2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节 立体几何中的向量方法

第七节 立体几何中的向量方法
一、空间向量与平行关系
【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义
直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？
【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．
【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的
一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
[练习1]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3­2­2所示的空间直角坐标系中，求：
图3­2­2
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
【知识点12】空间中平行关系的向量表示
【类型一】用向量证明线线平行
【例1】如图3­2­3所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
图3­2­3
11111111
2EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.
【类型二】用向量证明线面平行
【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
【类型三】利用向量证明面面平行
【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
【练习3】如图3­2­9，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?
图3­2­9
二、空间向量与垂直关系
【知识点13】空间中垂直关系的向量表示
【类型一】用向量证明线面垂直
【例1】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
【练习1】如图3­2­15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图3­2­15
【类型二】用向量法证明面面垂直
【例2】如图3­2­12所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
＝2BD．
求证：平面DEA⊥平面ECA．
三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法
【类型一】求两条异面直线所成的角
【例1】如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
θ＝φθ＝π－φ
点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？
【类型二】求直线与平面所成的角
【例2】如图，四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面P AB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【练习2】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，平面P AD
⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.
(1)求证：PD ⊥平面P AB ．
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．
(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM
AP 的值；若不存在，
说明理由．
【类型三】求二面角
【例3】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A ­PB ­C 的余弦值.
旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．
图3­2­24
(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；
(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E ­AG ­C 的大小．
【练习4】如图，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D­GH­E的余弦值．
四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)
【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中
点，求点A到平面EFG的距离．
【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1
的中点，DG＝
1
3DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
点到平面的距离：
先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，
设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：
d＝
|PP0
→
·n|
|n|＝
|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|
a2＋b2＋c2
.
注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。