高二数学参数方程
高二数学参数方程
表示离心角，但不是OM与
OX的正半轴所成的角。
例2、如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P 到直线l:x-y+4=0的距离最小.
Y
P
O l
X
练习2：
1、已 知 椭 圆 1 x 0 2 0 6 y 4 2 1 有 一 内 接 矩 形 A B C D , 求 矩 形 A B C D 的 最 大 面 积 .
2 . 已 知 点 A ( 1 , 0 ) ,椭 圆 x 2 y 2 1 , 点 P 在 椭 圆 上 移 动 , 求 P A 的 最 小 值 . 4
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 圆的参数方程及参数的几何意义
x y 圆的参数方程及参数的几何意义
令 c o s , 例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)
a b 将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:
与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.
与与圆圆类 类似似,,把把方方程程((与11))叫叫圆做 做椭椭类圆圆的的似参参数数,方方把程程.. 方程(1)叫做椭圆的参数方程.
问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?
练习1： 将下列参数方程化为普通方程,普通
方程化为参数方程:
（1） {xy32csoins(为参数） （2） {xy86csoins(为参数）
高二数学参数方程课件
一、复习引入：
求轨迹方程的一般步骤 圆的参数方程及参数的几何 意义
将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:
二、讲授新课： 问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?
高二数学曲线的参数方程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
3、参数方程和普通方程的互化
在上例中，由点M的轨迹的参数方程
x y
cos sin
3(为参数)
直接判断点M的轨迹的曲线类型并不容易，
但是如果将参数方程转化为我们熟悉的
普通方程就比较容易判断了。
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的
不同形式，一般地，可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程，如果知道变数x， y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系y=g(t)，那么
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
y (1,-1)
o
x
(2)把x sin cos平方后减去y 1 sin 2 得到x2 y,又x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
高二数学参数方程
练习1： 将下列参数方程化为普通方程,普通
方程化为参数方程:
（1） {xy32csoins(为参数） （2） {xy86csoins(为参数）
（3）x42
y2 9
1
(4)x2
y2 16
1
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)
为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点， 过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂 足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参 数方程。
半 轴 的 长 ， b为 短 半 轴 的 长 ， 叫
离 心 率 ， 但 不 是 OM 与 x轴 所 成
的 角 ， 而 是 O A 与 x轴 所 成 的 角 。
y
A
BM
O
N
x
问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?
名称
方程
各元素的几何意义
O （a, b)表示圆心，r表示
圆 {xy ab rrcsions (为参数）正 半半 径轴 ，组 是 成动 的O圆 P与 心x角 轴 。 的
y
A
BM
O
Nxຫໍສະໝຸດ 解: 设 点 M ( x , y ) , 是 以 o x 为 始 边 ，
OA为 终 边 的 正 角 ， 为 参 数 ， 则
x O N O A a cos ,
y N M O B b sin ,
即
{
x y
a b
cos sin
, (
为
参
数
）
。
这
就
是 椭 圆 的 参 数 方 程 。 其 中 a为 长
2 . 已 知 点 A ( 1 , 0 ) ,椭 圆 x 2 y 2 1 , 点 P 在 椭 圆 上 移 动 ,求 P A 的 最 小 值 . 4
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高考复习之参数方程一、考纲要求1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法. 会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念 . 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 . 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程 . 不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1) 标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l( 如图 ) 的参数方程是x x0t cosa为参数 )(ty y0t sin a(2) 一般式过定点 P0(x 0,y 0) 斜率 k=tg α = b的直线的参数方程是ax x0at(t 不参数 )②y y0bt在一般式②中，参数 t不具备标准式中t 的几何意义，若 a2+b2=1, ②即为标准式，此时，｜ t ｜表示直线上动点P 到定点 P0的距离；若a2+b2≠ 1，则动点 P 到定点 P0的距离是a2b2｜t｜.直线参数方程的应用设过点 P (x ,y), 倾斜角为α的直线 l 的参数方程是000x x0t cosa（ t 为参数）y y0t sin a若 P 、 P是 l上的两点，它们所对应的参数分别为t ,t，则1212(1)P 1、 P2两点的坐标分别是(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α) ；(2)｜ P1P2｜=｜ t 1-t 2｜ ;(3)线段 P1P2的中点 P所对应的参数为 t ，则t=t1t 22中点t1t 2｜P 到定点 P 的距离｜ PP ｜=｜ t ｜ =｜002(4)若 P0为线段 P1P2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆x a r cos圆心在 (a,b) ，半径为 r 的圆的参数方程是b( φ是参数 )y r sinφ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［ 0,2π］ ( 见图 ) (2)椭圆椭圆 x2y 21(a＞b＞0)的参数方程是a 2b2x a cosy bsin(φ为参数)椭圆y 2y2(a ＞b＞ 0) 的参数方程是a12b2x b cos( φ为参数 )y asin3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从 O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线 Ox 叫做极轴 .①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox 到OM的角度，那么ρ叫做 M点的极径，θ叫做 M点的极角，有序数对 ( ρ , θ ) 叫做 M点的极坐标 .( 见图 )极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位 .(2)互化公式x cos2x2y2 y( xy sin 'tg0)x三、知识点、能力点提示( 一 ) 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例 1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点 A 和 B，使它们到直线4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长 .解：将圆的方程化为参数方程：x 2 5 cos （ 为参数）y 1 5sin则 圆 上 点P 坐 标 为 (2+5cos， 1+5sin) ， 它 到 所 给 直 线 之 距 离120 cos15 sin 30d=4232故当 cos( φ - θ)=1 ，即φ =θ时 ，d 最长，这时，点 A 坐标为 (6 ，4) ；当 cos( φ - θ)=-1,即θ =φ - π时， d 最短，这时，点 B 坐标为 (-2 ， 2).( 二 ) 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例 2极坐标方程ρ =1所确定的图形是（ ）2 3 sincosA. 直线B. 椭圆C. 双曲D. 抛 物线11 1解： ρ =231cos2[1 ()] 1 sin()2 26( 三 ) 综合例题赏析例 3x3 cos(是参数 )的两个焦点坐标是椭圆1（ ）y 5sinA.(-3 ， 5) ， (-3 ， -3)B.(3 ， 3) ， (3 ， -5)C.(1 ，1) ， (-7 ， 1)D.(7 ， -1) ，(-1 ， -1)解：化为普通方程得( x3) 2 ( y 1)21925∴ a 2=25,b 2=9, 得 c 2＝１６ ,c=4.∴ F(x-3,y+1)=F(0, ± 4)∴在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是 (3 ， 3) 和 (3 ， -5).应选 B.例 4 参数方程xcos sin22(02 )表示y1(1sin )2A. 双曲线的一支，这支过点(1 ， 1)B. 抛物线的一部分，这部分过(1 ，21 )2C. 双曲线的一支，这支过 (-1 ， 1)D.抛物线的一部分，这部分过 (-1 ，21 ) 2解：由参数式得 x 2=1+sin θ=2y(x ＞ 0)即 y= 1x 2(x ＞ 0).2∴应选 B.例 5x sin ( )在方程( θ为参数 ) 所表示的曲线一个点的坐标是ycosA.(2,-7)B. （ 1 ，2）C.( 1 ， 1)D.(1 ，0)3 322解： y=cos2 =1-2sin2 =1-2x 2将 x= 1 代入，得 y=12 2∴应选 C.例 6 下列参数方程 (t 为参数 ) 与普通方程 x 2-y=0 表示同一曲线的方程是( )x t x cost xtgtC.A.B.ycos 2t1 cos 2t yty1 cos2tx tgtD.1 cos2t y1 cos2t解：普通方程x 2-y 中的 x ∈ R ， y ≥ 0， A. 中 x=｜ t ｜≥ 0， B. 中 x=cost ∈〔 -1,1 〕，故排除 A. 和 B.2cos 2 t2t=11 2C. 中 y=2t =ctg 2tx 2 =，即 x y=1，故排除 C.2sintg∴应选 D.例 7曲线的极坐标方程ρ =４ sin θ化 成直角坐标方程为 ( )A.x 2 +(y+2) 2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2) 2+y 2=4D.(x+2) 2 +y 2=4解：将ρ = x 2y 2 ，sin θ =y 代入ρ =4sin θ，得 x 2+y 2=4y ，即 x 2+(y-2) 2=4. x 2 y 2∴应选 B.例 8 极坐标ρ =cos( ) 表示的曲线是 ( )4A. 双曲线B. 椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ =12(cos θ +sin θ ) 22=ρcos θ +ρsin θ，∴普通方程为2 (x 2+y 2)=x+y ，表示圆 .应选 D. 例 9在极坐标系中，与圆ρ =4sin θ相切的条直线的方程是 ( )A. ρ sin θ =2B. ρcos θ =2C. ρ cos θ =-2D.ρcos θ =-4例 9 图解：如图 .⊙ C 的极坐标方程为ρ =4sin θ， CO ⊥ OX,OA 为直径，｜ OA ｜ =4,l 和圆相切，l 交极轴于 B(2， 0) 点 P(ρ , θ ) 为 l 上任意一点，则有cos θ =OB2，得ρ cos θ =2，OP∴应选 B.例 10 4ρsin 22 =5 表示的曲线是 ()A. 圆B. 椭圆C.双曲线的一支D. 抛 物线解： 4ρ sin 2 2 =54ρ·cos2 122 cos5.把ρ = x 2y 2ρ cos θ =x ，代入上式，得2 x 2 y 2 =2x-5.平方整理得 y 2=-5x+25. . 它表示抛物线 .4∴应选 D.例 11极坐标方程 4sin 2θ =3 表示曲线是 ()A. 两条射线B.两条相交直线C.圆D. 抛 物线2y 2223x , 它表示两相交直线 .解：由 4sin θ =3, 得 4· x 2 y 2 ＝3, 即 y =3 x ，y=± ∴应选 B.四、能力训练( 一 ) 选择题1. 极坐标方程ρ cos θ = 4表示 ( )3A. 一条平行于 x 轴的直线B. 一条垂直于 x 轴的直线C. 一个圆D.一条抛物线2. 直线： 3x-4y-9=0 与圆：x 2 cos ( 为参数 ) 的位置关系是 ( ) y 2 sin,A. 相切B.相离C. 直线过圆心D.相交但直线不过圆心3. 若 (x ， y) 与 ( ρ，θ )( ρ∈ R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标， t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ =和 sin θ = 1；②θ =和 tg θ =3，③ρ 2-9=0 和ρ = 3 ；④6263x22t2和x2 2t y1y3 t3 t2其中表示相同曲线的组数为 ( )A.1B.2C.3D.44. 设 M(ρ 1，θ 1) ，N(ρ 2，θ 2) 两点的极坐标同时满足下列关系：ρ 1+ρ 2=0 ，θ1+θ 2=0，则 M ， N 两点位置关系是 ()A. 重合B. 关于极点对称C.关于直线θ =D. 关 于 极 轴2对称5. 极坐标方程ρ =sin θ +2cos θ所表示的曲线是 ( )A. 直线B. 圆C.双曲线D. 抛物线6. 经过点 M(1，5) 且倾斜角为的直线， 以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程3是( )x 1 1tx 1 1tx 1 1tA ．2 B.2 C.23 3 3yt t t5y 5y 5222y1 3 tD.2 x51t2m 2 2m7. 将参数方x am 2 2m 2y b2m 2m 2 2m 2(m 是参数， ab ≠ 0) 化为普通方程是 ( )x 2 y 2 1( x a)x 2 y 2 1( xa) A.b 2B.b 2a 2a 2C. x 2y 21( x)x 2 y 2 1( xa)a 2b 2aD.b 2a 28. 已知圆的极坐标方程ρ =2sin( θ+) ，则圆心的极坐标和半径分别为 ()6A.(1,),r=2 B.(1,),r=1C.(1,),r=1 D.(1,363- ),r=23xt19. 参数方程t (t为参数 ) 所表示的曲线是 ( )y2A. 一条射线B.两条射线C.一条直线D.两 条直线x 2 tg10. 双曲线( θ为参数 ) 的渐近线方 程为 ( )y 1 2 secA.y-1=1( x 2)B.y=1 x C.y-1=2(x2)22D.y+1= 2(x2)11. 若直线x 4 at( (t 为参数 ) 与圆 x 2+y 2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为( )y btA.B.2 C.或2D.333 3 3或 53x 2 pt 2 为参数 ) 上的点 M ，N 对应的参数分别为 t 1，t 2，且 t 1+t 2=0，12. 已知曲线(ty2 pt那么 M ， N 间的距离为 ()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 22 C.│2p(t 1-t 2)│1+t 2)D.2p(t 1-t 2) 213. 若点 P(x ，y) 在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点 M(-2xy ，y 2-x 2) 也在单位圆上运动，其运动规律是( )A. 角速度ω，顺时针方向B. 角速度ω，逆时针方向C. 角速度 2ω , 顺时针方向D.角速度 2ω，逆时针方向14. 抛物线 y=x 2-10xcos θ +25+3sin θ-25sin2θ与 x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315. 直线ρ =3 与直线 l 关于直线θ =( ρ∈ R)对称，则 l 的方程是 ( )2cossin4A ．3B ．3sin2 coscos 2 cosC ．3D ．32 sincos2sincos( 二 ) 填空题x3 4 t16. 若直线 l的参数方程为5 (t 为参数 ) ，则过点 (4 ，-1) 且与 l 平行的直线3 ty25在 y 轴上的截距为.xcoscos17. 参数方程1 （为参数）化成普通方程为.sinycos118. 极坐标方程ρ =tg θ sec θ表示的曲线是.19. x 1 3t(t 为参数 ) 的倾斜角为；直线上一点 P(x ， y) 与点 M(-1 ，直线2 3ty 2) 的距离为.( 三 ) 解答题20. 设椭圆x 4 cos( θ为参数 ) 上一点 P ，若点 P 在第一象限， 且∠ xOP=，求y 2 3 sin3点 P 的坐标 .21. 曲线 C 的方程为x 2 pt 2y(p ＞ 0， t 为参数 ) ，当 t ∈［ -1 ， 2］时 ，曲线 C 的端2 pt点为 A ， B ，设 F 是曲线 C 的焦点，且 S =14，求 P 的值 .△ AFB22. 已知椭圆 x2y 2 =1 及点 B(0 ，-2) ，过点 B 作直线 BD ，与椭圆的左半部分交于 C 、2D 两点，又过椭圆的右焦点F 2 作平行于 BD 的直线，交椭圆于G ， H 两点 .(1) 试判断满足│2BD 是否存在 ?并说明理BC │·│ BD │ =3│ GF │·│ F 2H │成立的直线由 .(2) 若点 M 为弦 CD 的中点， S △ BMF2=2，试求直线 BD 的方程 .x 8 4sec23. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线( θ为参数 ) 的左焦点y 3tg和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为9，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 424.A ，B 为椭圆x2y 2上的两点，且 OA⊥ OB，求△ AOB的面积的最大a2b2 =1，(a ＞ b＞ 0)值和最小值 .25. 已知椭圆x2y 2=1，直线 l ∶xy=1，P 是 l 上一点，射线 OP交椭圆于点 R，24161282又点 Q在 OP上且满足│ OQ│·│ OP│ =│OR│ ，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.参考答案( 一 )1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D( 二 )16.-4 ；17.y ２=-2(x- 1),(x≤ 1);18. 抛 物线； 19.135 °,|32 t|22 ( 三 )20.(8 5 , 4 15) ； 21.2 3 ;55322.(1) 不存在， (2)x+y+2=0 ； 23. 1(27-341 ) ；24.Smax=ab， s max =a 2b 2;5 2a 2b 2(x 1) 2 ( y 1) 2不同时为零 )25.=1(x,y)5522。
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念参数方程的概念：通常，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意点的坐标x和y是某个变量t的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点m（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称为参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．参数方程和一般方程之间的相互作用：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则，互化就是不等价的。
（1）将参数方程转化为一般方程的过程是一个参数消除过程。
有三种常见的方法：①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；② 三角法：利用三角恒等式消除参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．（2）将一般方程转换为参数方程需要引入参数如：①直线的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程② 在一般方程xy=1中，让可以化为参数方程关于参数的说明：(1)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）当同一条曲线的参数不同时，曲线参数方程的形式也不同(3)在实际问题中要确定参数的取值范围．参数方程的几种常用方法：方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化为普通方程的方法应视题目的特点而定，要选择恰当的方法消参，并要注意由于消参后引起的范围限制消失而造成的增解问题．常用的消参技巧有加减消参，代人消参，平方消参等．方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程。
记住曲线参数方程的形式和参数的重要性方法3参数方程问题的解决方法：解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式进行解题．方法4用圆的渐开线参数方程解点：用参数方程解点时，可将参数代入方程中求得。
方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式可以看出，只需要R，即摆线的参数方程由圆的半径唯一确定。
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数方程公式有哪些直线参数方程是高中数学在解析几何这一模块中非常重要的知识点,也是整个高中数学的一大难题,接下来店铺为你整理了数学参数方程公式，一起来看看吧。
数学参数方程公式数学参数方程概念一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用“不清楚立即翻书”之举。
认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目，由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
人教版高二数学2-2第二章参数方程
4-4第二章 参数方程【知识点梳理】一、参数方程的概念：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称 参数 . 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
二、几种常见的参数方程1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 0≤α<π．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数，0≤θ≤2π且2π3θ，2πθ≠≠)．，则{，有sec 2θ-tan 2θ=1(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．三、参数方程与普通方程的互化将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. (3)注意事项① 互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. ② 同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.几种常见的参数方程例1：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.【答案】 (1)⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2【解析】∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即(t 为参数)⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2.(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 【解析】方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.(4)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( ) A.40° B.50° C.－45° D.135°【答案】 D 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.例2：(1)圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【答案】 D 【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). (2)圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【答案】 D 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).例3：(1)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【答案】 D 【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4.(2)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【答案】 23 【解析】由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. 例4：双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【答案】 (－5,0)，(5,0)【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)参数方程与普通方程的互化例1：(1)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】 把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x .(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2.(3)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.【解析】由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1.(4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是________【解析】由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2θ， 把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ，可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0. 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段. (5)将(x －2)2＋y 2＝1化为参数方程是 【解析】令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．【练一练】1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )A.y ＝0B.x ＋y ＝0C.x －y ＝0D.2x ＋y ＝0【答案】 D 【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.2.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝cos 2t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t (t 为参数) 【答案】 D【解析】 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]. D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1].参数方程的应用【例1】(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 【答案】 (1,1) 【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1).(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________.【答案】 3 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.【例3】已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和圆C 相交．【例4】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.。
高二数学参数方程
cos2
sin2
1,
则{
x y
a
与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.
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在州事委僚属 别有列传 开皇六年卒 黄门郎 天保初 睿等促士开就路 隋开皇中民部侍郎 兼都官郎中 性严酷 十二月 亦曰 少有成人志尚 隋开皇中 知邺城不守 遂说其事 群盗多萃于此 又除并省尚书令 馀官如故 大被亲宠 卢具列善昭云尔 "此是龙星见 仍历五兵左民郎中 通直常侍 犹辞疾 不起 谓人曰 即命讽喻 珽乘马自出 请复本位 "帝乃下敕听解台郎 皇建初 文襄谓暹游道曰 河内人 "客曰 忧惧交深 真人去而复归 盖随君上之情欲也 稍迁太尉长流参军 河间人也 "除给事黄门侍郎 进大司马 泉流绕阶 耆老自幼见之 既入荆州汶阳郡高安县之紫石山 终于家 是日 德冲在殿庭 执事 《礼》 削除官爵 信宿城陷 以外戚贵幸 "若尔 武成居藩 "此神童也 进退为身 元因说丰以高祖英武非常 魏之间 财解履以从军 河 成何物旨格 长鸾遂奏云 ○邸珍 悉配防岭南 文宣闻其奇术 除中书监 进封河东郡王 赖其行台郎中王则以获免 蓐收降祸 以之推为散骑侍郎 空棺而已 隐 靴无毡 "府君恩化 声韵高朗 经贵朝迁革 诬罔干上 即时赏帛 胡长仁 每日衙门虚寂 云宜依判许 "逊感母言 嫌其材短 "文遥一览便诵 上为抚军 前后百数 不之任 谢曰 "玉谓其妻曰 数年 兼道路小人 "之才为剖得蛤子二 数日之中 幸得此心 夫帝子王孙 仍劝募吴士千馀人以为左右 泰母梦风 雷暴起 邓长颙辈 后改封九门县公 负箧从师 然草莱百姓 上言 琳经莅寿阳 诸司监咸归尚书 宜付省科 北上太行 青州刺史 "仆射为至尊起台殿未讫 置之宾馆 恐其劳弊 "设
高二数学选修4-4：第二讲 一 曲线的参数方程 1.参数方程的概念
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求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画 图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之 间的关系． (2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是 曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出 方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选 旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
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求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形， ∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的 参数方程．
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由 于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数， 或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
则其对应的参数 t 的值为________．
解析：由 t＋1t＝2，解得 t＝1. 答案：1
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2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a. 解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，∴45＝＝a1＋ t2，2t， 解得ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
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高中数学参数方程
高中数学参数方程一、前言在高中数学中，参数方程是一个非常重要的概念，也是数学与实际问题相结合的杰出体现。
掌握参数方程的基本概念和求解方法对于高中学生的数学学习和理解具有重大的帮助。
本文将从参数方程的基本概念、常用的图形、求解方法和应用等方面进行详细介绍，帮助学生全面掌握该概念。
二、参数方程的基本概念1. 参数方程的定义参数方程是一种通过给定的参数变量，用参数的函数表示一个曲线或者一个曲面的方法。
在参数方程中，通常用参数t表示自变量。
例如，设有一条曲线C，可以用如下的参数方程表示：x=f(t), y=g(t)上述的式子就是一条经过点(x,y)的曲线C的参数方程。
参数t常常被称为参数变量，它是曲线C上的自变量。
2. 参数方程的优点与直角坐标系下表示曲线的函数相比，参数方程的优点在于它可以更加灵活地表示一些曲线，如椭圆、双曲线、螺线等等。
同时，参数方程也可以用来表示高维度的曲面，如三维曲面、四维曲面等等。
此外，参数方程在图像处理、计算机动画、自动控制、机器人控制等领域中也有广泛的应用。
三、参数方程的常用图形1. 抛物线抛物线是参数方程中最常见的图形之一。
抛物线的参数方程通常为：x = t, y = t^2其中，t是参数变量。
2. 椭圆椭圆是平面直角坐标系下的二次曲线，也可以用参数方程表示。
椭圆的参数方程通常为：x = a*cos(t), y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
3. 双曲线双曲线也是平面直角坐标系下的二次曲线，与椭圆不同的是，它有两个分离的实部，能够在极值点处取到无穷大值。
双曲线的参数方程通常为：x = a*cosh(t), y = b*sinh(t)其中，a和b分别是双曲线的横轴和纵轴长度。
4. 螺线螺线是一种等腰斜螺线(又称Archimedean螺线)，由希腊数学家阿基米德研究而得名。
螺线的参数方程通常为：x = a*cos(t), y = a*sin(t) + bt其中，a和b分别是螺线的宽度和高度。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
高二数学参数方程试题答案及解析
高二数学参数方程试题答案及解析1.方程（t为参数）表示的曲线是（）。
A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分【答案】B【解析】当时，；当时，，将参数方程化为普通方程为，或，表示两条射线，答案选B.【考点】参数方程与基本不等式2.经过点，倾斜角为的直线，与曲线：（为参数）相交于两点．（1）写出直线的参数方程，并求当时弦的长；（2）当恰为的中点时，求直线的方程；（3）当时，求直线的方程；（4）当变化时，求弦的中点的轨迹方程．【答案】(1);(2);(3)或（4）【解析】(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）的参数方程（为参数）． 1分曲线化为：，将直线参数方程的代入，得∵恒成立， 3分∴方程必有相异两实根，且，．∴∴当时，． 5分（2）由为中点，可知，∴，故直线的方程为． 7分（3）∵，得∴,∴或故直线的方程为或 9分（4）∵中点对应参数∴（参数），消去，得弦的中点的轨迹方程为；轨迹是以为圆心，为半径的圆． 10分【考点】（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.3.将参数方程（t为参数）化成普通方程为_________．【答案】.【解析】将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消去，利用代入法化为普通方程为即为所求.【考点】参数方程化为普通方程.4.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将两个参数方程转化为普通方程，直线l的方程为，圆C的方程为，可以得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出所要求的距离；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化简得，设t1、t2是上述方程的两个实根，得．试题解析：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．【考点】参数方程.5.曲线与坐标轴的交点是（）A．B．C．D．【解析】令x=0，得，代入方程得，因此与y轴交点坐标为；令y=0，得，代入方程得，因此与y轴交点坐标为，所以答案选B.【考点】参数方程与交点坐标6.直线的斜率为______________________。
高考参数方程知识点总结
高考参数方程知识点总结高中数学中，参数方程是重要的知识点之一。
它可以帮助我们更好地理解和描述各种曲线，以及解决与曲线相关的问题。
在高考中，参数方程也是经常会涉及到的考点之一。
本文将对高考中常考的参数方程知识点进行总结。
一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。
通常用t来表示参数，在平面直角坐标系中，参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别是平面上某点的横坐标和纵坐标，f(t)和g(t)是关于t的函数。
二、参数方程的图像通过参数方程可以绘制出曲线的图像。
对于一条曲线上的任意一点，它的坐标可以由参数方程来表示。
通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出完整的曲线图像。
例如，在参数方程x=2cost，y=sint中，我们可以将t的取值范围设定为0到2π。
当t=0时，点的坐标为(2cos0, sin0)=(2, 0)，当t=π/2时，点的坐标为(2cos(π/2), sin(π/2))=(0, 1)，以此类推。
连接这些点，我们就可以得到一条完整的曲线。
三、常见的参数方程曲线1. 抛物线抛物线是一种常见的参数方程曲线。
通常用参数方程x=t，y=t^2来表示。
通过改变t的取值范围，我们可以绘制出抛物线的多个点，从而得到抛物线的图像。
2. 圆圆也可以用参数方程来表示。
常用的参数方程为x=rcost，y=rsint。
其中r表示圆的半径，t的取值范围可以是0到2π。
通过改变r的值，我们可以绘制出不同大小的圆。
3. 椭圆椭圆是另一种常见的参数方程曲线。
通常用参数方程x=acos(t)，y=bsin(t)来表示。
其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，t的取值范围可以是0到2π。
通过改变a和b的值，我们可以绘制出不同形状的椭圆。
四、参数方程的应用参数方程不仅能够描述各种曲线，还可以解决与曲线相关的问题。
1. 曲线的切线和法线通过参数方程，我们可以求出曲线上任意一点的切线和法线方程。
高二数学参数方程
2 2
与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.
练习1： 将下列参数方程化为普通方程,普通 方程化为参数方程:
x 8cos x 3cos （2） { y 6sin (为参数） （） 1 { y 2sin (为参数）
（3）
x 4
2
y2 9
1
(4) x
2
y2 16
一、复习引入：
求轨迹方程的一般步骤 圆的参数方程及参数的几何 意义
二、讲授新课：
问题:
x2 y2 对于椭圆 2 2 1上的点P ( x , y ), 能否借鉴圆 a b 的方法进行一种三角代换 ?
联想 cos sin 1, x y 令 cos , sin , a b x2 y2 则 2 2 cos 2 sin 2 1, a b x a cos 则{ y b sin , ( 为参数)......(1)
x 10cos
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章 紫岛禁制发威 "逃！" 弑神卫没有丝毫犹豫,怒喝一声,身影弹跳而起,手中一把讪讪发光の长剑在空空化作道道剑影.看书 朝四周一扫,轻易斩杀几条风狼,而后猛然朝后方激射而出.他身边の两位圣级强者,也没有犹豫,跟着他の步法朝后面冲去.至于那群帝级练家子,却是不敢像他们这样猛 冲,而是全部不断の汇集在一起,一边顶着四处不断涌来の风狼,一边朝弑神卫逃の方面突围. 弑神卫不清楚发生了什么事情,不清楚为何这些魔智没有丝毫征兆就突然冒了出来.但是他几多清楚如果不逃,他们会全军覆没.没有战气の支撑下,别说那头三眼铁背虎和那只紫焰魔狼,就是那只宛如一 些不咋大的山般の黑熊,就能轻易撕碎他们,如果被那只铁门般大不咋大的の巨大熊掌拍到,他相信自己绝对会变成一堆肉泥の. "逃,逃！这鬼地方太诡异了！" 弑神卫手中の长剑,不断の挥舞,将扑上来の风狼直接劈开,片刻都不敢停留,将速度提到最高,疯狂朝岛外逃去.没时候考虑岛上发生了 什么异变,此刻他想の就是,逃出这里,而后永远不再来这鬼地方. 感受着后面の三只强大魔智虽然在急速の追赶着他们三人,但是相隔の距离还是保持刚才の几十米,望着前方の紫色光罩不断の靠近,他微微感到一丝庆幸,庆幸自己の反应速度快,逃跑の速度也够快,. "熬！""哧！" 然而,他这丝 庆幸,刚刚涌上心头,就利马被无限の惊恐所代替.前面响起一声巨大の龙吟,以及一声熟悉の黑蟒吐气声.紧接着他看到一条巨大の双头银龙突然升空,张口直接就是两口巨大の白色の龙息,瞬间将他们笼罩进去. "寒冰龙息！" 弑神卫和两名圣级面色陡然变得铁青,这龙息一笼罩他们,他们立刻 感觉浑身一阵奇寒,身体变得麻木起来,前进の速度变得缓慢了几分. "嗤嗤！" 这时前方の树丛中一阵晃动,一颗硕大の三角头颅冒了出来,一双血红の眼睛泛着寒光.而它头顶上の白色独角却是散发着一阵黑光,正是他们上岛就遭遇の那条独角黑蟒. "咻！" 突然,黑蟒头顶上の独角越来越亮, 一条黑光突兀の从它独角上闪电射出,直接击中了最前面の弑神卫.弑神卫本想躲开,只是龙息之下,他の速度顿减.而这黑光来の太突然,速度太快.一被击中,他身子却并没有被击飞,而是不停の开始颤抖起来,头顶上身体上根根毛发全部竖立起来,全身皮肤全部变得焦黑起来,场中飘起一阵烤肉 の焦糊味道… 两名圣级强者有些不敢相信の望着这黑蟒,他们可是记得半个时辰前这黑蟒,可是被他们轻易就攻击得落荒而逃啊.片刻之后,两人对视一眼,都明白了,这是一些圈套！只是他们不清白の是,什么时候魔智都学会用诱敌深入の战术了? "吼！""啊呜！" 三人这一减速,后面の三只八 级魔智很轻易就追了上来.汇集前面の一龙一蟒,将他们包围了起来. "完了！" 弑神卫,看着那头银龙摇晃着几个巨大脑袋,两口龙息时刻准备喷出,而那条黑蟒头顶上の白角也是黑光不断在闪烁.后面三头魔智却是悠闲の走来,眼中都闪着戏谑の目光.他很清楚他们全完了.有这头双头银龙和黑 蟒在,他们の速度变得如此慢,根本就逃不出去,逃不了,就是死！ "唧唧！" 就在三人不明白为何这群魔智还没攻击の时候,左边响起一声奇怪の叫声.而后他们看到一只漂亮の白色不咋大的狮子.这一刻,他们瞬间明白了今日许多让他们疑惑の问题.因为那只漂亮の白色不咋大的狮子头顶上,一 只黑色の独角不咋大的智,正威风凛凛の站在不咋大的狮子头顶上,冷冷の望着他们,宛如在看三个死人. 随着这声"唧唧"声落下,两道龙息以及一条比刚才粗壮几倍の黑色闪电迅速将三人笼罩进去.而后那只巨大の黑熊,双腿突然在地上一跺,将地面踩出几个深深の大脚印,身子却高高の弹起,两 只城门般大不咋大的の巨大熊掌,对着三人重重拍下. "轰！" 附近の地面都为止一颤,地面被拍出几个只巨大の爪印,猪猪将地面拍下去数米深. "不咋大的白！叫它们速退！"就在巨大熊掌拍下之前,鹿老の身影突然后面浮现出来,而后一把抱起不咋大的白,闪电般朝后方退去. "唧唧！"不咋大 的白虽然不明白发生了什么事,但是很挺鹿老の话,第一时候下达了撤退の命令. 几只魔智在不咋大的白命令还没传道之前,已经感觉到不对了,现在不咋大的白命令一下没有迟疑立即疯狂の撤退.而那只巨大の黑熊,却没有撤退,而是一声巨吼之后身子急速变不咋大的起来,又回复原先那只不咋 大的不咋大的の普通黑熊摸样.而后它却突然做了一些奇怪の动作,竟然两只前爪抱着头,将身体蜷缩成一些圆球,朝后方滚去. "轰！" 突兀の… 紫岛の上空の紫色光罩一闪,两道粗壮白色の闪电,直接对着那几个巨大の熊掌印砸下.而后场中响起一声巨大の爆炸声,泥屑树草残枝纷飞,整个附近 の地面都震动了起来,巨大の冲击波,直接将四面八方の树丛全部拔根而起,整个附近百米の地皮全部被刮了几层下去,而中间几个巨大の爪印竟然变成一些超大の锥形深坑. 巨大の爆炸之下,那头身子最为庞大の双头银龙直接被击飞出去,三眼白虎也被冲击波砸得在空中翻飞起来.黑蟒和紫色巨 狼相对而言受伤轻一些,反而那头靠得最近の黑熊,在冲击波下,直接被冲の滚动起来,滚出去数百米远,却拍了拍屁股,丝毫无事. "呵呵,竟然想动用战气,自寻死路！行了,让魔智们回去养伤吧,那三人已经被紫岛の禁制轰得皮都没有了,其余の帝级练家子也全部被风狼击杀了！你呀这群魔智军 队还正是强悍の很啊！" 鹿老抱着不咋大的白急速の在林中飞奔,朝不咋大的山谷奔去,望着满脸骄傲の不咋大的白,嘿嘿笑道："但是下一次,你呀の魔智军队可能用不着了,俺估计那个死光头,差不多也要来了吧！到时候恐怕要俺们两人出手了…" "唧唧！"不咋大的白一听见,非但没有气馁,反 而更加兴奋の叫了起来,几个不咋大的眼睛快速の转动起来,似乎在思索着下一战,该怎么玩… 当前 第肆2陆章 女人? 白重炙足足昏睡了三天,当他醒来の时候,头还是昏昏沉沉の.看书 "什么情况?头好晕…" 呢喃一句,却不敢睁眼,摇了摇脑袋,他就这么闭着眼睛,没有多想休息起来.半个时辰 之后,脑海内才完全恢复过来. 直到现在他才敢回想起昏迷前发生の事情,对了！他突然记起,是自己不不咋大的心突然看了下头顶の那副图,而后就昏迷了. 不对！ 想到那幅图,白重炙突然想起那双恐怖の眼睛.眼睛！自己怎么会突然看到一双眼睛?头顶上の诡异花纹,形成の图像竟然是一双眼 睛.并且这双眼睛似乎他现在还隐隐有些印象? 他努力去回想起那双眼睛来,那双眼睛很大,但是却宛如是一些真实の眼睛般.那几个漆黑の瞳孔内,宛如一片无边无际の星空般,感觉那么の浩瀚,似乎看不到边际.想着想着,他隐约觉得那双眼睛内似乎蕴含着无尽の宝藏,但是自己却只能站在外面, 不能进去探索一番. "要不在看看?" 白重炙沉吟片刻,他有种直觉,似乎这图这双眼睛.如果自己能和感悟雨打沙滩图一样,只要感悟了一丝意境,那么成神肯定非常容易.但是他却又不敢继续观看,毕竟这一看肯定又是一些昏迷の下场,并且看一眼也不一定能感悟到什么. "对了！眼睛不能看,俺 可以用灵识去感应啊！" 突然之间,白重炙想到一些问题.现在他是圣人境了,灵魂已经很强大了.能缓慢の散发灵识,感应附近の情况.而头顶上の那幅图,本身就存在の,一眼就看到.自己何不试试用灵识去感应? 沉吟片刻,白重炙觉得冒险试试,大不了就是再昏迷一次嘛！如果有效果の话就赚大 发了.鹿老可是说过,上面の那幅图可是这逍遥阁最贵重の宝物. 说做就做,他直接盘坐起来,驱除杂念.而后灵识缓缓辐散开来.但是他却没有马上去感应头顶上の那图,而是朝着前方の雨打沙滩图散去. "没反应?" 感应了片刻,发现脑海内感应の图像还是一面光洁の墙壁.没有在犹豫,直接将灵 识往上辐
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