恒等证明-第一讲因式分解与分式综合复习学生版

第一讲 因式分解与分式综合复习
一、基础知识
因式分解和分式均是大家比较熟悉的内容，本次复习以综合提高为主.
（一）因式分解综合复习
1．因式分解的基本方法： （1）提取公因式； （2）运用公式法； （3）分组分解法； （4）十字相乘法.
2．因式分解的其它常用方法： （5）拆项、添项； （6）换元法；
（7）双十字相乘法； （8）待定系数法；
（9）利用因式定理分解. 3．对称式、交代式和轮换式
（1）对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式. 如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母b a ,的对称式.
（2）交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个负号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式. 例如a b -，22a b -.
（3）轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式. 如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等.
显然，对称式都是轮换对称式，但反之不成立. 4．对称式、交代式和轮换式的因式分解
由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法.因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解.
（二）分式综合复习
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.这一性质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础. 2．比例的重要性质
若a c b d =
，则ad bc =
若a c b d =，则
a b c d
b d ++=
（合比性质） 若a c b d =，则a b c d b d --=
（分比性质） 若a c =，则a b c d ++=
（合分比性质）
若
...a c m b d n ===，且...0b d n +++≠，则......a c m a b d n b
+++=+++（等比性质） 我们在讨论分式变形、分式相等、分式方程等与分式有关的问题时，都不要忘记必须在分式有意义的前提下，才能考虑这些问题. 4．简单的分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程，解出整式方程后，再把整式方程的解代入原方程（或最简公分母）检验，确定原分式方程的解.
将分式方程化为整式方程的方法很多，基本方法有两种：一是方程两边都乘以各分母的最简公分母，二是将分式换成新的字母表示的整式，即用换元法.由于分式方程转化为整式方程后，有时可能产生不适合原方程的增根，所以解分式方程一定要验根.
二、名校真题回放
例1．（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）如果2=-y x ，那么2
2242y xy x +-的值为多少？
例2．（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）因式分解：（1）2
269y xy y x +-， （2）()()()()a b x y b a x y -+---。

例3．（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）分解因式：1222-+-b ab a 。

例4．（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）将多项式2
x y 4y -分解因式，其中结果正确的是 ( )。

(A)y(x+2)(x-2) (B)y(x+4)(x-4) (C)y( +2)( -2) (D)y(x-2)2
例5．（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）。

A ．()()2
2
x y x y x y +-=- B ．()2623x y x y -=-
C ．()2
2121x x x x -+=-+ D ．()2
22x y x y +=+
三、活题巧解
（一）因式分解的基本方法
例1．(第12届“希望杯”初二)分解因式：3
3
3
(2)()()a b x a x b x +-----的结果等于____________.
例2．（北京市中考模拟题）分解因式2
2
2
()()()x p q x pq p q p q -+++-
（二）因式分解的其它常用方法
例3．（2004年“希望杯”模拟题）分解因式：8292234+--+x x x x
例4．（全国联赛试题）分解因式：2
(2)(2)(1)a b ab a b ab +++-+-
例5．（1992年四川省初中联赛试题）分解因式2
2
276212x xy y x y -++--
（三）对称式、交代式和轮换式的因式分解
例6．（2000年天津市竞赛题）分解因式：)()()(2
2
2
2
2
2
x z zx z y yz y x xy -+-+-
例7．（2005年北京市竞赛题）设c b a ,,是三角形的三边长，求证：
04)()()(222333<-------++abc b a c a c b c b a c b a
（四）因式分解的应用 利用因式分解解方程 例8．（2001年北京市初二数学竞赛题）
已知实数,x y 满足方程组22
2326
x xy y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 则1_____x y ++=
（五）分式的概念和性质
例9．（武汉市初中数学竞赛试题）
222222222
0,0111
_____abc a b c b c a c a b a b c ≠++=+++-+-+-已知:且 则
的值为
（六）分式的运算
例10．（2001年成都市竞赛题）若,1993,1992,19912
22=+=+=+x c x b x a
且c
b a ab
c ca b bc a abc 111,24---++=则的值是多少？
例11．（奥赛选题）计算
()()()()()()
(2)(2)(2)(2)(2)(2)
a b a c b c b a c a c b a b c a c b b c a b a c c a b c b a ------+++-+-+-+-+-+-
例12．（第十一届“希望杯”试题）若a 为整数，且2)
1)(1(8
126)2)(44(22
332-+-+--+--+-a a a a a a a a a a 的值是正整数，求a 的值.
（七）分式方程与分式方程组
例13．（奥赛选题）解方程11111
...(1)(1)(9)(10)12x x x x x x +++=
-+++
例14．（1984年苏联竞赛题）解方程1
531
51067521161042
23223++-++=+++++x x x x x x x x x x
例15．（第十二届“五羊杯”试题）解方程组⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+++++=+++=+++43
2
232221z y z y yz z x x
xz y x x
xy
四、练习
1. （第十届“希望杯”初二）分解因式12)5)(3)(1(2
+++-x x x
2．（第六届莫斯科数学奥林匹克试题）分解因式3
3
3
()()()b c c a a b -+-+-
3．（第十二届“希望杯”试题）若△ABC 的三边长是c b a ,,，且满足,2
2
4
4
4
c b c b a -+=
2244422444,b a b a c a c a c b -+=-+=，则△ABC 是什么三角形？
4．（“希望杯”竞赛选题）计算248162248161
1111()()()()()(1)x x x x x x x x x x x
+++++- 5 （“希望杯”竞赛选题）
化简3
x 22x x
1x 3x 1
x x 1x )x x 111x 1x ()x 1(x 22
2222+--++--+
÷---+-+
6．（2000
年河北省竞赛题）已知
x y z t
y z t z t x t x y x y z
===++++++++，如果
x y y z z t t x
f z t t x x y y z
++++=
+++++++；求f 的值.
7．（“希望杯”竞赛选题）解方程222
111
011828138
x x x x x x ++=+-+-+-
8．（2004年岳阳市竞赛题）求解方程组⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+=+514
131a c ca c b bc
b a ab
五、难度系数
（1）活题巧解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★★★ ★★★ ★★ ★★★★ ★★ ★★★★ ★★★★ ★★★★ 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度
★★★★
★★★
★★★★
★★★
★★★
★★★★
★★★
（2）练习 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★★
★★★★
★★★
★★★
★★★★
★★★
★★★★
★★★。