1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件

第四节 有阻尼的受迫振动
一． 定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激励作用 下所产生的振动。
激励——外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应——激励所引起的系统的振动状态。 非自治系统：显含时间变量的系统。
二、有阻尼受迫振动
弹簧－质量系统 设 F (t) F0eit
F0 外力幅值.
外力的激励频率.
(
s)
tan
1
2 s
1 s2
有阻尼受迫振动
x
Xeit
=H ()F0eit =
1 k
F0 ei eit
=
F0 k
eit- =Aeit-
特解 x(t) B ei(t )
全解 x(t) Aet sin(dt )+B ei(t )
无阻尼受迫振动特解：x
t
1
B s2
eit
结论
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、
X ：稳态响应的复振幅
x& i Xeit &x& -2 Xeit
-m2 X ic X kX F0
X k-m2 ic F0
X
F0
k-m2 ic
X H ()F0
H ()
1
复频响应函数
k m 2 ic
振动微分方程：
x
2
0
x
2 0
x
B
2 0
e
it
0
k m
c
2 km
B F0 k
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
（2）当s>>1（ 0）
激振频率相对于系统固有频率很高
0 结论：响应的振幅很小 x(t) B ei(t )
（3）在s>>1，s<<1领域
(s)
对应于不同值对应于不同值,曲线 5
0 0.1
较为密集，说明阻尼的影响不显著 4
结论：系统可以按无阻尼情况考虑 3
x
B 1 s2
eit
2 1
0.25 0.375
x(t)
B 1 s2
(sint
s
sin 0t)
若激励频率与固有频率十分接近 s 1 0
令： s 1 2 ε 小量
s 1 2 代入：
x(t)
源自文库
B 1 s2
(sint
s
sin 0t)
1
(4
B 2
4
1)
(sin
t
s
sin
0t)
B
4
(s in t
s sin 0t)
B
4
[sin(1
2 )0t
sin 0t]
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
忽略阻尼，动力学方程及初始条件
m&x& kx
x(0)
x0
,
F0 sint
x&(0) x&0
x(t)
x1 (t )
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
B 1 s2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
F (t) F0 sin t，水平位置平衡，
试求：
1. 动力学微分方程；
2. s＝1（接近共振），且 很小时系统的振幅和相位角
解: (1) 动力学微分方程
m l 2 c 2l 2l kl l F(t)
3
3 3
ml 2 9
&&
4 9
cl 2&
kl 2
F0l
sin t
动力学微分方程：
&& 4c & 9k 9F0 sint
F0
sin x0
t
利用前述相同的方法，有：
x(t)
e 0t
(x0
cosd t
x0
0 x0 d
sind t)
初始条件响应
Be 0t [sin
cosd t
0 d
(
sin
s cos ) sind t]
B
sin(t
)
自由伴随振动
受迫响应
0
k m
c
2 km
d 0 1 2
1
(1 s2 )2 (2s)2
m m ml
(2)
0
9k =3 k mm
2c
m
2c 0 3 mk
B F0 kl
当 0时 振幅（最大摆角)
&& 4c & 9k 9F0 sint
m m ml
Amax
B
s1
B
2
F0 3 mk 2kl 2c
3F0 4cl
m k
s 0
质点的振幅
B
l 3
Amax
3F0 4c
m k
A2ei(t )
i20 Aei(t )
02 Aei(t )
F0 k
02eit
即
A2
i20 A
A02
F0 k
0ei
欧拉公式： ei(t ) cos(t ) i sin(t )
A(02
2)
i2A0
F0 k
02 (cos
i
sin )
s
0
A(02
2)
F0 k
02
cos
2 A0
F0 k
B 1 s2
cos t
mx kx F0 sin t 的全解：
x(t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
相同
不同
mx kx F0 sin t 的全解：
x(t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
考虑零初始条件，有：
相位差 0
位移与激振力在相位上几乎相同;
（2）当s>>1（ ）0
（3）当
s
位移与激振力反相;
1 0 共振时的相位差为
2，与阻尼无关.
ω/ω0＜1时响应同相， ω/ω0＞1时响应反相。
x(t) B 1 s2 eit
例题3：已知等效质量m且可简化于杆长l 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)
( x0
B 1 s2
)
cos 0t
x0
0
sin
0t
B 1 s2
cos t
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
B 1 s2
cos 0t
x(t)
1 2
B0t
响应曲线
0
t
1 2
B0t
零初始条件
x(t)
x1(t)
x2
(t)
Bs 1 s2
sin 0t
B 1 s2
sin
t
(1) s < 1 ( 0 ) (T T0 )
稳态受迫振动进行一个循环时间 内，自由伴随振动完成多个循环。
受迫振动响应成为稳态响应曲 线上迭加的一个振荡运动。
x(t )
x F0 ei
k
x= F0 eit- =Aeit-
k
例题2 在图所示系统中，已知 m, k1,k2 , F0 ,
初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。
k1
k2 x1 m
x2
F0 sin t
解： 取坐标轴 x1 x2
对连接点A列平衡方程：
k1x1 k2 x2 x1 F0 sin t 0
0.25 0.375
0.5
max
2
1
1 2
0
1
1 2 2 0
0
1
1
2
s
3
（6）当 1 , 1 结论：振幅无极值
2
max
1
2
Q
Q为系统的品质因数
阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭
三、稳态响应的特性
以s为横坐标 (s曲) 线
(s) tan1 2 s
1 s2
相频特性曲线
（1）当s<<1（ ）0
2 2c
(s) arctan 2 s 1 s2
arctan
3 mk 9k m
1
2 9k m
四、受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生,系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 。
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
2
sin
t
0
sin
0t
三、稳态响应的特性
(s)
1
(1 s 2 )2 (2s)2
简谐激励作用下稳态响应特性：
(s) 5 4
3 2
0 0.1
0.25 0.375
0.5
（1）当s<<1（ 0）
1
0
1
s
激振频率相对于系统固有频率很低 00
1
2
3
1 结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当 x(t) Bei(t)
0.5 1
s
（4）当 s 1 0
00
1
2
3
对应于较小 值， 迅s速增大,当 =0
s
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区 域内，增加阻尼使振幅明显下降
（5）对于有阻尼系统，max并不
(s)
5
0
出现在s=1处，而且稍偏左 。 4
0.1
d 0
dt
s 1 2 2 3 2
拍的周期：
0
x(t )
B 2
sin
0t
图形包络线：
0 B
B
2
sin
0t
2
0
B
2
sin 0t
t
2 0
阻尼自由振动 x(t) e0t Asin(dt )
x(t)
B
2
sin
0t
cos0t
当 0
x(t)
B
2
sin
0t
cos0t
B
2
0t
cos0t
1 2
B0t
c
os0t
随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形。
s
0
B F0 k
tg 1
2s
1 s2
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
x(t)
e 0t
(x0
cosd t
x0
0 x0 d
sin d t)
初始条件响应
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
H()
1 k
[
(1
1
s2 s2 )2
2 si (2 s)2
]=
1 k
•
1
(1 s2 )2 (2 s)2
1 s2 i2 s
(1 s2 )2 (2 s)2
1 ei
k
振幅放大因子
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
相位差
(
s)
tg
1
2s
1 s2
s 0
B F0 k
系统与幅值相等的常值力施加于物体上所引起的弹簧静变形 （系统在静力F0作用下的静偏位）；
s 系统的频率比； 0
A B系统的稳态响应的实振幅；
A B= F0
1
m (1 s2 )2 (2 s)2
(s) A 系统的振幅放大因子，它是关于频率比的函数（系统的幅频特性）； B
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
(s) 系统的响应与激励的相位角，它是关于频率比的函数（系统的相频特性）。
例： 计算初始条件，以使 mx kx F0 cost
的响应只以频率 振动。
解：
全解：
x(t)
c1
cos 0t
c2
sin
0t
B 1 s2
cos t
B
由 x(0) x0
c1 x0 1 s2
求一阶导数：
x(t)
c10
sin
0t
c20
cos 0t
B
1 s2
sin
t
由 x(0) x0
x0 c20
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
&x& c x& k x F0 eit mm m
&x& 20x& 02x B02eit
0
k m
c
（系统的阻尼比）
2 km
B F0 静变形 k
设非齐次方程的特解，即稳态响应：
x(t) Aei(t ) x(t) iAei(t ) x(t) A e2 i(t )
k1 k2 x1 k2x2 F0 sint （1）
对m列运动微分方程：mx2 k2 x2 x1
（2）
mx2 k2x2 k2x1
消去 x1
mx2
k1k2 k1 k2
x2
F0k2 k1 k2
sin t
（3）
02
k1k2
m k1 k2
由（3）得：
x2
t
m k1
F0k2
k2 02
2 / 0
(2) s > 1 ( 0 ) (T T0 )
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态受迫振动完成多个循环。
受迫振动响应成为自由振动响 应曲线上迭加的一个振荡运动。
x(t )
2 /
0
2 /
0
t
t
稳态响应
全响应
2 / 0
讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应
mx cx kx x(0) x0 , x(0)
B
4
(s in 0t
cos20t
cos0t
sin
20t
sin 0t)
B
4
cos0t
sin
20t
B
4
cos0t
2sin 0t
cos0t
B
2
sin
0t
cos0t
s 0
x(t)
B
2
sin 0t
cos0t
可看作频率为 但0 振幅按
B
2
si规n 律0缓t 慢变化的振动。
这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”。
mx cx kx kAsin t
x x1 Asin t
c
k
m
其稳态响应为：x kA
1
sin(t )
k (1 s2 )2 (2 s)2
cx m kx1 x
s
0
,
0
k, m
2
c, km
arctan
2 s
1 s2
mx
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
tan
1
2 s
1 s2