人教版-数学-九年级上册-23.1 图形的旋转 基础训练(含答案)
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（结果保留根号）
10．（2019·益阳）在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度)中，△ABC 的顶点都在 格点上，将△ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其 旋转角的度数是____________．．
11．（2019·随州）如图，在平面直角坐标系中， RtABC 的直角顶点 C 的坐标 为 (1, 0) ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC 2 ．将 ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90 ， 再向左平移 3 个单位，则变换后点 A 的对应点的坐标为______．
（3）如图 3 中，作 AE⊥AP，使得 AE=PA，则易证△APE≌△ACP， ∴PC=BE，
图 3-1 中，当 P、E.B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE=5-3 2 ， 图 3-2 中，当 P、E.B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE=5+3 2 ， ∴5-3 2 ≤BE≤5+3 2 ， 即 5-3 2 ≤PC≤5+3 2 ．
12．（2019·新疆）如图，在△ABC 中，AB=AC=4，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 30°，得 到△ACD，延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为__________
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13 ．（ 2019· 广 州 ） 一 副 三 角 板 如 图 放 置 ， 将 三 角 板 ADE 绕 点 A 逆 时 针 旋 转
y k (k 0, x 0)
段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AC ，反比例函数 x
的图象
经过点 C ．
y k (k 0, x 0)
（1）求直线 AB 和反比例函数 x
的解析式；
y k (k 0, x 0)
（2）已知点 P 是反比例函数 x
图象上的一个动点，求点 P 到直线 AB
8．（2019·泗洪县中考模拟）如图，已知矩形 ABCD，AB＝4，BC＝6，点 M 为矩形内一 点，点 E 为 BC 边上任意一点，则 MA+MD+ME 的最小值为( )
A．3+2 2 B．4+3 3 C．2+2 13 D．10
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二、填空题
9．（2019·镇江）将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位 置（如图），使得点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H ，则 HD ＝_________.
A． ( 3, 1) B． (1, 3) C． (2,0) D． ( 3,0) 7．（2019·宜宾）如图，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，E 是 DC 上一点，DE 1， 将 ADE 绕着点 A 顺时针旋转到与 ABF 重合，则 EF （ ）
A． 41 B． 42 C． 5 2 D． 2 13
（）
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A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
6．（2019·荆门）如图， RtOCB 的斜边在 y 轴上， OC＝ 3 ，含 30 角的顶点与原 点重合，直角顶点 C 在第二象限，将 RtOCB 绕原点顺时针旋转120 后得到 OCB ' ， 则 B 点的对应点 B′ 的坐标是（ ）
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图形的旋转
一、单选题 1．如图，将△ABC 旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC CE B． A DEC C．AB CD D．BC EC
2．（2019·湘潭）如图，将 OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到 OCD 的位置，若 AOB 40 ，则 AOD （ ）
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A．45° B．40° C．35° D．30° 3．（2019·吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则 这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
4．（2019·孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点 P(2,3) 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到点 P ，则 P 的坐标为（ ）
距离最短时的坐标．
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18．如图，在
中，
，
，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合），
连结 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转
连接 BE．
求证：
≌
；
当
时，求 的度数．
得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，
19．（2019·烟台）(1)问题发现
（2）线段 A1B2 如图所示；
S
（3）
ABB2
4
4
1 2
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
2
4
1 2
2
4
6
．
16．解：（1）、∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D，∴△ABD≌△ADE. （2）、∵△ABC≌△ADE， ∴AC 与 AE 是一组对应边， ∴∠CAE 的旋转角， ∵AE=AC，∠AEC=75°， ∴∠ACE=∠AEC=75°， ∴∠CAE=180°—75°—75°=30°
，
， ， ，
在
与
中，
，
≌
；
，
，
，
由 可知：
，
，
，
.
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19．解（1）结论：AD=BE，AD⊥BE． 理由：如图 1 中，
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD， ∠ACB=∠ACD=90°， 在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
AC＝BC ACD＝BCE CD＝CE
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y3 ∴ x；
（2）设与 AB 平行的直线 y 2x h ，
2x b 3
联立
x，
∴ 2x2 bx 3 0 ，
当 b2 24 0 时， b 2 6 ，此时点 P 到直线 AB 距离最短；
∴ P
6, 2
6 ；
18．解 由题意可知：
，
，
(0 90 ) ，使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为______.
14．（2019·巴中）如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP，若 AP 6 ， BP 8 ， CP 10 ．则 S ABP S BPC ＝_______．
三、解答题 15．（2019·江苏）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 A.B 都 在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
A． (3, 2) B． (3, 1) C． (2, 3) D． (3, 2) 5．（2019·内江）如图，在 ABC 中， AB 2 ， BC=3.6 ，B=60 ，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转度得到 ADE ，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为
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如图 1，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D 在一条直线上.
填空:线段 AD，BE 之间的关系为
.
(2)拓展探究
如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，请判断 AD，BE 的关
系，并说明理由.
(3)解决问题
如图 3，线段 PA=3，点 B 是线段 PA 外一点，PB=5，连接 AB，将 AB 绕点 A 逆时针旋转
（1）将线段 AB 向上平移两个单位长度，点 A 的对应点为点 A1 ，点 B 的对应点为点 B1 ， 请画出平移后的线段 A1B1 ； （2）将线段 A1B1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90 ，点 B1 的对应点为点 B2 ，请画出旋转 后的线段 A1B2 ； （3）连接 AB2 、 BB2 ，求 ABB2 的面积．
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16．如图，在△ABC 和△ADE 中，点 E 在 BC 边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， AB＝AD．
（1）试说明△ABC≌△ADE； （2）如果∠AEC＝75°，将△ADE 绕点 A 旋转一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角 的大小．
17．（2019·广西）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A(1,0) ，与 y 轴交于点 B(0, 2) ，将线
17．解：（1）将点 A(1,0) ，点 B(0, 2) ，代入 y mx b ， ∴ b 2, m 2 ， ∴ y 2x 2 ； ∵过点 C 作 CD x 轴， ∵线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AC ， ∴ ABO ≌ CAD （ AAS ）， ∴ AD AB 2 ， CD OA 1 ， ∴ C(3,1) ， ∴k 3，
90°得到线段 AC，随着点 B 的位置的变化，直接写出 PC 的范围.
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答案
1．D 2．D 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B
9． 2 1
10．90°
11． (2, 2)
12． 2 3 2
13．15°或 60°.
14． 24 16 3
15．解（1）线段 A1B1 如图所示；
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠EBC=∠CAD 延长 BE 交 AD 于点 F， ∵BC⊥AD， ∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即 AD⊥BE． ∴AD=BE，AD⊥BE． 故答案为 AD=BE，AD⊥BE． （2）结论：AD=BE，AD⊥BE． 理由：如图 2 中，设 AD 交 BE 于 H，AD 交 BC 于 O．
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE，
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在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
AC＝BC ACD＝BCE CD＝CE ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠CAD=∠CBE， ∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠OHB=90°， ∴AD⊥BE， ∴AD=BE，AD⊥BE．
10．（2019·益阳）在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度)中，△ABC 的顶点都在 格点上，将△ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其 旋转角的度数是____________．．
11．（2019·随州）如图，在平面直角坐标系中， RtABC 的直角顶点 C 的坐标 为 (1, 0) ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC 2 ．将 ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90 ， 再向左平移 3 个单位，则变换后点 A 的对应点的坐标为______．
（3）如图 3 中，作 AE⊥AP，使得 AE=PA，则易证△APE≌△ACP， ∴PC=BE，
图 3-1 中，当 P、E.B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE=5-3 2 ， 图 3-2 中，当 P、E.B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE=5+3 2 ， ∴5-3 2 ≤BE≤5+3 2 ， 即 5-3 2 ≤PC≤5+3 2 ．
12．（2019·新疆）如图，在△ABC 中，AB=AC=4，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 30°，得 到△ACD，延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为__________
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13 ．（ 2019· 广 州 ） 一 副 三 角 板 如 图 放 置 ， 将 三 角 板 ADE 绕 点 A 逆 时 针 旋 转
y k (k 0, x 0)
段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AC ，反比例函数 x
的图象
经过点 C ．
y k (k 0, x 0)
（1）求直线 AB 和反比例函数 x
的解析式；
y k (k 0, x 0)
（2）已知点 P 是反比例函数 x
图象上的一个动点，求点 P 到直线 AB
8．（2019·泗洪县中考模拟）如图，已知矩形 ABCD，AB＝4，BC＝6，点 M 为矩形内一 点，点 E 为 BC 边上任意一点，则 MA+MD+ME 的最小值为( )
A．3+2 2 B．4+3 3 C．2+2 13 D．10
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二、填空题
9．（2019·镇江）将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位 置（如图），使得点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H ，则 HD ＝_________.
A． ( 3, 1) B． (1, 3) C． (2,0) D． ( 3,0) 7．（2019·宜宾）如图，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，E 是 DC 上一点，DE 1， 将 ADE 绕着点 A 顺时针旋转到与 ABF 重合，则 EF （ ）
A． 41 B． 42 C． 5 2 D． 2 13
（）
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A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
6．（2019·荆门）如图， RtOCB 的斜边在 y 轴上， OC＝ 3 ，含 30 角的顶点与原 点重合，直角顶点 C 在第二象限，将 RtOCB 绕原点顺时针旋转120 后得到 OCB ' ， 则 B 点的对应点 B′ 的坐标是（ ）
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图形的旋转
一、单选题 1．如图，将△ABC 旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC CE B． A DEC C．AB CD D．BC EC
2．（2019·湘潭）如图，将 OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到 OCD 的位置，若 AOB 40 ，则 AOD （ ）
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A．45° B．40° C．35° D．30° 3．（2019·吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则 这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
4．（2019·孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点 P(2,3) 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到点 P ，则 P 的坐标为（ ）
距离最短时的坐标．
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18．如图，在
中，
，
，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合），
连结 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转
连接 BE．
求证：
≌
；
当
时，求 的度数．
得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，
19．（2019·烟台）(1)问题发现
（2）线段 A1B2 如图所示；
S
（3）
ABB2
4
4
1 2
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
2
4
1 2
2
4
6
．
16．解：（1）、∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D，∴△ABD≌△ADE. （2）、∵△ABC≌△ADE， ∴AC 与 AE 是一组对应边， ∴∠CAE 的旋转角， ∵AE=AC，∠AEC=75°， ∴∠ACE=∠AEC=75°， ∴∠CAE=180°—75°—75°=30°
，
， ， ，
在
与
中，
，
≌
；
，
，
，
由 可知：
，
，
，
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19．解（1）结论：AD=BE，AD⊥BE． 理由：如图 1 中，
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD， ∠ACB=∠ACD=90°， 在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
AC＝BC ACD＝BCE CD＝CE
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y3 ∴ x；
（2）设与 AB 平行的直线 y 2x h ，
2x b 3
联立
x，
∴ 2x2 bx 3 0 ，
当 b2 24 0 时， b 2 6 ，此时点 P 到直线 AB 距离最短；
∴ P
6, 2
6 ；
18．解 由题意可知：
，
，
(0 90 ) ，使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为______.
14．（2019·巴中）如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP，若 AP 6 ， BP 8 ， CP 10 ．则 S ABP S BPC ＝_______．
三、解答题 15．（2019·江苏）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 A.B 都 在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
A． (3, 2) B． (3, 1) C． (2, 3) D． (3, 2) 5．（2019·内江）如图，在 ABC 中， AB 2 ， BC=3.6 ，B=60 ，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转度得到 ADE ，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为
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如图 1，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D 在一条直线上.
填空:线段 AD，BE 之间的关系为
.
(2)拓展探究
如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，请判断 AD，BE 的关
系，并说明理由.
(3)解决问题
如图 3，线段 PA=3，点 B 是线段 PA 外一点，PB=5，连接 AB，将 AB 绕点 A 逆时针旋转
（1）将线段 AB 向上平移两个单位长度，点 A 的对应点为点 A1 ，点 B 的对应点为点 B1 ， 请画出平移后的线段 A1B1 ； （2）将线段 A1B1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90 ，点 B1 的对应点为点 B2 ，请画出旋转 后的线段 A1B2 ； （3）连接 AB2 、 BB2 ，求 ABB2 的面积．
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16．如图，在△ABC 和△ADE 中，点 E 在 BC 边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， AB＝AD．
（1）试说明△ABC≌△ADE； （2）如果∠AEC＝75°，将△ADE 绕点 A 旋转一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角 的大小．
17．（2019·广西）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A(1,0) ，与 y 轴交于点 B(0, 2) ，将线
17．解：（1）将点 A(1,0) ，点 B(0, 2) ，代入 y mx b ， ∴ b 2, m 2 ， ∴ y 2x 2 ； ∵过点 C 作 CD x 轴， ∵线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AC ， ∴ ABO ≌ CAD （ AAS ）， ∴ AD AB 2 ， CD OA 1 ， ∴ C(3,1) ， ∴k 3，
90°得到线段 AC，随着点 B 的位置的变化，直接写出 PC 的范围.
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答案
1．D 2．D 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B
9． 2 1
10．90°
11． (2, 2)
12． 2 3 2
13．15°或 60°.
14． 24 16 3
15．解（1）线段 A1B1 如图所示；
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠EBC=∠CAD 延长 BE 交 AD 于点 F， ∵BC⊥AD， ∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即 AD⊥BE． ∴AD=BE，AD⊥BE． 故答案为 AD=BE，AD⊥BE． （2）结论：AD=BE，AD⊥BE． 理由：如图 2 中，设 AD 交 BE 于 H，AD 交 BC 于 O．
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE，
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在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
AC＝BC ACD＝BCE CD＝CE ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠CAD=∠CBE， ∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠OHB=90°， ∴AD⊥BE， ∴AD=BE，AD⊥BE．