切线长定理—知识讲解
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。
本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。
一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。
首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。
然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。
三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。
2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。
3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。
4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。
5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。
总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。
通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
切线长定理内容
切线长定理内容切线长定理是微积分中的一个基本定理,它描述了一条切线的长与其斜率之间的关系。
切线长定理的内容如下:设 $f(x)$ 是 $n$ 维区间 $(a,b)$ 上的一个可导函数,$g(x)$ 是 $n$ 维向量,则对于任意的 $c in (a,b)$,都有:$$frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} =frac{d}{dx}left(frac{f"(x)}{f(x)}g(x)ight)$$其中,$f"(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数,$g(x)$ 的斜率。
这个定理的表述比较简单,但其证明需要一些高等数学的知识。
下面给出一个简单的证明:首先,可以证明 $f(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处的函数值相等: $$f(a) = f(b)$$然后,假设 $c in (a,b)$,则有:$$frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} =frac{d}{dx}left(frac{f"(x)}{f(x)}g(x)ight)将 $f(a)$ 和 $f(b)$ 带入得:$$frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = frac{f"(c)}{f(c)}g(c) $$由于 $g(x)$ 在 $x=c$ 处是已知的,因此有:$$frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = frac{f"(c)}{f(c)}$$将 $f"(x)$ 的导数代入得:$$frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = frac{f"(c)}{f(c)}g(c) = frac{f"(c)}{f(c)} frac{f"(b)}{f(b)} frac{f(b) - f(a)}{f(b) - f(a)}$$由于 $g(x)$ 在 $x=c$ 处是已知的,因此有:$$frac{f"(b)}{f(b)} frac{f(b) - f(a)}{f(b) - f(a)} =frac{f"(c)}{f(c)}$$根据定义,有 $f"(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=c$ 处的值相等,因此有:frac{f"(b)}{f(b)} = frac{f"(c)}{f(c)}$$又因为 $f"(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数,所以有:$$f"(c) = f"(b) = f"(a) = 0$$由于 $f(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处的函数值相等,因此有: $$f(b) - f(a) = f"(c)(f(b) - f(a)) = 0$$将其代入上式得:$$frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = frac{f"(c)}{f(c)} $$因此,根据切线长定理,有:$$frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = frac{f"(c)}{f(c)} $$即:$$frac{f"(x)}{f(x)} =frac{d}{dx}left(frac{f"(x)}{f(x)}g(x) ight)$$因此,切线长定理成立。
切线长定理—知识讲解(提高)
切线长定理—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫作圆的外切三角形.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1）求证：EF是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC=60°，求AD 的长．【答案与解析】 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO=CO ， ∴OF∥AB，∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE，∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC=FE，OE=OC ，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°， 即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线；（2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE ， ∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=，∵在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=图（2）∴∴OA=∴x=AD= 23.（2016•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9 B．10 C．3D．2【思路点拨】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD 为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x ﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，即CB=CE=，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．【答案与解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，∴CB=CE=，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．【总结升华】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．。
切线长定理逐字稿
切线长定理逐字稿切线长定理是指在任一曲线上，任一点的切线的斜率与曲线的斜率的乘积等于曲线的弧长。
性质：1、曲线的曲线弧长与点的切线斜率成正比；2、某点的切线斜率与曲线的曲线弧长之差的绝对值最小；3、曲线的曲线弧长与曲线的斜率成正比；4、某点的切线斜率与曲线的曲线弧长之和的绝对值最大；5、某点的切线斜率越大，则该点弧长与曲线斜率成正比的关系越紧密；6、某点的切线斜率越小，则该点弧长与曲线斜率成正比的关系越松散。
应用：1、切线长定理用于计算弧线和曲线的曲线长度，当知道切线的斜率时，可以计算出曲线的曲线长度；2、切线长定理也可以用来判断不同的函数的性质，以及求解几何函数的特征；3、切线长定理也可以用于最优路径问题，在建立求解曲线最优路径的具体方案时，可以利用切线长定理对路径进行优化；4、切线长定理也可用于积分的求解，求解不同曲线的面积，当知道切线的斜率时，可以使用此定理计算曲线的面积。
证明：假设曲线是由x=(x,y§)的函数表示的曲线，考虑曲线上的关于曲线的某一点P，取准点O和P之间的短线段OP，假设其切线斜率为K，曲线的斜率为k，那么在点P处我们可以构造一条和切线在P点重合的矢量，用差分公式表示为begin{equation}Delta x=(Delta x,Deltay)=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=KcdotDelta send{equation} 将差分公式代入到函数中并做微积分，便得到begin{equation}int_{P_{1}}^{P_{2}}KDeltasds=int_{P_{1}}^{P_{2}}left(f^{prime}(x)right)Delta xdxend{equation}即begin{equation}Kcdotint_{P_{1}}^{P_{2}}Deltasds=int_{P_{1}}^{P_{2}}left(f^{prime}(x)right)Delta xdxend{equation}由上述公式可以知道，切线斜率K和曲线斜率k之间的乘积等于曲线的曲线弧长，即begin{equation}Kcdot k=int_{P_{1}}^{P_{2}}Delta sdsend{equation}这就是切线长定理的证明。
圆的切线长定理及其推论
圆的切线长定理及其推论一、引言圆是数学中重要的几何概念之一，它具有许多独特的性质和定理。
本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论，通过详细的阐述和推导，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
二、圆的切线长定理圆的切线长定理是指：若直线与圆相切，则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。
证明：设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为圆的半径，切点为P(x₀, y₀)。
设直线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
由于直线与圆相切，所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线与圆相切，所以直线只有一个交点，即判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²解得：b=r√(k²+1)由直线方程y=kx+b，可得直线长度为：l=√(1+k²)由此可得切线的长度为：2l=2√(1+k²)即圆的切线长定理成立。
三、圆的切线长定理的推论根据圆的切线长定理，我们可以得出以下推论：推论1：若直线过圆的直径中点，则直线与圆相切。
证明：设直线方程为y=kx+b，过圆的直径中点，则直线过圆心，即切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线过圆的直径中点，所以切点的坐标满足圆的方程，即有：x₀²+y₀²=r²将x₀²+y₀²=r²代入直线方程，得到：(1+k²)x₀²+2kbx₀+b²-r²=0由于直线方程与圆的方程有唯一交点，所以判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²由于直线方程过圆心，即切线的长度为0，所以有：b=0解得：k=0即斜率为0，即直线垂直于x轴，即直线过圆的直径中点。
最新圆知识点：切线长定理
切线长切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA=PBPO 平分∠BPA例题精选：例1．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC 的度数；（2）当OA=2时，求AB 的长．例2、如图PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 是⊙O 上一点，若∠APB ＝40°，求∠ACB 的度数。
例3．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA=5cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，求△PED 的周长是多少？例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．习题巩固1．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（）11A．5 B．6 C．30D．22如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为（）A．6 B．9 C．12 D．143 如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（）A．15cm B．20cm C．30cm D．60cm4 如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（）A ．70° B．90° C．60° D．45°5如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ）A ．50°B ．62°C ．66°D ．70° 6 、 已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB•CD ；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4(5) (6)7、以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ）A 12B 13C 14D 158、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=59，AC=3．则DE 长为（ ） A23 B 2 C 25 D 59、正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．610、如图，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC 于M ，N ．那么 2BC CNBM 的值等于（ ） A81 B 41 C 21 D 111如图，PA 、PB 、EF 分别切⊙O 于A 、B 、D ，若PA=10cm ，则△PEF 的周长是 cm ， 若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与DF 是半圆的切线，M ，N 为切点，CE ，DF 交于点P ．则AE= ＿，△PMN 的面积是 ＿13、由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点为B，D，AB是⊙O的直径，连接AD，BD，OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE，BE，下列四个结论：（1）BE=DE；（2）∠FDE=∠EDB；（3）DE∥BE；（4）BD2=2AD•FC．其中正确的结论有14、如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．求证：①DE∥OF；②AB+CD=BC；④AD2=4AB•DC．。
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。
(完整)切线长定理与弦切角定理.知识精讲(-) -教师版
中考内容中考要求A B C直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系;会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题;能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩概念切线长定理定理相关结论概念切线长定理与弦切角定理弦切角定理定理相交弦定理圆幂定理切割线定理割线定理一、切线长定理1、切线长的概念在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．BAPO【注意】在新课讲解时需要讲解为什么从圆外一点引圆的两条切线．切线长定理与弦切角定理中考大纲知识精讲知识网络图3、相关结论（1）圆的两条平行切线,切点间的线段是直径. （2)圆外切四边形的两组对边和相等. （3）圆外切平行四边形是菱形。
（4）圆心和圆外这点的连线垂直平分两切点的连线. 【注意】：切线是直线，切线长是线段长;二、弦切角定理(选讲） 1、弦切角顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 2、弦切角定理定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等【注意】1、明确弦切角所夹的弧是在弦切角内部的一条弧。
2、弦切角必须具备的三个条件：（1）顶点在圆上（2)一边与圆相切(3)一边与圆相交3、弦切角和圆周角的联系与区别弦切角可以看做是圆周角的一边绕顶点旋转到圆相切时所成的角，顶点都在圆上。
弦切角的一边是过顶点的弦，另一边是切线上以切点为端点的一条射线，而圆周角的两边均是弦。
三、圆幂定理(选讲） 1、相交弦定理（1)相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图,弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A【证明】如图，AB 、CD 为⊙O 的两条任意弦.相交于点P ，连接AD 、BC ，由于B ∠与D ∠同为弧AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知:B D ∠=∠，同理A C ∠=∠，所以PAD PCB ∽△△. 所以有：PA PDPC PB=，即：PA PB PC PD ⨯=⨯．PDCBA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 2、切割线定理如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的切线，AD 是⊙O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅．ODCB A3、割线定理从从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ,则有··PA PB PC PD =1、圆的切线长定理是解决圆内求线段长、角度数，证明线段相等和成比例等的重要工具,在解题过程中常： (1）连结圆心和切点构造直角三角形; （2）连结圆心和圆外这一点构造角平分线； （3）连结两切点等构造等腰三角形或垂直关系。
切线长定理内容
切线长定理内容
切线长定理，又称为“切割定理”或“外切线定理”，是平面几何中的一个重要定理，它主要描述圆内接四边形中的一些关系。
具体来说，该定理指出：圆内接四边形的两条对角线相互垂直，当且仅当它们的对边之和相等。
也就是说，如果在一个圆内接四边形中，对角线BD与AC相互垂直，那么有AD+BC=AB+CD。
反之，如果AD+BC=AB+CD，那么对角线BD 与AC相互垂直。
这个定理的证明可以通过使用勾股定理、相似三角形、正弦定理等几何知识进行推导。
根据勾股定理，我们可以得到在半径为r的圆中，切线长度的平方等于切点到圆心的距离的平方减去半径的平方。
然后，应用正弦定理和相似三角形的性质，就可以得到切线长定理了。
切线长定理不仅是几何学中的重要定理，而且在各种实际应用场合中也有着广泛的应用。
例如，它可以用来计算圆内接四边形的对角线长度，或者用于建模和计算机图形学中。
此外，它还有着许多相关的推论和应用，例如垂径定理、欧拉线等等，在数学研究和应用中都有着重要的地位。
切线长定理—知识讲解
切线长定理—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC 中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.【答案与解析】连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形.∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED，∴DE是⊙O切线.【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.FCFC【答案】连接AO.∵AO BO=，∴23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒.∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. 3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A.12B.24C.8D.6【答案】D ；【解析】∵AE 与圆O 切于点F ，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm ，EF=EC ，设EF=EC=xcm ，则DE=（4﹣x）cm ，AE=（4+x ）cm ，在三角形ADE 中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x ）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S △ADE =AD•DE÷2=3×4÷2=6cm 2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF ，EF=EC ．类型二、圆外切四边形 4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【答案】B.。
切线长定理的三个推论
切线长定理的三个推论
//1、切线长定理推论一：给定任意一条曲线，沿着曲线的任何一点，该曲线的切线都会段段相交，切线的长度一定是相等的。
切线长定理是17世纪法国数学家皮埃尔•坎通夫提出的原理。
它给出了沿曲线各点及切线的关系。
它的定义是：一个曲线上任意两点的切线，其长度相等。
坎通夫的切线长定理的三个重要的推论是：给定任意一条曲线，沿着曲线的任何一点，该曲线的切线都会段段相交，切线的长度一定是相等的；沿着曲线的任何一点，曲线的曲率半径一定是相等的；沿着曲线的任何一点，曲线的弧长也一定是相等的。
切线长定理的三个推论，最基本的涉及的是曲线的点与切线的关系。
确实，它显示出了曲线上点以及曲线上点切线的关系，即不论曲线穿过哪一点，切线的长度都是相等的，而曲率半径和弧长也是相等的。
另外，切线长定理还可以非常容易地应用到曲线的区域计算中，由于切线两点之间一定会形成一段小段弧线，如果知道切线的长度，那么可以很容易地计算出一定长度的小弧线的弧长和曲率半径，从而也可以方便地计算出曲线的总长度和曲率总和。
此外，由于切线和曲率半径具有相同的含义，可以用它来表示曲线的曲率，在研究图形的贝塞尔曲线的构造方法时，也可以同样用切线的方法来构造不同类型的曲线。
总之，切线长定理的三个推论，对于研究和绘制曲线来讲，是一项非常重要的定理，沿曲线的任意一点，它都可以提供一些重要的参数信息，帮助我们更有效地描述曲线，更容易地进行曲线方程的求解。
初三数学中考专项练习 切线长定理—知识讲解(基础)
切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【答案与解析】连结OA ，则OA ⊥AP ．在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ， ∴ △PDE 的周长为PE ＋DE ＋PD ＝PE ＋EC ＋DC ＋PD ，＝PE ＋EA ＋PD ＋DB ＝PA ＋PB ＝16（cm ）．【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．2．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∠DAE=∠ABE,边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．【思路点拨】（1）根据圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．【总结升华】本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．举一反三：【变式】（2015•青海）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的长．【答案】（1）证明：连接OA，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，∴∠OCA=∠M，∴AM=AC；（2）作AG⊥CM于G，∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，由勾股定理的，CG=，则MC=2CG=3．类型二、三角形的内切圆3．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案与解析】设内切圆与三角形的三边AB 、AC 、BC 分别交于D 、E 、F ， 连接OE 、 OF 、OD 、AO 、BO 、CO.∴△ABC=△AO B +△AO C +△BO C=12r(a+b+c). 【总结升华】考虑把△ABC 的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC 的面积. 举一反三：【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.【答案】连结OA 、OB 、OC ，∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 则S △AOB +S △COB +S △AOC =S △ABC ，即11115+4+3=34=12222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，类型三、与相切有关的计算与证明4．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.G FEDCBA【答案与解析】（1）结论：GD 与O 相切证明：连接AG ∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥ ∴123B ∠=∠∠=∠，∵AB AG =，∴3B ∠=∠，∴12∠=∠654321F EDA在AED ∆和AGD ∆12AE AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED AGD ∆∆≌，∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切∴90AED ∠=︒，∴90AGD ∠=︒ ∴AG DG ⊥∴GD 与A 相切（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG ==∵AD BC ∥，∴46∠=∠，∴1562B ∠=∠=∠∴226∠=∠ ，∴630∠=︒ ∴10AD =.【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力.判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明.第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解.。
圆的切线长定理
圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。
这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。
本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。
一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。
即PA * PB = PT^2，其中T是切点。
二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。
设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。
连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。
由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。
将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。
三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。
以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。
如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。
2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。
通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。
3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。
通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。
4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。
例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。
圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。
通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。
中考专题――切线长定理及弦切角定理
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、B 。
AB 交PO 于点C ，则有如下结论： （1）PA=PB（2）PO ⊥AB,且PO 平分AB（3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等【典型例题】【例1】 如图1，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.图1 图2 图3 举一反三：1.如图2，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为 AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.2.如图3，PA ，PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .C BO A DC BA D POPBAO举一反三：1.如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为A ．1 个；B ．2个；C ．4个；D ．5个．【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．举一反三：1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．3．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．【课后作业】1．如图1，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为( )A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 70︒图1 图2 图32.如图2，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.3.如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为A.105°B.115°C.120°D.125°4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 A.2 B.3 C.23图4 图5 图65.如图5，AB 是⊙ O 的直径，AC 、BC 是⊙ O 的弦，PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350，那么∠ACP 等于A. 350B. 550C. 650D. 12506.如图6，在⊙ O 中，AB 是弦，AC 是⊙ O 的切线，A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=A. 300B. 450C. 500D. 6007．已知：如图7－154，⊙O 的半径OA ⊥OB ，过A 点的直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引⊙O 的切线交OB 延长线于C ，且PQ=QC ．求∠A 的度数．CDE OAFB PO ACBD EO A C B D A P O C O DB C D8．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF ⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。
2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。
切线长定理公式及证明
切线长定理公式及证明一、引言在数学中，切线是曲线上的一条特殊直线，它与曲线仅在一个点相切。
切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。
本文将介绍切线长定理的公式及其证明过程。
二、切线长定理公式设直径为d的圆上的一条切线与半径的交点距离圆心的距离为x，则切线的长度L可以由以下公式表示：L = 2√(xd)三、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们首先需要了解一些基本的几何概念和性质。
1. 切线的定义与性质：在圆上的一点的切线是与该点相切且仅与该点相切的直线。
切线与半径垂直。
2. 平行四边形的性质：对于平行四边形，对角线互相平分。
现在开始证明切线长定理。
证明：设O为圆心，A为圆上的一点，C为切点，OB为半径，CD为切线。
由于切线与半径垂直，所以∠CDO为直角。
由平行四边形的性质可知，OD平分BC，即BO=OC。
设切点到圆心的距离为x，则BD=2x。
根据勾股定理，可以得到：BC^2 = BO^2 + OC^2(2x)^2 = x^2 + d^24x^2 = x^2 + d^23x^2 = d^2x^2 = d^2/3x = √(d^2/3)x = d/√3再根据切线长公式可以得到：L = 2√(xd)L = 2√(d * d/√3)L = 2√(d^2/√3)L = 2 * d/√3L = (2√3/3) * d切线长定理得到证明。
四、应用举例切线长定理在几何问题的解决中有很多应用，我们来看一个例子。
例：已知圆的直径为10 cm，求切线的长度。
解：根据切线长定理，可以直接套用公式，得到：L = (2√3/3) * dL = (2√3/3) * 10L ≈ 11.54 cm所以，切线的长度约为11.54 cm。
五、总结切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。
通过证明过程，我们可以看到切线长定理的推导过程是基于几何性质和勾股定理的。
切线长定理在解决几何问题中有广泛的应用，可以帮助我们快速计算切线的长度。
切线长定理的内容
切线长定理的内容
切线长定理是一个关于圆的基本定理，它又称为切线定理或割线定理。
该定理表明，如果有一条直线与圆相交，那么这条直线的切线长等于该直线与圆的交点处的切线段长和外切线段长之和。
具体来说，如果一条直线与圆相交于点A和B，且垂直于半径OC，则该直线在点A和B处的切线段长分别表示为AM和BN，外切线段长表示为MB或AN，则切线长定理可以表示为以下等式：
AM + MB = BN + AN
其中，AM和BN是切线段长，MB和AN是外切线段长。
这个定理对几何学和物理学都有广泛的应用，例如在求解光学中透镜的成像问题时，切线长定理可以用来计算光线的折射角度。
需要注意的是，当直线与圆相切时，切线段长等于外切线段长，此时切线长定理变为以下形式：
AM = BN
切线长定理是圆的基本定理之一，它不仅可以用来解决几何学中的问
题，还有许多应用于实际生活和工程领域的实际问题。
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切线长定理—知识讲解
【学习目标】
1.了解切线长定义,掌握切线长定理；
2.了解圆外切四边形定义及性质；
3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
要点二、圆外切四边形的性质
1.圆外切四边形
四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.
2.圆外切四边形性质
圆外切四边形的两组对边之和相等.
【典型例题】
类型一、切线长定理
1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA=6，求△PCD的周长．
（2）若∠P=50°求∠DOC．
【答案与解析】
解：（1）连接OE，
∵P A、PB与圆O相切，
∴PA=PB=6，
同理可得：AC=CE，BD=DE，
△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC=∠COE，
同理：∠DOE=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB=65°．
【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．
2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.
求证：DE是⊙O切线.
【答案与解析】
连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形.
∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED，
∴DE是⊙O切线.
【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE.
举一反三：
【变式】已知：如图，⊙O为ABC
∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF
∠，过点A作AD BF
⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.
F
C
F
C
【答案】连接AO.
∵ AO BO
=，∴ 23
∠=∠.
∵ BA CBF
平分，∴ 12
∠
∠=∠. ∴ 31
∠=∠ .
∴ DB∥AO.
∵ AD DB
⊥,∴ 90
∠=︒.
DAO
BDA
∠=︒.∴ 90
∵ AO是⊙O半径，∴ DA为⊙O的切线.
3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）
A.12
B.24
C.8
D.6
【答案】D；
【解析】
∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．
【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．
类型二、圆外切四边形
4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；
（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；
（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．
【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，
∴AD、AB、CD为⊙O的切线，
∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAC=180°，
∴∠ODA+∠OAD=90°，
∴∠AOD=90°；
（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，
∴AD==10（cm），
∵AD切⊙O于E，
∴OE⊥AD，
∴OE•AD=OD•OA，
∴OE==（cm）；
（Ⅲ）∵F是AD的中点，
∴FO=AD=×10=5（cm）．
【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：
【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.
A.2:3:4:5
B.3:4:6:5
C.5:4:1:3
D.3:4:2:5
【答案】B.。