经验分布函数与直方图
描述性统计分析与探索性统计分析
第一章 描述性统计我们把对某一个问题的研究对象的全体称为总体，总体就是一个具有确定分布的随机变量．我们统计分析的目的是通过从总体中抽得的样本，对总体分布进行推断，要想较准确的推断出总体的分布，首先要对样本的分布状况有一个基本的了解，这一章就是介绍用以描述样本分布状况的一些常用统计分析方法，这些方法既直观又简单，而且也很实用．1.1频数分析与图形表示一、总体X 为只取少数个值的离散型随机变量 例1.1.1考察一枚骰子是否均匀，设计实验如下： 独立地掷这枚骰子42次，所得点数纪录如下：3 24 15 1 5 3 4 3 56 4 2 5 3 1 3 4 1 4 3 1 6 3 3 1 2 4 2 6 3 4 6 6 1 6 2 4 5 2 6 X 为掷一枚均匀的骰子一次所得的点数二、当总体X 取较多离散值或X 为连续取值时设x x x n ,,21是总体X 的一组样本观测值，具体做法如下：1求出x )1(和x n )(，取a 略小于x )1(,b 略大于x n )(；2将区间[a ，b]分成m 个小区间（m ＜n ）,小区间长度可以不等，分点分别为a =t t t m <<< 10=b注意：使每个小区间中都要有一定量的观测值，且观测值不在分点上。
划分区间个数的确定：区间过少：分布信息混杂，丢失信息． 区间过多：出现很多空区间．区间划分个数m 依赖于样本总数n ，理论上有如下两个公式可参考： Moore(1986) ： m ≈C n 5/2，C = 1～3； Sturges(1928) ： m ≈1+3.322（lg n ）；3用n j 表示落在小区间（t j 1-,t j ]中观测值的个数（频数）并计算频率f j =nn j （j=1,2,…,m ）；4在直角坐标系x-o-y 的x 轴上标出t t t m ,,,10 ，分别以（t j 1-,t j ]为底边，以n j 为高作矩形，即得频数条形图。
概率论课件第十六次课
XY 0.005
Cov X , Y XY D( X ) D(Y ) 0.01
D X Y D X D Y 2Cov X , Y
1 4 0.02
4.98
则 P{ X Y 6} P{ X Y 0 6}
2 2
( 2)
2
2 分布的概率密度: 分布的密度函数为
n x 1 1 n2 x 2 e 2，x 0 f ( x ) 2 ( n 2) ， 0 ，x 0
其中( x ) e t
0
t x 1
dt，( x 0)称为伽马函数.
( 3)有关 分布的一些结论 :
一、复习： 1、契比雪夫不等式可以用来干什么？ 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分 别为1和4，而相关系数为0.005，则根据切比雪夫 不等式求： P{ X Y 6}
解： E X E Y 2, D X 1, D Y 4,
E X Y E X E Y 0
第六章 样本及其分布
第一节 随机样本和统计量
一、总体、个体
1、总体： 研究的对象的某个(或某些)数量指标的 全体,称为总体(母体)， 它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数 和数字特征. 2、个体: 组成总体的每一个元素称为个体. 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 X i 表示.
须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1) 代表性： X1, X2, …, Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2) 独立性： X1, X2, …, Xn是相互独立的随机变量.
概率统计建模讲义(重要分布举例卡方检验)
数理统计例举王晓谦wxqmath@南京师范大学主要内容随机变量及其分布经验分布函数和频率直方图参数估计假设检验相关分析与回归分析简介MATLAB例题例1能量供应问题（二项分布）例2 放射性（泊松）例3正态分布例4指数分布例5 多元随机变量例6经验分布函数例7超市问题（指数分布）例8区间估计例9 拟合检验1例10拟合检验2 例11概率纸检验法例12道德（独立性检验）例13肠癌例14J 效应随机变量及其分布例1、能量供应问题（二项分布）假定有10n =个工人间歇性地使用电力，估计所需要的总负荷。
首先我们要知道，或者是假定，每个工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率p 需要一个单位的电力。
那么，同时使用电力的人数就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。
用X 表示这个随机变量，记做(,)X B n p ，且有()(1),k k n k n P X k C p p -==-0,1,,k n =这是非常重要的一类概率分布。
其中E(X)＝np ， D(X)=np(1-p)。
其次，要根据经验来估计出，p 值是多少？例如，一个工人在一个小时里有12分钟在使用电力，那么应该有120.260p ==。
最后，利用公式我们求出随机变量X 的概率分布表如下：为直观计，我们给出如下概率分布图：目录 Back Next可以看出，{6}1{6}0.000864P X P X >=-≤=，也就是说，如果供应6个单位的电力，则超负荷工作的概率只有0.000864，即每11147200.000864≈≈分钟小时中，才可能有一分钟电力不够用。
还可以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的111还要小。
问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。
什么样的随机变量会服从二项分布？进行n次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是p，那么在这n次观测中事件A出现的总次数是一个服从二项分布B（n，p）。
D分布函数与概率密度函数的近似解
1） Fn x 是单调非减跳跃函数（阶梯函数） 2） Fn x 在点 x xk 处有间断， 在每个间断点的跃度 1 为 , k 1,2,,n n
*
Fn ( x ) 0, 3） 0 Fn ( x ) 1 xlim
x
lim Fn ( x ) 1
2） 数频数 观测值落在各组的频数分别为
m1 ,2 , ,ml
频率为
ml m1 m2 , , , n n n
3） 作图 以各组为底边，以相应组的频率除以组距为高， 建立个 l 小矩形，即得总体的直方图 如图6-2 直方图中每一矩形的面积等于相应组的频率
y
f x
o
m2 m1 n a0 n a a
0,
Fn x
* x x1
* x* x x k k 1 k 1, 2, ,n 1
k , n
1,
x x* n
称 Fn x 是总体 X 的经验分布函数 其图如6-1
y
1
k n 1 n
x x
* 1
* 2
o
x
* k
x
* k 1
x
* n
x
图 6-1
由图6-1容易看出
第六章 第二节 分布函数与概率密度函数的 近似解
一、分布函数的近似解—经验分布
二、概率密度函数的近似解—直方图
一、分布函数的近似解—经验分布
设 X 1， X 2， X n 是来自总体 X 的样本， x2， xn x1，
是样本的一个观测值, 设这n个数值按由小到大的
* * x2， x* ，定义： 顺序排列后为 x1 n ,对 x R
显然满足一般分布函数的三个性质 随着 n 的增大，Fn ( x ) 越来越接近 X 的分布函数 F( x )
数理统计知识小结
数理统计知识小结------缪晓丹 20114041056第五章 统计量及其分布§5.1总体与样本一、 总体与样本在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。
对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。
这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说：总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。
例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p 表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示：不同的p 反映了总体间的差异。
在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。
这种总体称为多维总体。
若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。
实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。
二、样本与简单随机样本 1、样本为了了解总体的分布，从总体中随机地抽取n 个个体，记其指标值为 n x x x ,,,21 , 则n x x x ,,,21 称为总体的一个样本，n 称为样本容量或简称为样本量，样本中的个体称为样品。
当30 n 时，称n x x x ,,,21 为大样本，否则为小样本。
首先指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是随机变量，用大写字母 n X X X ,,,21 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此样本又是一组数值，此时用小写字母n x x x ,,,21 表示。
简单起见，无论是样本还是其观测值，本书中均用n x x x ,,,21 表示，从上下文我们能加以区别。
每个样本观测值都能测到一个具体的数值，则称该样本为完全样本，若样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，则称这样的样本为分组样本。
概率论与数理统计实验
整理课件
3、指数分布随机数
1) R = exprnd(λ)：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(λ,m,n)产生m行n列的指数分布随机数
例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数， 2行6列的随机数。
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,1000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,10000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.3,1000)
整理课件
二、常用统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
概率论与数理统计实验
实验2 随机数的产生
数据的统计描述
整理课件
实验目的
学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。
实验内容
1、随机数的产生 2、统计的基本概念。 3、计算统计描述的命令。 4、计算实例。
整理课件
一、随机数的产生 定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 10常用分布随机数的产生
整理课件
例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并 画经验分布函数曲线。
Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,yRandnum);
例9：产生5组指数分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
也能做精算actuar 包学习笔记一
用R也能做精算—actuar包学习笔记（一）李皞（中国人民大学统计学院风险管理与精算）本文是对R中精算学专用包actuar使用的一个简单教程。
actuar项目开始于2005年，在2006年2月首次提供公开下载，其目的就是将一些常用的精算功能引入R系统。
actuar是一个集成化的精算函数系统，虽然其他R包中的很多函数可以供精算师使用，但是为了达到某个目的而寻找某个包的某个函数是一个费时费力的过程，因此，actuar将精算建模中常用的函数汇集到一个包中，方便了人们的使用。
目前，该包提供的函数主要涉及风险理论，损失分布和信度理论，特别是为非寿险研究提供了很多方便的工具。
如题所示，本文是我在学习actuar包过程中的学习笔记，主要涉及这个包中一些函数的使用方法和细节，对一些方法的结论也有稍许探讨，因此能简略的地方简略，而讨论的地方可能讲的会比较详细。
文章主要是针对R语言的初学者，因此每种函数或数据的结构进行了尽可能直白的描述，以便于理解，如有描述不清或者错漏之处，敬请各位指正。
闲话少提，下面就正式开始咯！1 数据描述本节介绍描述数据的基本方法，数据类型主要分为分组数据和非分组数据。
对于非分组数据的描述方法大家会比较熟悉，无论是数量上，还是图形上的，比如均值、方差、直方图、柱形图还有核密度估计等。
因此下文的某些部分只介绍如何处理分组数据。
1.1 构造分组数据对象分组数据是精算研究中经常见到的数据类型，虽然原始的损失数据比分组数据包含有更多的信息，但是某些情况下受条件所限，只能获得某个损失所在的范围。
与此同时，将数据分组也是处理原始数据的基本方法，通过将数据分到不同的组中，我们可以看到各组中数据的相对频数，有助于对数据形成直观的印象（比如我们对连续变量绘制直方图）；而且在生存函数的估计中，数据量经常成千上万，一种处理方法是选定合适的时间或损失额度间隔，对数据进行分组，然后再使用分组数据进行生存函数的估计，这样可以有效减小计算量。
数理统计基本概念
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
定理 5 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
二、统计量和抽样分布 1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工”，这就要构造一些样本的 函数，它把样本中所含的（某一方面）的 信息集中起来.
这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单 随机样本，它可以用与总体独立同分布的 n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.
若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机 样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn) 简单随机样本是应用中最常见的情 形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某 总体的样本”时，若不特别说明，就指简 单随机样本.
数理统计的基本概 念
一、总体和样本
1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅 是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时， 每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
数理统计第四章
第4章数据汇总这一章，我们介绍数据的描述和汇总方法•这些方法大部分以图形的方式展示数据，也可以用其揭示数据结构•在不使用随机模型的情况下，这些方法可以达到描述性分析的目的•如果考虑随机模型，那获得的数据％,X2,…,X n，在一些情形下将它们视为独立同分布的n个随机变量X i,X2, ,X n的实现.我们首先讨论经验累积分布函数等，这些方法可以用于展示数据值的分布。
接着，我们讨论直方图和相关的图形，它们扮演着随机变量的概率密度的角色，从另一角度展示数据值的分布•我们还将介绍数据的简单汇总，比如用以代表数据中心的样本均值、中位数等，用以量化数据分散程度的样本标准差等，这些统计量比直方图等图形提供了更加浓缩的汇总信息•接着将介绍箱线图，它通过一种简单的图形方式将中心值、散度和分布形状等信息汇总起来•最后介绍散点图，用以揭示变量相关性的信息.§ 4.1基于累积分布函数的方法经验累积分布函数设x1,x2/，x!是一组数据，经验累积分布函数(empirical cumulative distributen function,ecdf)定义为1F n(X)= —#{X 兰X}n显然F n(x)是阶梯形的右连续的函数例 4.1 （见P261）如果要进一步讨论经验累积分布函数的统计性质，那必须置于随机模型下去讨论.数据x1,x2/ ,x n视为简单随机样本X1,X2/ ,X n的实现, 它们公共的分布函数为F(x)( —般假定F(x)是连续型分布).样本X i,X2,…,X n的经验累积分布函数定义为1F n(x) #{X i 沁}n对于任意给定的实数x , F n(x)是一个随机变量，并且n F n(x) ~B(n,F(x)),从而1E(F n(x)) E(V n(x)) =F(x),nVar(F n(x))二Var(V n(x)) = F(x)(1-F(x)).n n可见,F n(x)是F(x)的无偏估计,且n「:时Var(F n(x)) > 0,从而知F n(x) 是F(x)的相合估计.关于F n(x)还有更强的结论：定理(格里汶科)对于任意的自然数n,设X i,X2,…，X n是来自总体分布函数F(x)的一个样本，F n(x)为其经验分布函数，记D n = sup |F n(X)-F(x)|，则有x ■■■：::P(lim D n=0) =1n )：:该定理表明，经验分布函数F n(x)会一致地强收敛于总体分布函数F(x). 这也说明用经验分布函数F n(x)推断总体分布函数F(x)，用样本各阶矩(即F n(x)的矩)去推断总体的矩等是合理的，是有理论依据的 .生存函数随机变量T的生存函数定义为S(t)=P(T t)设随机变量T的分布函数为F(t)，那么生存函数S(t)=1-F(t)，两者给出的信息是等价的•在应用中，对于寿命数据(一般是非负的)，通常分析生存函数而不是分布函数•若样本的经验分布函数为&(t)，那么经验生存 函数为S n (t)=1-F n (t)例 4.2(见 P262)生存函数与危险函数有联系.危险函数定义为其中f(t),F(t)分别为T 的密度函数和分布函数也即为了看清危险函数的统计意义，我们考查元件在使用了 t 时间还未失效 的条件下，在接下来的时间段(t,r .］内失效的条件概率P(t :::T I ：|t t)假设密度f(t)在t 处连续，那么有F(t ：)- F(t)丄 f(t) 1-F(t)S(t) 因此h(tp P(t ：：T -^ A l T t)或P(t T <t -qT t)MtTm 。
直方图及散布图的特点与概念
准要求为1000 0 +0.50（ｇ）。用直方图分析 产品的重量分布情况。
1、收集数据： 收集生产稳定状态下的产品100个，测定其重
量得到100个数据（或收集已经测定过的数据 100个），列入表10-1中。
作直方图的数据要大于50个，否则反映分
往往是经全数检 查，剔出不合格 品后的产品数据， 作直方图时出现 的状态。
或是根据虚假数 据作直方图时出 现的状态。
陡壁型
27
2、与规范界限的比较分析：
当直方图的形状呈正常型时， 即工序在此时此刻处于稳定状态 时，还需要进一步将直方图同规 范界限（即公差）进行比较，以 分析判断工序满足标准公差要求 的程度。 常见的典型状态如下:
48 50
质量特性值的分布范围
8
3、确定组数（k）：
将收集的数据的分布 范围 （R）划分为若干个（k）区 间（组）。
组数的确定要适当，组数太少 会因代表性差引起较大计算误差； 组数太多会影响数据分组规律的 明显性，且计算工作量加大。通 常确定的组数要使
每组平均至少包括4～5 个数据。
可参考下表，这是一个经验数 值表。
4
4、直 方 图 用 途：
1）向领导汇报质量情况； 2）按不同的工人、设备、原料、日期
等各种原因进行质量分析； 3）调查工序或设备的能力，进一步确
定工序能力指数； 4）在QC小组活动中主要用于现状调
查、制定并实施对策和效果检查，也 可用于课题选择、确定目标、遗留问 题的确定等。
5
二、直方图的作法
28
1、理 想 型
图形对称分布， TL 且两边有一定余 量，是理想状态。 这时可考虑在以 后的生产中抽取 少量的样品进行 检验。
第五章数理统计的基础知识
第五章数理统计的基础知识在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。
知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。
在概率论的许多问题中,概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性,即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。
但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。
例如:1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。
2、检测一批灯泡是否合格,则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0—1）分布,但其中的参数p 未知。
对这类问题要深入研究,就必须知道与之相应的分布或分布中的参数.数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数.数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。
数理统计研究的内容非常广泛,可分为两大类：一是:怎样有效地收集、整理有限的数据资料.二是:怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。
第一节数理统计的基本概念一、总体与总体的分布在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系。
在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X .例如：研究一批灯泡的平均寿命时,该批灯泡的全体构成了研究的总体,其中每个灯泡就是个体.但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记X 表示该批灯泡的寿命）。
总体与样本直方图条形图及经验分布函数
4 i1
(1
e 2xi
)
0,
xi 0, i 1,2,3,4 其它
6.1.2 样本与抽样
【例6.2】已知总体X的分布为P{X = i} = 1/4，
i = 0,1,2,3,抽取n=36的简单随机样本X1,X2,...,X36, 36
36
E(Y ) E( X i ) 36E( X ) 54, i 1
36
5
D(Y ) D( i1 X i ) 36D( X ) 36 4 45
又因为n
=
36较大，依中心极限定理，Y
36
X近i 似
服从正态分布 N(54,45) ，所以
i 1
P{50.4
Y
64.8}
P 50.4
54
Y
54
64.8
例如，在质量检验中，随机抽出n件产品，测 得的数据x1，x2，...，xn，就称它们是样本观测 值．
在抽样前，不知道样本观测值究竟取何值，应 该把它们看作为随机变量，记作X1，X2，...，Xn， 称其为容量为n的样本.
（在不会混淆的情况下，有时我们也将观测数据 x1，x2，...，xn称为样本，如“质量控制问题”中 的30个数据，也可以说成是一个容量为30的样 本）．
【数理统计简史】
社会统计学派始于19世纪末，首创人物是德国 的克尼斯（K. G. A. Knies），他认为统计学是一 个社会科学，是研究社会现象变动原因和规律性 的实质性科学．各国专家学者在社会经济统计指 标的设定与计算、指数的编制、统计调查的组织 和实施、经济社会发展评价和预测等方面取得了 一系列的重要成果．德国统计学家恩格尔 （C.L.E.Engel，1821-1896）提出的“恩格尔”系 数，美国经济学家库兹涅茨和英国经济学家斯通 等人研究的国民收入和国内生产总值的核算方法 等，都是伟大的贡献．
概率论和数理统计数理统计的基本知识
3/11/2021
〖定义〗 设总体X的 n个独立观测值为x1,x2,…,xn, 将它们从小到大
排序后为x1*,x2 *,…,xn *, 令
0,
Fn
(
x)
k n
,
1,
x x1*
x
* k
x
x* k 1
xn* x
称Fn(x)为总体X 的经验分布函数. （也称为样本分布函数）
① 0 Fn( x) 1 ② 单调不减； ③ 处处右连续.
n
P( X xi )
i 1
8
3/11/2021
例1 已知总体X ~（）分布，写出样本 (X1, X2,…, Xn)的分布律。
析：
X的分布律 P{ X k} k e ,
k!
可以写成 P{ X x} x e ,
x!
k 0,1,2, x 0,1,2,
样本 (X1, X2,…, Xn)的分布律
5
3/11/2021
❖3、样本
➢从总体X中随机抽取n个个体X1,X2,Xn所组成的一个个体 组（X1,X2,,Xn），称为总体X的一个样本，个体的数目n
称为样本容量。
➢ 通过试验对样本(X1,X2,,Xn)进行观测，得到的n个确定的 实验数据(x1,x2,,xn)，称为样本(X1,X2,,Xn)的一个观察值，
(X1 ,X2,…Xn1), (Y1 ,Y2,…Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则
3/11/2021
1> 当12= 22时
(X Y ) ( 1 2)
S
11 n1 n2
~
t(n1 n2 2)
其中S 2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
统计学-三种常用分布
引出
P＝3×π2（1-π）＝ C322(1)
P ( X k ) C n kk ( 1 ) n k n k k ( 1 ) n k k ! ( n n !k ) !k ( 1 ) n k
Bernoulli试验的三个条件
取三只实验白鼠服用相同剂量的致毒物假设他们死亡的概率均为只白鼠中死亡的例数为第一只白鼠第二只白鼠第三只白鼠发生的概率存活存活存活死亡存活存活存活死亡存活存活存活死亡死亡死亡存活死亡存活死亡存活死亡死亡死亡死亡死亡bernoulli试验的三个条件每一次试验结果只能是两个互斥的结果之一成功与失败各次试验相互独立如果服从以上三个条件那么次试验中成功次数个答案选择随机选择答案每道题正确的概率为02520道题正好有1617181920接近0505较远时呈偏态分布但随着样本例数的增多趋向于正态分布
频数分布图：直方图（频数-频率）
.25 .2 .15 .1 .05
F ra ctio n
164.1
185.4 x
频率图（纵坐标为频率）
正态分布的定义及其函数表达式
若某变量的频率曲线对应于数学上的正态曲 线，则称该变量服从正态分布
正态曲线的函数表达式
f (x) 1 e(x22)2
当nπ和n(1-π)都大于5时，二项分布近似于 正态分布
当μ≥20时，Poisson分布接近正态分布
每一次试验结果，只能是两个互斥的结果之一 （成功与失败）
每次试验成功的概率不变 各次试验相互独立
如果服从以上三个条件，那么n次试验中， 成功次数X服从二项分布。记为X～B(n,)
例2：英语测试时，每道题有4个答案选择，随 机选择答案，每道题正确的概率为0.25，问 (1)做8道题，正好有2道题正确的概率是多少？ (2)做20道题，正好有5道题正确的概率是多 少?
常见的分布函数Word版
6数理统计的基本概念6.1 基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。
能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。
了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。
了解正态总体的某些常用抽样分布。
6.2 内容提要6.2.1 总体和样本1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。
总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。
2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。
3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。
4 样本的联合分布*该部分内容考研不作要求。
若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为∏==ni i n x F x x x F 121)(),,,(若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为∏==ni in x f x x x f 121)(),,,( (6.1)若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211}{},,,{ (6.2)其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。
6.2.2 样本分布1 频率分布设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l *且n n li i =∑=1。
样本分布函数 直方图
各子区间的长度可以相等，也可以不等．若使各子区间的长度相等， 则有
ti
ba l
（i
1,2,,l)
子区间的个数 l 一般取为 8 至 15 个，太多则由于频率的随机摆
动而使分布显得杂
乱，太少则难于显示分布的特征．此外，为了方便起见，分点 ti 应
(3)把所有样本观测值逐个分到各子区间内，并计算样
最小值
x
* n
，分别记作
x1* min( x1, x2 ,, xn )
xn* max( x1, x2 ,, xn )
(2)适当选取略小于
x
* 1
的数
a
与略大于
x
* n
的数 b
，并用分点
a = t0 t1 t2 tl1 tl b
把区间 (a, b) 分为 l 个子区间
（ a, t1 ) ，（ t1 , t2 ) ，…，（ tl1, b) 第 i 个子区间的长度为
样本分布函数 直方图
1.1样本分布函数
定义 5.3 设 x1, x2, , xn 是总体 X ~ F(x) 的一个容量 为 n 的样本值,先将 x1, x2, , xn 按自小到大的次序排列,并 重新编号.设为
则函数
x(1) x(2) x(n) ,
0,
Fn
(
x)
k n
,
1,
x x(1) , x(k) x x(k 1) , k 1, 2, x x(n)
本观测值落在各子区间内
的频数 ni 及率
fi
ni n
，（ i
1,2,,l) ．
(4)在 Ox 轴上截取各子区间，并以各子区间为底，以
直方图与几率分布念
直方图的绘制方法
01
02
03
04
收集数据
首先需要收集要进行统计分析 的数据。
确定分组
将数据按照一定的规则分成若 干个组，每个组的范围称为一
个箱子或区间。
计算频数
统计每个组内数据值的数量或 出现次数。
绘制条形
模拟数据直方图分析
模拟数据生成
使用随机数生成器模拟一组年龄分布数据，模拟了1000个年龄在 18-60岁之间的人的身高数据。
直方图绘制
同样使用Excel或Python等工具绘制直方图，将身高分为若干个区 间，统计每个区间内的人数。
分析结果
通过直方图可以直观地看出身高的分布情况，发现身高的主要分布区 间和异常值，为后续的统计分析提供基础。
案例比较与讨论
比较分析
比较实际数据和模拟数据的直方图，分析它们的相似性和差异性。
讨论
探讨造成这种差异的原因，如数据来源、样本大小、数据质量等。同时，也可以讨论如何根据分析结果进行进一 步的统计分析或预测。
06
总结与展望
直方图与几率分布的重要意义
直观展示数据分布
直方图能够直观地展示 数据的分布情况，帮助 我们快速了解数据的集 中趋势、离散程度和异 常值。
04
直方图与几率分布的实际应用
在数据分析中的应用
数据可视化
直方图可以用于展示数据的分布情况，帮助分析 者直观地了解数据特征和变化趋势。
数据清洗
在数据分析之前，通过直方图可以初步判断数据 的异常值和缺失值，为数据清洗提供依据。
数据分组
直方图可以用于对数据进行分组，以便进一步分 析不同组别的数据特征和规律。
经验分布函数与直方图
为总体 X 的经验分布函数。
例 某厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮 料，称其净重量（单位：g) 如下，求经验分布函数。
351，347，355 ，344，351
0, 0.2, F5 ( x) 0.4, 0.8, 1,
若 x 344 若344 x 347 若347 x 351 若351 x 355
Step4 统计样本值落入各区间的频数, 并求出频率。
三、样本数据的图形显示
1. 频率直方图(frequency histogram)
以“变量”为横轴, 以“频率”为纵轴画柱形图, 即得 频率直方图.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 2700
体重频率）
设 x1,x2, ,xn是 总 体 分 布 函 数 为 F(x)的 样 本 ， Fn(x)为 其 经 验 分 布 函 数 ,当 n时 ,有
P{lni m sux p|Fn(x)F(x)|0}1.
注：定理表明：只要 n 充分大， 经验分布数 Fn(x) 是总体分布函数 F(x) 的良好近似。这是用样本来 推断总体的理论依据。
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经验分布函数与直方图经验分布函数matlab经验分布函数经验累积分布函数经验分布函数图概率密度与分布函数分布函数累积分布函数概率分布函数高斯分布函数
第二节 经验分布函数与直方图
1、经验分布函数 2、直方图
1 经验分布函数
2. 经验分布函数
问题引入的背景：设 X1 , X2，……, Xn 是取自某总体 X 的样本，X 的分布完全未知， 如何利用 X1 , X2，……, Xn 的信息，来推断总体 X 的 分布函数 F(x) 的形式！
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2 直方图
2. 直方图
整理数据的常用方法是根据数据给出频数/频率分布表。
例3 20名新生婴儿的体重的观察值为 2880 2440 2700 3500 3600 3080 3860 3200 3500 3100 3180 3200 3300 3040 3020 3420 2900 3440 3000 2620
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思考题
• 直方图与经验分布函数之间具有怎样的关 系？
• 如何利用直方图做概率密度的粗略估计？
若x 355
定理（格里纹科定理）
设x1, x2,L , xn是总体分布函数为F (x)的样本，
Fn (x)为其经验分布函数,当n 时,有
P{lim n
sup
x
|
Fn
(
x)
F
(
x)
|
0}
1.
注：定理表明：只要 n 充分大， 经验分布数 Fn(x) 是总体分布函数 F(x) 的良好近似。这是用样本来
步骤如下：
Step1 对样本值进行分组：确定组数 k。 Step2 确定每组组距(等距）：组距 d x(n) x(1)
k
Step3 确定每组组限：选取a(略小于x(1) )和b(略大于x(n) ), 分区间(a,b]为 k 等份
(ai , ai1],i 1, 2,L , k, a1 a, ak1 b
Step4 统计样本值落入各区间的频数, 并求出频率。
三、样本数据的图形显示
1. 频率直方图(frequency histogram)
以“变量”为横轴, 以“频率”为纵轴画柱形图, 即得频率直方图.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 2700
体重频率表
定义1 设 x1 ,…, xn 来自总体 X 的样本 X1,…, Xn 的一组观测值，设
vn(x)表示 x1 ,…, xn n个数中小于 x 的个数， 称vn(x)为经验频数。
注：固定 x， vn(x) 是样本 X1,…, Xn 的函数，是一个 统计量。
定义2 称
Fn( x)
vn ( x) n
( x )
为总体 X 的经验分布函数。
例 某厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮 料，称其净重量（单位：g) 如下，求经验分布函数。
351，347，355 ，34.4, 0.8, 1,
若x 344 若344 x 347 若347 x 351 若351 x 355
第二节 经验分布函数与直方图
1、经验分布函数 2、直方图
1 经验分布函数
2. 经验分布函数
问题引入的背景：设 X1 , X2，……, Xn 是取自某总体 X 的样本，X 的分布完全未知， 如何利用 X1 , X2，……, Xn 的信息，来推断总体 X 的 分布函数 F(x) 的形式！
理论基础：大数定律（频率趋向于概率！）