最短距离问题

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第三讲 最短距离问题 一．考情分析 中考分值 近五年杭州中考中,有一年考察此知识点,分值为６分,占全卷的5％ 考查方式 此知识点在各种题型中都可以进行考察,虽然杭州中考考察的不多，但在平时的月考、

期中考试中，考察次数很频繁,在浙江其它城市的中考中,考察的次数也很多。相信在以后的杭州中考中，此知识点必将重点考察。

二.知识回顾

几何模型1

条件:如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点.

问题:在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．

方法：作点A 关于直线l 的对称点A ',连结A B '交l 于点P ,

则PA PB A B '+=的值最小

几何模型2

条件:如图，A 、B 是直线l 异侧的两个定点．且A 、B 到l 距

离不相等

问题:在直线l 上确定一点M ，使MA MB -的值最大

方法:作点B 关于直线l 的对称点B ',连结AB '交l 于点

0M ，则MA MB MA MB AB ''-=-=的值最小

三.重点突破

类型一：题中出现一个动点

(A ）【典型例题1】在正方形ＡBCD 中，点Ｅ为ＢC 上一定点，且BE=10,CE=1４,P 为BD 上一动点，求PE+PC 最小值。

(Ａ）【典型例题２】已知：直线112y x =+与y 轴交于A ,与x 轴交于Ｄ,抛物线212

y x bx c =++与直线交于A 、Ｅ两点，与x 轴交于Ｂ、C 两点,且B 点坐标为 （１，0)．

(1)求抛物线的解析式;

(２）在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最大，求出点Ｍ的坐标.

〖搭配练习〗

（A ）１．已知:抛物线的对称轴为x=-1与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，

其中()30A -，、()02C -，．

（1）求这条抛物线的函数表达式.

（2)已知在对称轴上存在一点Ｐ,使得PBC △的周长最小.请求出点P 的坐标

类型二:题中出现两个动点

(B ）【典型例题3】如图:

在△ＡB Ｃ中,20A ∠=,10AB AC ==,M 、N 分别AB,AC 上动点,求BN+ＭN+MC 最小

值

(B)【典型例题4】如图,矩形ABC Ｄ中,ＡＢ=20,BC=１0,若ＡC,A

Ｂ是各有一个动点M,N ，求BM+MN 最小值．

〖搭配练习〗

(B)1．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图8是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P )，P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图9是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P )，P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+.

(1）求1S 、2S ，并比较它们的大小;

(2)请你说明2S PA PB =+的值为最小;

(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图1０所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

（B)2.如图,在锐角ABC △中,4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线

交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点,则BM MN +的最小值是

___＿____.

类型三：题中出现三个动点时

（B ）【典型例题5】如图，在菱形ABCD 中,A Ｂ=２,∠ＢA Ｄ=60°，Ｅ,Ｆ,

Ｐ分别为AB,ＢＣ,AC 上动点，求PE+ＰF 最小值

〖搭配练习〗

（B)如图,∠AOB=45°,角内有一动点P ，PO=１0,在AO ，BO 上有两动点Ｑ，

R ，求△PQ Ｒ周长的最小值

类型四：综合压轴

（C ）【典型例题6】如图,四边形ＡBCD 是正方形，△ＡBE 是等边三角形，M 为对角线BD(不含B 点）上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、C Ｍ.

⑴ 求证：△ＡＭＢ≌△E ＮB ；

⑵ ①当M 点在何处时，A Ｍ+CM 的值最小;

②当M 点在何处时，A Ｍ＋BM+CM 的值最小，并说明理由;

⑶ 当ＡＭ+BM+ＣＭ的最小值为13+时，求正方形的边长.

〖搭配练习〗

(C）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为

()

6,0

A-,()

6,0

B，()

0,43

C，延长AC到点D,使ＣD=1

2

AC,过点D作DE

∥ＡB交BC的延长线于点Ｅ.

（1)求Ｄ点的坐标；

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DＦ、ＥＦ，若过B点的直线

y kx b

=+将四边形ＣＤFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析

式;

（3）设G为ｙ轴上一点，点P从直线y kx b

=+与y轴的交点出发,先沿ｙ轴到达G点，再沿GＡ到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的２倍，试确定G点的位置,使Ｐ点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)

课后作业

基础训练题（Ａ类）

１、如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O，点Ｅ为BC边的中点，正方形边长为２cm,在BD上找点P,使EＰ+CP之和最小，且最小值为__＿__＿__。

2、(１）如图17，等腰直角三角形ABＣ的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是ＡC边上的一动点,则PB＋ＰE的最小值为；

（2)几何拓展:如图18, △ABＣ中，ＡB=２,∠ＢAＣ=３00，若在AＣ、AB上各取一点M、Ｎ使BM＋ＭN的值最小，这个最小值为 ;