第4章-电磁波的传播

第四章 电磁波的传播1.考虑两列振幅、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振平面波，沿z 轴方向传播。

(a)求合成波，证明波振幅非常数，而是一个波；(b)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

解：设两列波的电场表达式分别为：)cos()(),(1101t z k t ω-=x E x E ；)cos()(),(2202t z k t ω-=x E x E则，合成波为12121212120(,)(,)2()cos()cos()2222k k k k t t z t z t ωωωω++--=+=--E E x E x E x其中dk k k +=1，dk k k -=2；ωωωd +=1，ωωωd -=2所以002()cos()cos(d d )2()exp[()]cos(d d )kz t k z t i kz t k z t ωωωω=-⋅-⋅=-⋅-⋅E E x E x 相速由t kz ωφ-=确定：d d p z v tkω==；群速由t d z dk ⋅-⋅=ωφ'确定，d d d d g z v tkω==2.平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场垂直于入射面，求反射系数和折射系数。

解：根据折射定律222111sin sin "n μεθθμε==,可得：30θ''=o据菲涅耳公式得:21212cos cos "23cos cos "23R εθεθεθεθ⎛⎫--==⎪⎪++⎝⎭,23123T R =-=+3.可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。

该波在空气中的波长为501028.6-⨯=λcm ，水的折射率为n =1.33。

解：由折射定律得，临界角1arcsin 48.75601.33c θθ⎛⎫==︒<=︒⎪⎝⎭，所以，将会发生全反射。

由于sin 90sin x k k θ''=o ，所以折射波相速度3sin sin sin 2p xv c v c k k n ωωθθθ''=====''水透入空气的深度为15122211.7102sin nλκπθ--=≈⨯-cm4.频率为ω的电磁波在各向异性介质中传播时，若H B D E ,,,仍按)(t i e ω-⋅x k 变化，但D 不再与E 平行。

(a)证明0=⋅=⋅=⋅=⋅E B D B D k B k ，但一般0≠⋅E k ;(b)证明22[()]k ωμ-⋅=E k E k D ;(c)证明能流S 与波矢k 一般不在同一方向上。

证明：(a)由0∇⋅=B ，得：0)(0)(0=⋅=⋅=∇⋅=⋅∇-⋅-⋅B k B k B B x k x k i e i e t i t i ωω，0=⋅∴B k ，可知：B k ⊥由()()000i t i t e i e i ωω⋅-⋅-∇⋅⋅∇=⋅=⋅=k x k x D =D k D k B 得：0=⋅D k ，可知：⊥k D 由D H k H H x k ωωi i e t i -=⨯=⨯∇=⨯∇-⋅0)(][，得()0ωμ⋅⨯⋅=-=B k B B D ，可知：B D ⊥由B E k E E x k ωωi i e t i -=⨯=⨯∇=⨯∇-⋅0)(][，得()0ω⨯⋅⋅==k E EB E ，可知：B E ⊥易知D E k ,,共直于B 的面，又D k ⊥，所以，当且仅当D E //时，k E ⊥。

所以，一般0≠⋅E k 。

(b)222()()k ωμωμ⨯⨯-⋅=-=k k E E k E kD(c)由于ωμ⨯=k EH ，2()()E ωμωμ⨯⨯-⋅=⨯==E k E k k E ES E H由于一般情况下0≠⋅E k ，所以能流S 与波矢k 一般不在同一方向上。

5.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z 轴传播，一个波沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，但相位比前者超前2π，求合成波的偏振。

反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？ 解：x 方向偏振波：)cos()cos(000x x t A kz t A E ϕωω-=-=y 方向偏振波：000cos(/2)cos()y y E A t kz A t ωπωφ=-+=-，且2/00πϕϕϕ=-=∆x y 合成得：2222222220000000[cos ()cos ()][cos ()sin ()]x y x y x x E E A t t A t t A ωφωφωφωφ+=-+-=-+-= 所以，合成的振动是一个圆频率为ω的沿z 轴方向传播的右旋圆偏振。

反之，圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同幅，同频，相位差为2π的线偏振的合成。

6.平面电磁波垂直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。

证明：导体中电磁波的电场表达式：)(0t x i z e e ωβα--=E E ，再由()i βαωμωμ⨯+⨯==k En EH单位时间内由z =0表面的单位面积进入导体的电磁波S 的平均值为212R e(*)2E S βωμ=⨯=E H在导体内部：)(0t x i z e e ωβασσ--==E E J ，金属导体焦耳热：2211022d R e(*)z Q Ee ασ-=⨯=J E作积分：2222001d 242zE E Q Eez S ασβσαωμ∞-====⎰。

7.已知海水的1=r μ，1=σS·m -1，计算频率ν为50，106和109Hz 的三种电磁波在水中的透入深度。

解：透射深度为：πνμσωμσαδ/1/2/1===，由于1=r μ，所以0μμ=，σπνμδ0/1=(a)当50=νHz 时,72110450/171=⨯⨯⨯⨯=-ππδm (b)当610=νHz 时,5.0110410/1762≈⨯⨯⨯⨯=-ππδm(c)当910=νHz 时,16110410/1793≈⨯⨯⨯⨯=-ππδmm8.平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为1θ。

求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。

若导电介质为金属，结果如何？提示：导电介质中波矢量αβk i +=，α只有z 分量。

解：设导体中的电磁波表示为：()()00i t i t e e eωω⋅--⋅⋅-==k x αx βx E E E 由11111sin sin x x x x k i k k c βαθωθ-=+===，01==+=y y y y k i k αβ 于是0=x α，c x /)sin (1θωβ=，0=y α，0=y β； 又，由于()222222i i iσωμεω⎛⎫=+=-+⋅+ ⎪⎝⎭k βαβαβα=，得222ωμε-βα=，22σωμ⋅βα=从而μεωαβθω222221/)sin (=-+z z c ；2/ωμε=z z βα 解得：21222221222122222])sin [(21)sin (21σμωμεωθωθωμεωβ+-+-=ccz21222212222122222])sin [(21)sin (21σμωθωμεωθωμεωα+-+--=ccz其相速度为：22xzv ωωβββ==+，衰减深度为：11zδαα==如果是良导体，2k 的实部与其虚部相比可忽略，即：⎩⎨⎧==-+2/0/)sin (22221ωμεαβθωz z z z βαc解得241224222211241sin (sin )22zc c ωωβθθωμσ=-++；21222144412222)sin (21sin 2σμωθωθωα++=c cz9.无限长的矩形波导管，在z=0处被理想导体板封闭，求在-∞=z 到z=0这段管内可能存在的波模。

解：电磁波的传播满足亥姆霍兹方程：022=+∇E E k ，00εμω=k ，0=⋅∇E电场通解为：)cos sin )(cos sin )(cos sin (),,(332211z k D z k C y k D y k C x k D x k C z y x E z z y y x x +++= 边界条件为：在0=x 及a x =两平面：0==z y E E ，0/=∂∂x E x在0=y 及b y =两平面：0==z x E E ，0/=∂∂y E y 在0=z 平面：0==y x E E ，0/=∂∂z E z可得： z k y k x k A E z y x x sin sin cos 1=；z k y k x k A E z y x y sin cos sin 2=；z k y k x k A E z y x z cos sin sin 3= 波数满足：a m k x /π=，b n k y /π=，(⋅⋅⋅⋅⋅⋅=2,1,0,n m )，22002222/c k k k z y x ωεμω==++ 振幅满足：0//321=++z k A b n A a m A ππ10.电磁波)(),(),,,(t z k i ze y x t z y x ⋅-=ωE E 在波导中沿z 方向传播，用H E 0ωμi =⨯∇及E H 0ωεi -=⨯∇，证明电磁场所有分量都可用),(y x E x 及),(y x H z 这两个分量表示。

证明：电场和磁场可分别写作：)(),(),,,(t z i ze y x t z y x ω-=k E E ，)(),(),,,(t z i ze y x t z y x ω-=kH H由麦氏方程组得：H B E 0/ωμi t =∂-∂=⨯∇，E E H 00/ωεεi t -=∂∂=⨯∇写成分量式：x z z z y z H i E ik y E z E y E 0///ωμ=-∂∂=∂∂-∂∂x yz z yz E i Hik y H z Hy H 0///ωε-=-∂∂=∂∂-∂∂消去H x 得：)/(/)//(2220z z z z y k c i y E k x H E -∂∂-∂∂=ωωμ 消去E y 得：)/(/)//(2220z z z z x k c i y E x H k H -∂∂+∂∂-=ωωεyz x z z x H i x E E ik x E z E 0///ωμ=∂∂-=∂∂-∂∂zx y Hi y E x E 0//ωμ=∂∂-∂∂消去H y 得：)/(/)//(2220z z z z x k c i x E k y H E -∂∂-∂∂-=ωωμ 消去E x 得：)/(/)//(2220z z z z y k c i x E y H k H -∂∂-∂∂-=ωωε11.写出矩形波导管内磁场H 满足的方程及边界条件。