(完整版)平行线专题复习
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。
2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。
3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。
②两直线平行，内错角相等。
③两直线平行，同旁内角互补。
④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
⑤平行于同一直线的两直线平行。
即c b b a ∥，∥，则c a ∥。
4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角相等，两直线平行。
④垂直于同一直线的两直线平行。
即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。
⑤平行于同一直线的两直线平行。
即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。
5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。
练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。
中考数学专题复习平行线问题骨折型
中考数学专题复习平行线问题骨折型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、填空题1．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∥1，∥2，∥3的关系式__________．2．如图所示，AB∥CD，∥E＝37°，∥C＝20°，则∥EAB的度数为__________．3．如图，已知//AB DE，∥ABC=80°，∥CDE=140°，则∥BCD=_____．4．如图，直线MA∥NB，∥A=70°，∥B=40°，则∥P=___________度．5．如图，AB∥CD，则∥1+∥3—∥2的度数等于__________．评卷人得分二、解答题6．（1）如图，AB//CD，CF平分∥DCE，若∥DCF=30°，∥E=20°，求∥ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∥EBF=2∥ABF，CF平分∥DCE，若∥F的2倍与∥E的补角的和为190°，求∥ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∥BPG，GN//PQ，GM平分∥DGP，若∥B＝30°，求∥MGN的度数．7．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∥A＝50°，∥D＝150°，求∥APD的度数；（2）如图2，判断∥P AB、∥CDP、∥APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP∥PD，DN平分∥PDC，若∥P AN+12∥P AB＝∥APD，求∥AND的度数．8．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∥CAB＝∥MCA+∥PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∥ECN＝∥CAB，求证：∥MCA＝∥DCE；（3）如图3，BF平分∥ABP，CG平分∥ACN，AF∥CG．若∥CAB＝60°，求∥AFB的度数．9．（1）如图1，l1∥l2，求∥A1+∥A2+∥A3＝______．（直接写出结果）（2）如图2，l1∥l2，求∥A1+∥A2+∥A3+∥A4＝_____．（直接写出结果）（3）如图3，l1∥l2，求∥A1+∥A2+∥A3+∥A4+∥A5＝_______．（直接写出结果）（4）如图4，l1∥l2，求∥A1+∥A2+…+∥An＝_______．（直接写出结果）10．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∥BME、∥E、∥END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∥BMF、∥F、∥FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∥FND，MB平分∥FME，且2∥E＋∥F＝180°，求∥FME的度数；（3）如图4中，∥BME＝60°，EF平分∥MEN，NP平分∥END，且EQ∥NP，则∥FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∥FEQ的度数．11．综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，//EF MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出PAF∠、PBN∠和APB∠之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线//m n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，∥当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．则CPD ∠，α∠，β∠之间有何数量关系？请说明理由．∥若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD ∠，α∠，β∠之间的数量关系．12．已知AB //CD ，求证：∥B ＝∥E ＋∥D13．为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC ，CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50,75,25B C D ∠=︒∠=︒∠=︒，判别AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若25C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD ，求出此时B 的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85,25,//C D AB DE ∠=︒∠=︒，求出此时B 的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．参考答案：1．∥2+∥3﹣∥1=180°【解析】【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．【详解】解：∥AB∥EF，EF∥CD，∥∥2+∥BOE=180°，∥3+∥COF=180°，∥∥2+∥3+∥BOE+∥COF=360°，∥∥BOE+∥COF+∥1=180°，∥∥BOE+∥COF=180°﹣∥1，∥∥2+∥3+（180°﹣∥1）=360°，即∥2+∥3﹣∥1=180°．故答案为：∥2+∥3﹣∥1=180°．【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．2．57°【解析】【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∥∥E＝37°，∥C＝20°，∥∥CFE=180°-37°-20°=123°，∥∥AFD=123°，∥AB∥CD，∥∥AFD+∥EAB=180°，∥∥EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．3．40︒【解析】【分析】∠，延长ED交BC于M，根据两直线平行，内错角相等证明∥BMD=∥ABC，再求解CMD再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：延长ED交BC于M，∥//AB DE，∥∥BMD=∥ABC=80°，∥180100∠=︒-∠=︒；CMD BMD又∥∥CDE=∥CMD+∥C，∥14010040∠=∠-∠=︒-︒=︒．BCD CDE CMD故答案是：40°【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．4．30【解析】【分析】要求∥P的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形的一个外角，根据三角形的外角的性质进行求解．【详解】解：根据平行线的性质，得∥A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∥P＝70°−40°＝30°．故答案为30．【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可以牢记此题中的结论：∥P＝∥A−∥B．5．180°【解析】【详解】解：∥AB∥CD∥∥1=∥EFD∥∥2+∥EFC=∥3∥EFD=180°-∥EFC∥∥1+∥3—∥2=180°故答案为：180°6．（1）∥ABE=40°；（2）∥ABE=30°；（3）∥MGN=15°．【解析】【分析】（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EM∥AB，∥AB∥CD，∥CD∥EM∥AB，∥∥ABE＝∥BEM，∥DCE＝∥CEM，∥CF平分∥DCE，∥∥DCE＝2∥DCF，∥∥DCF＝30°，∥∥DCE＝60°，∥∥CEM＝60°，又∥∥CEB＝20°，∥∥BEM＝∥CEM﹣∥CEB＝40°，∥∥ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∥∥EBF＝2∥ABF，∥设∥ABF＝x，∥EBF＝2x，则∥ABE＝3x，∥CF平分∥DCE，∥设∥DCF＝∥ECF＝y，则∥DCE＝2y，∥AB∥CD，∥EM∥AB∥CD，∥∥DCE＝∥CEM＝2y，∥BEM＝∥ABE＝3x，∥∥CEB＝∥CEM﹣∥BEM＝2y﹣3x，同理∥CFB＝y﹣x，∥2∥CFB+（180°﹣∥CEB）＝190°，∥2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∥x＝10°，∥∥ABE＝3x＝30°；（3）过P作PL∥AB，∥GM平分∥DGP，∥设∥DGM＝∥PGM＝y，则∥DGP＝2y，∥PQ平分∥BPG，∥设∥BPQ＝∥GPQ＝x，则∥BPG＝2x，∥PQ∥GN，∥∥PGN＝∥GPQ＝x，∥AB∥CD，∥PL∥AB∥CD，∥∥GPL＝∥DGP＝2y，∥BPL＝∥ABP＝30°，∥∥BPL＝∥GPL﹣∥BPG，∥30°＝2y﹣2x，∥y﹣x＝15°，∥∥MGN＝∥PGM﹣∥PGN＝y﹣x，∥∥MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．7．（1）∥APD=80°；（2）∥P AB+∥CDP-∥APD=180°；（3）∥AND=45°．【解析】【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∥P AB+∥CDP-∥APD=180°；（3）先证明∥NOD=12∥P AB，∥ODN=12∥PDC，利用（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）∥∥A=50°，∥D=150°，过点P作PQ∥AB，∥∥A=∥APQ=50°，∥AB∥CD，∥PQ∥CD，∥∥D+∥DPQ=180°，则∥DPQ=180°-150°=30°，∥∥APD=∥APQ+∥DPQ=50°+30°=80°；（2）∥P AB+∥CDP-∥APD=180°，如图，作PQ∥AB，∥∥P AB=∥APQ，∥AB∥CD，∥PQ∥CD，∥∥CDP+∥DPQ=180°，即∥DPQ=180°-∥CDP，∥∥APD=∥APQ-∥DPQ，∥∥APD=∥P AB-(180°-∥CDP)=∥P AB+∥CDP-180°；∥∥P AB+∥CDP-∥APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∥AP∥PD，∥∥APO=90°，由题知∥P AN+12∥P AB=∥APD，即∥P AN+12∥P AB=90°，又∥∥POA+∥P AN=180°-∥APO=90°，∥∥POA=12∥P AB，∥∥POA=∥NOD，∥∥NOD=12∥P AB，∥DN平分∥PDC，∥∥ODN=12∥PDC，∥∥AND=180°-∥NOD-∥ODN=180°-12(∥P AB+∥PDC)，由(2)得∥P AB+∥CDP-∥APD=180°，∥∥P AB+∥PDC=180°+∥APD，∥∥AND=180°-12(∥P AB+∥PDC)=180°-12(180°+∥APD)=180°-12(180°+90°)=45°，即∥AND=45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【解析】【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∥MCA＝∥DAC，∥PBA＝∥DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∥、∥CAB+∥ACD＝180°，由邻补角定义得到∥ECM+∥ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∥F AB＝120°﹣∥GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∥GCA﹣∥ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∥MN∥PQ，AD∥MN，∥AD∥MN∥PQ，∥∥MCA＝∥DAC，∥PBA＝∥DAB，∥∥CAB＝∥DAC+∥DAB＝∥MCA+∥PBA，即：∥CAB＝∥MCA+∥PBA；（2）如图2，∥CD∥AB，∥∥CAB+∥ACD＝180°，∥∥ECM+∥ECN＝180°，∥∥ECN＝∥CAB∥∥ECM＝∥ACD，即∥MCA+∥ACE＝∥DCE+∥ACE，∥∥MCA＝∥DCE；（3）∥AF∥CG，∥∥GCA+∥F AC＝180°，∥∥CAB＝60°即∥GCA+∥CAB+∥F AB＝180°，∥∥F AB＝180°﹣60°﹣∥GCA＝120°﹣∥GCA，由（1）可知，∥CAB＝∥MCA+∥ABP，∥BF平分∥ABP，CG平分∥ACN，∥∥ACN＝2∥GCA，∥ABP＝2∥ABF，又∥∥MCA＝180°﹣∥ACN，∥∥CAB＝180°﹣2∥GCA+2∥ABF＝60°，∥∥GCA﹣∥ABF＝60°，∥∥AFB+∥ABF+∥F AB＝180°，∥∥AFB＝180°﹣∥F AB﹣∥FBA＝180°﹣（120°﹣∥GCA）﹣∥ABF＝180°﹣120°+∥GCA﹣∥ABF＝120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．9．（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °【解析】【分析】（1）过点A2作A2B∥l1，根据平行线的性质，即可求解；（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，根据平行线的性质，即可求解；（3）根据平行线的性质，即可求解；（4）根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：（1）过点A2作A2B∥l1，∥l1∥l2，∥A2B∥l1∥l2，∥∥A1+∥A1A2B=180°，∥A3+∥A3A2B=180°，∥∥A1+∥A1A2A3+∥A3＝∥A1+∥A1A2B+∥A3+∥A3A2B=180°+180°=360°，故答案是：360°；（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，∥l1∥l2，∥A3C∥A2B∥l1∥l2，∥∥A1+∥A1A2B=180°，∥A4+∥A4A3B=180°，∥BA2A3+∥CA3A2=180°，∥∥A1+∥A1A2A3+∥A2A3A4+∥A4＝∥A1+∥A1A2B+∥A4+∥A4A3B+∥BA2A3+∥CA3A2=180°+180°+180°=540°，故答案是：540°；（3）同理可得：∥A1+∥A2+∥A3+∥A4+∥A5＝180°+180°+180°+180°=720°，故答案是：720°；（4）同理可得：∥A1+∥A2+…+∥An＝（n-1）180 °，故答案是：（n-1）180 °．【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．10．（1）∥BME＝∥MEN﹣∥END；∥BMF＝∥MFN＋∥FND；（2）120°；（3）不变，30°【解析】【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∥BME+∥END）+∥BMF-∥FND=180°，可求解∥BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∥FEQ=12∥BME，进而可求解．【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∥∥BME＝∥MEH，∥AB∥CD，∥HE∥CD，∥∥END＝∥HEN，∥∥MEN＝∥MEH＋∥HEN＝∥BME＋∥END，即∥BME＝∥MEN﹣∥END．如图2，过F作FH∥AB，∥∥BMF＝∥MFK，∥AB∥CD，∥FH∥CD，∥∥FND＝∥KFN，∥∥MFN＝∥MFK﹣∥KFN＝∥BMF﹣∥FND，即：∥BMF＝∥MFN＋∥FND．故答案为∥BME＝∥MEN﹣∥END；∥BMF＝∥MFN＋∥FND．（2）由（1）得∥BME ＝∥MEN ﹣∥END ；∥BMF ＝∥MFN ＋∥FND ．∥NE 平分∥FND ，MB 平分∥FME ，∥∥FME ＝∥BME ＋∥BMF ，∥FND ＝∥FNE ＋∥END ，∥2∥MEN ＋∥MFN ＝180°，∥2（∥BME ＋∥END ）＋∥BMF ﹣∥FND ＝180°，∥2∥BME ＋2∥END ＋∥BMF ﹣∥FND ＝180°，即2∥BMF ＋∥FND ＋∥BMF ﹣∥FND ＝180°，解得∥BMF ＝60°，∥∥FME ＝2∥BMF ＝120°；（3）∥FEQ 的大小没发生变化，∥FEQ ＝30°．由（1）知：∥MEN ＝∥BME ＋∥END ，∥EF 平分∥MEN ，NP 平分∥END ，∥∥FEN ＝12∥MEN ＝12（∥BME ＋∥END ），∥ENP ＝12∥END ， ∥EQ ∥NP ，∥∥NEQ ＝∥ENP ，∥∥FEQ ＝∥FEN ﹣∥NEQ ＝12（∥BME ＋∥END ）﹣12∥END ＝12∥BME ，∥∥BME ＝60°，∥∥FEQ ＝12×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 11．（1）360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）∥CPD αβ∠=∠+∠，理由见解析；∥图见解析，CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠【解析】【分析】（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；（2）∥过P 作//PE AD 交CD 于E ，由平行线的性质，得到DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得到答案；∥根据题意，可对点P 进行分类讨论：当点P 在BA 延长线时；当P 在BO 之间时；与∥同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ ∥EF ，如图：∥//EF MN ，∥////EF MN PQ ，∥180PAF APQ ∠+∠=°，180PBN BPQ ∠+∠=°，∥APB APQ BPQ ∠=∠+∠∥360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）∥CPD αβ∠=∠+∠；理由如下：如图，过P 作//PE AD 交CD 于E ，∥//AD BC ，∥////AD PE BC ，∥DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∥CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；∥当点P 在BA 延长线时，如备用图1：∥PE ∥AD ∥BC ，∴∴EPC=β，∥EPD=α，∥CPDβα∠=∠-∠；当P在BO之间时，如备用图2：∥PE∥AD∥BC，∥∥EPD=α，∥CPE=β，∥CPDαβ∠=∠-∠．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．12．见解析【解析】【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∥B=∥BOD，根据平行线的性质即可得出∥BOD=∥BEF、∥D=∥DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图∥AB∥CD，∥∥B=∥BOD，∥EF∥CD（辅助线），∥∥BOD=∥BEF（两直线平行，同位角相等）；∥D=∥DEF（两直线平行，内错角相等）；∥∥BEF=∥BED+∥DEF=∥BED+∥D（等量代换），∥∥BOD=∥E+∥D（等量代换），即∥B=∥E+∥D．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．13．（1）AB∥DE，理由见解析；（2）25°或155°，画图见解析；（3）60°或120°或70°或110°【解析】【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∥B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∥B的度数．【详解】解：（1）AB∥DE，理由是：如下图，过点C作CF∥AB，∥∥B=∥BCF=50°，∥∥BCD=75°，∥∥DCF=25°，∥∥D=25°，∥∥D=∥DCF=25°，∥CF∥DE，∥AB∥DE；（2）如下图，∥AB∥CD，∥∥B=∥BCD=25°；如图4：∥AB∥CD，∥∥B+∥BCD=180°，∥∥ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∥B=85°-25°=60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∥∥FCD=∥D=25°，∥∥BCD=85°，∥∥BCF=85°-25°=60°，∥AB∥CF，∥∥B+∥BCF=180°，∥∥B=120°；如图6，∥∥C=85°，∥D=25°，∥∥CFD=180°-85°-25°=70°，∥AB∥DE，∥∥B=∥CFD=70°，如图7，同理得：∥B=25°+85°=110°，综上所述，∥B的度数为60°或120°或70°或110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．。
平行线判定与性质专题复习：关于平行四边形问题的探究
平行线判定与性质专题复习：关于平行四
边形问题的探究
概述
本文档旨在对平行线判定与性质进行专题复，侧重于探究平行四边形问题。
平行四边形是一种特殊的四边形，具有重要的性质和特征。
在本文档中，我们将回顾如何识别和判定平行四边形，并研究其性质和特殊情况。
平行线的判定
判断两条直线是否平行的常用方法有以下几种：
1. 在平面几何中，如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
2. 如果两条直线的倾斜角度相等或互补，则它们是平行线。
3. 如果两条直线分别与第三条直线相交，在交点处形成相等的内角，则这两条直线是平行线。
平行四边形的性质
平行四边形有许多特殊的性质，其中包括以下内容：
1. 对角线：平行四边形的对角线相交于一点，并且这个点将对角线分成相等的两部分。
2. 对边性质：平行四边形的对边相等。
3. 内角性质：平行四边形的内角对应相等，且相邻内角互补。
4. 外角性质：平行四边形的外角对应相等，且相邻外角互补。
特殊情况
在特殊情况下，平行四边形退化为其他形状：
1. 矩形：四个内角均为直角的平行四边形称为矩形。
2. 正方形：四条边相等且内角为直角的矩形称为正方形。
总结
本文档回顾了平行线判定的几种方法，并介绍了平行四边形的性质和特殊情况。
对于解决平行四边形问题，我们可以利用这些知识来判断和推导出相关结论。
深入理解平行线和平行四边形的概念将有助于我们在几何学中更好地应用和解决问题。
新版七下数学第五章相交线与平行线复习题五套
第五章相交线与平行线专题（一）相交线1．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠BOC＝80°，求∠BOD和∠AOE的度数．2．如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90°B．120°C．180°D．360°,(第2题图)),(第3题图))3．如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，若∠BOE＝4∠BOD，∠AOE＝100°，则∠AOC 等于()A．30°B．20°C．15°D．10°4．如图，AB和CD相交于点O.(1)若∠1＋∠3＝50°，则∠3＝__ __；(2)若∠1∶∠2＝2∶3，则∠3＝__ __；(3)若∠2－∠3＝70°，则∠3＝__ __．5．如图，两条直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝30°，∠2＝___ _，∠3＝__ __．6．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O.(1)试写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的对顶角；(2)试写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的邻补角；(3)若∠AOC＝40°，求∠BOD，∠BOC的度数．7．如图，一长方形纸片ABCD沿折痕EF对折，得到点D的对应点D′，点C的对应点C′，若∠BFE＝50°，试求∠BFC′的度数．8．如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3∶∠2＝8∶1，求∠AOC 的度数．第五章相交线与平行线专题（二）平行线的判定1．如图所示，直线a ，b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＋∠3＝180°；④∠4＝∠7.其中能说明a ∥b 的条件为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．如图所示，要得到DE ∥BC ，则需要的条件为( )A ．CD ⊥AB ，GF ⊥AB B ．∠4＋∠5＝180°C ．∠1＝∠3D ．∠2＝∠33．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a ∥b 的是( )A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠4C ．∠3＝∠4D ．∠1＋∠4＝180°4．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB ∥DF 的是( )A ．∠A ＋∠2＝180°B ．∠3＝∠AC ．∠1＝∠4D ．∠1＝∠A5．)如图所示，下列判断不正确的是( )A ．∵∠1＝∠2，∴AE ∥BDB ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥EDC ．∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD D ．∵∠5＝∠BDC ，∴AE ∥BD6．如图，能说明AB ∥DE 的有( )①∠1＝∠D ；②∠CFB ＋∠D ＝180°；③∠B ＝∠D ；④∠D ＝∠BFD.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第1题图)(第2题图) (第5题图)(第6题图)7．如图，给出下面的推理：①因为∠B ＝∠BEF ，所以AB ∥EF ；②因为∠B ＝∠CDE ， 所以AB ∥CD ；③因为∠B ＋∠BDC ＝180°，所以AB ∥EF ；④因为AB ∥CD ，CD ∥EF ， 所以AB ∥EF.其中正确的推理是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9．如图，下列推理正确的是( )A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD B ．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB ∥CDC ．∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD D ．∵∠3＋∠4＝180°，∴AB ∥CD10．如图，已知直线EF 分别交CD ，AB 于点M ，N ，且∠EMD ＝65°，∠MNB ＝115°，则下列结论正确的是( )A ．AE ∥CFB ．AB ∥CDC ．∠A ＝∠D D ．∠E ＝∠F11．如图，BD 平分∠ABC ，若∠1＝∠2，则( )A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．AD ＝BC D ．AB ＝CD12．如图所示，AC ⊥BC ，垂足为C ，∠B ＝50°，∠ACD ＝40°，则AB 与CD 的位置关系是 AB ∥CD__.13．如图所示，下列条件中：(1)∠B ＋∠BCD ＝180°；(2)∠1＝∠2；(3)∠3＝∠4；(4)∠B ＝∠5.能判定AB ∥CD的条件有 ．(填序号),(第9题图)) ,(第10题图)) ,(第11题图)) ,(第12题图))14．(8分)如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°，直线AB，CD有何位置关系？说明理由．16．(10分)如图，已知直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？17．(12分)如图，AC⊥EC，B，C，D在同一直线上，∠A＝∠1，∠E＝∠2，直线AB与DE平行吗？试说明理由．第五章相交线与平行线专题（三）平行线的性质1．如图，直线m ∥n ，∠α为( )A ．70 B ．65° C ．50° D ．40°2．如图，AB ∥ED ，AG 平分∠BAC ，∠ECF ＝70°，则∠FAG 的度数是( )A ．155°B ．145°C ．110°D ．35°3．如图，已知AB ∥CD ，∠1＝130°，则∠2＝__ ．4．如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B ＝80°，求∠C 的度数5．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°6． 6．一张长方形的纸条，按如图方式折叠一下，已知∠3＝120°，则∠1的度数为( )7．A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°8．9． ,(第1题图)) ,(第2题图)) ,(第5题图)) ,(第6题图))10．7．(4分)如图，∠1＝50°，∠2＝140°，∠C ＝50°，则∠B ＝____．9．某次考古发掘出的一个梯形残缺玉片如下图，工作人员从玉片上量得∠A ＝115°，∠D ＝100°，已知梯形的两底AD ∥BC ，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．10．如图所示，点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点，DE ∥AC ，若∠C ＝50°， ∠BDE ＝60°，则∠CDB 的度数等于( )A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°11．如图所示，已知AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．2个12．如图所示，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，则∠B ＋∠D 的度数为____．13．如图，AC ∥BD ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1＝64°，则∠2＝___ _．(第10题图) (第11题图), ( 第 7 题图 )14．(12分)如图所示，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．15．(12分)如图，直线AD与AB，CD相交于A，D两点，EC，BF与AB，CD相交于点E，C，B，F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.小明在图上把两组相等角的信息标注出来后，略加分析，便发现CE∥BF，同桌的小慧说：“不光有这个发现，我还能得到∠A＝∠D呢？”小明再深入其中，很快也明白了小慧是怎么得到∠A＝∠D的了．你能帮助他们写出过程吗？16．(12分)如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在AB上．(1)试找出∠1，∠2，∠3之间的关系并说明理由；(2)如果点P在A，B两点之间运动时，问∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？(3)如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系(点P和A，B不重合)．第五章相交线与平行线专题（四）平行线的性质与判定的综合运用1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OT ⊥AB 于点O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO ＝30°，则∠DOT 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．如图，AB ∥CD ，∠DFE ＝135°，则∠ABE 的度数是( )A ．30°B ．45C ．60°D ．90°3．如图，a ，b ，c 为三条直线，且a ⊥c ，b ⊥c ，若∠1＝70°，则∠2的度数为( )A ．70°B ．90°C ．110°D ．80°4．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°5．(4分)如图所示，已知∠1＝∠2，∠3＝80°，则∠4等于( )A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°6．(4分)如图，已知直线a ∥b ，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( )A ．100°B ．60°C ．40°D ．20°(第1题图)(第2题图) (第3题图)(第4题图)7．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板短直角边和含45°角 的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__．8．如图所示是一大门的栏杆，AE 为地面，BA ⊥AE 于点A ，CD ∥AE ，则∠ABC ＋∠BCD＝ _9．(8分)如图，直线AB ，CD 分别与直线AC 相交于点A ，C ，与直线BD 相交于点B ，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．10．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于C ，∠A ＝34°，∠DEC ＝90°，则∠D 的度数为() A ．17° B ．34° C ．56° D ．124°11．如图，已知AB ∥CD ，∠C ＝65°，∠E ＝30°，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．32.5°C ．35°D ．37.5°12．如图所示，AB ∥CD ∥EF ，则∠BAD ＋∠ADE ＋∠DEF 等于( )A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°13．如图所示，∠A ＝60°，∠4＝45°，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则∠1＝___ _， ∠2＝__ __， ∠3＝__ _，∠B ＝__ _，∠C ＝___ _． (第5题图) (第6题图,(第10题图)) ,(第11题图)(第7题图) (第8题图)14．如图，直线l1∥l2∥l3，点A ，B ，C 分别在直线l1，l2，l3上．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠ABC ＝____．15．如图，l ∥m ，等边△ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α＝__．16．(8分)如图，AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G ，∠E ＝∠3.请问：AD 平分∠BAC 吗？若平分，请说明理由．17．(10分)如图所示，CD ⊥AB ，垂足为D ，F 是BC 上任意一点，EF ⊥AB ，垂足为E ，且∠1＝∠2，∠3＝80°，求∠BCA 的度数．18．(12分)如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并(第12题图)(第13题图) ,(第14题图)),(第15题图)说明你的理由．第五章相交线与平行线专题（五）平行线的性质与判定变式训练【教材母题】(教材P36第8题(2)改编)如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝108°，求∠4的度数．变式1.(2014·菏泽)如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为()A．25°B．45°C．35°D．30°变式2.(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°,(第1题图)),(第2题图))变式3.(2014·聊城)如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为()A．53°B．55°C．57°D．60°变式4.(2014·遵义)如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝() A．30°B．35°C．36°D．40°,(第3题图)),(第4题图))变式5.如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，则这两个角的度数分别为__变式6.填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.变式7.如图所示，已知AD⊥BC于D，E是AB上一点，EF⊥BC于F，且∠1＝∠2，试判断∠B与∠CDG的大小关系，并说明理由．变式8.如图，AB∥CD，∠EAB＋∠FDC＝180°.求证：AE∥FD.变式9.如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠1＝∠2.求证：∠E＝∠F.变式10.若AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD与BC平行吗？为什么？变式11.如图，已知∠1＝∠2，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，EG平分∠AEC，试说明AB∥EF∥CD.变式12.(探究题)(1)如图①，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明理由吗？(2)反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？(3)若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？(4)若将点E移至图③的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？(5)在图④中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D之间有何关系？。
立体几何平行垂直问题专题复习
立体几何平行垂直问题专题复习一、平面平行问题1. 平行线基础定义平行线是在同一平面内不相交的两条直线。
两条平行线之间的距离是它们之间所有直线段中最短的。
平行线符号为“||”。
2. 垂直平分线垂直平分线是将一条线段分成两个相等的部分，并且垂直于线段的线。
3. 平行四边形平行四边形是指两组相互平行的边构成的四边形，它的对边长度相等，对边平等，对角线互相平分。
4. 平行线判定定理对于两条直线l, m以及平面内的任意一条直线n，若n与l平行，则n与m 平行；若n与l垂直，则n与m垂直。
5. 平行线和对角线的关系平行线所构成的平行四边形的对角线互相平分。
二、垂直问题1. 垂线基础定义垂线是指与一条直线或平面呈直角的线段。
2. 垂线距离垂线距离是垂线所代表的点到直线的最短距离。
3. 垂心垂心是指在三角形的一个顶点下，作该点到对边的垂线并与对边相交的点。
4. 直角三角形直角三角形是指三角形中有一角为90度的。
5. 正方体中垂直面的距离正方体中两个垂直面的距离为边长。
三、立体几何应用问题1. 立方体立方体的六个面都是正方形。
每个面都有相同的面积，边长相等。
2. 长方体长方体是指六个面中有一个面是长方形，其余五个面都是正方形。
3. 圆柱体圆柱体是指由一个矩形和两个相等的圆所组成的立体，其中矩形是圆柱体的腰，两个圆为圆柱体的顶底面。
4. 圆锥体圆锥体是由一个圆和一个尖端共同组成的立体，圆锥体的侧面是一条射线和圆的切线。
圆锥体中心角为360度。
5. 球体球体是由一个半径相等的圆旋转所得到的立体，其表面上所有点到球心的距离都是相等的。
以上就是关于立体几何中的平行垂直问题专题复习的内容，包括了平面平行问题、垂直问题、立体几何应用问题，希望对大家在学习立体几何时有所帮助。
《线、角、相交线与平行线》专题复习课件
变式3. 已知：如图8，AB∥CD，
A 求证：∠BED=∠B-∠D.
F
E
1
2
B
C
D
证明：过点E作EF∥AB，
则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵AB∥CD（已知），
EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
∴∠FED+∠D=180°（线》专题复习
直线
一、直线：直线是几何中不加定义的基本概 念，直线的两大特征是“直”和“向两方无 限延伸”。
二、直线的基本性质：
过两点有且只有一条直线。直线的这条性质 是以公理的形式给出的，可简述为：“两点 确定一条直线”。
三、直线的性质 两直线相交只有一个交点
∴∠1+∠2+∠D=180°.
∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）.
∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）.
即∠BED=∠B-∠D.
再见
点B叫做线段AC的中点。
角
1、角的两种定义： 一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。 要弄清定义中的两个重点 ①角是由两条射线组成的图形； ②这两条射线必须有一个公共端点。
另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线 与终止位置的射线就形成了一个角。
又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）. ∴∠BED=360°-（∠B+∠D）（等式的性质）.
/变式2. 已知：如图7，AB∥CD， A
求证：∠BED =∠D-∠B .
平行线的性质和判定综合问题
相交线与平行线专题复习2一、平行的性质和判定相结合的综合问题类型一：与平行线有关的计算问题：【例1】（2013•恩施州）如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（）A.70° B.80° C.90° D.100练习：1. 如图，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数为（）A．55° B．75° C．105° D．125°2.已知：如图，∠ADE＝∠B，∠DEC＝115°．求∠C的度数．类型二：已知一组角和一组平行线的证明问题【例2】如图,已知∠1=∠2，CE∥BF，则AB∥CD吗？为什么？练习：3.如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°，求∠AGD的度数。
D E B CA4.如图，已知AB∥DE，∠3=∠E，且AE平分∠BAD，试判断AD与BC的关系？请说明理由.类型三：已知两个角的证明问题【例3】如图，已知∠A＝∠1，∠C＝∠D。
试说明FD∥BC。
练习：5.如图，已知∠AGD＝∠ACB，∠1＝∠2。
求证：CD∥EF。
4.如图：已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：BD∥CE 。
2BDFAC1E21BDEFGAC35.如图：已知∠B ＝∠BGD ，∠DGF ＝∠F ，求证：∠B ＋ ∠F ＝180°.类型四：有垂直和一对相等的角的证明问题【例4】已知，如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE，试说明∠1＝∠2．练习：6.如图，C D ⊥AB 于D ，FG ⊥AB 于G ，ED ∥BC,试说明21∠=∠.F21GEDCBA7.如图，CD ⊥AB 于D ，E 是BC 上一点，EF ⊥AB 于F ，∠1=∠2.试说明∠BDG+∠B=180°.8.已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.二、平移问题：类型一：平移的概念及性质1.下列说法中，不正确的是（ ）A.平移不改变图形的形状和大小B.平移中，图形上的每个点移动的距离可以不同C.经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D.经过平移，图形的对应点的连线相等 类型二：平移的有关计算2.如图所示，是两个重叠的直角三角形，将其中的△ABC 沿着BC 方向平移BE 的长得到△DEF ，已知AB=8，BE=5，DH=3，则CF 的长是______,阴影部分的面积是_______。
平行线判定与性质专题复习1
a
1 2
3
b
学以致用
2.(2010 烟台市) 将两张矩形纸片如图所示摆放， 使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另 一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2= 90°.
实际应用
学以致用
3.远望一、二号在某一时刻， 分别测得神舟六号在北偏东70° 和北偏东20°的方向。那么请你 计算从神舟六号观测远望一号和 远望二号的视角∠ABC是多少？ 50°
C D
E
G F ∠B+∠C +∠D+∠E +∠F=720°
归纳1. A
C1 C1 C1 C2 C2 C3 E D F E G F 两条平行线之间的拐点个数n=1时，形成的三个 拐角度数之和为 360°； 拐点个数n=2时，形成的四个拐角度数之和为 540° ； 拐点个数n=3时，形成的五个拐角度数之和为 720° 猜想，拐点个数为n个时，形成的 n+2 个拐角度数 之和为 （n+1）· 180°
二、基本图形Ⅲ
变式1.如图，AB∥ED,试判断∠B、∠C、 ∠D 之间的关系。
C F A B
∠C+ ∠D=∠B
E
D
平行线中添加辅助线的主要方法: 过拐点添加平行线
学以致用
1.（2014•张家界）如图，已知a∥b，∠1=130° ，∠2=90°，则∠3=（ D ） A.110° B.120° C.130° D.140°
B
神舟 六号
70°
A●
远望一号
20°
●
C
远望二号
课堂小结：
平 行 线 习 题 课
1.本节课你有何收获？ 知识上：平行线的判定和性质的应用 方法上： 过拐点做已知直线的平行线
平行线专题复习汇编
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3、平行线系列
3.1 平行线 在同一个平面 内永不相交 的两条直线叫做平行线。 3.2 平行线公理 经过直线外一点， 有且只有一条 直线和已知直线平行。 (如 图，过 P 点只有一条直线 b 与 a 平行 ) 3.3 同一个平面中的三条直线关系 三条直线在一个平面中的位置关系有 4 中情况：有一个交 点，有两个交点，有三个交点，没有交点。 3.3.1 有一个交点 三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成 各个角，可以用角的相关知识解决； 例题： 如图，直线 AB,CD,EF 相交于 O 点， DOB 是它的余角的两 倍， AOE＝2 DOF,且有 OG OA ，求 EOG 的度数。
3.பைடு நூலகம்.2 有两个交点
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（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。 ）如图所示，直线 AB ， CD 平行，被第三条直线 EF 所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点 的 8 个角之间有三种特殊关系： * 同位角 ：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 的同侧，在第三条直线 EF 的同旁（即位置相同） ，这样的一对角叫做同位角； （同位角有哪些？） * 内错角 ：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的两旁（即位置交错） ，这样的一对角叫做内错角； （内错角有哪些？） * 同旁内角 ：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角； （同旁内角有哪些？）
初中数学专题复习数学相交线与平行线、平移综合专题复习课件
变式图
同位角为F型，同位角的变式图如下：
变式图
内错角为Z型，内错角变式图如下：
变式图
同旁内角为U型，同旁内角角变式图如下：
典例精解
例1：如图，下列说法错误的是（ D ）
AC√．．∠∠A2与与∠∠3B是是内同错旁角内角 √
B．√ ∠3与∠1是同旁内角
D．∠1与∠2是同位角
×
变式题
如图所示，同位角一共有____6____对，内错角有 _____4__对，同旁内角有____4___对.
典例精讲
类型二：利用方程思想求角度
例：如图，直线AB与CD相交于D，OE⊥AB，OF⊥CD. （1）图中与∠COE互补的角是___________________；（把符合条件的角 都写出来） （2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠AOC的度数．
典例精讲
解：（1）∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=BOF， ∴与∠COE互补的角是∠DOE、∠BOF．
A
D
E
3
2
4 1
F
B
C
知识点三：与垂线有关的角度计算
在相交线中含垂直求角的度数时，就要考虑使用对顶角 相等或邻补角互补的性质.若已知关系较复杂，比如出现比 例或倍分关系时，可列方程解决角度问题.
典例精讲
类型一：直接计算求角度
例：如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且
∠BOF=2∠BOE，则∠BOD= __7_5°____．
解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°， ∵∠BOF=2∠BOE，∴3∠BOE=90°， ∴∠BOE=90°÷3=30°， ∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-30°=150°， 又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC= 1 ∠AOE= 1 ×150°=75°， ∵∠BOD和∠AOC互为对顶角，∴2 ∠BOD=∠2 AOC=75°．
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。
（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。
（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。
二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。
《平行线》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 熟练找出“同位角、内错角、同旁内角”；2. 区别平行线的判定与性质，能用性质和判定解决综合问题；3. 通过具体实例认识平移，理解平移的性质；4. 会运用平行线和平移的知识解决有关的简单问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行线的定义及三线八角1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．要点诠释：（1）平行线定义中包含三层含义：在同一平面内、不相交、两条直线．（2）基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2.三线八角：要点二、平行线的判定和性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离：两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 要点三、图形的平移定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.【典型例题】类型一、平行线的定义及三线八角1. （乌兰察布校级期中）a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．都不对举一反三：【变式】如图，在正方体中：（1）找出与线段AB平行的线段：_________；（2）找出与线段AB相交的线段：______．2.如图，已知直线a、b被直线c所截. 图中八个角共有组同位角，组内错角，组同旁内角.举一反三：【变式】观察下图并填空：(1) ∠1 与是同位角；(2) ∠5 与是同旁内角；(3) ∠1 与是内错角.类型二、平行线的判定和性质3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.举一反三：【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( ).A．180°B．270°C．360°D．540°举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．类型三、图形的平移5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．举一反三：【变式】（福州自主招生）如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C． D．．类型四、综合应用6.如图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【巩固练习】一、选择题1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有()个.A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示是同位角关系的是()．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在3．（春•鄂城区月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4 B．3 C．2 D．14．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是()．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定5．如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是()．6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于()．A．75°B．105°C．45°D．135°7．下列说法中，正确的是()．A．过点P画线段AB的垂线.B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.8．如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何)，则甲和乙是()．A．两个点B．两个半径相等的圆C．两个点或两个半径相等的圆D．两个能够完合重合的多边形二、填空题９．如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．（盐津县校级月考）平行用符号 表示，直线AB 与CD 平行，可以记作为 ．11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．12. （大庆校级自主招生）如图，点E 在AC 的延长线上，对于给出的四个条件： （1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE ；（4）∠D+∠ABD=180°． 能判断AB ∥CD 的有 个．13．如图，已知AB ∥CD ，CE ，AE 分别平分∠ACD ，∠CAB ，则∠1+∠2=________.14．同一平面内的三条直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a________c ．若a ∥b ，b ∥c ，则a________c ．若a ∥b ，b ⊥c ，则a________c ．15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 ．16．如图所示，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．三、解答题17．（滨湖区校级期末）把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC 平分∠DAB ，你能推断哪两条线段平行?说明理由．19.如图，在一块长为a 米，宽为b 米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地．求草地的面积．北 北 甲 乙20．如图所示，点P是∠ABC内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?。
初一下数学平行线的判定与性质复习专题(最新整理)
5．已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．
6．已知：如图⑿，CE 平分∠ACD，∠1=∠B，
5
求证：AB∥CE
7．如图：∠1= 53 ，∠2=127 ，∠3= 53 ， 试说明直线 AB 与 CD，BC 与 DE 的位置关系。
8．如图：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定 ED 与 CF 的位置关系，请说明理由。
）；
（2）∵∠2 =∠ （已知），
∴AC∥ED（
）；
（3）∵∠A +∠ = 180°（已知），
∴AB∥FD（
）；
（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知），
∴AC∥ED（
）；
5.如图 7，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE 有什么关系．
解：∠B＋∠E＝∠BCE
过点 C 作 CF∥AB，
则 B ____（
A B
1
G
D
2
C F
E
13．如图，已知 AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1 =∠2 成立．（要求给出两个以上答案，并选择 其中一个加以证明）
A
1
F
C
2
B E
D
A
B
1
16．如图，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于 E，BE 交 CD 于点 F，∠1 +∠2 = 90°． 3
求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°． CF
又∵∠1＝∠2，
∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，
即 ∠MEP＝∠______
∴EP∥_____．（ ）
专题二：求角度大小
A
E 12 3
B
D
图6
新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习
AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。
3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。
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平行线专题复习
1、如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，则∠GEF= ．
2、已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．
3、如图，DE∥CB，试证明∠AED=∠A＋∠B。
4、已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G．
求证：GE∥AD．
5、如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．
6、如图，∠B、∠D的两边分别平行．
（1）在图1中，∠B与∠D的数量关系是；
（2）在图2中，∠B与∠D的数量关系是；
（3）用一句话归纳的结论为；请选择（1）（2）中的一种情况说明理由．
（4）应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角的是另一个角的，求着两个角的度数．
7、如图，若直线AB∥ED，你能推得∠B、∠C、∠D•之间的数量关系吗？请说明理由．
8、如图所示，已知∠AED=∠C，∠3=∠B，请写出∠1与∠2的数量关系，并对结论进行证明.
9、如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=140º，求∠BFD的度数.
10、已知：如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6.求证：ED//FB．
11、如图，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF．EG⊥FG于点G，∠BEM=50°. 求∠CFG的度数．
12、如图，AB∥DE∥GF，∠1：∠D：∠B=2：3：4，求∠1的度数？
13、已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，说明∠E=∠F的理由．
14、如图，已知 DB∥FG∥EC，∠ABD=84°，∠ACE=60°，AP 是∠BAC 的平分线．求∠PAG 的度数．
15、已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．
16、如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.
（1）求证：∠O=∠BEO+∠DFO.
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论.
17、已知如图，AB∥CD∥EF，点M、N、P分别在AB、CD、EF上，NQ平分∠MNP．
（1）若∠AMN=50º，∠EPN=70º，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）若∠AMN=度，∠EPN=度，请直接写出∠DNQ的度数（用含，的代数式表示）；
（3）试探究：∠DNQ与∠AMN，∠EPN之间的数量关系，并说明理由．
18、已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．
19、（1）已知：如图1，直线AC∥BD，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）如图2，如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？并加以证明；（3）如图3，如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是_______（只写结果，不要证明）．
20、如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线。
（1）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由。
（2）如图2,将折一次改为折二次,若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,则∠4=____。
（3）如图3，若改为折多次，直接写出∠1，∠2，∠3，…，∠2n-1，∠2n之间的数量关
系:____________________________________________________。
21、如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③．
（1）若∠DEF=20°，则图③中∠CFE度数是多少？
（2）若∠DEF=α，把图③中∠CFE用α表示．
22、AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=80°. （1）若∠ABC=50°，求∠BED的度数；
（2）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=120°，求∠BED的度数．
23、如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F。
（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数。
（2）如图2：若∠ABM=∠ABF, ∠CDM=∠CDF, 写出∠M和∠E 之间的数量关系并证明你的结论。
（3）∠ABM=∠ABF, ∠CDM=∠CDF, 设∠E=m°,直接用含有n,m°的代数式写出∠M= (不写过程)
24、（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2=
（2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3= ，并说明理由
（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4=
（4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= （直接写出你的结论，无需说明理由）
25、已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图1所示，求证：OB∥AC；
（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF。
试求
∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值。