为定值)，则xy ≤S 2，当且仅当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2； ②若xy ＝P (积为定值)，则x 2＋y 2≥2P ，当且仅当x ＝y 时，平方和x 2＋y 2取得最小值2P .(2)已知x ＞0，y ＞0，①若x ＋y ＝S (和为定值)，则xy ≤S 24，当且仅当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24； ②若xy ＝P (积为定值)，则x ＋y ≥2P ，当且仅当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P . 典型例题：题型一比较大小例1：当a ，b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( )A ．a ＋b 2B ．abC ．a 2＋b 22D ．2ab a ＋b 反思：在比较n 个数的大小时，若从中确定一个最小(大)者，则可以把n 个数分组，在每一组中确定一个最小(大)者，再将这些最小(大)者进行比较．由此题的讨论可以看到2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b 大于0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．) 题型二利用基本不等式求最值例2：已知a ＞3，求43a ＋a 的最小值．例3：已知x ，y 均为正数，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．题型三求函数值域例4：求函数y ＝x ＋1x的值域．随堂练习：1．若x ＞0，则4x x +的最小值为( ) A ．2 B ．3C ．22D ．4 2．已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b +的最小值是( ) A ．22B ．322-C ．322+D ．32+3．若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]4．若a ＞b ＞1，lg lg P a b =，lg lg 2a b Q +=，lg 2a b R +=，则下列结论正确的是( ) A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q5．设x ＋3y －2＝0，则函数z ＝3x ＋27y ＋3的最小值是( )A ．233B ．322+C ．6D ．9参考答案基础知识梳理：做一做1： C做一做2： 8典型例题：例1：D【解析】∵a ＞0，b ＞0，a ≠b ，∴a ＋b 2＞ab ， ∵a 2＋b 2＞2ab ，∴a 2＋b 22＞ab ， ∴选项A ，B ，C 中，ab 最小．又a ＋b ＞2ab ＞0，∴2ab a ＋b＜1，由于ab ＞0，两边同乘以ab ，得2ab a ＋b·ab ＜ab ， ∴2ab a ＋b ＜ab ，∴2ab a ＋b最小．例2：解：∵a ＞3，∴a －3＞0.由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3 ≥2·4a －3·(a －3)＋3＝2×4＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号． ∴4a －3＋a 的最小值是7. 例3：解：∵x ，y 均为正数，且1x ＋9y＝1，显然x ＞1， ∴y ＝9x x －1. ∴x ＋y ＝x ＋9x x －1＝x 2＋8x x －1＝(x －1)2＋10(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋10≥2×3＋10＝16. 当且仅当x ＝4时取等号，即(x ＋y ) min ＝16.例4：解：函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x ＞0时，由基本不等式，得y ＝x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立；当x ＜0时，y ＝x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x ). ∵－x ＞0，∴(－x )＋1(－x )≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，∴y ＝x ＋1x≤－2. 综上可知，函数y ＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．随堂练习：1．D2．C3．A4．B5．D。

高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式4

3.4 基本不等式2b a ab +≤3.4 基本不等式ab ≤2b a + [教学目标]1. 探索并了解基本不等式的证明过程。

2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。

3. 能利用基本不等式进行简单的应用。

4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。

5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。

[重点]：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式2b a ab +≤。

[难点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。

[教学方法]：启发、引导、讲解。

[教学准备]：Z+Z 课件[教学过程]：一、导入新课（多媒体展示24届国际数学家大会会标）问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。

）问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。

（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。

）问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。

为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为b a ,。

答：四个全等的直角三角形的面积之和为ab 2，大正方形的面积为22b a +,则 ab b a 222≥+当直角三角形变为等腰直角三角形,即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点时有ab b a 222=+。

问：如何证明 ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+ 当且仅当()02=-b a ，即b a =时取等号。

[板书]：一般的，对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

问：当0,0>>b a 时，以a ，b 代替此式中b a ,的可得到一个什么样的关系式？答：ab b a 2≥+二、.新课探究[板书]：若0,0>>b a ，则2b a ab +≤，当且仅当b a =时取等号。

高中数学必修五教案-3.4 基本不等式(11)-人教A版

3.42a b+≤基本不等式的应用是对有关基本不等式知识的巩固与提高。

其中重点讲解了“和定积最大”、“积定和最小”两个定理（命题）在解决数学最值问题方面的作用，通过例题和练习，让学生掌握这两个定理（命题）成立的前提条件：“一正二定三相等”，从而进一步运用它们解决一些与最值有关的数学问题与实际问题. 【教学目标】：知识与技能: 使学生掌握“和定积最大”、“积定和最小”两个定理（命题）在解决数学最值问题方面的应用过程与方法: 通过例题和练习，让学生掌握这两个定理（命题）成立的前提条件：“一正二定三相等”情态与价值：使学生准确掌握这两个定理（命题）及其成立的前提条件，并会运用它们解决一些与最值有关的数学问题与实际问题【教学重点】：“和定积最大”、“积定和最小”两个定理（命题）在解决数学最值问题方面的应用；【教学难点】：两个定理（命题）成立的前提条件：“一正二定三相等” 【教学方法】：探究启发式分层次教学【教学突破点】：从例题出发，强调两个定理（命题）成立的前提条件：“一正二定三相等”的重要性及应用过程中的注意事项。

【教学过程设计】：1.若a 、b 是正数，则2b a +、ab 、ba ab+2、222b a +这四个数的大小顺序是A.ab ≤2b a +≤ba ab+2≤222b a +B.222b a +≤ab ≤2b a +≤b a ab +2C.b a ab +2≤ab ≤2ba +≤222b a +D.ab ≤2b a +≤222b a +≤ba ab+2解析：可设a =1，b =2，则2b a +=23，ab =2， b a ab +2=34， 222b a +=241+=25=5.2. 答案：C2．设42,=+∈+y x R y x 且，则y x lg lg +的最大值是（）A ．2lg -B ．2lgC ．2lg 2D ．2解析：设42,=+∈+y x R y x 且，则2222=+≤⋅yx y x ，即2≤xy 故y x lg lg +=2lg )lg(≤xy 答案：B3．设1(,=+-∈+）且y x xy R y x ，则x +y 的最小值为_________ 解析：∵2)2(y x xy +≤∴1)(4)(2≥+-+y x y x ， x +y ≥222+ 答案： 222+4.设x ＞0，y ＞0，且xy －（x +y ）=1，则A.x +y ≤22+2B.x +y ≥22+2C.x +y ≤（2+1）2D.x +y ≥（2+1）2解析：∵x ＞0，y ＞0，∴xy ≤（2y x +）2. 由xy －（x +y ）=1得（2y x +）2－（x +y ）≥1. ∴x +y ≥2+22.答案：B5.如果0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x log a y =1，那么xyA.无最大值也无最小值B.有最大值无最小值C.无最大值有最小值D.有最大值也有最小值解析：∵log a x +log a y ≥2y x a a log log =2， ∴log a xy ≥2. ∴0＜xy ≤a 2. 答案：B6.已知正数x 、y 满足x +2y =1，求x 1+y1的最小值. 解析：∵x 、y 为正数，且x +2y =1，∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+yx≥3+22，当且仅当x y 2=yx，即当x =2－1，y =1－22时等号成立.∴x 1+y1的最小值为3+22. 答案：x 1+y 1的最小值为3+22.7.设M =a +21-a （2＜a ＜3），N =log 21（x 2+161）（x ∈R ），那么M 、N 的大小关系是A.M ＞NB.M =NC.M ＜ND.不能确定解析：由2＜a ＜3，M =a +21-a =（a －2）+21-a +2＞2+2=4（注意a ≠1，a ≠3）， N =log 21（x 2+161）≤log 21161=4＜M . 答案：A。