定积分的几个简单应用教学提纲
第2章定积分 教学要求、重点、难点、内容结构
2、分部积分法定积分的分部积分法 公式：
b
a
uv dx uv | u / vdx
/ a a
b
b
说明：分部积分法与不定积分的分部积分法除了有上下限外，形式上是一样的
例题1 例题2 例题3
x f x dx f x 3、变上限定积分的计算 a /
跟我练习
第2章定积分
教学要求：
教学要求、重点、难点、内容结构
1、理解定积分的概念及其性质 2、了解变上限定积分的概念，会求变上限定积分的导数 3、掌握定积分的换元积分法，熟练掌握定积分的分步积分法 4、会求较简单的无穷限广义积分 重点：定积分的概念与计算
难点：定积分的概念
内容结构
牛顿-莱布尼兹公式
1、N-L公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，即有不定积分 成立，则
2)定积分与积分变量选取的字母无关
b a
x a
a b b aຫໍສະໝຸດ baf x dx F x | G x |
b a
b a
b
a x
a
f t dt
F x F a
定积分的计算
1、第一换元积分法（凑微分法）
说明：积分法与不定积分的凑微分法类似。不同之处在于定积分的计算结果是一个具体的数值，与 上下限有关，所以关于定积分的第一换元积分法要遵循 “换元变限，不换元不变限” 的原则。 例题1 例题2 跟我练习
4、广义积分：形如
若f(x)为奇函数，则
5、奇偶函数在对称区间上的积分：
a
a
f x dx
练习
0
e
3 x
1 3 x 1 dx e | 0 3 3
21-17定积分的简单应用
1.7.1定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究.课时分配本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题教学目标重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值.难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数知识点：应用定积分解决平面图形的面积.能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法.教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法.考试点：应用定积分解决平面图形的面积.易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数拓展点：链接咼考.教具准备实物投影机和粉笔.课堂模式基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近）2、定积分的几何意义是什么？o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积sin xdx = -cosx=f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数3、微积分基本定理是什么？【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，同时加深理解二、探究新知㈠利用定积分求平面图形的面积例1 •计算由两条抛物线 y2= x 和y = X 2所围成的图形的面积.分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到解：由y =x =0及x =1，得两曲线的交点为（0,0） >（1,1）,y =x 2面积 S = ° xdx - o x2dx ,所以S= 01（匚/*知2<0已总结：在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1. 作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积; 练习：计算由曲线 y =x3-6x 和y =x 2所围成的图形的面积例2 •计算由直线y =x -4，曲线莎 以及x 轴所围图形的面积 S .分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题•与例 1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S ,和•为了确定出被积函数和积分的上下限，需要求出直线 y =x -4与曲线y 二2x 的交点的横坐标，直线 y =x -4与x 轴的交点.解法一：作出直线 y = x-4，曲线y 「.丟 的草图，所求面积为图中阴 影部分的面积. 解方程组y = 2x,得直线y=x-4与曲线y 「2x 的交点的坐标为 y = x _4(8,4)4.微积分基本定理求定积分若对称则面积为直线y =x _4与x 轴的交点为（4,0）.4--- 8---- 8因此，所求图形的面积为 S =3 • S 2 2xdx • [ 4.2xdx - 4 (x -4)dx]272 号 8 64。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
数学分析定积分应用讲课文档
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
P
所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
. . –a
o
ax
x a cos 3
y
a
sin
3
0 2 .
第三十一页，共83页。
例3 求曲线y段 x2,x[0,1],与直线 y0, x1所围图形分x轴 别, y绕 轴旋转所得旋 转体体积。
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2a
y2
(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
[x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记dA f(x)dx称为面积面微元积y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0 a x x+dx b x
这种方法通常称为微元法或元素法
第四页，共83页。
4ab2.
3
(3) 绕y c旋转所得旋转体体积
d c V a ba2x2c 2 a ba2x2c 2 dx
dV c 4baca2x2dx
2c a.b
V c4a b2 c0 a第三十五a 页，2 共8 3页。 x2d x22ab . c
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习 (阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个 ,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定 .
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的 ,求球的体积.
三、当堂检测.
1.将由直线=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
2. 求由直线,x轴,轴以及直线x=1围成的'区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
1 .将由曲线=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
3.求由曲线 ,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1. 定积分应用之二求旋转几何体的体积。
2. 旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:。
知识讲解_定积分的简单应用(基础)
cS = 1 f (x) dx +'a4.如图，由曲线定积分的简单应用【学习目标】1. 会用定积分求平面图形的面积。
2. 会用定积分求变速直线运动的路程3. 会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1.如图，由三条直线x=a，x=b(a：：：b)，x轴(即直线y=g(x)=O )及一条曲线y = f(x)( f(x) _0)围成的曲边梯形的面积:4■0 2 *b bS 二a f (x)dx 二a[f (x) -g(x)]dx2.如图，由三条直线x = a，x = b (a ：：： b)，x轴(即直线y = g(x) = 0 )及一条曲线y = f(x)(f (x)乞0)围成的曲边梯形的面积:P1a b ,0Xb b bS= J a f(x)dx = —J a f(x)dx= f a［g(x)-f (x)］dx3 .由三条直线x二a, x = b(a ：：： c ：：： b), x轴及一条曲线y=f(x)(不妨设在区间［a,c］上f(x)乞0，在区间［c,b］上f (x) _0)围成的图形的面积：b c bf (x)dx = - f (x) dx + f (x)dx.c a ' cy i = f i(x)目2 二f2(x) f i (x) - f2(x)及直线x =a , x =b (a ：： b)围成图形的面积:b b bs 二a[f i（x）- f2（x）]dx 二a f i（x）dx_ a f2（x）dx要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：①当平面图形的曲边在x轴上方时，容易转化为定积分求其面积；②当平面图形的一部分在x轴下方时，其在x轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
定积分第五节定积分的应用
=p
b2 a2
[a
2
x
-
1 3
x3 ]a-
a
=
4 p ab
3
2
.
例8由y x3 x 2 y 0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的 体积
解：
绕x轴旋转所得旋转体 的体积为
绕y轴旋转所得旋转体 的体积为
Vx02y2dx02x6dx
2
Vy22808x2dy3208y3dy
3233y5864 1x7 2 128 5 05 7 0 7
给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现
在来计算这曲线弧的长度. 弧长元素(弧微分) :
y
yf(x)
ds
ds(x d)2(d y)2 1y2dx
因此所求弧长 s b 1y2 dx o a xxdxb x a
曲线
y f(x)(a x b)的
弧长：
解：
例12
sab1y2d x
计算曲线y ln x上相应于
曲线弧的长为 s 2 ( ) 2 ( ) d
da22sa2da12d
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
sab1y2d x
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
曲线
( )(
)的弧长：
例15 求阿基米德螺线 a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长.
解
立体的体积为
平行截面面积为已知 的立体的体积
A(x)dx.
A(x)
VabA(x)d x
截面面积为A(x)的立体体积V ： a b A ( x ) d
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）．二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1n n n n n +++=．上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=，其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
定积分的应用,教学设计
定积分的简单应用教学设计_定积分的应用,教学设计教案课题定积分的应用教学目标知识目标①理解微元法的原理；②借助Matlab软件，掌握运用定积分求解实际应用问题。
能力目标①培养学生在信息化条件下查阅、检索资源的能力；②能利用数学软件计算定积分；③培养学生的观察和分析能力，进一步发展学生的应用数学能力和创新能力。
素养目标①创设愉悦的学习情境，让学生处于积极思考、大胆质疑的学习气氛中，提高学生的学习兴趣和课堂效率；②在团队协作氛围中，培养学生的职业能力和职业素养。
教学重点微元法的基本步骤，运用微元法解决实际问题，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点根据实际问题做出图形，确定积分变量、积分区间，运用数学建模思想求解实际问题。
教学资源课件；智慧职教空间；世界大学城空间课程；爱课程MOOC网站教学参考书高职高专“十二五”规划教材《应用数学》、“十二五”职业教育国家规划教材《高等数学》作业①课后巩固课堂内容；②利用网络资源，自主拓展学习定积分求解实际问题；③进一步学习并掌握Matlab软件的应用。
教学过程设计教学环节教学内容教学环境、教学方法、资源时间(分钟)任务准备利用手机、电脑等智能设备，通过QQ群、微信群发布预习任务书，让学生重温定积分概念、定积分的计算、定积分的几何意义。
爱课程网站，世界大学城空间、QQ群、微信等课前图片讨论引入新课1.引例：展示赵州桥图片思考：古老赵州桥的拱形的面积怎样计算？引入定积分应用的新课学习内容。
2.展示洒水车等不同图片思考：找到图中所示图片的内在联系，引出微元法。
观看图片资源，播放PPT1.展示法2.引导互动10学习新知掌握重点1.微元法：分割取近似，作和求极限（1）“分割、取近似”，将区间作任意分割，任取一子区间[]，得到所求量的局部近似值；（2）“作和、求极限”，将各子区间的近似值相加，并求极限..2.微元法求解步骤第一步：选取积分变量，并确定其变化区间第二步：在内任取一小区间，求了这个子区间对应的部分量的一个合理近似值，得到积分微元第三步：得问题U的定积分表达式.播放PPT，利用matlab软件演示微元法的解题思路。
定积分及其应用
即
b
b
b
f ( x)dx f (t)dt f (u)du .
a
a
a
2o. 当 T 0, 分点个数 n ;但反之不然 .
3o. 若 f 在 [a, b] 的某一个积分和的极限 不存在 ，
或若 f 在 [a, b] 的某两个积分和的极限 都存在但 极限值 不相等 ，则 f ( x) 在 [ a , b ] 上不可积 .
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
第44页
例 5
估计积分
2
4
sin xdx的值. x
解 f ( x) sin x , x [ , ]
x
42
0 x , x tan x.
2
f ( x)
x cos x sin x x2
cos x( x tan x) x2
第26页
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当|| T || 0 时，和 S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限
n
b
a
f ( x)dx
I
lim ||T ||0 i 1
f (i )xi
积分和 或黎曼和
T 0 i 1
f (i )xi
n
lim
f (a b a i) b a
.
n i1
n
n
第29页
例1
利用定义计算定积分
1 x2dx. 0
解 xi
T 把 [0,1] n xi xi1
《定积分在几何中的应用》习题课说课提纲
一、教材分析微积分的出现，与其说是整个数学史，不如说是整个人类历史上的一件大事，它从生产技术和理论科学的需要中产生，同时又回过头来深刻地影响着生产和自然科学的发展。
《定积分在几何中的应用》是本章第五节内容，题目本身就是强调应用，我所讲授的习题课更加突出了积分的应用意识；本节课不仅是使微积分理论在实际问题中得以应用，体现出数学的强大生命力和广泛的作用外，同时也是学生在高等学校进一步学习的基础。
这也符合《大纲》中明确规定的使学生“形成用数学意识”的要求。
根据《大纲》的要求和本节课的地位，我认为本节课的重点是：“理解并掌握微积分思想方法，即“分割、近似代替、求和、取极限”，并会用定积分求一些平面图形的面积”；同时“理解微积分思想方法”也是本节课的难点所在。
说它为重点是根据《大纲》的要求、它所处的历史地位和它应用的广泛性所决定的；说它是难点主要是因为这种思想方法不同于前面学习过的函数与方程思想、数形结合思想等基本的思想方法，在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应；同时，从历史上看，人类从对微积分的认识到掌握微积分理论，经过了千年历史，所以在短短几节课内达到深刻理解这种思想方法，的确是不容易的，所以，它将成为本节的难点所在。
二、教学目标的确定根据《大纲》的要求和本节所处的地位，我认为通过本节课的学习，应使学生达到1、进一步理解微积分思想，会用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题，从而培养学生的逻辑思维能力。
2、掌握用定积分求平面图形面积的方法，从而培养学生应用数学意识。
3、理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。
4、引导学生学会联想、归纳、总结等思想方法。
5、在学习过程中，渗透对学生主动探索学习精神的培养。
三、教学方法和教学手段的使用根据本节课内容的特殊性和学生的实际水平，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以启发式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
高等数学教案定积分及其应用
高等数学教学教案第5章 定积分及其应用,n ），每个小区间的长度记为,2,,n ），在()i f ξi x ∆，再求和1,2,,n ），，如果该极限存在，则称函数上可积，此极限值为)d x x ，即⎰称为被积函数，x()]d n f x ±±(bn af ⎰()d b ak f x x =⎰（区间可加性）设,,a b c )d c ax x f =⎰（保序性）若在区间[a )d x 0≥．授课序号02授课序号03授课序号04为A 的平板水平的放置在液体深为h 处，那么平板一侧所受的液体静压力方向垂直于物体表面，各点压强的大小与方向皆不变，则物体所受的总压力为PA F =.如果平板倾斜放置在液体中，那么，由于液体深度不同的点处压强P 不相等，平板一侧所受的液体压力就不能用上述方法计算.3. 引力由万有引力定律知，质量分别为21,m m ，相距为r 的两个质点间的引力大小为221r m m G F ⋅=，其中G 为万有引力系数，引力的方向沿着两质点的连线.举例说明怎样用定积分解决某些引力问题.4. 函数的平均值函数)(x f 在],[b a 上的平均值1()d b a y f x x b a=-⎰,恰好是定积分中值定理中的)(ξf . 四．例题讲解例1.求由两抛物线2y x =与2x y =所围成图形的面积A ．例2.求由抛物线22y x =与直线4y x =-所围成图形的面积A ． 例3.求椭圆⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x （0>a ，0>b ）所围图形的面积.例4.计算心形线)cos 1(θρ+=a （0>a ）所围图形的面积.例5.如图5.25，连接坐标原点O 及点(,)P h r 的直线, 直线x h =及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为r ，高为h 的圆锥体．计算这个圆锥体的体积．图5.25例6.计算由椭圆22221x y a b+=所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．例7.计算由曲线3y x =，x 轴及直线2x =所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．例8.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成α角，计算该平面截圆柱体所得立体的体积．(a) (b)图5.29例9.计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度． 例10.计算摆线(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0>a ）的一拱(02)t ≤≤π的长度（图5.32）． 例11.求阿基米德螺线θρa =（0>a ）相应于θ从0到π2一段（图5.33）的弧长.例12.设在x 轴上的原点处放置了一个电量为1q +的点电荷，将另一带电量为2q +的点电荷放入由1q +形成的电场中，求电场力将2q +从x a =排斥到x b =时所做的功．例13.一个底半径为R 米，高为H 米的圆柱体水桶，盛满了水，问水泵将水桶内的水全部抽出来要做多少功 （水密度为33100.1m kg ⨯=ρ）.例14.设半径为R 的圆形水闸门，水面与闸顶齐，求闸门一侧所受的总压力.图5.35例15.一个水平放置的线密度为μ，长度为l 的均匀细直棒，在其延长线上放置一个质量为m 的质点，该质点距细直棒最近端点的距离为r .求细直棒对质点的引力大小.Ox x yydyy +R2水面复合化成形加工方法及技术基础5.1 材料成形加工技术的复合化20世纪70年代开始，人们把信息、能源和材料誉为人类文明的三大支柱，20世纪80年代以来又把新材料技术与信息技术、生物技术一起列为高新技术革命的重要标志。
定积分的简单应用习题教学提纲
定积分的简单应用习题[学业水平训练]1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A.⎠⎛a c f (x )d x B ．⎠⎛ac f (x )d x | C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d x D ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x 解析：选D ．∵x ∈[a ，b ]时，f (x )＜0，x ∈[b ，c ]时，f (x )＞0，∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x . 2．物体以速度v (t )＝3t 2－2t ＋3做直线运动，它在t ＝0到t ＝3这段时间内的位移是( )A ．9B ．18C ．27D ．36解析：选C ．所求位移s ＝⎠⎛03v (t )d t ＝⎠⎛03(3t 2－2t ＋3)d t ＝(t 3－t 2＋3t )|30＝27. 3．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( )A.⎠⎛－11(x －x 3)d xB.⎠⎛－11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d x D ．2⎠⎛－11(x －x 3)d x 解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝xy ＝x 3求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x . 4．以初速度40 m/s 向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 m C ．403 m D ．203m 解析：选A.v ＝40－10t 2＝0，得物体达到最高时t ＝2，则高度h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20＝1603(m)． 5．一物体在力F (x )＝15－3x 2(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )成30°角的方向由x ＝1 m 直线运动到x ＝2 m 处，作用力F (x )所做的功W 为( )A. 3 J B ．2 3 JC ．4 3 JD ．32J 解析：选C ．W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝32⎠⎛12(15－3x 2)d x ＝32(15x －x 3)|21＝32[(30－8)－(15－1)]＝43(J)．6．质点直线运动瞬时速度的变化规律为v (t )＝－3sin t ，则t 1＝3至t 2＝5时间内的位移是________．(精确到0.01)解析：s ＝⎠⎛35v (t )d t ＝⎠⎛35(－3sin t )d t ＝3cos t 53＝3(cos 5－cos 3)≈3.82.答案：3.827．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________. 解析：图形如图所示：S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3|10＝14. 答案：148．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是________m.解析：s ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32|100＝23(1132－1)． 答案：23(1132－1) 9．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3， 解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝(－13x 3＋32x 2)|30＝92. 10．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离；(2)B ，D 间的距离．解：(1)设A 到C 的时间为t 1s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20.则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)． 即A ，C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)． 即B ，D 间的距离为240 m.[高考水平训练]1．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为( ) A ．36 cm 3B ．72 cm 3C ．108 cm 3D ．144 cm 3解析：选D ．由题意可得，t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛06(6t －t 2)d t＝4(3t 2－13t 3)|60＝144(cm 3)． 故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3.2．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：选D ．令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4，故选D ． 3．在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解：由物理学知识易得，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即pV ＝k .∵V ＝xS (x 指活塞与底的距离)，∴p ＝k V ＝k xS. ∴作用在活塞上的力F ＝p ·S ＝k xS ·S ＝k x. ∴所做的功W ＝⎠⎛ab k x d x ＝k ·ln x |b a ＝k ln b a . 4.设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 解：(1)设点P 的横坐标为t (0＜t ＜2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2， 所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)． (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0＜t ＜2，∴t ＝2，因为0＜t ＜2时，S ′＜0；2＜t ＜2时，S ′＞0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。
定积分的简单应用10789-27页PPT精选文档
一、教学目标
• 1、进一步体会定积分的几何意义。 • 2、能利用定积分的知识解决曲边图形的面
积、做变速运动的路程、变力做功的问题。
二、复习
1.平面图形的面积:
y yf(x)
y
yf2(x)
A
A
yf1(x)
oa
bx
oa
bx
b
Aa f(x)dx
Aa b[f2(x)f1(x)d ] x
b
s a v(t)dt
v
v v(t)
t
Oa
b
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1 .7 3 所 示 .求 汽 车 在 这 1 m in 行 驶 的 路 程 .
v/m/s
30 A
B
20
10
Ct/s o 10 20 30 40 50 60
图1.73
解 由速度时间曲线可: 知v/m/s
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b）及x轴所
围成平面图形的面积S。下列面积如何计算？
y yf(x)
y y f(x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) Sa f(x)dx
b
(2) Sa f(x)dx
c
b
c
b
( 3 )S | af( x ) d | x cf( x ) d x af( x ) d c x f( x ) dx
由 数k是比变 例系数力 . ,得 W 作 lk 功 x d 1 公 kx2x l 式 1k2lJ.
答
0
2
克服弹力所作的 1kl功 2 J.为
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定积分的几个简单应
用
定积分的几个简单应用
一、定积分在经济生活中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．
例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．
解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是
dq q )5015.065(10000
0--⎰
10000023
)
1.015(q q -=
50000=，
所求消费者剩余为50000元．
例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．
解 所求的总产量为
⎰⎰+='=10
5105)1240()(dt t dt t Q Q 10
52)640(t t +=650=（件）．
二、用定积分求极限
例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123
lim ．
解 n
n n n n n n n k n k 12111123
+++=∑= )21(1n n n n n +++=
．
上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有
∑=∞→n k n n k 12
3lim ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑
=∞→． 解 212213)(11n k n
k n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等
分，i ξ取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有
2213lim k n n k n k n -∑=∞→3
1)1(311102321
02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．
例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：
⎰⎰
+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2
)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x x
a x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且
)(2
)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2
))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2
ξf x f a x --=，
其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以
0)()(=≥a x ϕϕ，
取b x =得
⎰⎰+≥b a b
a dx x f
b a dx x xf )(2
)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。