有关最短距离问题
线外一点到直线的最短距离
线外一点到直线的最短距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们经常会遇到这样一个问题：给定一个点和一条直线，求点到直线的最短距离。
这个问题在很多实际应用中都是非常常见的，比如在工程设计中需要确定某个点到直线的距离，或者在航海中需要确定飞行器到航线的距离。
要计算点到直线的最短距离，我们首先需要了解直线的方程以及点到直线的垂直距离的定义。
一条直线可以用方程Ax+By+C=0来表示，其中A、B、C是常数。
假设我们有一个点(x_0,y_0)，我们想计算这个点到直线Ax+By+C=0的最短距离。
为了计算这个最短距离，我们可以利用点到直线的垂直距离公式。
点(x_0,y_0)到直线Ax+By+C=0的垂直距离可以表示为：d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}这个公式的推导过程可以通过向量的方法来进行，但是为了简化，我们这里不展开具体的推导细节。
这个公式给出了点到直线的最短距离，我们可以通过这个公式来解决这个问题。
举例来说，假设我们有点(2,3)和直线2x+3y-6=0，我们想计算点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离。
根据上面的公式，我们可以将点的坐标和直线的系数代入公式中计算出最短距离d。
d = \frac{|2*2+3*3-6|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{13}}通过上面的计算，我们可以得出点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离为\frac{1}{\sqrt{13}}。
这个计算过程可以很方便地通过计算机程序实现，从而解决大量点到直线距离计算的需求。
除了点到直线的最短距离，我们还可以考虑更一般的问题：线外一点到直线的最短距离。
这个问题稍微复杂一些，但是我们同样可以通过基本的几何知识和计算方法来解决。
我们可以通过直线的方程Ax+By+C=0计算直线的斜率k=-\frac{A}{B}。
然后，我们可以得到直线的法线方程y=kx+\frac{C}{B}，这个方程表示直线的法线的斜率为-\frac{1}{k}且经过点(x_0,y_0)。
圆周一动点到两定点的最短距离
圆周一动点到两定点的最短距离圆周一动点到两定点的最短距离是一个经典的几何问题，涉及到圆的性质与直线的关系。
在本文中，我们将从不同的角度探讨这个问题，展示出它的深度和魅力。
首先，我们来了解一下这个问题的背景。
假设有一个圆，圆心为O，半径为r；另外有两个定点A和B，我们需要找到一个动点P，使得P到A和B的距离之和最小。
为了解决这个问题，我们可以运用几何分析的方法。
首先，我们将P点与A、B两点分别连线，得到线段PA和PB。
我们可以观察到，P 到A和B的距离之和等于线段PA和线段PB的长度之和。
接下来，我们观察到一个重要的性质：当线段PA和线段PB的长度相等时，P到A和B的距离之和达到最小值。
这是因为，当PA和PB 的长度相等时，P点正好位于线段AB的中垂线上，此时P到A和B 的距离之和等于2倍的线段PA（或PB）的长度。
根据这个性质，我们可以得出结论：圆周上与线段AB的中垂线相交的点P，即为P到A和B的距离之和最小的点。
这个点P的位置并不唯一，因为圆周上有无数个与线段AB的中垂线相交的点，它们的P到A和B的距离之和都是最小的。
这个结论可以通过几何推导得到，但也可以用数学方法进行证明。
我们可以设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，定点A的坐标为(x₁,y₁)，定点B的坐标为(x₂,y₂)。
根据求解最短距离的条件，可以列出以下方程组：√((x-x₁)²+(y-y₁)²)+√((x-x₂)²+(y-y₂)²)=k其中，k为常数。
通过求解这个方程组，我们可以得到圆周与线段AB的中垂线相交的点P的坐标。
除了几何和数学的方法，还有其他方法可以求解这个问题。
例如，我们可以利用优化算法来找到P到A和B的距离之和最小的点。
通过将问题转化为一个优化问题，我们可以建立一个目标函数，使得这个函数的取值在P点附近达到最小值。
通过迭代求解，我们可以找到使得目标函数取值最小的P点。
点到直线的距离最短 生活例子
点到直线的距离最短生活例子一、引言生活中，我们经常会遇到一些与点到直线距离相关的问题，比如在找寻最短路径、设计建筑物或者进行测量时。
点到直线的距离是一种重要的数学概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过一些生活例子来解释点到直线的距离。
二、点到直线的定义点到直线的距离是指空间中一点到一条直线的距离。
在数学上，我们可以通过垂直距离或者投影距离来计算点到直线的距离。
三、生活例子一：最短路径在日常生活中，我们经常需要选择最短路径来节省时间和精力。
我们去某个地方旅行，需要选择一条最短的路线；在购物时，我们想要找到离家最近的商店等。
这些都涉及到点到直线的距离的概念。
通过计算点到直线的距离，我们可以找到一条最短路径，从而节省时间和成本。
四、生活例子二：建筑设计在建筑设计中，点到直线的距离也是一个重要的概念。
设计师需要考虑到建筑物与基准线之间的距离，以确保建筑物的稳定性和美观性。
通过计算点到直线的距离，设计师可以确定建筑物与基准线的最佳位置，从而确保建筑物的稳固性和美感。
五、生活例子三：测量在工程测量中，点到直线的距离也是一个重要的概念。
工程师需要通过测量来确定物体与基准线之间的距离，以便进行建筑、施工和维护工作。
通过计算点到直线的距离，工程师可以准确地测量物体与基准线之间的距离，从而确保工程的准确性和安全性。
六、结论点到直线的距禮是一个重要的数学概念，在生活中有着广泛的应用。
通过生活例子的解释，我们可以更加直观地理解点到直线的距离的概念，并了解它在日常生活中的实际应用。
希望大家能够通过本文的介绍，对点到直线的距离有一个更加深入的了解。
七、生活例子四：交通规划交通规划是现代城市发展中不可或缺的一部分。
在设计城市道路和交通系统时，需要考虑点到直线的距离来确定最佳的道路布局和交通流线。
通过计算点到直线的距离，交通规划师可以更好地规划交通设施的位置和道路的走向，以便提高交通效率和减少交通拥堵。
八、生活例子五：地图制作在制作地图的过程中，点到直线的距离也是一个重要的因素。
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
(完整版)勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
最短距离问题
最短距离问题1.如果B 村庄改为与A 同侧，且与原位置关于河对称，如图，A 、B 是分别在河同侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？2.如图，△ABC 中，A 、B 为两定点，C 是直线l 上的一动点，当C 点运动到何处时，△ABC 的周长最短。
3.如图，E 是边长为4正方形ABCD 边CD 上的一动点，且DE 等于1，试在AC 上确定一点P ，使PD+PE 的和最小，并求出这个最小值。
4.如图，等腰直角三角形ABC 的边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一个动点，则PB+PE 的最小值为5.如图，△ABC 中，AB=2，∠A=30°，若在AB 上取一点N ，在AC 上各取一点M ，使得BM+MN 的值最小，求这个最小值。
6.如图，正方形ABCD 的面积为16， △ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC+PE 的和最小，则这个最小值为7.如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在直线a 上平行移动。
问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB 的长最短。
8.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM 。
（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。
EP DC BA。
点到线段最短距离公式
点到线段最短距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们经常会遇到点到线段的最短距离问题。
这种问题在实际生活中也是非常常见的，比如我们在行驶时需要保持与前车的安全距离，或者在设计建筑物时需要计算两个设施之间的最短距离等等。
解决这类问题需要运用数学知识，特别是点到线段最短距离公式。
要计算点到线段的最短距离，我们首先需要了解什么是点、线段以及它们之间的关系。
点是空间中的一个位置，没有大小和形状；而线段是由两个端点确定的有限长度的线段。
点和线段之间的最短距离就是从点到线段上的某个点的距离，这个距离是垂直于线段的距离。
根据数学知识，我们可以得出点到线段最短距离的公式如下：设点P(x0, y0)到线段AB的端点A(x1, y1)和B(x2, y2)的距离公式为d，其计算步骤如下：1.计算线段AB的长度：AB=sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)3.如果d=0，则点P在线段AB上，距离为0；否则，计算点P到线段AB的最短距离：d = |(x2-x1)*(y1-y0)-(x1-x0)*(y2-y1)| / sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)4.点P到线段AB的最短距离即为d。
这个公式的推导过程可以通过几何方法或者向量方法来解释，但无论是哪种方法，最终的结果都是一样的。
这个公式在实际中的应用非常广泛，比如在计算机图形学中，就需要大量地使用到点到线段的最短距离公式来进行计算。
除了点到线段的最短距离公式，我们还可以推广到点到直线的最短距离问题。
点到直线的最短距离的计算方法与点到线段的方法很类似，只是直线是无限延伸的，所以我们只需要计算垂直于直线的距离即可。
点到线段的最短距离公式是一种非常重要的数学工具，在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握这个公式，我们可以更加准确地计算出点到线段的最短距离，从而更好地解决实际问题。
希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地了解点到线段最短距离的计算方法，提高数学应用能力。
数学考点---最短距离问题(带答案)
数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=•（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。
最短距离求解题技巧
最短距离求解题技巧最短距离求解问题是在计算机科学和运筹学中非常重要的一个问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括路径规划、网络优化、数据挖掘等。
在本文中，我将介绍一些求解最短距离问题的常用技巧。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种经典算法。
它通过逐步确定从源点到其他节点的最短路径，并使用一个优先级队列来选择下一个最近的节点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是节点数，E是边数。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的另一种经典算法。
与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理图中存在负权边的情况。
Bellman-Ford算法通过对所有边进行V-1轮的松弛操作来逐步确定最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是节点数，E是边数。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是求解全源最短路径问题的一种经典算法。
它通过动态规划的方式计算从任意两个节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是节点数。
Floyd-Warshall算法的优势是可以处理有向图或无向图中存在负权边的情况。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于求解从起点到终点的最短路径。
它综合使用节点距离和启发式函数来评估节点的优先级，以选择下一个节点进行扩展。
A*算法通常在路径规划和游戏AI中使用。
A*算法的时间复杂度取决于启发函数的复杂度。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是一种用于求解无向图的最短路径问题的算法。
它通过选择边来构建一个连通的生成树，使得树的权重和最小。
常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
点到圆的最小距离问题
点到圆的最小距离问题
在几何学中，点到圆的最小距离问题是一个常见的数学问题。
该问题的目标是
确定一个给定点与一个给定圆之间的最短距离。
我们需要明确一些基本概念和公式。
一个圆由圆心和半径定义。
给定圆的圆心
坐标为(x₀, y₀)，半径为r。
而点的坐标为(x, y)。
我们需要找到点到圆的最小距离，即 d。
对于点到圆的最小距离问题，我们可以利用以下公式来计算：
d = |√((x - x₀)² + (y - y₀)²) - r|
其中，(x - x₀)²表示点横坐标与圆心横坐标的差的平方，(y - y₀)²表示点纵坐标与圆心纵坐标的差的平方，√表示开方运算，|…|表示绝对值运算。
我们可以通过计算上述公式，找到给定点与给定圆之间的最小距离。
但需要注
意的是，如果点位于圆内部，这个最小距离则为负数，表示点到圆的距离为负，即点在圆内。
通过求解点到圆的最小距离问题，我们可以在几何学、物理学和工程学等领域
中应用。
例如，在导航系统中，我们可以利用这个问题来确定两个点之间的最短路径，或者在建筑设计中，可以使用这个问题来确定物体与圆形结构之间的最小间隙。
点到圆的最小距离问题是一个基本且常见的数学问题。
通过利用相关公式，我
们可以准确计算出给定点与给定圆之间的最短距离，并在不同领域中应用这个问题的解决方法。
圆锥曲线最短距离
圆锥曲线最短距离
圆锥曲线最短距离的问题，可以通过以下两种思路进行解答：
第一种，对于从该平面上的定点出发到椭圆上一点的最短距离的问题，可以采用仿射变换。
通过仿射变换将椭圆仿射为圆，并将仿射后的定点与圆心连线，再减去半径，即得到了该点到圆心的距离。
再将此距离按照仿射的规则转化为原来xOy坐标系的距离，即为所求。
第二种，对于从椭圆上的动点出发到定点最短距离的问题，可以将该点的坐标进行三角换元，得到P（acosθ，bsinθ），再利用两点间的距离公式求得最短距离。
如果该椭圆的焦点在坐标轴上，可以使用单独将椭圆方程中的x或y
配成完全平方，再使用三角换元的方式求解。
如果仍对圆锥曲线最短距离问题有疑问，可以请教数学老师或查阅相关数学书籍。
最短距离问题
球面上最短航线
在地球表面上，两地之间的最短距离是通过这两点的大圆的劣弧段。
其中赤道、经线圈、晨昏线都是大圆。
1、若两点在赤道上，则两点间最短航线应是沿着赤道朝两点间的劣弧方向运动，即向东或向西。
2、若两点在同一条经线上，则两点间最短航线应是沿着经线朝两点间的劣弧方向运动，即向北或向南。
3、若两地的经度差等于180，则经过这两点大圆是经线圈。
这两点间的最短距离是经过极点。
①同在北半球，最短航线必须经过北极点，其航行方向一定是先向正北，过北极点后再向正南。
②同在南半球，最短航线必须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过南极点后再向正北。
③两地位于不同半球，这时需要考虑经过北极点为劣弧，还是经过南极点为劣弧，然后确定最短航线的走向和航程。
4、若两地的经度差不等于180，则经过这两点大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航线不经过极点，具体分为两种情况：
①甲地位于乙地的东方，从甲到乙最短航程为：同在北半球，先向西北，再向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于不同半球时，需要讨论哪一段为劣弧段。
②甲地位于乙地的西方，从甲到乙最短航程为：同在北半球，先向东北，再向东，最后向东南；同在南半球，先向东南，再向东，最后向东北；位于不同半球时，需要讨论哪一段
为劣弧段。
5、俯视图，经过两点的大圆的劣弧部分形状可视为两点间的直线（如图）。
间）。
初一数学最小值距离问题
初一数学最小值距离问题
在初一数学中，最小值距离问题通常涉及到几何图形，尤其是平面几何。
解决这类问题时，可以采用以下方法：
1. 转化法：通过一定的转化，将问题从一种形式转化为另一种更易解决的形式。
例如，将最小值问题转化为两点之间的距离问题，或定点到定直线的最短距离问题。
2. 构造法：通过添加辅助线或构造新的图形，将问题转化为更易解决的形式。
例如，在求AP+BP的最小值时，可以构造一条线段等于AP，然后利用三
角形两边之和大于第三边的性质。
3. 数形结合法：将代数与几何结合起来，利用代数方法解决几何问题。
例如，利用代数不等式求最值，或利用几何意义解释代数不等式的性质。
解决最小值距离问题需要综合考虑这些方法，具体问题需要具体分析。
同时，还需要熟练掌握几何的基本概念和性质，如平行、垂直、对称等。
通过大量的练习和总结，才能逐步提高解决这类问题的能力。
点到抛物线的最短距离公式
点到抛物线的最短距离公式现在，我们考虑一个问题：给定一个抛物线和一个点P(x0, y0)，如何找到离点P最近的抛物线上的点Q(x, y)呢？这个问题实际上可以转化为求解点P到抛物线的最短距离。
那么，我们该如何解决这个问题呢？我们需要确定抛物线的方程。
假设我们已经知道了抛物线的方程y=ax^2+bx+c，那么我们可以将点P代入方程，得到一个关于x的二次方程。
我们可以解这个方程，找到与点P最近的点Q的横坐标x。
我们可以将点Q的横坐标x代入抛物线的方程，得到点Q的纵坐标y。
这样，我们就找到了离点P最近的抛物线上的点Q。
现在，让我们通过一个具体的例子来说明这个过程。
假设我们有一个抛物线的方程为y=x^2，点P的坐标为P(2, 4)。
我们将点P的坐标代入抛物线的方程，得到4=a(2)^2+b(2)+c。
这是一个关于a、b、c的方程。
我们可以解这个方程，得到a、b、c的值。
假设解得a=1，b=-4，c=4。
然后，我们将点P的横坐标代入抛物线的方程，得到点Q的纵坐标。
代入得到y=1(2)^2-4(2)+4=0。
所以点Q的坐标为Q(2, 0)。
通过这个例子，我们可以看到点P到抛物线的最短距离就是点P到点Q的距离，即4个单位。
这个最短距离可以通过点P的纵坐标和抛物线的方程来计算得到。
总结一下，通过将点P代入抛物线的方程，我们可以得到一个关于x的二次方程。
解这个方程，我们可以找到与点P最近的点Q的横坐标x。
然后，将x代入抛物线的方程，我们可以得到点Q的纵坐标y。
这样，我们就找到了点P到抛物线的最短距离以及最近点Q 的坐标。
在实际应用中，点到抛物线的最短距离公式可以帮助我们解决很多问题。
比如，在设计桥梁或者建筑物的时候，我们可以利用这个公式来确定离某一个点最近的抛物线上的点，从而使得结构更加稳定。
此外，在物理学中，我们也可以利用这个公式来研究抛体运动的轨迹以及其他运动形式。
点到抛物线的最短距离公式是一个有趣而实用的数学工具。
数学考点---最短距离问题（带答案）
数学考点---最短距离问题（带答案）数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP 最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△AB C周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0）B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x 轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P 即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B （2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M （1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A （﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F （1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=?（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F 上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D 关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD?sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O 的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。
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有关最短距离问题
例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。
P B
A
这是课本中的一道题，做法相信大家都知道。
其实，这种方法还可以和其他知识合起来变形应用。
例2.要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A到B的距离最短，桥应该修在那个位置。
A
解：过点B做河岸的垂线,并截取BC,使BC等于河岸的宽度，连接AC交下边河岸于点P，则P点为所求的点。
做法如上图。
例3.在锐角三角形中求一点P，使P到此三角形三个顶点的距离和最短，求点P的位置。
E
D
P
C
B
A
解：假设P点在上图位置，连接PA、PB、PC,将⊿PAB逆时针方向旋转0
60.
在⊿PBD 中PB=DB ,∠PBD=060.所以⊿PBD 为正三角形。
所以PB=BD=PD.
由旋转性质知：PA=DE 。
所以PA+PB+PC=PC+PD+DE
由两点之间线段最短知，当E 、D 、P 、C 在同一直线上时，PA 、PB 、PC 距离之和最短。
所以∠EDB=∠BPC=0120 即∠BPA=∠BPC=∠APC=0120
因此，点P 在使∠BPA=∠BPC=∠APC=0120的位置时，到三角形三顶点的距离之和最短。