经验分布函数与直方图
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定义1 设 x1 ,…, xn 来自总体 X 的样本 X1,…, Xn 的一组观测值，设
vn(x)表示 x1 ,…, xn n个数中小于 x 的个数， 称vn(x)为经验频数。
注：固定 x， vn(x) 是样本 X1,…, Xn 的函数，是一个 统计量。
定义2 称
Fn( x)
vn ( x) n
( x )
第二节 经验分布函数与直方图
1、经验分布函数 2、直方图
1 经验分布函数
2. 经验分布函数
问题引入的背景：设 X1 , X2，……, Xn 是取自某总体 X 的样本，X 的分布完全未知， 如何利用 X1 , X2，……, Xn 的信息，来推断总体 X 的 分布函数 F(x) 的形式！
理论基础：大数定律（频率趋向于概率！）
推断总体的理论依据。
2 直方图
2. 直方图
整理数据的常用方法是根据数据给出频数/频率分布表。
例3 20名新生婴儿的体重的观察值为 2880 2440 2700 3500 3600 3080 3860 3200 3500 3100 3180 3200 3300 3040 3020 3420 2900 3440 3000 2620
3000
3300
3600
3900
Fra Baidu bibliotek 思考题
• 直方图与经验分布函数之间具有怎样的关 系？
• 如何利用直方图做概率密度的粗略估计？
步骤如下：
Step1 对样本值进行分组：确定组数 k。 Step2 确定每组组距(等距）：组距 d x(n) x(1)
k
Step3 确定每组组限：选取a(略小于x(1) )和b(略大于x(n) ), 分区间(a,b]为 k 等份
(ai , ai1],i 1, 2,L , k, a1 a, ak1 b
Step4 统计样本值落入各区间的频数, 并求出频率。
三、样本数据的图形显示
1. 频率直方图(frequency histogram)
以“变量”为横轴, 以“频率”为纵轴画柱形图, 即得频率直方图.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 2700
体重频率表
若x 355
定理（格里纹科定理）
设x1, x2,L , xn是总体分布函数为F (x)的样本，
Fn (x)为其经验分布函数,当n 时,有
P{lim n
sup
x
|
Fn
(
x)
F
(
x)
|
0}
1.
注：定理表明：只要 n 充分大， 经验分布数 Fn(x) 是总体分布函数 F(x) 的良好近似。这是用样本来
为总体 X 的经验分布函数。
例 某厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮 料，称其净重量（单位：g) 如下，求经验分布函数。
351，347，355 ，344，351
0, 0.2, F5 (x) 0.4, 0.8, 1,
若x 344 若344 x 347 若347 x 351 若351 x 355
vn(x)表示 x1 ,…, xn n个数中小于 x 的个数， 称vn(x)为经验频数。
注：固定 x， vn(x) 是样本 X1,…, Xn 的函数，是一个 统计量。
定义2 称
Fn( x)
vn ( x) n
( x )
第二节 经验分布函数与直方图
1、经验分布函数 2、直方图
1 经验分布函数
2. 经验分布函数
问题引入的背景：设 X1 , X2，……, Xn 是取自某总体 X 的样本，X 的分布完全未知， 如何利用 X1 , X2，……, Xn 的信息，来推断总体 X 的 分布函数 F(x) 的形式！
理论基础：大数定律（频率趋向于概率！）
推断总体的理论依据。
2 直方图
2. 直方图
整理数据的常用方法是根据数据给出频数/频率分布表。
例3 20名新生婴儿的体重的观察值为 2880 2440 2700 3500 3600 3080 3860 3200 3500 3100 3180 3200 3300 3040 3020 3420 2900 3440 3000 2620
3000
3300
3600
3900
Fra Baidu bibliotek 思考题
• 直方图与经验分布函数之间具有怎样的关 系？
• 如何利用直方图做概率密度的粗略估计？
步骤如下：
Step1 对样本值进行分组：确定组数 k。 Step2 确定每组组距(等距）：组距 d x(n) x(1)
k
Step3 确定每组组限：选取a(略小于x(1) )和b(略大于x(n) ), 分区间(a,b]为 k 等份
(ai , ai1],i 1, 2,L , k, a1 a, ak1 b
Step4 统计样本值落入各区间的频数, 并求出频率。
三、样本数据的图形显示
1. 频率直方图(frequency histogram)
以“变量”为横轴, 以“频率”为纵轴画柱形图, 即得频率直方图.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 2700
体重频率表
若x 355
定理（格里纹科定理）
设x1, x2,L , xn是总体分布函数为F (x)的样本，
Fn (x)为其经验分布函数,当n 时,有
P{lim n
sup
x
|
Fn
(
x)
F
(
x)
|
0}
1.
注：定理表明：只要 n 充分大， 经验分布数 Fn(x) 是总体分布函数 F(x) 的良好近似。这是用样本来
为总体 X 的经验分布函数。
例 某厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮 料，称其净重量（单位：g) 如下，求经验分布函数。
351，347，355 ，344，351
0, 0.2, F5 (x) 0.4, 0.8, 1,
若x 344 若344 x 347 若347 x 351 若351 x 355