第四节有阻尼的自由振动
阻尼与振动
单自由度体系有阻尼振动
2)ξ=1（临界阻尼）情况 临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。 （振与不振的分界点）
θ0 y0 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
单自由度体系有阻尼振动
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共 计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
β ξ=0 ξ=0.1
共振时 1 2
4.0
3.0 2.0 1.0 0
ξ=0.2
ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=1.0 1.0 2.0
θ/ω 3.0
单自由度体系有阻尼振动
考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
单自由度体系有阻尼振动
FD (t )
S
k
m P(t)
FS (t ) ky(t ) FI (t ) my(t ) FD (t ) cy
m 平衡方程:
. F (t) y .
P(t) FI(t)
cy ky P(t ) m y
P(t)
单自由度体系有阻尼振动
二、阻尼对自由振动的影响
yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 2 y k 1 2 0.4 2 2 4.189s 1 T 1.5
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
第一章 第4节 阻尼振动 受迫振动
阻尼振动
简谐振动
产生条件
振幅
受到阻力作用
越来越小
不受阻力作用
不变
频率
能量
不变
减少
不变
不变
振动图像
实例
用锤敲锣，
锣面的振动
弹簧振子的振动
返回
1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确 的是 A．机械能守恒 ( )
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
返回
解析：自由摆动的秋千可以看做阻尼振动的模型，振动系 统中的能量转化也不是系统内部动能和势能的相互转化， 振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量交换。系 统由于受到阻力，消耗系统能量做功，而使振动的能量不
3．固有频率
自由振动 的频率，由系统本身的特征决定。
返回
[重点诠释]
现实生活中的振动几乎都是阻尼振动，原因就是在振 动中始终受到空气阻力的作用，系统克服阻力做功，机械
能不再守恒，像挂钟不上发条，钟摆就会停下来。简谐运
动是不受阻力的运动，不损失机械能，这是一种理想模型。
下面为两种运动的对比：
返回
振动类型 比较项目
与 系统的固有频率无关。 3．当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，发生共振， 振
幅最大。
4．物体做受迫振动时，驱动力的频率与固有频率越接近，
返回
[自学教材] 1．阻尼振动 系统在振动过程中受到 阻力 的作用，振动逐渐消逝 (A减小)， 振动能量 逐步转变为其他能量。
返回
2．自由振动 系统不受外力作用，也不受任何 阻力 ，只在自身回复 力作用下， 振幅 不变的振动。
常见例子 弹簧振子或单摆
2．2011年3月日本发生了强烈地震灾害，导致很多房屋坍塌， 下列有关地震发生时的说法正确的是 A．所有建筑物振动周期相同 ( )
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
阻尼对振动的影响
ξ ＞1
大阻尼
ξ =1
临界阻尼
ξ＜1
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 1 2
λi=-ωξ ± iωr
PPT课件
6
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力都很小,动力荷载主要
由结构恢复力平衡.此时α →00,位移基本上与荷载同步。 (y与FP同步)
（2）θ＞＞ω，θ / ω → ∞， β很小。 体系振动很快，质点近似于作振幅很小的颤动。由于振
动很快，因此惯性力很大，动力荷载主要由惯性力平衡。 此时α →1800，位移与荷载反向。（y与FP反向）
12
1
(0.999) 2
(4)6周后的振幅
y0 y1
e t0 e (t0 T )
eT
y0 y6
e t0 e (t0 6T )
e6T
6
y0 y1
y6 21yy10ln6AAynn01 P1P2.2T6课1m件6 ln2AA0n.n5m24cm
y 2 y 2 y 0 y (C1 C2t)et y [ y0 (1t)v0t]et
( ± 2 1)
y tg0 v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，但P不PT课具件有波动性。
10 t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
2
2 2
1 2
动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关
1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)
机械振动第10章-非线性振动初步
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x3三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d2x dt2
dx dt
x
x3
F
cos t
实验中系数 由磁铁的吸力调整。
弱磁吸力时 ，
强磁吸力时 。 0 0
例：弱非线性单摆属Duffing方程：
d2x 取： dt2
dx dt
02 sin x 得：
2.平衡点[ ]为 单0 摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；
3.从[ ]到 0[
]或 相 反 0的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
2. ，0原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，0原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2
dt2
2
d
dt
02
0
阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
结构力学-阻尼对振动的影响
r
T
1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r
2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
振动学总结
机械振动学总结论文第一章 机械振动学基础第一节 引言我们用一下方法研究机械振动： 1：激励物理模型。
2：建立数学模型。
3：方程求解。
4：结果阐述。
第二节 机械振动的运动学概念什么是机械振动？答：机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式)(x t x =来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数()()1,2,3......x t x t nT n =+=来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为)2sin()2cos(ψπϕπ+=-=t TA t T A x 式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即)sin()cos(2ψωωψωω+-==+==t A xa t A xv可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
从x x 2ω-=可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有()cos()sin()j wt z AeA wt jA wt ϕϕϕ+==+++可以将上式改写成t j t j j e A e Ae z ωωω==它包含振动的振幅和相角俩个信息，在振动分析时，由于它会给计算带来许多方便而常常得到应用。
二：周期振动任何周期函数满足以下条件： （1）：函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）：在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
4-有阻尼系统的自由振动解析
(
2
1)
B2e
n
t
(
2
1)
t
n
当 1 时，位移方程为
x ( B1
B
当
2
t) e
n
t
随时间t，按照指数规律减小，不是自由振动。 可见只有 1 时，振系才可能进行自由振动。
一、在题1所示的振系中，一个质量块m分别用两个 弹簧和一个阻尼器连接到上、下基础上，其中质 量m=10千克，弹簧刚度ｋ1=ｋ2=500牛顿/米， 阻尼系数ｃ=160牛顿•秒/米。假设某一时刻将质 量块从平衡位置压低3厘米后，无初速释放，求系 统此后的运动方程。
典型振系的求解 根据振系受力情况，利用牛顿定律可得
m x c x kx
上式经过变形后可得
c k x x x 0 m m
由高等数学的理论可知，求解上式时可设：
xe
st
代入上式，可得其特征方程
s
2
c k s 0 m m
特征方程的根为
c k c s1,2 2m 2 m m
d
上式可改为
xe
t(
n
A cos
1
d
t
A sin
2
d
t)
对位移求导
x ne
t(
n
n t cos t sin t ) A1 d A2 d d e ( A1sind t A2 cosd t)
设在t=0时，有
x x0 , x
上次内容回顾：瑞利法和弹簧刚度系数 讲述的内容
阻尼对自由振动的影响
阻尼比实测新方法
x(t )
A
Asin
S2
S4
S6
t1
t3
t5
t
0
ห้องสมุดไป่ตู้
t2
t4
t6
S3
S5
S1
面积衰减法计算阻尼比原理图
黄方林 何旭辉 陈政清 高赞明 倪一清，识别结构模态阻尼比的一种新方法，土木工程学报，35 （6），2002，20-23
2）=1 有二重根 通解为
eT
<0.2时,r
为提高计算精度,可取两个相隔n个周期的振幅yk和yk+n,有 或
• 存在的问题 ：
– 实测响应 中，对数 衰减率 法中峰值是响应 的采样值，不一定 刚好与实际极大值相等；
– 易受噪声干扰。若y (t)受噪声干扰，yk和yk+n 的峰值可能在局部有很大的变化 ，从而影 响了阻尼比系数值的识别结果 。
yt
e t
y0
cosr
t
v0
y0 r
sinr
t
衰减的波动曲线 讨论：
a）逐渐衰减的波动曲线
低阻尼体系自由振动的y-t曲线 b）阻尼对自振频率的影响
r< , <0.2时, r c）阻尼比越大,波动曲线衰减越快
d）阻尼比的实测计算
相邻两个振幅yk与yk+1的比值
yk yk 1
e tk e (tk T )
例1:某结构自由振动经过10个周期后，振幅降为原来 的10%。试求结构的阻尼比ξ和在简谐荷载作用下共 振时的动力系数。
例2：试求图示体系1点的位移动力系数和0点的弯矩 动力系数；它们与动荷载通过质点作用时的动力系数 是否相同？不同在何处？
结构振动理论 5-线性阻尼系统的自由振动
2
cosnt
1
X0
2
cost
显然，外激励不仅激起强迫振动(第四
项,形式与激励相同的谐和函数)，同时
也激起自由振动(第三项)。
00:04
单自由度系统的定常强迫振动
考察强迫振动响应
x2
X0
1 2
cos t
F0 cos t
当γ<1时，x2与外扰力同相，振幅随γ增大而增大。
当γ>1时，x2与外扰力反相，振幅随γ增大而减小。
00:04
单自由度系统的定常强迫振动
代入振动方程，得振幅：
X 其中
n2 (n2 2 )
n
X0
1
1
n
2
X0
称为“频率比”
1
1
2
X0
系统总的响应为
x
B sin nt
D
cosnt
1
X0
2
cos
t
设初始位移 x0，初始速度 x0 , 得系统总的响应
x
x0 p
sin
nt
x0
cosnt
1
X0
单自由度系统的定常强迫振动
定义(位移响应)放大率
X
1
X 0 (1 2 )2 (2 )2
画出 ~ 和 ~ 曲线分别称为幅频特性曲线和相频特
性曲线
相角
arctan
2 1 2
4
0
180
0.1
0.1
3
135
放 大2
0.15 0.2
90
率
0.3
β1
0.5
0.7
45
1.0 2.0
0 1.0 2.0
常微分四类振动方程
特征方程：
g 0 l
2
i,
g l
通解： (t ) c1 cost c 2 sint , c1 , c1为任意常数.
（4.41） A，θ为任意常数
(t ) A sin( t )
周期T与初始 状态无关，只 与摆长l相关
d 2
比较系数法： 非齐次特解：
随时间增大 振幅将无限大ห้องสมุดไป่ตู้从而破坏系统结构
非齐次通解： 自由周期振动
+
外力强迫振动
=非周期振动
共振现象：当外力频率p（达到）无限接近于系统 固有频率ω（即使外力振幅H很小），系统振幅将 （无限）充分大，从而破坏系统自身结构的现象！
4. 阻尼强迫振动
g , 2n l m
~ t k [ M cos t N sin t ]e t , 非齐次特解： 0, p, k为 i重数
分两种情况：
~ M cos pt N sin pt, (i ) p ( pi非特征根)： ~ t ( M cos pt N sin pt (ii) p ( pi特征根)：
特解
d 2 dt 2
2n
d 2 H s in p t dt
特解
振幅什么条件下最大？
利用外力 （圆）频率 可实现振幅 最大化！
非齐次通解：
自由阻尼衰减振动 （时间充分大可忽略）
+
外力强迫周期振动 =非周期振动 （主项）
振动主项中，但如果外力园频率p达到（或接近于）某固定频率， 即使施加的外力不大，随时间增长，质点振动运动的振幅将达到 最大。 共振现象 该频率称共振频率
常微分方程在有阻尼自由振动中的应用
常微分方程在有阻尼自由振动中的应用羊士林（数学科学学院,2008（4）班,08211439号）1 引言在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支.这不是偶然的,因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达.实际上,微分方程的应用已深入到许多学科之中.比如物理学科中的许多公式的推导以及一些题目的计算,就需用到微分方程的有关知识.微分方程来源于生活实际,研究微分方程的目的就在于掌握他所反应的客观规律,能动的解释所出现的现象并预测未来可能发生的情况.下面我们将简单的介绍常微分方程的几种解法及其在物理学中的应用.2 二阶常系数常微分方程的几种解法2.1特征方程法例1 求微分方程220d x dx p qx dt dt++=的通解. 解 特征方程02=++q p λλ的根21,λλ,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解12,t t e e λλ,故通解为1212t t x c e c e λλ=+（21,c c 为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状1112t t x c e c te λλ=+（21,c c 为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根z a bi =±,则该方程的通解具有形状12(sin cos )at x e c bt c bt =+（21,c c 为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据.1 特征根是两个实根的情形设12,λλ是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解12,t t e e λλ,我们指出这两个解在a t b ≤≤上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时 121212()121211()t tt t t e e w t e e e λλλλλλλλλλ+==,而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde ）行列式,它等于21()λλ-.由于假设21λλ≠,故此行列式不等于零,从而()0w t ≠,于是 12,t t e e λλ线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为1212t t x c e c e λλ=+（其中12,c c 为任意数）.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+,()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ-=-.根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±,我们可求的方程220d x dx p qx dt dt++=的两个实值解 cos ,sin t t e t e t ααββ.2 特征根有重根的情形 设特征方程有k 重根1,λλ=则众所周知'(1)111()()()0,k F F Fλλλ-====()1()0k F λ≠, 先设10λ=,即特征方程有因子k λ,于是110n n n k a a a --+====,也就是特征方程的形状为110n n k n k a a λλλ--+++=,而对应的方程[]11110n n n n n n d x d x L x a a a x dt dt ---≡++++=变为1110n n k n kn n k d y d y d y a a dx dx dx ---+++=. 易见它有k 个解1,21,,,k t t t -,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的k 重零根就对应方程的k 个线性无关的解1,21,,,k t t t -.如果这个k 重根10λ≠,我们作变量变换1t x ye λ=,注意到11()()()(1)2(2)111(1)()2!t t m m m m m m m m xye e y m y y y λλλλλ---⎡⎤==++++⎢⎥⎣⎦， 可得[]1111111()n n t t t n n n d y d y L ye b b y e L y e dt dt λλλ--⎡⎤=+++=⎣⎦,于是对应方程化为[]11110n n n n n d y d y L y b b y dt dt --=+++=,其中123,,,,n b b b b 仍为常数,而相应的特征方程为111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++=, 直接计算易得1111()()()11()()t t t t t F eL e L e e G e μλμλλμλμμλμ+++⎡⎤⎡⎤+===⎣⎦⎣⎦, 因此1()()F G μλμ+=,从而1()()j j F G μλμ+=，1,2,,j k =,这样,问题就化为前面讨论过的情形了. 2.2常数变易法对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.例2 求常微分方程 22()d x dx p qx f t dt dt++=的通解. 解 方程22()d x dx p qx f t dt dt++=对应齐次方程为 220d x dx p qx dt dt++=, 其特征方程为02=++q p λλ. （1）由于方程22()d x dx p qx f t dt dt++=的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.情形1：若λ为方程（1）的实根,则tx e λ=是方程220d x dx p qx dt dt ++=的解.由常数变易法设22()d x dx p qx f t dt dt++=的一个解为*()t x c t e λ=,代入原方程并化简得"'()(2)()()t c t p c t e f t λλ-++=,这是关于 '()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为()(2)()()()p tp t c t e e f t dt dt λλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰, 从而得方程（1）的一个特解为 *(2)()(())t p t p t x e e e f t dt dt λλλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰. 情形2：若λ为方程（1）的复根,我们可以设,,a bi a b R λ=+∈且0b ≠，则*sin atx e bt =是方程22()d x dx p qx f t dt dt ++=的解，根据常数变易法可设其一个特解为*()sin atx c t e bt =，与情形1的解法类似得方程22()d x dx p qx f t dt dt ++=的一个特解为 (2)(2)*2()sin sin .sin p a p a t at e f t e btdtx e bt dt bt -++=⎰⎰由于*x 是特解,则积分常量可以都取零.2.3拉普拉斯变换法常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简单.由积分()()0st F s e f t dt -+∞=⎰. 所定义的确定于复平面（Re σ>）上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,我们称()f t 为原函数,而()F s 称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面s 的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数.例3 求解方程 2'22,(1)(1)0t d x dx x e x x dt dt-++===. 解 先使1t τ=-，将问题化为2(1)'22,(0)(0)0t d x dx x e x x dt dt--++===, 再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到211()2()()1s X s sX s X s s e++=⋅+, 因此 311()(1)X s s e=⋅+, 查拉普拉斯变换表可得 211()2x e τττ--=, 从而 21()(1)2t x t t e -=-, 这就是所要求的解. 当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了.3常微分方程在有阻尼自由振动中的简单应用一般求解物理问题主要是分三步：1.分析问题建立方程并确定定解条件;2.求出方程满足初始条件的特解或讨论解的性质;3.对解做定性分析,反过来解释原问题,其中关键在于列出方程,主要有两种方法:1.瞬时变化率;2.微元分析法.在研究阻尼振动时,运动方程的求解问题较为复杂,一般教科书没有给出求解过程.下面分别用特征值法,常数变易法,拉普拉斯变换法来求动力学方程.3.1特征方程法例4 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =,弹簧的劲度系数175k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，设质点由静止开始运动,求位移方程.解 根据牛顿第二运动定律有kx cv ma --=, （2） 或 220d x dx m c kx dt dt++=, （3） 对一给定的振动系统,,,m k c 均为常量.若令20,2k m c m ωδ==,则上式可写成220220d d dt dtξξδωξ++=, （4） 将数据代入（4）得 2220750d x dx x dt dt++=. （5） 根据观察可以用特征值法求解.这里特征方程为220750λλ++=,有两个根1215,5λλ=-=-,则(5)的两个根为51512,t t e e ξξ--==. （6）计算可得振动子固有角频率数值为052k m ω==，而阻尼系数数值为10δ=,即220δω<,则方程(5)的解为515t t Ae Be ξ--=+（,A B 由初始条件决定）. （7） 上式是一个非振动状态的,这种情况下质点仅仅是从非平衡位置恢复到平衡位置,而不具备周期振动的特点.我们更关心的是0δω<情况下,质点的衰减振动.由于阻尼的作用,一个自由振动系统的振动不能维持很久,它要逐渐衰减直至停止.要使振动持续不停,就需要不断地从外界获得能量,这种受到外部持续作用而产生的振动就称为强迫振动例5 设有一个外力100cos(30)F t N =作用在上面振动系统上,式中100A F =为驱动力的幅值,30ω=为驱动力的圆频率,f 为驱动力的频率.解 将驱动力加到质点振动系统,得到系统振动方程为22d x dx m c kx F dt dt++=, (8) 或写成22022cos(30)d x dx x H t dt dtδω++=. (9) 式中A F H m=为作用在单位质量上的外力幅值.方程(8)和方程(9)都是质点强迫振动方程.强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程,其一般解为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和.我们已经获得了对应的自由振动方程的一般解,关键就是寻找(9)的一个特解.将数据代入（9）得222075100cos(30)d x dx x t dt dt++=, （10） 我们设（10）有形如1sin 30cos30x A t B t =+的特解，将它代入（10）并化简得到(3324)sin30(2433)cos304cos30A B t A B t t -++-=,比较同类项系数得3244,555555A B ==-,于是13244sin30cos30555555x t t =-,而原方程的通解为5153244()sin 30cos30555555t t x t Ae Be t t --=++-. 上式中,A B 由初始条件决定,前两项项称为瞬态解,它描述了系统的自由衰减振动,仅在振动的开始阶段起作用,当时间足够长以后,它的影响逐渐减弱并最终消失.后二项称为稳态解,它描述了系统在驱动力的作用下进行强制振动的状态,因为它的幅值恒定,因此称为稳态振动.从上式可以看到,当外力施加到质点振动系统以后,系统的振动状态比较复杂,它是自由衰减振动和稳态振动的合成,这种振动状态描述了强迫振动中稳态振动逐步建立的过程.当一定时间以后,瞬态振动消失,系统达到稳态振动.3.2 常数变易法情形1 已知5t x e -=为上面例5中特征方程220750λλ++=的实根,则5t x e -=是方程（10）的一根.由常数变易法设*5()t x c t e -=,则*x 也是方程的一个解.代入（10）并化简得"'5()10()100cos30t c t c t e t +=.这是关于'()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为'55184()sin 30cos3033t t c t e t e t c =++, 从而得出（10）的一个特解为（取120c c ==）*5551284()((sin 30cos30))33t t t x t e e t e t dt c -=++⎰ 3244sin 30cos30555555t t =-, 从而可得（10）的通解5153244()sin 30cos30555555t t x t Ae Be t t --=++-. 情形2 例6 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =，弹簧的劲度系1400k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，有一个外力cos(2)F t N =.作用在上面振动系统上,设质点由静止开始运动.求位移方程.解 由例5可知22d x dx m c kx F dt dt++=. （11）代入数据得 2220400cos(2)d x dx x t dt dt++=. （12） 根据观察可以用常数变易法求解，首先求（12）的齐次线性方程的根.有前面的研究可得（12）齐次线性微分方程的特征方程为2204000μμ++=.我们可设特征方程的根为10103i μ=-±.则10()sin(103)t x t e t -=是（12）的一个解.由常数变易法可设为*10()()sin(103)t x t c t e t -=.与情形1中的解法类似，将*()x t 代入（12）并化简得*1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+.由于*x 是特解,则积分常量可以都取零. 3.3 拉普拉斯变换法若仍然以例6为例，由牛顿第二运动定律得22d x dxm c kx F dt dt ++=,代入数据得2220400cos(2)d x dxx t dt dt ++=, (13)由于质点由静止开始运动.则00,0t dxx dt ===,对方程(13)施行拉普拉斯变换,得到22()20()400()4ss X s sX s X s s ++=+,即221()420400s X s s s s =+++,把上式右端分解为部分分式2210299()396044396044sX s s s =+++22221013103991011881239604(10)(103)(10)(103)s s s +--++++, 由拉普拉斯变换表可得 1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+ 1010101399sin(103)cos(103)11881239604t t e t e t ----.参考文献[1]王高雄.周之铭.宋思铭.等.常微分方程.北京高等教育出版社.2001.[2]美R.布朗森.（全美经典学习指导）微分方程.北京科学出版社.1998.[3]同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社.2002.[4]常微分方程（第三版）. 高等教育出版社.2004.[5]复旦大学物理系.上海师范大学物理系.物理学.上海科技出版社.1997.[6]刘克哲.物理学.北京：高等教育出版社.2000.总结综上所述,本文首先介绍二阶微分方程的三种求解方法：特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法.然后列举了阻尼振动的几个具体例题,分别利用三种方法解题.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.。
《阻尼自由振动》课件
阻尼自由振动的特性取决于阻尼 系数c的值，当c越大时，振幅衰 减越快，频率降低越快，相位滞 后越大。
03
阻尼自由振动的实验研究
实验设备与实验方法
实验设备
阻尼自由振动实验装置、测量仪 器、计算机等。
实验方法
搭建阻尼自由振动实验装置，设 定初始条件，记录振动数据，分 析实验结果。
实验结果与分析
结果
注重实际应用
在研究过程中注重实际应用的需求，将研究成果转化 为实际产品和技术，推动社会的发展和进步。
谢谢您的聆听
THANKS
阻尼自由振动还可以用于机械设备的故障诊断，通过监测 和分析异常振动信号，及时发现潜在的故障和问题。
阻尼自由振动在航空航天工程中的应用
飞机设计
在飞机设计中，阻尼自由振动对 于控制机翼、机身等结构的振动 和噪声具有重要意义，可以提高 飞行的安全性和舒适性。
航天器设计
在航天器设计中，阻尼自由振动 有助于控制航天器的姿态和轨道 稳定性，提高航天器的可靠性和 精度。
阻尼自由振动是振动理论 中的一个重要概念，广泛 应用于工程、物理、生物 等多个领域。
阻尼自由振动的研究有助 于深入了解各种实际系统 中振动现象的本质和规律 。
阻尼自由振动的物理意义
01
阻尼自由振动揭示了系统能量耗散的机制，即振动过程中能量 不断转化为其他形式的能量，如热能、光能等。
02
阻尼自由振动对于理解非线性动力学行为、混沌现象等复杂系
新材料开发
阻尼自由振动的研究将推动新材料的发展， 特别是具有优异阻尼性能的材料，为新产品 的开发提供更多可能性。
对阻尼自由振动研究的建议与展望
加强基础研究
进一步深入阻尼自由振动的基础研究，探索其内在规 律和机理，为实际应用提供理论支持。
第四节有阻尼的自由振动
第四节有阻尼自由振动（Damped Free Vibration）前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。
实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。
振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。
尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。
一、粘性阻尼（Viscous Damping）------------- 最常见的阻尼力学模型在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度成正比，即=&F cxF--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度⋅c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m二、粘性阻尼自由振动()k x∆+以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。
由牛顿运动定律，得运动方程mx cx kx++=&&&（2-10）设方程的解为()stx t Ae=代入式（2-10），得2()0stms cs k Ae++=因为0A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为20ms cs k++=（2-11）------ 系统的特征方程（频率方程）它的两个根为1,22csm=-±（2-12）则方程（2-10）的通解为1211212s t s t c t mx A e A e eA A e=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（2-13）式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件00(0),(0)x x x x ==&&确定。
显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于是实数、零，还是虚数。
当202c k m m⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。
因此02n c m ω==令02nc c cc m ζω===叫做阻尼比。
∵022n c c m mζζω==∴ 式（2-12）可写成(1,2n s ζω=-± （2-14）可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。
17-3 单自由度系统的有阻尼自由振动
振动微分方程
下面建立具有粘性阻尼系统的自由振动微分方程。
以平衡位置O为坐标原点,建立系统振动微分方程可不计重力
振动过程中作用在物块上的力有：
（1） 恢复力Fk，方向指向平衡位置O
大小： Fk = −kx
（2）粘性阻尼力Fc，方向与速度方向相反
大小：
Fc
=
−cvx
=
−c
dx dt
物块振动微分方程：
m
设振动质点的速度为v，则粘性阻尼的阻力FC 可表示为：
F
=
−cv
负号表示方向
比例常数c 称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c 表示。
一般的机械振动系统都可以简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统。
kc m
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经过一个周期Td,系统到达另一个比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai+1 = Aen(ti +Td )
两相邻振幅之比为:
Ai Ai+1
=
Aenti Aen(ti +Td )
= enTd
这个比值称振幅减缩率。任意两相邻振幅之比为一常数，故
衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
分析表明:小阻尼情况下，阻尼对自由振动的频率影响较小,但 对自由振动的振幅影响较大，使振幅呈几何级数下降。
ωd =ωn 1−ζ 2
fd = f 1−ζ 2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频率减小。
空气中的振动系统阻尼比较小，可认为：
ωd =ωn ， Td =T
由衰减振动运动规律：
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第四节有阻尼自由振动
（Damped Free Vibration）
前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。
实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。
振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。
尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。
一、粘性阻尼（Viscous Damping）
------------- 最常见的阻尼力学模型
在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度成正比，即
=&
F cx
F--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度
⋅
c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m
二、粘性阻尼自由振动
()
k x
∆+
以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。
由牛顿运动定律，得运动方程
mx cx kx
++=
&&&（2-10）
设方程的解为
()st
x t Ae
=
代入式（2-10），得
2
()0
st
ms cs k Ae
++=
因为0
A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为
20
ms cs k
++=（2-11）
------ 系统的特征方程（频率方程）
它的两个根为
1,22
c
s
m
=-±（2-12）
则方程（2-10）的通解为
1211212s t s t c t m
x A e A e e
A A e
=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝
⎭
（2-13）
式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件
00(0),(0)x x x x ==&&
确定。
显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于
是实数、零，还是虚数。
当
2
02c k m m
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。
因此
02n c m ω==
令
02n
c c c
c m ζω===
叫做阻尼比。
∵
022n c c m m
ζζω==
∴ 式（2-12）可写成
(
1,2n s ζω=-± （2-14）
可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。
1. 1ζ
> (c >
系统称为过阻尼系统（强阻尼）。
运动方程的解为
()
1
2n n n t
t
t
x e
A A e
ζω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期蠕动。
2. 1ζ
= (c =
系统称为临界阻尼系统。
运动方程的解为
()12n t
x e
A A t ω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期运动。
3. 1ζ<
(c <
系统称为弱阻尼系统（欠阻尼）。
式（2-12）可写成
(1,2n s ζω=-±
令
d
n ω= --- 有阻尼固有频率
故运动方程的解为
()1
2n d d t
j t
j t
x e
A e
A e
ζωωω--=+
由欧拉公式cos sin j e
j θ
θθ±=±，则上式可写为
()12cos sin n t d d x e C t C t ζωωω-=+
式中1C 和2C 是待定常数，由初始条件确定。
设0t
=时，有
00(0),(0)x x x x ==&&
则系统对初始条件的响应为
00
0cos sin n t
n d d d x x x e
x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+
⎪⎝⎭
& （2-18） 上式也可写为
()sin n t d x Ae t ζωωϕ-=+
其中
000,d n x A tg x x ωϕζω==+&
A
因
max n t
x Ae
ζω-=
所以响应的振幅被限制在曲线n t
Ae
ζω-±之内，随时间而逐渐
衰减。
因而有阻尼系统的自由振动是衰减振动，当t →∞，
0x →
，振动最终消失。
阻尼对自由振动的影响:
（1）设无阻尼系统的自由振动振动周期为2n
n
T π
ω=
有阻尼系统的自由振动振动周期为
22d
T π
πω=
=
可见：阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。
当阻尼较小时，例如
0.05 1.001250.999n d n T T ζωω=== 0.2 1.020.980n d n T T ζωω===
所以在阻尼较小时，阻尼对周期和频率的影响可以忽略不计。
（2）设相邻两次振动的振幅分别为i x 和1i x +，则振幅比为
()1n i
n n i t T
i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++===
式中η称为减幅系数。
可见阻尼比ζ越大，减幅系数η就越大，振幅衰减得就越快。
例如
10.05 1.37
0.73i i x x ζη+===
即每一个周期内振幅减小27﹪.由此可见，即使阻尼较小时，振幅的衰减也是很快的。
例题2-8 一刚体质量为10kg ，用一块橡胶和一层毛毡支
承在地板上，如图所示。
已知毛毡的刚度
12000f k N m =，阻尼系数330f c N s m =⋅；橡胶的
刚度3000r
k N m = N/m ，阻尼系数100r c N s m =⋅。
求系统的等效刚度、等效阻尼系数和阻尼比。
c k f
c
解：两块毛毡和橡胶垫可看作串联。
则系统的等效刚度
3000120002400300012000
r f eq r f k k k k k ⨯⨯===++ （N m ）
系统的等效阻尼系数
10033076.6100330
r f eq r f c c c c c ⨯⨯==≈++ （N s
m ⋅）
阻尼比
0.248c ζ==≈
例题： 一阻尼缓冲器，静载荷P 去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10％，求缓冲器的阻尼系
数。
解：由题知
(0)0
x =&，设
0(0)x x =， 系统的响应为
0(cos sin )n t
n d d d
x x e
x t t ζωζωωωω-=+
速度为
22020()sin sin n n t n d d d
n t d d
x x e t x e t
ζωζωζωωωωωωω--=-+=-&
设在时刻1t 质量m 越过平衡位置到达最大位移，这时速度为
1
1200sin n n t d d
x x e
t ζωωωω-==-
&
解得 1d
t π
ω=
对应的最大位移为
1
1100()n t x x t x e
x e
ζω-==-=-由题知
1
0.1x e x ==
解得
0.59ζ=≈
第五节 对数衰减率
测定阻尼自由振动的振幅衰减率是确定振动系统阻尼的一个常用的方法。
已知减幅系数为
()1n i n n i t T i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++=== 则对数衰减率为
1
ln i n i x T x δζω+==
将有阻尼系统的自由振动振动周期22d T
πω==代入上式，得
2πζ
δ= （2-22）
当阻尼很小时（0.2ζ≤）
2δπζ≈ （2-23）
上式提供了根据实验测定的振幅衰减曲线的对数求阻尼系数的方法。
在相继的n 次振动中，振幅1x 、2x ，…，n x 有如下关系
12231
n T n n x x x e e x x x ζωδ+=====L
因而有
1121231
n n n n x x x x e x x x x δ++=⋅=L ∴ 11
1ln n x n x δ+= （2-24）。