函数y=A sin(ωx+φ)的图象

x
2x
sin 2 x
0 0 0
4 2
1
2

0
3 4 3 2
－1

2
0
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0 0

2
1
2
3
3 2
－1
4 2
0

0
列表并描点作图：
x
2x
sin 2 x
0 0 0
4 2
1
2

0
3 4 3 2
－1

2
0
x
1 x 2 1 sin x 2
y 3 2 1

y 3 sin(2 x ) 3


6
o
12
-1 -2 -3
3
7 12
5 6
2 x
y sin x
问题：函数y=3sin(2x+π/3)的图象是由函数 y＝sinx的图象经过怎样的变化得到呢？
方法1： 按 , , A顺序变换 ( )
y
3
2
y=3sin(2x+ 3 )
(二)探索对 y=sin(x+ ), x∈R的图象的影响.
1 例2．作函数 y sin 2 x及 y sin x 的简图． 2 2 ， x 0， 时的简图． 先作 解：函数 y sin 2 x 的周期 T 2 1 2 4 ，先作 x 0， 时的简图． 函数 y sin x 的周期T 4 1 2 2 列表：
方 法 y sin x 一
向左平移
个单位 3
y sin( x ） 3
横坐标缩短到 原来的 1 倍 2
纵坐标伸长3倍 y 3sin(2 x ) 3 横坐标不变
y sin(2 x

3
）
方 法 y sin x 二
横坐标缩短到 原来的 1 倍 2 纵坐标不变
y sin[2( x
x
sin x
2 sin x
1 sin x 2
0 0
2
1 2
1 2

0
3 2
2
0
－1
0
0
0
0
－2
1 2
0
0
列表并描点作图：
x
sin x
2 sin x
1 sin x 2
0 0
2
1 2
1 2

0
3 2
2
0
－1
0
0
0
0
－2
1 2
0
0
2 1
y

y 2 sin x
3 2
-1 -2

倍
横坐标不变
y sin(x )
先周期变换，再平移变换，最后振幅变换：
横坐标变为
原来的 1 倍
y sin x

纵坐标不变
y sin x
个单位
平移
y A sin( x )
纵坐标变为 原来的 A 倍 横坐标不变
y sin ( x )
y 3 2
y 3 sin(2 x ) 3

1


6
o
12
-1
-2 -3
3
7 12
5 6
2 x
y sin x
这就是本节课我们要研究和讨论的主要问题：
(一)探索 对 y=sin(x+ ), x∈R的图象的影响.
作出函数y sin( x )与y sin( x )的图象 3 4
针 对 自 变 量 针 对 因 变 量
沿y轴向上平移k个单位 y y-k ( k > 0 )
沿y轴向下平移k个单位
“五点法”作函数y=sinx简图的“五点”是指什 么？
y
1
.
.

2
O
1
.
3 2
.
.2
x
3 (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), ( 2 ,0) 2 2
0 0
4
2
6
2 3

0
5 4
7 6 3 2
5 3
2
0
9 4
1
2
3 4
－1
7 4 3 2
x
y
1

.
3
0
1
. .
4 sin( x ) 4
x

0
0

0
2
0
. . 2 . x 4 2 . y sin.x y sin( x 4 ) y sin( x )
变换规律吗？ 满足
y 思考2： sin x y A sin( x )( A 0, 0)
例：如何由y sin( x

5
)变换得：y 3sin( x

3
)
我们解决了同名三角函数的变换 思考3： 不同名三角函数的变换又该怎么办？
例：如何由y sin( x
而得到，这种变换称为振幅变换，它是由 A 的变化而引起
的， A 叫做函数 y A sin x 的振幅．
化归：怎样由y f ( x ) y Af ( x )( A 0)
将y f ( x )图象上的每一个点的纵坐标变为原来的A倍， 横坐标不变，即得到：y Af ( x )
. y sin x . . . . . 0 . .
2
2
x
利用这两个函数的 周期性，我们可以 把它们在 0， 上 2 的简图向左、右分 别扩展，从而得到 它们的简图.
1 y sin x 2
2 1
y
y 2 sin x
y=sinx
纵坐标伸长 到原来的2倍 横坐标不变
y=2sinx

5
)变换得：y 3cos(2 x

3
)
1.5.1 函数y=A sin(ωx+φ)的图象(2)
由y sin x的图象变换到 A sin(x )的图象的两种策略 y
先平移变换，再周期变换,最后振幅变换：
y sin x
平移

个单位
y sin(x )
横坐标变为
y=sinx
1
o



3

6 -１
6 3
7 6
5 3
2
7 2 5 12 in(x+ ) 3 y=sin(2x+ ) 3

（1）向左平移 3 函数 y=sinx
1 2
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
y sin x
2
0
-1
-2

3 2
1 y sin x 2
纵坐标缩短 1 到原来的 倍 1 2 y= sinx y=sinx 2 横坐标不变
2
x
归纳总结：
函数 y A sin x （ A 0 且 A 1 ）的图像可以看做是 把函数 y sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长（当 A 1 时）或缩短（当 0 A 1）到原来的 A 倍（横坐标不变）
0 0 0

2
1
2
3
3 2
－1
4 2
0

0
y 1
0
-1
.. . . . . . . .
2
3 2
1 y sin x 2
2
3
4 x
.
y sin 2 x
y sin x
.
利用这两个函数的周期性，把各函数一个周期的简图向左、 右分别扩展，从而得到它们的简图.
横坐标缩短到
1.5.1 函数y=A sin(ωx+φ)的图象(1)
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
x x－h ( h > 0 )
y=f(x)
y=f(x) y=f(x) y=f(x)
y=f(x-h)
y=f(x+h) y=f(x)+k y=f(x)-k
沿x轴向右平移h个单位 x x＋h ( h > 0 ) 沿x轴向左平移h个单位 y y+k ( k > 0 )

下图1是某次实验测得的交流电y随时间x变化的图象， 将测得的图象放大（图2）可以看出它和正弦曲线很相似，
这就是我们要研究的正弦型y=A sin(ωx+φ)函数的图象.
y
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5
放大
O
0.01 0.02
0.03 0.04
x
交流电的电流y与时间x变化的图象
与正弦曲线相似
y 1
1 y sin x 2
y=sinx
原来的
1 2倍
纵坐标不变
y=sin2x
. 0
-1
2

3 2
2
3
4 x
y sin2 x
y sinx
横坐标伸长
到原来的2倍
y=sinx
纵坐标不变
1 y=sin 2
x
归纳总结：
函数 y sin x（ 0 且 1 ）的图像,可以看做

纵坐标不变，即得到：y f ( x )
(三)探索A对 y=Asin(x+ ), x∈R的图象的影响.
1 y 2 sin x 及 y sin x x R ）的简图． 例1．画出函数 （ 2 1 解：函数 y 2 sin x 及 y sin x 的周期均为 2 ， 2 先作 0， 上的简图．列表并描点作图： 2