高考数学一轮复习教学案数学归纳法(理)(含解析)

第七节

数学归纳法(理)

[知识能否忆起]

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

[小题能否全取]

1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3

D ．n ＝4

答案：C

2．(教材习题改编)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1

n ＝

2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1

2n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )

A ．n ＝k ＋1时等式成立

B ．n ＝k ＋2时等式成立

C ．n ＝2k ＋2时等式成立

D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立

解析：选B 因为n 为偶数，故假设n ＝k 成立后，再证n ＝k ＋2时等式成立． 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )

A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

解析：选D 由f (n )可知，共有n 2－n ＋1项，且n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

.

4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋

1＝2n ＋

2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________．

答案：1＋2＋22

5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1

2n －11)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，

推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________．

解析：当n ＝k 时，不等式为1＋12＋13＋…＋1

2k －1

则n ＝k ＋1时，左边应为：

1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋1

2k ＋1－1 则增加的项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k . 答案：2k

数学归纳法的应用

(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．

用数学归纳法证明恒等式

典题导入

[例1] 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1

n

(n ∈N *)．

求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． [自主解答] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2⎝⎛⎭

⎫1＋1

2－1＝1，

左边＝右边，等式成立．

(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时，

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k

＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．

由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．

由题悟法

用数学归纳法证明等式的规则

(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．

(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n 0是多少，同时第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1时要充分利用假设，不利用n ＝k 时的假设去证明，就不是数学归纳法．

以题试法

1．用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，

11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n

2n ＋1

. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝1

3，左边＝右边，所以等式成

立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k

2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，

11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝

k 2k ＋1＋1

(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝

2k 2＋3k ＋1

(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1，

所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．

用数学归纳法证明不等式

典题导入

[例2] 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x

＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．

(1)求r 的值；

(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1

b n

＞n ＋1成立． [自主解答] (1)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)． 由于b ＞0且b ≠1，

所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，

∴a 2

a 1＝

b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明：由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，

所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n

＞

n ＋1.