(反比例函数在中考中的常见题型)

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

反比例函数在中考中的常见题型

◆知识讲解

1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k≠0）．

2．反比例函数y=（k≠0）的性质

（1）当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小．

（2）当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大．

（3）在反比例函数y=中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，•也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，•通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k 的值．

（4）若双曲线y=图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=．

（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y•轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．

◆例题解析

例1如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=的图像经过点A，

（1）求点A的坐标；

（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，•求这个一次函数的解析式．

【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=可求

得a的值，从而得出点A的坐标．

（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，•从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．

【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．

∵点A在反比例函数y=的图像上，得3a=，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2•是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．

∴点A的坐标为（2，6）．

（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．

∵m>0，∴m=．

解得m=，经检验m=是原方程的根，

∴点B的坐标为（0，）．

设一次函数的解析式为y=kx+．

由于这个一次函数图像过点A（2，6），

∴6=2k+，得k=．

∴所求一次函数的解析式为y=x+．

例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．

（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，•请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．

（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x 轴于E，那么△ODE 的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？

（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．

【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的，•而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．

由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，•该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．

【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，），其中0>0，m>0．

在Rt△ABO中，AB=，OB=x0．

则S△ABO =·x0·=3，即m=6．

所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=．

（2）由得x2+6x－6=0，

解得x1=－3+，x2=－3－．

∴A（－3+，3+），D（－3－，3－）．

由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有

y=．即xy=6．

∴S△DEO =│x D y D│=3，即S△DEO =S△ABO．

（3）由A（－3+，3+）和D（－3－，3－）可得AO=4，DO=4，即AO=DO．由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．

【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．

◆强化训练

一、填空题

1．如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，•则2x1y2－7x2y1的值等于_______．

图1 图2 图3

2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．

3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．

4．若y=中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．5．反比例函数y=的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；

点P到原点的距离OP=_______．

6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点，则b的取值范围是______．

7．反比例函数y=的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．

8．两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图像如图3所示，•点P在y=的图像上，PC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，•当点P在y=的图像上运动时，以下结论：