2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节 立体几何中的向量方法

第七节 立体几何中的向量方法

一、空间向量与平行关系

【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义

直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？

【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1

2

，试建立适当的坐标系．

(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．

【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点

(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．

(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的

一个法向量．

(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.

[练习1]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3­2­2所示的空间直角坐标系中，求：

图3­2­2

(1)平面BDD1B1的一个法向量；

(2)平面BDEF的一个法向量．

【知识点12】空间中平行关系的向量表示

【类型一】用向量证明线线平行

【例1】如图3­2­3所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．

图3­2­3

11111111

2EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.

【类型二】用向量证明线面平行

【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．

【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.

【类型三】利用向量证明面面平行

【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.

【练习3】如图3­2­9，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?

图3­2­9

二、空间向量与垂直关系

【知识点13】空间中垂直关系的向量表示

【类型一】用向量证明线面垂直

【例1】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．

求证：AB1⊥平面A1BD．

【练习1】如图3­2­15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.

图3­2­15

【类型二】用向量法证明面面垂直

【例2】如图3­2­12所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．

＝2BD．

求证：平面DEA⊥平面ECA．

三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法

【类型一】求两条异面直线所成的角

【例1】如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．

θ＝φθ＝π－φ

点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？

【类型二】求直线与平面所成的角

【例2】如图，四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面P AB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

【练习2】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，平面P AD

⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.

(1)求证：PD ⊥平面P AB ．

(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．

(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM

AP 的值；若不存在，

说明理由．

【类型三】求二面角

【例3】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A ­PB ­C 的余弦值.

旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．

图3­2­24

(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；

(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E ­AG ­C 的大小．