中考数学专题：最短距离问题

最短距离问题分析
洪湖市峰口镇二中 刘万兵
最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定
某范围内函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最
小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大
值”时，大都应用这一模型。

几何模型： 条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．
问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，
则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，
B 与D 关于直线A
C 对称．连结E
D 交AC 于P ，则
PB PE +的最小值是___________；
（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，
OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，
求PA PC +的最小值；
解：（1）PB PE +
的最小值是DE = （2）PA PC +
的最小值是【典型例题分析】
1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）
A
．B
． C ．3 D
A D
E
P
A B
A '
P l
A B
B 图1
A B C
图2 P
2．如图，抛物线21
2
4y x x =--+的顶点为A ，与y
(1)求点A 、点B 的坐标；
(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB ≤AB ； (3)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标.
解：(1)令x=0，得y=2，∴ B(0，2)
∵ 2211
2(2)3
44y x x x =--+=-++
∴ A(-2，3)
(2)证明：ⅰ.当点P 是AB 的延长线与x 轴交点时，PA-PB=AB ； ⅱ.当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时， 在点P 、A 、B 构成的三角形中，PA-PB ＜AB. ∴ 综合上述：PA-PB ≤AB. (3)作直线AB 交x 轴于点P
由(2)可知：当PA-PB 最大时，点P 是所求的点 作AH ⊥OP 于H ∵ BO ⊥OP
∴ ∠BOP=∠AHP ，且∠BPO=∠APH
∴ △BOP ∽△AHP ∴
AH HP
BO OP = 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即
322OP
OP += ∴ OP=4，∴ P(4，0) 标为1122⎛⎫
⎪⎝⎭
，． PED △的周长即是CE DE +=．
4.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，
求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
解：(1)将点A 、B 的坐标代入y ＝kx ＋b 并计算得k ＝－2，b ＝4． ∴解析式为：y ＝－2x ＋4；
(2)设点C 关于点O 的对称点为C ′，连结PC ′、DC ′，则PC ＝PC ′．
∴PC ＋PD ＝PC ′＋PD ≥C ′D ，即C ′、P 、D 共线时，PC ＋PD 的最小值是C ′D ．
连结CD ，在Rt△DCC ′中，C ′D ＝；易得点P 的坐标为(0，1)． (亦可作Rt△AOB 关于y 轴对称的△)
5.已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、
()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．
解：（1）此抛物线的解析式为224
233
y x x =+- （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .
设直线AC 的表达式为y kx b =+
则302k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩∴此直线的表达式为223y x =--．
把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为
413⎛⎫-- ⎪
⎝⎭， 6.如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为
4313⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点(03)C -，
． （1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ． 判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小， 若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知
解得
3a =
，23
b = ∴抛物线的解析式为23233y x x =-
（第24题图） O A
C x
y B
E P
D
A C
x
y
B O
5题图
A C
x
y
B O
D
O
y
B
E
P
A C
D
O y
B
E
P
C
（2）设点A （1x ，0），B （2x ，0），则20
x x --=，
解得1213x x =-=， ∴∣OA ∣＝1，∣OB ∣＝3．又∵tan ∠OCB ＝||
||OB OC =
∴∠OCB ＝60°，同理可求∠OCA ＝30°．∴∠ACB ＝90° 由旋转性质可知AC ＝BD ，BC ＝AD ∴四边形ADBC 是平行四边形 又∵∠ACB ＝90°．∴四边形ADBC 是矩形
（3）延长BC 至N ，使CN CB =．假设存在一点F ，使△FBD 的周长最小．即FD FB DB ++最小． ∵DB 固定长．∴只要FD+FB 最小．又∵CA ⊥BN ∴FD+FB ＝FD+FN ．
∴当N 、F 、D 在一条直线上时，FD+FB 最小 ． 又∵C 为BN 的中点， ∴
1
2FC AC =
（即F 为
AC 的中点）． 又∵A （－1，0），C （0，－3） ∴ 点F 的坐标为F （12-
，2-
）
∴ 存在这样的点F （1
2-
，2-
），使得△FBD 的周长最小．
7.如图（1），抛物线35
18
532+-=x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ）
，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F
的坐标，并求出这个最短路程的长。

解：如图（1`），由题意可得A （0，3），M )2
3
,0(，抛物线的对称点
为3=x ，点M 关于x 轴的对称点为'M )2
3,0(-，点A 关于抛物线
对称轴3=x 的对称点为'A （6，3）。

连结''A M 。

根据轴对称性及两点间线段最短可知，'A 'M 的长就是所求点P 运动中
最短总路程的长，'A 'M 在直线的方程为2
3
43-=x y （过程略）。

设'A 'M 与x 的交点为,E 则E 为在x 轴上所求的点，'A 'M 与直线
3=x 的交点为所求的F 点。

可得E 点的坐标为（2，0），F 点的坐标为4
3,3(）。

由勾股定理可求出'A 'M 2
15
=
（过程略） 所以点P 运动的总路程（FA EF ME ++）最短时间为2
15。

不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。