考研数学：极限计算方法——利用单侧极限

考研数学：极限计算方法——利用单侧极限

今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？

第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan )0121

x e x x f x x x x ⎧-<⎪⎪⎪==⎨⎪>+-在0=x 处的极限。

分析：在做这道题时我们发现0=x

处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即

1lim 22

1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==⨯=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x

x x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0=→x f x 。

有一些特殊的分段函数，如

,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。

第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x

，在脱绝对值时会出现负号，同

时出现了e ∞，故分单侧计算极限，

11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以1sin 12lim 410=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，提高自己的解题能力。