第六讲 图论(精选)
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
第6讲 第三章 电阻电路的一般分析(一)
2. 独立方程的列写
1.从电路的n个结点பைடு நூலகம்任意选择n-1个结点列写KCL方程 2.选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程
n=4 b=6
当一条支路仅含电流源而不存 在与之并联的电阻时，无法将 支路电压以支路电流表示
元件VCR
KCL
求解
KVL
3. 支路电流方程的列写步骤
• 标定各支路电流（电压）的参考方向； • 从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 • 选择基本回路，结合元件的特性方程列写b-(n-1)个KVL方程 求解上述方程，得到b个支路电流； • 进一步计算支路电压和进行其它分析 需要注意的是： 支路电流法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程列写 方便、直观，但方程数较多，宜于利用计算机求解。人工 计算时，适用于支路数不多的电路。 若将支路的电流用支路电压表示，然后带入KCL方程，连 同支路电压的KVL方程，可以得到以支路电压为变量的b个方程 ——支路电压法
第六讲 电阻电路的一般分析 （一）
• 知识点:
1. 电路的图 2. KCL和KVL的独立方程数 3. 支路电流法、网孔电流法
• 教学目标:
1. 了解电路分析中一些常用的名词 2. 掌握KCL和KVL的独立方程数及其在电路求解中的应用 3. 理解支路电流法、网孔电流法进行电路分析的一般思路
1
电路的图
-I1-I2+I3=0 7I1-11I2+35I3=70 11I2-28I3=0
支路电流法特点： • 支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况下可以 使用，由于支路电流法需要同时列写KCL和KVL方程，方程 数较多，且规律性不强，手工求解比较繁琐，也不便于计算 机编程求解。
网孔电流法
图论(详细)
在各种各样的图中，有一类图是十分 简单又非常具有应用价值的图，这就是树。 例3：已知有六个城市，它们之间 要 架设电话线，要求任意两个城市均可以互 相通话，并且电话线的总长度最短。
如果用六个点v1…v6代表这六个城市， 在任意两个城市之间架设电话线，即在相应 的两个点之间连一条边。这样，六个城市的 一个电话网就作成一个图。由于任意两个城 市之间均可以通话，这个图必须是连通图。 并且，这个图必须是无圈的。否则，从圈上 任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市 的一个电话网。图8是一个不含圈的连通图， 代表了一个电话线网。
有向图：关联边有方向. 弧：有向图的边a=(u ,v),起点u,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且各 方向一致,则称之为从u到v的路； 初等路: 各顶点都不相同的路；
初等回路: u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是 无向连通图; 强连通图：任两点有路;
2.树和最小支撑树
v1 v6
v3
v5
图3
从以上的几个例子可以看出，我们用点和 点之间的线所构成的图，反映实际生产和 生活中的某些特定对象之间的特定关系。 一般来说，通常用点表示研究对象用点与 点之间的线表示研究对象之间的特定关系。 由于在一般情况下，图中的相对位置如何， 点与点之间线的长短曲直，对于反映研究 对象之间的关系，显的并不重要，因此， 图论中的图与几何图，工程图等本质上是 不同的。
v3
v5
v1 v6 v2
a
v1
v6
v2
b
v4
图10
v4
显然,如果图K=( V, E’ )是图G=(V, E)的一个 支撑树,那么K 的边数是p(G)-1，G中不属于 支撑树K的边数是q(G)-p(G)+1。 定理8.7 一个图G有支撑树的充要条件是G是 连通图
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
运筹学第06章图论概述
v1
v2
v5
0 2 0 0 1 2 0 1 1 0 A 0 1 0 2 0
v3
v4
0 1 2 0 1
1 0 0 1 1
图的存储方式(3)
该问题已经证明无解
A D
B
图的基本概念(1)
图：顶点和边的集合 点的集合用V表示，边的集合用E表示，则图可以表示为G=(V, E) 如下图
A
e6
e5
G=(V, E)
e1
其中，V={A, B, C, D}
E={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 }
C
e3
D E中，e1=(A, D), e2=(B, D), e3=(C, D)
书上介绍的三种算法，不需要明确的划分阶段，较为适合计算机运算
狄克斯拉(Dijkstra)算法(1)
该算法有两个依据 从v1 到vn 的最短路线也是从vn 到v1 的最短路线 对于无向图必定成立 对于有向图而言，vn 到v1 的最短路线是指将图中弧的方向反过来，但权 值不变时的最短路线 以vn 为起点，v1 为终点应用动态规划的最优性原理 第一条依据保证了按这种方法求得的结果是从v1 到vn 的最短路线
狄克斯拉(Dijkstra)算法(3)
该算法适用于无负初等回路的赋权连通图(有向图或无向图皆可)，但算法本身 不能判定图中是否存在负初等回路
因此，该算法一般应用于无负权值的赋权连通有向图或无向图
示例(6.1-1)
路线图如下所示，箭头表示通行方向，线上数字表示道路长度，试用 Dijkstra 算法求s到t的最短路线
图论的介绍ppt课件
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
《图论的介绍》课件
图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
图论——精选推荐
图论问题一． 基本概念1．图的定义：由若干个不同的顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形叫做图。
用G 表示图，用V 表示所有顶点的集合，E 表示所有边的集合，并且记作G=（V ，E ）． 2．同构图：如果两个图G 与G '‘的顶点之间可以建立起一一对应，并且当且仅当G 的顶点v i 与v j 之间有k 条边相连时，G ’的相应顶点j i v v ''与之间也有k 条边相连，就认为G 与G '是相同的，称G 与G '是同构的图． 2．子图：如果对图G E E ,V V )E ,V (G )E ,V (G '⊆'⊆'''='=，则称有与是G 的子图． 3．其它有关概念：（1）若在一个图G 中的两个顶点j i v v 与之间有边e 相连，则称点j i v v 与是相邻的，否则就称j i v v 与是不相邻的．（2）如果顶点v 是边e 的一个端点，称点v 与边e 是相邻的．（3）如果顶点本身也有边相连，这样的边称为环．如果连接两个顶点的边可能不止一条，若两个顶点之间有k )2k (≥条边相连，则称这些边为平行边．（4）如果一个图没有环，并且没有平行边，这样的图称为简单图．竞赛中的图论问题涉及到的图一般都是简单图．（5）如果一个简单图中，每两个顶点之间都有一条边，这样的图称为完全图，通常将有n 个顶点的完全图记为n K ．（6）在图G=(V ,E)中，顶点个数|V|和边数|E|都是有限的，则称图G 是有限图；如果|V|或|E|是无限的，则称G 为无限图．1v 2v 4v 3v 1v '2v 3'4v '1v ''2v ''3v ''4v ''1G 2G 3G二．例题精选1．设S 为平面上的一个有限点集（含点数不少于5），若其中若干个点涂红色，其余点涂上兰色，又设任何三个同色点不共线，求证：存在一个同色三角形，且它至少有一条边不含另一种颜色． 证明：无穷递降法2．若平面上有997个点，如果两点连成一条线段，且中点涂成红色，证明：平面上至少有1991个红点，试找到正好是1991个红点的特例．证明：设997个点中M 、N 之间的距离最大，以M 、N 为圆心，2MN为半径作圆，如图，设P 为其它995 个点中的任意一个点，则PM 、 PN 的中点R 、Q 都在圆M 、 N 内，且这些点个不相同，所以至少有995×2+1=1991个点．特例：在x 轴上横坐标依次为1，2，3，．．．，997的997个点，满足题设条件．3．正六边形被分为24个全等的三角形，在图中的19个结点处写上不同的数，证明：在24个三角形中，至少有7个三角形，其顶点处的三个数是按逆时针方向递增顺序书写的．证明：（１）正六边形的12（2）一个逆三角形有2条逆边，一个顺三角形有1条逆边；（3）除掉正六边形的边，图中有（24×3-12）÷2=30条边，没条边恰好是一个三角形的一条逆向边．综上，设24个三角形中有m 个逆三角形，n 个顺三角形，则有731224≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+=+m n m n m ，得证． RRRBBBMNPR QE 逆三角形顺三角形1231234．在正n 边形中，要求其每条边及每条对角线都染上任一种颜色，使得这些线段中任意两条有公共点的染不同颜色，为此，至少需要多少种颜色？的n 需要n 种颜色．当n=3 当n>3时，作正n 设MN 是另外一条边或对角线，若MN//BC ，则将MN 染成与BC 同色；若BC MN //，过A 引直线直线m//MN ，交圆于K ，则弧KN=弧AM ，所以K 也是正n 边形的顶点，即AK 是由A 出发的边或对角线，将MN 染成与AK 同色，所以n 种颜色足够了．5．某次大型活动有2003人参加，已知他们每个人都至少和其中的一个人握过手，证明：必有一个人至少和其中的两个人握过手． 证明：从5个点开始考虑奇数个点即可． 如图6．现有九个人，已知任意三人中总有两个人互相认识，证明：必有四人互相之间都认识． 证明：9个顶点的简单图，利用抽屉原理7．有n 名选手n 21A ,,A ,A 参加数学竞赛，其中有些选手是互相认识的，而且任何两个不相识的选手都恰好有两个共同的熟人，若已知选手21AA 与是互相认识，但他们没有共同的熟人，证明他们的熟人一样多．M NEP Q∙R∙1A 2A 3A 4A 5A KMNA1A 2A )(2A n )(1A n iA jA 1A 2A )(2A n )(1A n iA jA 'jA 'i A证明：的熟人一一对应与21A A8．有n （n>3）个人，他们之间有些人互相认识，有些人互相不认识，而且至少有一个人没有与其他人都认识，问与其他人都认识的人数的最大值是多少？解：作图G ：用n 个点表示这n 个人，当两人认识，则在两相应顶点之间连一线，否则之间不连线．由于至少有一个人与其他人不认识，所以图G 中至少有两点之间没连线，设21A A 与之间没连线，则图G 的边数最多时，G 为21A A K n -，故最大值为n-2．9．次会议有n 名教授n 21A ,A ,A 参加，证明可以将这n 个人分为两组，使得每一个人A i 在另一组中认识的人数不少于他在同一组中认识的人数．证明：用n 个点n A A A ,,,21 表示这n 名教授，并在相互认识的人之间连一条边，且将同一组间的连线染成红色，不同组之间的线染成蓝色．将这n 个点任意分成两组，只有有限种分法．考虑在两组之间的蓝线条数S ，其中必存在一种分法，使S 达到最大值，此时有i A 在两组内引出的边的条数分别为),,2,1,(,n i l l l l i i i i ='≥'，否则，若对i A 有'<i i l l ，将i A 调到另一组，S 增加了i i l l -'条，矛盾，得证．10．有三所中学，每所有学生n 名，每名学生都认识其他两所中学的n+1名学生，证明：从每所中学可以选出一名学生，使选出来的3名学生互相认识．证：用3n 个顶点表示这些学生，三所中学的学生组成的三个顶点集合分别记为A 、B 、C ，设M 和N 是两所不同学校的学生，而且是互相认识的，则在M 与N 之间连一线，得一个简单图．记A 中的元素x 在B 、C 中的相邻元素个数为k 和l ，则k+l =n+1．设k 与l 中大的记作m(x)，让x 跑遍A ，m(x)的最大值记作A m ，同理记C B m m ,分别为集合B 、C 中的所有元素在另两个集合中相邻元素个数的最大值．记m 是A m ，C B m m ,中最大者，不妨设m=A m ，且的顶点相邻的顶点集和中和使得100,B x B A x ∈数为m ，于是C 中与000,11x C z m n x 与设相邻的顶点数为∈≥-+相邻．如果有中中的一个三角形．若是相邻，则与1000010B G z y x z B y ∆∈每一个y 与中相邻与．因此，相邻的顶点数与都不相邻，则A z m n z B z 000-≤的顶点数1)(1+=--+≥m m n n 与m 的最大性矛盾，得证．三．巩固练习1．有n 个药箱，每个药箱里有一种相同的药，每种药恰好在两个药箱里出现，问有多少种药？)1(21-n n 2．18个队进行比赛，每一轮中每一个队与另一个队比赛一场，并且在其他轮比赛中这两个已赛过的队彼此不再比赛，现在比赛已进行完8轮，证明一定有三个队在前8轮比赛中，彼此之间尚未比赛过．3．某次会议有n 名代表出席，已知任意的四名代表中都有一个人与其余的三个人握过手，证明任意的四名代表中必有一个人与其余的n-1名代表都握过手．4．空间１８个点，任三点不共线，它们的两两连线染上红色或兰色，每条线段仅染一色．试证明其中一定存在一个同色的完全四边形．图论问题（二）用图论解决问题躲基本思路：把要考察的对象作为顶点，把对象之间是否具有我们所关注的某种关系作为顶点连边地条件．这样，就可以把一个具体问题化归成图论问题，用图论的理论和方法进行探讨，即使在图论中没有现成定理直接给出问题的解答，也可以（1）借助图论的分析方法拓宽解题思路；（2）把抽象的问题化为直观问题；（3）把复杂的逻辑关系问题化为简明的数量分析问题。
图论知识点总结
图论知识点总结•对应简单图的度序列，在同构意义下可能不止一个•简单图的度序列最大度一定要小于等于n-1•只要和为偶数就是图的度序列•若图中两点u与v间存在途径，则u与v间存在路•若过点u存在闭迹，则过点u存在圈•一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈•无向图的顶点之间的连通关系一定是等价关系•有向图的顶点之间的单向连通关系不是等价关系•一个简单图G的n个点的度不能互不相同•无向图的邻接矩阵的行和对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的所有元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素等于对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的特征值的平方和等于边数的2倍•若G是非连通的，则邻接矩阵相似于某个对角矩阵•树一定是连通无圈图•树G无环且任意两点之间存在唯一的路•树无回路但任意添加一条边后有回路•回路是边不重的圈的并•如果一个闭迹不是一个圈，那么它一定是没有重边的圈的并集。
•n阶树T的形心由一个点或两个相邻点组成。
•若T只有一个形心，则形心的权小于n/2•若T有两个形心，则形心的权等于n/2•树T的对偶图全是环•G是极大平面图的充要条件各面的次数均为3且为连通图每个n方体都有完美匹配由n方体的构造知：n方体有2n个顶点，每个顶点可以用长度为n的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。
划分顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。
X中顶点互不邻接，Y中顶点也如此。
所以n方体是偶图。
很容易验证n方体的每个顶点度数为n，所以n方体是n正则偶图。
因此，n方体存在完美匹配。
树T有完美匹配当且仅当对所有顶点v∈T，o(T-v)=1必要性：树T有完美匹配，由Tutte定理知o(T-v)≤|{v}|=1显然T是偶数阶的图，o(T-v)≥1.因此o(T‒v)=1。
充分性：对于T的任意顶点v，假设Tv是T-v仅有的奇分支，且Tv与v之间的边为uv。
图论-总结PPT课件
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
物流数学 第六讲 图论
图论
v2
• 关联矩阵和相邻矩阵
l1 l2 l3 l4 l5 l6 M= v1 v2 v3 v4 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 A= v1 v2 v3 v4
v1 v2 v3 v4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
识 记
起点与终点不同的路线的选择
某配送公司要将客户急需的商品从配送中心P运送到商场 Q，下图表示由起点P到终点Q的路线图，各条弧所对应的 数字表示通过该段路线所需时间。试求所需时间最短的路 线。
B1 3 8 P 5 B2 6 4 4 B3 4 2 7 C3 5 4 C2 9 D2 2 5 2 6 1 C1 4 D1 1 Q
f3 ( B1 ) f 4 ( P) f3 ( B2 ) f3 ( B3 )
第四阶段
图论
f 2 (C1 ) f 2 (C2 ) f 2 (C3 )
f1 ( D1 ) = d ( D1 , Q) = 1 f1 ( D2 ) = d ( D2 , Q) = 2
第一阶段
第三阶段
第二阶段
B1 3 8 P 5 B2 6 4 4 B3 4 4 5
物 流 数 学
—— 图论
主讲人：辛松歆
xinsongxin@
第六讲 图 论
此课件由辛松歆制作 ©2006 如有任何问题, 请联系xinsongxin@ xinsongxin@
主要内容
预备知识（图论基础） 最短路问题 节约里程法 装配工人的调配 最大通行能力问题 最优设场点 最优投递线路 物资调运问题的图上作业法
领 会
求解过程
图论教案
第六章图论(Graph Theory)◎知识目标：掌握图的方法与原理；图的基本概念；最小树、最短路、最大流的概念、计算与应用；了解中国邮路问题与解法。
◎能力目标：通过学习，使学生掌握图的方法与原理，提高分析问题和解决问题的能力。
◎本章重点：最小树、最短路、最大流的计算与应用◎本章难点：最短路的应用、最大流的计算引例：哥尼斯堡七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是哥尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Preg el的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
图论
第7章 图论图论是建立和处理离散型数学模型的重要数学工具，它已发展成具有广泛应用的一个数学分支。
图论的发展已有200多年的历史，它最早起源于一些数学游戏的难题研究。
1736年瑞士数学家欧拉（L.Eluer ）发表了关于解决哥尼斯堡七桥问题的一篇文章，标志着图论的正式诞生。
从19世纪中叶到20世纪中叶，图论问题大量出现，如汉密尔顿图问题、四色猜想等。
这些问题的出现进一步促进了图论的发展。
1847年，克希霍夫（Kirchhoff ）用图论分析电网络，这是图论最早应用于工程科学的一个例子。
随着计算机科学的迅猛发展，在现实生活中的许多问题，如交通网络问题，运输的优化问题，社会学中某类关系的研究，都可以用图论进行研究和处理。
图论在计算机领域中，诸如算法、语言、数据库、网络理论、数据结构、操作系统、人工智能等方面都有重大贡献。
本章主要介绍图论的基本概念、基本性质和一些典型应用。
7.1 图的基本概念7.1.1 图的基本概念1.图的定义图在现实生活中随处可见，如交通运输图、旅游图、流程图等。
此处我们只考虑由点和线所组成的图。
这种图能够描述现实世界的很多事情。
例如，用点表示球队，两队之间的连线代表二者之间进行比赛，这样，各支球队的比赛情况就可以用一个图清楚地表示出来。
到底什么是图呢？可用一句话概括：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。
因为上述描述太过于抽象，难于理解，因此下面给出图作为代数结构的一个定义。
定义7.1.1 一个图（Graph ）是一个三元组〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V 是一个非空的节点集合，)(G E 是有限的边集合，G ϕ是从边集合E 到点集合V 中的有序偶或无序偶的映射。
例7.1.1 图G =〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V =},,,{d c b a ，)(G E =},,,,,{654321e e e e e e ，),()(1b a e G =ϕ，),()(2c a e G =ϕ，),()(3d b e G =ϕ，),()(4c b e G =ϕ，),()(5c d e G =ϕ，),()(6d a e G =ϕ。
第6-8章---图论2PPT课件
-
6
8.判别一个二部图中存在完备匹配的相异性条件和t条 件分别是充要条件和充分条件,但t条件对任一二部图能 极容易地进行检验,因而在考虑用较为复杂的相异性条 件之前,可首先用t条件判断,如果t条件不成立,再用相异 性条件判断。
9.图是点（边或面）k-可着色的，是指能用k种颜色给 图的结点（边或面）着色，但k不一定是最少的颜色数。 图是点（边或面）k-色的，是指最少要用k种颜色绘图 的结点（边或面）着色。平面图的面着色问题一般化 为对其偶图的点着色问题。Welch-Powell算法是近似 算法，它给出的结点着色的颜色数不一定是最少的， 而是较少的。
6.掌握最小点覆盖、最小边覆盖、最大点独立集、最 大边独立集（匹配）、最大匹配、完美匹配、完备匹 配、可增广路径等概念，能够利用相异性条件和t条件
-
2
判定二部图中是否存在完备匹配，了解可增广路径求 完备匹配的方法和思想。
7.掌握结点着色、边着色、面着色等概念及有关性质， 能够用Welch—power算法确定一个使图的颜色数尽可 能少的结点着色。
数目。
3.掌握求图中某个结点到其他任一结点的最短路径的 Dijkstra算法，以及求图中任意两个结点的最短路径的
-
1
Warshsll算法。
4.掌握欧拉图和哈密尔顿图的概念及其判别方法，能 够利用fleury
算法求欧拉回路，了解邮路问题，能够用近邻法求哈 密尔顿回路。
5.掌握平面图、面、边界、极大平面图、同胚等概念 及有关性质，能够判定一个图是否为平面图。
-
7
§6.3基本题
§6.3.1选择题
1.设D=<V，E>为有向图，则有（
A. E ∈ V*V
B.EV*V
图论初步
例 6.2.1 和例 6.2.2 都不是简单图，因为例 6.2.1 中既含重边（e2 与 e3）又含环（e5），而 例 6.2.2 中含重边（v1v2）。下图中给出的则是 简单图。
图 6.2.3
任意两点均相邻的简单图称之为完全图。
n 个点的完全图记为 Kn，图 6.2.4 中给出的 分别是 K2，K3，K4。
图 6.2.1
例6.2.2 设 V = {v1, v2, v3, v4}，E = {v1v2, v1v2, v2v3}，则G = {V, E} 是一个图，其图形如 图所示。
图 6.2.2
定义6.2.2 设e = uv 为图 G 的一条边，我们 称 u，v 是 e 的端点，u 与 v 相邻，边 e 与点 u （或v）相关联；称 u 是 e 的起点，v 是 e 的终 点。若两条边 e1 与 e2 有共同的端点，则称边 e1 与 e2 相邻；称有相同起点和终点的两条边为重 边 ；称两端点均相同的边为 环 ；称不与任何边 相关联的点为孤立点。 无环且无重边的图称之为简单图。
图 6.2.5
图 6.2.6
图 6.2.7
设 v 为图 G 的点，G 中与 v 相关联的边的 条数（环计算两次）称为点 v 的度，记为dG(v)， 简记为 d(v)。 例如，在图 6.2.1 中，d(v1) = 1，d(v2) = d(v3) = d(v4) = 3；在图 6.2.2 中，d(v1) = 2，d(v2) = 3， d(v3) = 1，d(v4) = 0。
§ 6.3.2 固定起点到其余各点的最短路算法
寻求从一固定起点 u0 到其余各点的最短路的 最有效算法之一是 Dijkstra（迪克斯特拉）算法， 19法， 它依据的是一个重要而明显的性质： 最短路是一 条路，最短路上的任一子段也是最短路。
高中数学《第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉》13PPT课件 一等奖名师
七桥问题
哥尼斯堡七桥
问题：如何不重复地走 完七桥后回到起点？
一笔画问题 如何将此图一笔画出？
4
一笔画
“一笔画”是指笔不离开纸，而且 每条线都只画一次不准重复而画成 的图形。
情景引入 你能用一笔画出下列图形吗？
两条相交的线处都有一个交点。
①有奇数条边相连的点叫奇点。
交点分为两种
②有偶数条边相连的点叫偶点。
活动探究
下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪 些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
图⑴
2
4
能
图⑵
0
5
能
图⑶
不能
4
2
图⑷
能
0
6ห้องสมุดไป่ตู้
欧拉的推理
欧拉这种处理问题 的方法标志着图论
的诞生
凡是一笔画中出现的交点处，线一出一进总 应该通过偶数条（偶点），只有作为起点和终点 的两点才有可能通过奇数条（奇点）。
的
❖从例邮如局：出观发察，下走列遍段邮道区图的所有街道至少一次再回到邮局， 按照什么样的路线投递邮件才能使总的路程最短？
图（1）
图（2）
含有奇点的段道图不能一笔画出，有些道路需要重 复走两次的都要添上一条弧
问题拓展
中国邮递员问题
2
2
2
A
2 2
2 3
4 4
3 3
3 5
6 5
6
最优投递路线 重复的路最短 添弧的总长度最短
规律总结
不连通的图形不能一笔画
全都是偶点的连 连通的图 通图可以一笔画 形有可能 一笔画 有两个奇点的连