《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算

判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
再如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x , x 1
(4)
y
f (x)
1 2
,
x 1
y
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
o
x
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
o
x
★ 狄利克雷函数
y
D(
y
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
x x 0 0
即
这说明
在
同样可证: 函数
内连续 .
在
内连续 .
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例2
试证函数
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
例3
讨论函数
f (x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
1 2
x1
o
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f (x)
x
0
1
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
1x
y
1
o
x
1
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例7 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
x)
1, 0,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点.
★
f
(
x)
x, x,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(Px)(
x x0
x0R) (
x0c)ontinue
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对自变量的增量
有函数的增量
函数 在点 连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f (x0 )
y y f (x)
四、讨论函数
1 x2n f ( x) lim
的连续性，若有间断
n 1 x 2n
点，判断其类型 .
五、试确定 a, b 的值,使 f ( x) e x b ， ( x a)( x 1)
（1）有无穷间断点x 0 ；（2）有可去间断点 x 1 .
练习题答案
一、1、一类,二类； 2、一类,一类,二类.
间断点分类:
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存Байду номын сангаас ,
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
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例4
讨论函数
f
(
x)
x, 1 x,
练习题
一、填空题： 1、指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . 2、指出 y x 2 x 在 x 0 是第________类间 x ( x 2 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1
二、研究函数 f ( x) 1, x 1 的连续性，并画出函数 的图形 .
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(
x)
x 3
1, x,
x x
1在 1
xR
上
.
2、 f ( x) x ,在x R 上 . tan x
x
振荡型
思考与练习
1. 讨论函数
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
2. 设 连续函数.
提示:
时为
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补充题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
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作业P70 1（1）、2（1，4）、3
连续性.
二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 不连续 :
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数 在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点 称为间断点 .
存在 , 但
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2
(k
0,1,2,).
2
x, x 1
四 、 f ( x) 0, x 0 x 1 和 x 1 为 第 一 类 间 断 点 .
x, x 1
五、(1)a 0, b 1;
(2)a 1, b e .
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如, 在
( 有理整函数 ) 上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
二、 f ( x)在(,1)与(1,)内连续, x 1为跳跃间 断点.
三、1、x 1为第一类间断点；
2、 x k 为可去间断点, 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1(
x)
x tan
x
,
x
k,
k
2
1, x 0
(k 0,1,2,),
f2(
x)
x tan 0, x
, x k,k x k
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续 右连续
x
o x0 x x
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0) y
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例.1 证明函数
在
内连续 .
证: x (, )
y sin(x x) sin x
第七节（2-1）
第一章
函数的连续性与
连续函数的运算
一、函数的连续性
二、函数的间断点 三、小结、思考题
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一、 函数连续性的定义
定义: 设函数
在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
内容小结
在点 连续的等价形式
左连续 右连续
在点 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
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第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o