恒等证明-第一讲因式分解与分式综合复习学生版

第一讲 因式分解与分式综合复习

一、基础知识

因式分解和分式均是大家比较熟悉的内容，本次复习以综合提高为主.

（一）因式分解综合复习

1．因式分解的基本方法： （1）提取公因式； （2）运用公式法； （3）分组分解法； （4）十字相乘法.

2．因式分解的其它常用方法： （5）拆项、添项； （6）换元法；

（7）双十字相乘法； （8）待定系数法；

（9）利用因式定理分解. 3．对称式、交代式和轮换式

（1）对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式. 如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母b a ,的对称式.

（2）交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个负号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式. 例如a b -，22a b -.

（3）轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式. 如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等.

显然，对称式都是轮换对称式，但反之不成立. 4．对称式、交代式和轮换式的因式分解

由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法.因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解.

（二）分式综合复习

1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.这一性质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础. 2．比例的重要性质

若a c b d =

，则ad bc =

若a c b d =，则

a b c d

b d ++=

（合比性质） 若a c b d =，则a b c d b d --=

（分比性质） 若a c =，则a b c d ++=

（合分比性质）

若

...a c m b d n ===，且...0b d n +++≠，则......a c m a b d n b

+++=+++（等比性质） 我们在讨论分式变形、分式相等、分式方程等与分式有关的问题时，都不要忘记必须在分式有意义的前提下，才能考虑这些问题. 4．简单的分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程，解出整式方程后，再把整式方程的解代入原方程（或最简公分母）检验，确定原分式方程的解.

将分式方程化为整式方程的方法很多，基本方法有两种：一是方程两边都乘以各分母的最简公分母，二是将分式换成新的字母表示的整式，即用换元法.由于分式方程转化为整式方程后，有时可能产生不适合原方程的增根，所以解分式方程一定要验根.

二、名校真题回放

例1．（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）如果2=-y x ，那么2

2242y xy x +-的值为多少？

例2．（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）因式分解：（1）2

269y xy y x +-， （2）()()()()a b x y b a x y -+---。

例3．（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）分解因式：1222-+-b ab a 。

例4．（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）将多项式2

x y 4y -分解因式，其中结果正确的是 ( )。

(A)y(x+2)(x-2) (B)y(x+4)(x-4) (C)y( +2)( -2) (D)y(x-2)2

例5．（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）。 A ．()()2

2

x y x y x y +-=- B ．()2623x y x y -=-

C ．()2

2121x x x x -+=-+ D ．()2

22x y x y +=+

三、活题巧解

（一）因式分解的基本方法

例1．(第12届“希望杯”初二)分解因式：3

3

3

(2)()()a b x a x b x +-----的结果等于____________.

例2．（北京市中考模拟题）分解因式2

2

2

()()()x p q x pq p q p q -+++-

（二）因式分解的其它常用方法

例3．（2004年“希望杯”模拟题）分解因式：8292234+--+x x x x

例4．（全国联赛试题）分解因式：2

(2)(2)(1)a b ab a b ab +++-+-

例5．（1992年四川省初中联赛试题）分解因式2

2

276212x xy y x y -++--

（三）对称式、交代式和轮换式的因式分解

例6．（2000年天津市竞赛题）分解因式：)()()(2

2

2

2

2

2

x z zx z y yz y x xy -+-+-

例7．（2005年北京市竞赛题）设c b a ,,是三角形的三边长，求证：

04)()()(222333<-------++abc b a c a c b c b a c b a

（四）因式分解的应用 利用因式分解解方程 例8．（2001年北京市初二数学竞赛题）

已知实数,x y 满足方程组22

2326

x xy y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 则1_____x y ++=

（五）分式的概念和性质

例9．（武汉市初中数学竞赛试题）

222222222

0,0111

_____abc a b c b c a c a b a b c ≠++=+++-+-+-已知:且 则

的值为