2015年江苏省连云港市中考数学试题及答案详解

连云港市2015年高中段学校招生统一文化考试数学试题（请考生在答题卡上作答）注意事项：1.本试题共6页，共27题．满分150分，考试时间120分钟．2.请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效．3.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定的位置，并认真核对条形码上的姓名及考试号．4.选择题答题必须用2B 铅笔填涂在答题卡的相应位置上．如需改动，用橡皮擦干净后再重新填涂．5.作图题必须用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗．参考公式：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点坐标为24(,)24b ac b a a--． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．3-的相反数是A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．下列运算正确的是A ．235a b ab +=B ．523a a a -=C ．236a a a ⋅=D ．222()a b a b +=+3．2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖市中居第一位，居民人均可支配收入约18 000元．其中“18 000”用科学记数法表示为 A ．50.1810⨯ B ．31.810⨯ C ．41.810⨯ D ．31810⨯4．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩x 及其方差2s 如表所示．如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．已知四边形ABCD ，下列说法正确的是A ．当AD =BC ，AB //DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD =BC ，AB ＝DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC =BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC =BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形6．已知关于x 的方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为A ．13k <B ．13k >-C ．13k <且0k ≠D ．13k >-且0k ≠7．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，14．已知一个几何体的三视图如下，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为 ▲ ．15．在△ABC 中，4AB =，3AC =，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是 ▲ ．16. 如图，在△ABC 中，60BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，直线1l //2l //3l ，1l 与2l 之间距离是1，2l 与3l 之间距离是2．且1l ，2l ，3l 分别经过点A ， B ，C ，则边AC 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分6分）计算：101()20152+-－．18．（本题满分6分）化简：2214(1)1m m m m-+÷++． 19．（本题满分6分）解不等式组21514(2)x x x +>⎧⎨+>-⎩，.20．（本题满分8分）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游事业得到了高速发展．某旅游公司对我市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人年消费金额，并将调查数据适当整理，绘制成如下两幅尚不完整的表根据以上信息回答下列问题：（1）a = ，b = ，c = ，并将条形统计图补充完整； （2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在 组；（3）若这个企业有3000名员工，请你估计个人年旅游消费金额在6000元以上的人数．21.（本题满分10分）九（1)班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会．抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“3”、“5”、“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖．记每次抽出两张牌点数之差为x，按下表要求确定奖项．（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获一等奖的概率； （2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？22．（本题满分10分）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 进行折叠，折叠后点C 落在点F 处，DF 交AB 于点E ． （1）求证：EDB EBD ∠=∠；（2）判断AF 与BD 是否平行，并说明理由．ABCDF （C ） E(第22题图)23．（本题满分10分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元． （1）求每张门票原定的票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．24．（本题满分10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =-x 轴、y轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1． （1）判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由； （2）当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长； （3）当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标．25．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，3BC =，D 为AC 延长线上一点，3AC CD =．过点D 作DH //AB ，交BC 的延长线于点H ．（1）求cos BD HBD ⋅∠的值； （2）若CBD A ∠=∠，求AB 的长．26．（本题满分12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一条直线上，AB 与AG 在同一条直线上．（1）小明发现DG BE ⊥，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长．A EFGBCD图1(第25题图)ABDC H)（3）如图3，若小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，线段DG 与线段BE 将相交，交点为H ，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．27．（本题满分14分）如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线214y x =交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是2-．（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 过线段AB 上一点P ，作PM //x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N (0,1)，当点M 的横坐标为何值时，3MN MP +的长度最大？最大值是多少？AEFG BCD图2AEFGBCD图3H(第27题图)连云港市2015年高中段学校招生统一文化考试参考答案一、选择题（每题3分，共24分）ABCB BACC二、填空题（每题3分，共24分）9．2 10．x ≠3 11．1 12．720 13．如：232,,+1y x y y x x=-+==-等 14．8π15．4:3 16 三、解答题（共102分）17．解： 原式=3+2-1 =418．解：原式=2(2)(2)1(1)m m m m m m ++-÷++=2(1)1(2)(2)m m m m m m ++⨯++- =2mm - 19．解不等式（1）得：x ＞2解不等式（2）得：x ＜3 所以不等式组的解集是2＜x ＜3 20．（1）36 0.30 120 (图略) （2）C (3)3000⨯(0.10+0.20)=900(人)21．（1）树状图如图所示：可以看出一共有20种等可能情况，其中获一等奖的情况有2种． ∴ P(甲一等奖)＝212010=(2) 22．（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴DC ∥AB∴∠CDB =∠EBD ∴∠EDB=∠EBD (2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE =BE 由折叠可知：DC =DF∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴DC =AB∴AE =EF ∴∠EAF=∠EF A△BED 中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180° 即2∠EDB+∠DEB=180° 同理△AEF 中，2∠EF A+∠AEF=180° ∵∠DEB=∠AEF第一张 第二张 2 3 3 5 6 2 5 2 2 6 3 3 3 5 6 2 3 5 6 3 3 6 3 3 5 x1 3 34 41 1 023 1 0 2 322 13 3 1开始∴∠EDB= ∠EF A∴AF ∥BD23．(1)解：设每张门票原定的票价x 元． 由题意得：6000480080x x =- 解得：x =400经检验：x =400是原方程的解． 答：每张门票原定的票价400元． （2）解：设平均每次降价的百分率为y ．由题意得：2400(1)324y -= 解得：120.1, 1.9y y ==（不合题意，舍去） 答：平均每次降价的10%．24．（1）由直线AB 的函数关系式323y x =-，得其与两坐标轴交点(2,0)A ，(0,23)B -． 在直角△OAB 中，23tan 323OBA ∠==，30OBA ∠=︒ 作OH ⊥AB 交AB 于点H .在△OBH 中，OH =OB ⋅sin OBA ∠=3 因为31>，所以原点O 在⊙P 外（2）当⊙P 过点B ，点P 在y 轴右侧时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧所对圆心角为120︒，所以弧长为120121803ππ⨯⨯=． 同理，当⊙P 过点B ，点P 在y 轴左侧时，弧长为同样为23π． 所以当⊙P 过点B ，⊙P 被y 轴所截得的劣弧长为23π． （3）当⊙P 与x 轴相切，且位于x 轴下方时，设切点为D , 在直角△DAP 中，AD=DP ⋅tan DPA ∠=1⨯tan 30︒=33(图1) H B PO y x A BP O yxA D (图2)(图3)(图1)H此时D 点坐标为323-（ 当⊙P 与x 轴相切，且位于x 轴上方时，根据对称性可以求出切点坐标33（25.（1）∵DH ∥AB∴∠BHD =∠ABC =90° △ABC ∽△DHC ∴AC BC CD CH = ∵AC=3CD,BC=3 ∴CH =1BH =BC +CH =4 在Rt △BHD 中, COS ∠HBD=BHBD∴BD COS ∠HBD=BH=4(2)解法一∵∠A=∠CBD ∠ABC =∠BHD∴△ABC ∽△BHD ∴BC AB HD BH= ∵△ABC ∽△DHC ∴13DH DC AB AC == ∴AB=3DH ∴334DHDH =2DH = ∴6AB = 解法二、∵∠CDE =∠A ∠D =∠D ∴△CDB ∽△BDA ∴CD BD BD AD = 2BD CD AD =⋅ ∴2244BD CD CD CD =⋅=∴BD =2CD ∵△CDB ∽△BDA ∴CD BC BD AB= ∴32CD CD AB=∴AB =626．(1)四边形ABCD 与四边形AEFG 是正方形 ∴AD =AB , ∠DAG =∠BAE =90°，AG =AE ∴△ADG ≌△ABE (SAS ) ∴∠AGD =∠AEB如图1，延长EB 交DG 于点H △ADG 中 ∠AGD +∠ADG =90° ∴∠AEB +∠ADG =90°△DEH 中, ∠AEB +∠ADG +∠DHE =180°∴∠DHE =90°∴DG BE ⊥(2) 四边形ABCD 与四边形AEFG 是正方形 ∴AD =AB , ∠DAB =∠GAE =90°，AG =AE∴∠DAB +∠BAG =∠GAE +∠BAG ∴∠DAG =∠BAE AD =AB , ∠DAG =∠BAE , AG =AE ∴△ADG ≌△ABE (SAS )∴DG =BE如图2，过点A 作AM ⊥DG 交DG 于点M , ∠AMD =∠AMG =90°BD 是正方形ABCD 的对角线 ∴∠MDA =45°在Rt △AMD 中，∵∠MDA ＝45°，∴COS 45°＝DMAD∴2DM =∴2AM =在Rt △AMG 中，∵222AM GM AG +=∴2222(22)(2)GM AG AM =-=- ∴6GM =∵DG =DM +GM =26+∴BE =DG =26+方法（二）前同上略 ∵△ADG ≌△ABE (SAS )∠GDA =∠ABE ∵BD 是正方形ABCD 的对角线 ∴∠GDA =45° ∴∠ABE =45°作AM ⊥BE 交BE 于点M在Rt △AMB 中，∵∠ABE ＝45°，∴COS 45°＝BMAB∴2BM =∴2AM =在Rt △AEM 中，∵222AM ME AE +=∴22(22)(2)6ME =-=∴BE =BM+EM =26+（3）面积的最大值为6 ．对于△EGH ，点H 在以EG 为直径的圆上，所以当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大， 对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，所以当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大， 所以△GHE 与△BHD 面积之和的最大值是246+=． 27．（1）因为点A 是直线与抛物线的交点，且其横坐标是2-，所以21(2)14y =⨯-=，A 点坐标（2-，1） M(图2)M (图1)C (图2)Q 设直线的函数关系式为y kx b =+将（0,4），（2-，1）代入得421b k b =⎧⎨-+=⎩解得324k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以直线342y x =+ 由231424x x +=，得26160x x --=，解之得12x =-，28x = 当8x =时，384162y =⨯+=． 所以点(8,16)B ．（2）作AM ∥y 轴,BM ∥x 轴, AM, BM 交于点M ．由勾股定理得:222AB AM BM =+=325．设点(,0)C a ，则2222(2)145AC a a a =++=++， 2222(8)1616320BC a a a =-+=-+．① 若90BAC ∠=︒，则222AB AC BC +=，② 即232545a a +++=216320a a -+，所以12a =-． ②若90ACB ∠=︒，则222AB AC BC =+，即232545a a =+++216320a a -+， 化简得260a a -=，解之得0a =或6a =．③若90ABC ∠=︒，则222AB BC AC +=，即216320a a -+232545a a +=++， 所以32a =．所以点C 的坐标为102-（，），（0，0），（6,0），（32，0） （3）设21(,)4M a a ，则2224221111(1)1141624MN a a a a a =+-=++=+． 由231424x a +=，所以2166a x -=，所以点P 的横坐标为2166a -． 所以2166a MP a -=-． 所以3MN PM +222116113()39464a a a a a -=++-=-++． 所以当3612()4a =-=⨯-，又因为268≤≤， 所以21394a a -++取到最大值18．所以当点M的横坐标为6时，3的长度最大值是18．MN PM。