有关最短距离问题

有关最短距离问题

例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。

P B

A

这是课本中的一道题，做法相信大家都知道。其实，这种方法还可以和其他知识合起来变形应用。

例2.要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A到B的距离最短，桥应该修在那个位置。

A

解：过点B做河岸的垂线,并截取BC,使BC等于河岸的宽度，连接AC交下边河岸于点P，则P点为所求的点。做法如上图。

例3.在锐角三角形中求一点P，使P到此三角形三个顶点的距离和最短，求点P的位置。

E

D

P

C

B

A

解：假设P点在上图位置，连接PA、PB、PC,将⊿PAB逆时针方向旋转0

60.

在⊿PBD 中PB=DB ,∠PBD=060.所以⊿PBD 为正三角形。

所以PB=BD=PD.

由旋转性质知：PA=DE 。所以PA+PB+PC=PC+PD+DE

由两点之间线段最短知，当E 、D 、P 、C 在同一直线上时，PA 、PB 、PC 距离之和最短。 所以∠EDB=∠BPC=0120 即∠BPA=∠BPC=∠APC=0120

因此，点P 在使∠BPA=∠BPC=∠APC=0120的位置时，到三角形三顶点的距离之和最短。