考研数学：极限计算方法——利用单侧极限

考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点

考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点1为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。

有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。

夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。

要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在n>0，当n>n时，找到xn，zn，且xn→a，zn→b，a≠b，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。

这一点一定要注意，防止理解偏差。

单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知x1=a,xn=f(xn-1)，n=1,2,.....，求数列{xn}的极限。

当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。

综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将xn=f(xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。

上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。

很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。

数分第二章：函数极限的性质及计算方法

1.4.1 x 趋于无穷时的函数极限从前面关于数学分析产生的背景可以看到，为了从近似值得到精确值，还需要一种新的方法，这个方法就是极限方法，极限概念是数学分析有别于初等数学的重要标志,极限方法是数学分析最重要的研究方法，这一讲将讨论函数极限的基本概念.函数极限概念有以下几类：一、x 趋于时的函数极限二、x 趋于时的函数极限三、单侧极限0x.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限x 趋于例如函数arctan ,y x 当时,∞+xyπ210203040O 0.51无限接近x arctan π2一、x 趋于∞时的函数极限设函数定义在)(x f [)∞+,a A)(x f xy O 为极限.+∞ 当 x 趋于时以A 也无限地接近A ,我们就称无限远离原点时,函数f (x )上,当 x 沿着 x 轴的正向记为lim ()x f x A →+∞=)(x f上述给出的极限定义是描述性的，如何用数学的语言刻画极限定义？由定义lim ()x f x A →+∞=当 x 沿着 x 轴的正向无限远离原点时,函数f (x )无限地接近A.只要 x 充分大就有函数f (x )无限地接近A.lim ()x f x A →+∞=当 x 沿着 x 轴的正向无限远离原点时,函数f (x )无限地接近A.只要 x 充分大就有函数f (x )无限地接近A.当时，有()f x A ε-<x M>0,M ∃>0,ε∀>记为或者lim ()x f x A →+∞=).()(+∞→→x A x f 定数, 若对于任意正数存在正数使得，0>ε，)(a M ≥,)(ε<-A x f A x x f 时以趋于当∞+)(则称函数.为极限,时M x >当定义1[),f a +∞设为定义在上的一个函数. A 为④()A f x A εε有-<<+lim ()x f x A →+∞=的几何意义③x M >使当时x A ε-A ε+①任意给定ε>M ②存在M a >x AyO alim ()x f x A →+∞=当时，有问题：1.定义中的有何作用？2.定义中的M 存在性与哪些因素有关？一旦存在，M 唯一吗？()f x A ε-<x M>0,M ∃>0,ε∀>0,ε∀>所以(由定义1),例1 证明.01lim =+∞→xx 任给取证,0>ε,1ε=M ,时当M x >,10)(ε<=-x x f .01lim =+∞→x x例2.2arctan lim π=+∞→x x 证明证任给),2(0πεε<>.所以（由定义1）πlim a rcta n .2x x →+∞=时，当M x >严格增，因为x arctan ππ()arctan 22f x x -=-ππ().22εε=--=tan()2取M πε=-arctan 2Mπ<-,)(ε<-A x f 定义2(],,)(上定义在设b x f ∞-.是一个常数A ,0>ε,0>M 存在若对于任意记为A x x f 时以当-∞→)(,为极限则称A x f x =∞-→)(lim 或).()(-∞→→x A x f ()当时x M b <-<为极限，时以当则称A x x f ∞→)(记为,)(ε<-A x f 定义3,)()(内的某个邻域定义在设∞∞U x f 存在当，0>M ,0>ε.为一个常数若对于任意时x M >A x f x =∞→)(lim 或).()(∞→→x A x f A证对于任意正数),10(<<εεln x M ε<-=当时所以例3求证lim e 0.xx →-∞=.e 0e ε<=-x x .0e lim =-∞→xx =-ln ,M ε取例4求证.011lim 2=+∞→xx 22110,1x xε-<<+所以证对于任意正数 ε , 可取.011lim 2=+∞→xx ,1M =>,x M 当时有从定义1、2 、3 能否得到下面的结论？若能，如何证明？.)(lim )(lim A x f x f x x ==∞+→∞-→∞定义在的一个邻域内，则)(x f 由这个结论讨论A x f x =∞→)(lim 的充要条件是：的存在性limarctan x x →∞02.1.2趋于时的函数极限定义x xlim ()x f x A →∞=前面几讲，我们给出了极限：lim (),x f x A →+∞=lim (),x f x A →-∞=的定义.自然的问题：当自变量趋于定点时的极限如何定义？在函数极限中还需要考虑在一点处的极限， ,0()(0),0x x f x a a x ≠⎧=≠⎨=⎩ax y O一、趋于时的函数极限x 0x 如设函数 f (x ) 在点 x 0 的某空心邻域内有定义. 满足：)(0x U当无限接近于时， f (x ) 无限接近于常数 A .)(0为极限时以当A x x x f →记为则称0lim ()x x f x A→=或者.)()(0x x A x f →→x 0x,)(ε<-A x f 时，有00x x δ<-<)(0为极限.则称xf→x时以当Ax平面上以 y =A 为中心线, 宽为的窄带, ε2可以找到,0>δ使得曲线段),(),(0δx U x x f y ∈= 函数极限的几何意义如图, 0,ε>任给对于坐标落在窄带内.ε+=A y A y =ε-=A y O xyδ-0x 0x δ+0x故只要所以,)21(00202x x x x x -+≤-.2100x x x +<-ε2 0xxxx =→.lim20例2求证：0(1)lim sin sin ;x x x x →=注在例1中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 δ , 或许所求出的 δ00(2)lim cos cos .x x x x →=故πsin tan0.2 x x x x⎛⎫<<<<⎪⎝⎭00sin sin 2cossin22x x x x x x +--=0,x x ε≤-<.sin sin lim 00x x x x =→同理可证:.cos cos lim 00x x x x =→所以在上面例题中,需要注意思考以下问题：的存在性与哪些因素有关？换句话说, 1. 对于δ对于固定的,ε不同的方法是否会得出不同的δ ？对于求出的不同的δ ，是否有必要区分哪一个更好？数是否都可以充当这个角色？3. 正数ε是任意的,一旦给出,它就是确定的常数., 那么比它更小的正是不惟一的, 一旦求出了 δδ.2有时为了方便,需要让 ε 小于某个正数，这样做是否合理？是否也能满足要求？一旦对这样的 ε 能找到相应的 δ , 那么对更大的 ε , 这个 δ第二单元函数极限2.1.3 函数极限的性质.)(000x x x x 趋向于的右侧又可以从>，时在考虑)(lim 0x f x x →x 既可以从 x 0)(0x x <的左侧处只能考虑单侧极限.2()11f x x x =-=±在⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=000,1,0,1sgn x x x x||,f x A ε-<（）则称 A 为函数 f 当为了方便起见，当记作有时记时，有时的左（右）00x x x x -+→→（）定义1 00()(,)(,)f x U x U x ηη-+（）设在有定义， A 为常数. 若对于任意正数ε ,,）（存在正数ηδδ<0+0lim lim ()().（）x x x x f f x A x A -→→==0000（）x x x x δδ<-<<-<00(0)lim ().x x f x f x -→-=极限,00(0)lim (),x x f x f x +→+=由定义 1，不难得到下列结论：.)(lim )(lim 00A x f x f x x x x ==-+→→:)(lim 0的充要条件是A x f x x =→在前面的讨论中引进的六种类型的函数函数极限的性质质与证明，只要相应作一些修改即可.证明这些性质，至于其它类型的性极限，它们都有哪些性质呢？这里仅以六种极限中的某一种，0lim ()x x f x A →=为例如以定理2.1.1 ( 唯一性 )证不妨设以及A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数,,1δε存在正数)(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若0lim ()x x f x A →=的基本性质二、2,δfx-B≤xfABA.-|)(||)(|-+|ε<|由ε的任意性，推得A = B.这就证明了极限是唯一的.定理 2.1.2（局部有界性）证时，当存在取δδε<-<>=||0,0,10x x .1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f ,)(0x U 则存在有界.这就证明了在某个空心邻域上有界.),(0δx U )(x f ε+=A y A y =ε-=A y Ox y δ-0x 0x δ+0x的结论矛盾吗？定理2.1.3（局部保号性）.|)(|ε<-A x f 有时，当存在δδ<-<>||0,00x x 证不妨设则存在使得对一切有若0lim ()()或x x f x A r r →=><0(), x U x ∈,,取A r A r ε>=-0(), U x ()(()).或f x r f x r ><().f x A r ε>-=由此证得定理 2.1.4（保不等式性） )(lim )(lim 00x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域都存在,)()()(,0x g x f x U ≤ ).(lim )(lim 00x g x f x x x x →→≤证若时, 有由局部保号性，存在正数00||，当x x δ<-<取,：满足r A r B >>0,δ>00lim ()lim (),x x x x f x A g x B →→=>=()();f x r g x >>。

考研高数中求极限的几种特殊方法

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

考研数学极限的运算方法及适用情况

考研数学极限的运算方法及适用情况考研数学极限的运算方法及适用情况在数学考察中，极限的计算占据很大一部分，所以考生必须熟练掌握。

店铺为大家精心准备了考研数学极限的运算秘诀和适用情况，欢迎大家前来阅读。

考研数学极限的运算技巧及使用情况基础阶段，我们的目标是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基础阶段学习极限应从两个方面着手，一是极限的定义，二是极限的运算。

极限的定义在考试大纲中明确要求是理解，理解的意思并不是会背诵定义内容，而是能够领会定义内容背后的所蕴含的含义，正确理解所代表的任意小以及代表的距离。

除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的隐含之意为。

极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。

第一种是四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;第二种是等价无穷小替换，这一方法比较受欢迎，而且很多极限计算的问题只需经过等价无穷小代换就能得出结果，不需再使用其他方法，需要注意的是等价无穷小代换前提必须首先是无穷小才可代换，另外只能在乘积因子内代换(有些是可以在加减因子中代换的，但是在没有十足把握的情况下应避免使用在加减因子中代换);第三种是洛必达法则，适用于及型未定式，在使用的过程中需要注意一下几点：1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;2、使用一次整理一次;3、其他类型未定式需要转化成及型才可以使用洛必达法则等;第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原则会在强化阶段给出;第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现不等关系的目的;第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1：如果（1）（2）（3）若B≠0 则：（4）（5）（n为自然数）上述性质对于也同样成立由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例1. 求的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求的极限解：分子分母同时乘以式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知，求解：观察因此得到所以12 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在附近有定义，，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点的导数记为。

即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。

然后把所求极限都表示成f(x)在定点的导数。

例4. 求的极限解：3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1），（2）但我们经常使用的是它们的变形：，（2）求极限。

例5：解：为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。

==例6：解：将分母变形后再化成“0/0”型所以==例7: 求的极限解：原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法。

4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果是初等函数,且是的定义区间内的点, 则。

例8：解:因为复合函数是初等函数,而是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此例8：求解：复合函数在处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有==05 利用两个准则求极限。

（1）函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当n>N时，有且则有。

利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。

微积分函数之单侧极限与无穷大

1 x3 ax2 bx 2a
3x2 10x 7
当 x 1 当 x 1
, 当 x 1
的极限 lim f (x) 存在 , 并算出 lim f (x) .
x1
x1
解：（1） lim f (x) 存在，故 lim f (x) lim f (x) 均存在，
x1
类似地，如果 0 , 0 , 当 x x x
0
0
便可成立 : f (x) A , 这时的具体含义是：
只考虑点 x0 的右邻域内，自变量从右边趋于有限数 x0 时，函数值 f ( x ) 有向常数 A 无限趋近的变化趋势。
这种情况下，称函数 f ( x ) 在点 x0 的右极限存在，记为：
解：若 a 满足 k 1 a k ，其中 k 为某个正整数，
则 lim [x] lim k 1 k 1 [a] ;
xa x xa x
aa
若 a k ，其中 k 为某个正整数，
lim [x] lim k 1 k 1 a 1 1 ;
x xa0
x2
x2
解： lim f (x) 存在， lim f (x) lim f (x) .
x2
x 20
x 20
由于
lim
f (x) lim (x3 ax 3a)
代入法
8a
,
x 20
x 20
lim f (x) lim (2ax 4)
x 20
x 20
x 10
x 10
lim f (x) lim (ax b)
x 10
x 10
代入法
ab ,

考研数学求极限方法小结

一．求极限方法小结极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.1. 知识要点（1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限.（10）利用罗必达法则求极限. （11）利用导数定义求极限. （12）利用定积分定义求极限. （13）利用Taylor 公式求极限.2．典型例子例1：设 ,12,,12,21121nn x x x x x +=+==+ 求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.)21(+答案：例2：求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim （答案：1）例3：求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n 1212)1(1)1(111lim （答案：1）例4：求nn n 2642)12(531lim⋅⋅-⋅⋅∞→ （答案：0）例5：求 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 （答案：21）例6：xx x cos lim 0+→ （答案：21-e）例7：求常数c ，使dt te c x c x ct xx ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-+2lim （25=c ）例8：已知 ,11,,11,1111121++=++==--n n n x x x x x x x ,证明数列}{n x 收敛，并求出此数列的极限. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251例9：设)0(3)1(3,010≥++=>+n x x x x nn n ，求n n x ∞→lim （答案：3）例10：求 1tan 1tan 1lim---+→xx e xx （答案：1）例11：求 xx x x x x x cos sec )1ln()1ln(lim 220-+-+++→ （答案：1）例12: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++→x x e e x xx sin 12lim 410 （答案：1）例13：设x x x g tdt x f x 6702sin )(,tan )(2+==⎰，证明：当0→x 时，)(x f 与)(x g 是同阶无穷小量.例14：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot1lim （答案：32）例15：求 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n n 1sin 212sin 1sin lim πππ （答案：π2）例16：求 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n n n n n n 222sin 22sin 211sin 1lim （答案：1cos 1sin -）例17：设)(x f 在原点的邻域内二次可导，且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x ，求)0("),0('),0(f f f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+→220)(3lim x x f x x （答案：29,9,0,3-）例18：设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→，求)0(''),0('),0(f f f 及xx x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.（答案：4)0('',0)0(',0)0(===f f f ，210)(1lim e x x f xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→）例19：设}{n a ，}{n b ，}{n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有)(A n n b a <对任意n 成立； )(B n n c b <对任意n 成立； )(C 极限n n n c a ∞→lim 不存在； )(D 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2003年数学一）例20：已知011lnarctan 2lim≠=-+-→c x x xx px ，求c p , （答案：34,3-==c p ）例21：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0('≠f ，0)0(''≠f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→λ时，)0)3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小.例22：求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++→)1ln(1)1ln(1lim20x x x x （答案：21-）例23：已知当0→x 时⎰-222cos x dt t x 与kAx 是等价无穷小，求常数A 和k .（答案：10,101==k A ）例24：设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是)(A 若}{n x 收敛，则)}({n x f 收敛. )(B 若}{n x 单调，则)}({n x f 收敛. )(C 若)}({n x f 收敛, 则}{n x 收敛. )(D )}({n x f 若单调，则}{n x 收敛.(答案：B) （2008年数学一）例25：求极限 40sin )]sin(sin [sin limx x x x x -→ （答案：61）（2008年数学一）例26：(I)证明:对任意的正整数n ,都有nn n 1)11ln(11<+<+ (II)设),2,1(1211 =+++=n na n ,证明数列}{n a 收敛. （2011年数学一、二）。

【考研数学】1.8极限运算法则笔记小结

第一章函数与极限第五节极限运算法则有限个无穷小的积仍是无穷小.两个无穷小的和是无穷小.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.定理1定理2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论1推论2定理3,)(lim ,)(lim B x g A x f ==那么:若())()(lim x g x f ±())()(lim x g x f ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(lim x g x f )(lim )(lim x g x f ±=)(lim )(lim x g x f ⋅=)(lim )(lim x g x f =)0( ≠B如果推论1存在,而为常数,那么)(lim x f c [])(lim )(lim x f c x cf =如果推论1存在,而是正整数,那么)(lim x f n []n n x f x f )]([lim )(lim =,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→定理4 设则;lim lim )(lim )1(b a b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→;lim lim )(lim )2(ab b a b a n n n n n n n ==∞→∞→∞→)0.lim lim lim )3(≠==∞→∞→∞→b b a b a b a n n n n n n n （【例1】)2(lim 22x x x +→【例2】53lim 321+-+→x x xx x 【例3】23lim 321+--→x x xx x 【例4】23lim 32+--∞→x x xx x =++++++++----∞→01110111lim b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞<=.,,,0,,m n m n m n b a m n定理5 如果),()(x x ψϕ≥而那么,)(lim ,)(lim B x A x ==ψϕ.B A ≥是由)(x g u =复合而成，)(lim 0u x g x x =→且 ),(00δx U x ∈当时，则 .)]([lim 0a x g f x x =→设)]([x g f y =),(u f y =,)(lim 0a u f u u =→,)(0u x g ≠定理6内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0)1x x →时, 用代入法( 要求分母不为 0 )0)2x x →时, 对00型 , 约去分母零因子∞→x )3时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量作业P45：1（12）（13）（14）；3; 4；5.。

考研数学：求极限的16种方法

考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。

在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。

以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。

代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。

方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。

通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。

方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。

通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。

方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。

通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。

方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。

通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。

方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。

通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。

方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。

通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。

方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。

通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。

方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。

通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。

方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。

考研数学三极限与导数专题重点解析

考研数学三极限与导数专题重点解析极限与导数专题重点解析1，极限：（1）极限计算的常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

（2）四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度。

（3）遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效。

（4）利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限。

（5）如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算。

（6）单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

2，导数：（1）常考题型：a,利用定义计算导数或讨论函数可导性;b,导数与微分的计算(包括高阶导数);c,切线与法线;d,对单调性与凹凸性的考查;e,求函数极值与拐点;f,对函数及其导数相关性质的考查。

（2）对于导数与微分，对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导中是特别重要的。

（3）要熟练掌握可导、可微与连续性的关系。

（4）求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则。

（5）一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性。

（6）利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数。

（7）幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。

3，导数计算中需要掌握的常见类型：（1）基本函数类型的求导。

（2）复合函数求导。

（3）隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则。

（4）由参数方程所确定的函数求导，不必记忆公式，要掌握其计算方法，依据复合函数求导法则计算即可。

高等数学中极限问题地解法详析

数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。

关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。

如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本公具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：是考察所给函数是否存在极限。

2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

1：利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a→∞= .利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例[1]222111.......12n x n n n n =+++++求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项2222111.......n n x n nn nn nn n ≥+++=++++2222111 (1)111n n x n n n n ≤+++=++++则221n nn x n nn ≤≤++ 又因为22limlim11x x n n n nn →∞→∞==++lim 1n x x →∞=（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

函数在一点的极限与单侧极限

第二章第四讲
3.2.2（1）、函数在一点的极限 3.2.2（2）、单侧极限
当n 时, f (n) A n :1,2,3,4 当x 时, f (x) A 当x 时, f (x) A 当x 时, f (x) A x R
3.2.2、函数在一点的极限
极限定义3：设函数f (x)在x0的某个去心邻域有定义，若当x x0且x x0时，
定理 2 对基本初等函数 f ( x) 定义域 D f 的任何内点 x0 D f ，有
lim f (x) f (xБайду номын сангаас )
x x0
例8 : lim ax a0 1
x0
lxim1loga x loga1 0
lim
x2
sin
x
sin
2
1
lim x 9 3
x9
3.2.3、单侧极限
f (x) A, (x x0)
f (x) A 即 f (x) A (任意小)
称函数f (x)在x0处的极限为A. 或以A为极限. 当x x0时，函数f (x)收敛于A.
记为：lim f (x) A
xx0
或f (x) A, (x x0)
几何意义是：
y
f (x)
A
O
x0
x
x x0时：f (x) A,
否则：称f (x)在x0处没极限或发散。
左极限：
lim
且xxx0x0
f (x)
lim
x x0
f (x)
A
f (x0)
右极限：且xlixmx0x0
f (x)
lim
x x0
f (x)
f (x0)
B
注：左右极限统称为单侧极限。

考研高数极限运算法则

( x →∞ )
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞ )
准则Ⅰ和准则Ⅰ`称为两边夹原理.
杨树文
*利用两边夹关键在于构造不等关系式
网络高等数学教程
例
求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
).
1 1 n n < +L+ < , 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
则 lim f ( g ( x)) = lim f (lim g ( x)) = A
x →a u →b x→a x →a u →b
例： limsin(sin x)) = limsin x = 0
x →0 x →0
幂指函数的极限运算
f ( x) → A > 0, g ( x) → B, 则f ( x) g ( x ) → AB
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
杨树文
网络高等数学教程
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无穷小之和．先变形再求极限.
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n

考研数学极限有哪些运算方法和适用情况

考研数学极限有哪些运算方法和适用情况考研数学极限有哪些运算方法和适用情况极限是整个高等数学学习的工具，我们在考研数学的时候，要掌握好运算方法和适用情况。

店铺为大家精心准备了考研数学极限的计算方法指南，欢迎大家前来阅读。

考研数学极限七种运算方法及适用情况基础阶段，我们的目标是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基础阶段学习极限应从两个方面着手，一是极限的定义，二是极限的运算。

极限的定义在考试大纲中明确要求是理解，理解的意思并不是会背诵定义内容，而是能够领会定义内容背后的所蕴含的含义，正确理解所代表的任意小以及代表的距离。

除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的隐含之意为。

极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。

第一种是四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;第二种是等价无穷小替换，这一方法比较受欢迎，而且很多极限计算的问题只需经过等价无穷小代换就能得出结果，不需再使用其他方法，需要注意的是等价无穷小代换前提必须首先是无穷小才可代换，另外只能在乘积因子内代换(有些是可以在加减因子中代换的，但是在没有十足把握的情况下应避免使用在加减因子中代换);第三种是洛必达法则，适用于及型未定式，在使用的过程中需要注意一下几点：1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;2、使用一次整理一次;3、其他类型未定式需要转化成及型才可以使用洛必达法则等;第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原则会在强化阶段给出;第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现不等关系的目的;第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。

考研数学-专题1-2-求极限的方法和技巧

n
=
________ .
[1] 1 − 2a
1
1
1
【例 4】 lim( a x + b x + c x )x ，其中 a > 0, b > 0, c > 0.
x→∞
3
⎡
1
1
1
⎤x
【解】原式 =
lim
→∞
⎢⎢1
+
ax
+
bx + 3
cx
方法 3 利用等价无穷小代换求极限
1.等价无穷小代换的原则 1）乘、除关系可以换；
若α
~ α1,β
~
β1
,
则
lim
α β
= lim α1 . β1
2）加、减关系在一定条件下可以换；
(1)
若α
~ α1, β
~
β
1
,
且
lim
α1 β1
=
A ≠ 1. 则α
−β
~ α1 − β1.
(2)
若α
~ α1,β
~
β1,
（B）仅有一个跳跃间断点；
（C）有两个可去间断点；
（D）有两个跳跃间断点；
答案
1.1;
β 2 −α 2
n ( n +1)
2.(D); 3. − 2; 4. e 2 ；5. e 2 6.（B）; 7.(D).
方法 2 利用有理运算法则求极限
若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则
4.
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 1
+ +
sin sin

考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点

考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点数学分析中，单侧极限和夹逼定理是两个重要的概念和定理。

它们主要应用在函数的极限和连续性的研究中。

一、单侧极限当函数在其中一点x0的左（右）侧趋近于一个有限值或无穷大时，我们称该函数在x0处具有左（右）侧极限。

左（右）侧极限可以形式化为以下数学定义：1. 左侧极限：如果函数f(x)在x0的一些左邻域内有定义，并且当x 趋近于x0时，函数值f(x)都趋近于L，则称函数f(x)在x0处具有左侧极限，记作lim_(x→x0-) f(x) = L。

2. 右侧极限：如果函数f(x)在x0的一些右邻域内有定义，并且当x 趋近于x0时，函数值f(x)都趋近于L，则称函数f(x)在x0处具有右侧极限，记作lim_(x→x0+) f(x) = L。

单侧极限的定义表明了函数在其中一点的左右极限是可以不相等的，也可能不存在。

下面是一些与单侧极限相关的重要性质：1. 函数f(x)在x0处具有左侧极限lim_(x→x0-) f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<x0-x<δ，且x0-x>0成立时，f(x)-L，<ε。

2. 函数f(x)在x0处具有右侧极限lim_(x→x0+) f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<x-x0<δ，且x-x0>0成立时，f(x)-L，<ε。

二、夹逼定理夹逼定理也被称为夹挤定理或夹紧定理，是分析数学中一个重要的极限定理。

它用于求解极限问题，通常用于确定一个函数在其中一点处的极限。

夹逼定理的数学表述如下：假设函数f(x)，g(x)，h(x)在区间(a,b)内，除去a点或b点，都有定义，且对于该区间内的所有x值，恒有f(x)≤g(x)≤h(x)。

如果lim_(x→a)f(x) = lim_(x→a)h(x) = L，那么lim_(x→a)g(x) = L。

单侧极限的归结原则(老黄学高数第97讲)

单侧极限的归结原则老黄学高数第97讲
老黄学高数
第97讲单侧极限的
归结原则
设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)有定义.
f(x)=A的充要条件是：对任何以x0为极限的
递减数列{xn}⊂U⁰+(x0)，有 f(xn) =A.
证： [必要性]若
f(x) =A，∀ε>0，有正数δ，
当x0<x<x0+δ时，有|f(x)-A|<ε. 设递减数列{xn}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则对δ，存在N，使当n>N时，有0<xn-x0<δ，即 x0<xn<x0+δ，从而有|f(xn)-A|<ε. ∴ f(xn)=A.
证： [必要性]若 f(x) =A，∀ε>0，有正数δ，
当x0-δ<x<x0时，有|f(x)-A|<ε. 设递增数列{xn}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则对δ，存在N，使当n>N时，有0<x0-xn<δ，即 x0-δ<xn<x0，从而有|f(xn)-A|<ε. ∴ f(xn)=A.
类似地，设函数f在某空心左邻域U⁰-(x0)有定义.
f(x)=A的充要条件是：对任何以x0为为极限的
递增数列{xn}⊂U⁰+(x0)，有 f(xn) =A.
[充分性]若
f(x)≠A，则存在ε0>0，对任意δ>0,
设U⁰-(x0)=(x0-δ1,x0), 有x1∈U⁰-(x0,δ1), 使|f(x1)-A|≥ε0；取δ2=min{δ1/2,x0-x1}, 有x且x1<x2；…依此类推…取δn=min{δn-1/2,x0-xn-1}, 有xn∈U⁰-(x0,δn), 使|f(xn)-A|≥ε0，且x1<x2<…<xn-1<xn,

07[1].单侧极限与无穷大

) 。
[ x] k −1 k −1 a −1 Q lim = lim = = <1 ; x→ a −0 x x→ a−0 x a a k [ x] k 而 lim = lim = =1 ; x→ a+0 x x→ a+0 x a [ x] [ x] [ x] ∴ lim ≠ lim ⇒ 此时 lim 不存在。 x→ a x x→ a+0 x x→ a−0 x
x → x0 ± 0
lim x = x0 .
（3）求 “整式函数 ” 和 “某些有理分式函数 ” 的单侧极限时）
代入法仍然成立；求 “另一些有理分式函数 ” 的单侧极限
时，消去零因式法仍然成立；求 “某些无理分式函数 ” 的
单侧极限时，共轭因式法也仍然成立。
2. 单侧极限的应用实例函数 f ( x ) 的单侧极限概念在研究分段函数的应用。限时有不可或缺的应用。的极
x →−1 x →−1
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , s.t. 0 <
x − x0
<δ ⇒
f ( x) − A < ε
Q
0 < x − x0 < δ ⇔ x0 − δ < x < x0 或 x0 < x < x0 + δ
或者 x0 < x < x0 + δ 都可成立 f ( x) − A < ε
∴ ε − δ 语言可以表为：∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 无论 x0 − δ < x < x0
而 lim (2ax + 3bx + 4) = 16a + 6b + 4 ⇒ 8a + 3b + 2 = 0 ;

单侧极限记法

单侧极限记法单侧极限记法是微积分中的重要概念，它在计算极限时起到了关键的作用。

本文将详细介绍单侧极限记法的定义、性质以及应用，并通过一些例子来说明其使用方法和意义。

我们来看一下单侧极限的定义。

在微积分中，单侧极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的极限值。

在单侧极限中，我们只考虑自变量从左侧或右侧趋于特定值时的极限情况，而不考虑自变量同时从两个方向趋近于该值的情况。

单侧极限记法用于描述自变量趋于某一特定值时函数的极限。

对于自变量趋近于特定值a的情况，我们可以分别用x→a⁺和x→a⁻来表示自变量从右侧和左侧趋近于特定值a。

其中，x→a⁺表示x从大于a的值逐渐趋近于a，x→a⁻表示x从小于a的值逐渐趋近于a。

在单侧极限的计算中，我们需要根据函数的定义来确定极限的值。

对于函数f(x)，当x→a⁺时，我们需要考虑自变量从右侧趋近于a 时函数的变化规律；当x→a⁻时，我们需要考虑自变量从左侧趋近于a时函数的变化规律。

在单侧极限的计算中，我们可以利用一些性质来简化计算过程。

首先，对于两个函数的和、差、积和商，我们可以利用单侧极限的性质将其分别转化为对应的单侧极限。

其次，对于幂函数、指数函数和对数函数等常见函数，我们可以利用它们的性质来计算它们的单侧极限。

此外，我们还可以利用夹逼定理来确定函数的单侧极限。

单侧极限在微积分中有着广泛的应用。

它不仅可以用于求解函数的极限值，还可以用于求解函数的连续性、可导性等性质。

在实际问题中，我们经常会遇到需要计算函数在某一点处的单侧极限的情况。

例如，在物理学中，我们经常需要计算速度、加速度等物理量在某一时刻的单侧极限。

为了更好地理解单侧极限的概念和应用，我们来看几个例子。

首先，考虑函数f(x) = 2x + 1，当x→2⁺时，我们可以看到自变量x从右侧趋近于2时，函数值逐渐增大，即函数的单侧极限为5；当x→2⁻时，我们可以看到自变量x从左侧趋近于2时，函数值逐渐减小，即函数的单侧极限为3。

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