集合中的定义新运算(人教A版)(含答案)
2020高中数学精讲精练(新人教A版)第01章 集合与简易逻辑
2020高中数学精讲精练 第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B .分析：先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=， 可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.{0,2}【反馈演练】1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.（1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围；（3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<．综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或． 综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞． （3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．第2课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 p q ⌝⌝若则，逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题；逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题；逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p 和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p⌝时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程210-+=的两实根的绝对值相等.x xx x-+=的两实根的符号相同，q：方程210分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；x xp且q：方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；x x非p：方程210-+=的两实根的符号不同，真命题.x x点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()∃∈⌝”，特称命题“,()x M p x∃∈”的x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()否定是“,()∀∈⌝” .x M p x解：⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（1）p⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（2）p⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（3）p（4）p ⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________.2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =；（2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题；否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题；（2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题；否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉ 若a b ≤，则221a b ≤-第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件．3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件；（4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件．3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆．若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-． 综上所述，522a -≤<．充分不必要。
第01讲第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算课件新人教A版课件
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6.描述法及两种表述形式：把集合中的元素的公
共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法. ①数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，
可表示为 {x│x-3＞2}；
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例6 已知A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，B＝{1，2}，且 A B，求实数a的取值范围.
解：由已知，得：A ，或{1}，或{2}.
若A ， a 2 4 0, 2 a 2.
若A
{1}，
12
a
2
a 1 40
10.全集定义：如果集合S含有我们所要研究的各 个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全 集，记作U.
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二名、称 知识点归纳交集新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@
已知: （1）(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}； （2）(CUA)∩B＝{1，9}；（3）A∩B＝{2}.求A、B.
解：∵(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}
∴ CU(A∪B)＝ {4，6，8}
∴A∪B＝{1，2，3，5，7，9}
UB
1,9
2
A
3,5,7
4，6，8
∴B＝ [(CUA)∩B]∪（A∩B）＝{1，2，9}
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，则 记作A B（B A）
8.真子集的定义：如果A B，并且 A ≠B，则 集合A是集合B的真子集.
2022数学课时规范练1集合的概念与运算文含解析新人教A版
课时规范练1 集合的概念与运算基础巩固组1.(2020全国2，文1)已知集合A=｛x｜｜x｜<3，x∈Z｝，B=｛x｜｜x|>1,x∈Z},则A∩B=(）A.⌀B.{-3,—2，2,3｝C。
{-2，0，2}D.｛—2，2}2。
(2020陕西宝鸡三模，文1）设集合A=｛0,2，4},B={x∈N|log2x≤1｝,则A∪B=(）A.｛2，4} B。
｛0，1,4}C。
{1,2，4} D。
{0,1，2，4}3.若集合A={0，1，2,3}，B={1，2，4｝,C=A∩B，则C的子集共有()A.6个B。
4个C。
3个D。
2个4。
（2020山东滨州三模，1)已知集合M={x|x=4n+1,n∈Z｝，N={x|x=2n+1,n∈Z｝,则(）A。
M⊆N B。
N⊆MC.M∈ND.N∈M5。
(2020山东淄博4月模拟,1)已知全集U=｛1，2,3,4，5,6}，集合A=｛2,3,5｝，集合B=｛1,3，4,6｝，则集合A∩（∁U B）=()A.{3} B。
｛1,4,6}C。
｛2，5｝D。
｛2,3,5｝6。
已知集合A={x|x2—x-2=0｝，B=｛x∈Z｜｜x｜≤2}，则A∩B=(）A.{1，2｝B.｛1,-2}C.｛—1,2} D。
｛—1,—2}7.设全集U={x∈N＊|x≤4},集合A=｛1，4},B=｛2，4}，则∁U(A∩B)为()A.｛1，2，3｝B。
｛1,2，4}C。
｛1，3,4} D。
{2，3,4}8。
设全集U=R，集合A={x｜x—1≤0},B={x｜x2-x-6<0}，则下图中阴影部分表示的集合为(）A。
{x|x<3｝B.｛x｜—3〈x≤1}C。
｛x|x<2}D。
{x|-2〈x≤1｝9.若集合A=｛x|x≥3—2a},B={x|（x—a+1）（x—a）≥0}，A ∪B=R,则a的取值范围为（）A.[2,+∞)B.(-∞，2］C.(-∞,43]D.43,+∞10.设全集为R，集合P={x|x2—4x>0}，Q={x｜log2（x-1）〈2｝,则(∁R P)∩Q=（)A.［0，4]B.［0,5)C.（1,4］D.[1，5）11.已知集合A=｛x｜log2x≤2}，B={x｜x〈a｝,若A⊆B，则实数a的取值范围是.12。
高三数学一轮复习 第1单元 1.1 集合的概念与运算课件 理 新人教A版
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、 无序性 ． 2．集合的表示法：列举法、 描述法 、图示法．
提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合 于有限集，而描述法一般适合于无限集．
(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为 {1，1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号∈ 和 ∉ 表示．
结合思想方法的运用．
二、集合的运算 1．两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同
和混淆． 2．数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用
文氏图直观显示，例如若A⊆S，B⊆S，则全集S最多被四个集合A∩B，A∩(∁SB)， B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分；对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合 的运算．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a，
x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－ ] B.
C.
D．(－∞，－2]
解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－ ，或x＝－2，
既A＝ ≤－ .
. 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅，知a
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩 (Venn)图是( )
解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，则N M，故选B. 答案：B
2． 已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m的值组 成的集合是( ) A．{－1,2} B．{1，－ } C．{1,0，－ } D．{－1,0， } 解析：∵A∩B＝B，即B⊆A，若m＝0，B＝∅⊆A； 若m≠0，B＝{x|x＝－ }；由B⊆A得：－ ＝－1或－ ＝2， ∴m＝1或m＝－ .综上选C. 答案：C
高中数学人教A版1.1 集合的概念单选题练习(含解析)(20)
1.1 集合的概念1．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（ ）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法； （2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法； （4）{}|2G x x a b a b Q==+∈，，，⊕：实数的乘法．A ．1B ．2C ．3D ．42．若集合M=, 则下面结论中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( ) A ．x|x ＝1} B ．x|x 2＝1} C ．1} D ．y|(y －1)2＝0} 4．一次函数1y x =+与26y x =+的图像的交点所组成的集合是（ ）A ．{}5,4--B ．5,6C ．(){}5,4--D ．(){}5,6 5．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．已知集合2{|1},A x x a A =>∈, 则 a 的值可以为A ．-2B ．1C ．0D ．-18．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知集合A ＝x|x<a}，B ＝x|x 2－3x ＋2<0}，若A∩B＝B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a<1B ．a≤1C ．a>2D ．a≥210．已知集合{}|21M x Z x =∈-<≤，则M 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．对集合1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是 A ．x|x 是小于18的正奇数} B ．x|x=4k+1，k∈Z，且k<5} C ．x|x=4t –3，t∈N，且t≤5} D ．x|x=4s –3，s∈N *，且s≤5}13．下列所给关系正确的个数是①π∈R ；②3Q ∉；③0∈*N ；④|−4|∉*N ． A ．1B ．2C ．3D ．414．若x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A ．15B ．16C ．82D ．5215．用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，已知集合A 有三个真子集，()(){}22320,B x ax x x ax x R =+++=∈，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．516．设集合{}|2A x x =<，则（ ） A ．2A ∈B ．3A ⊆C ．3A ∉D ．3A ∈17．已知集合{}*2A x N x =∈<，若a A ∈，则a 可能是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．218．集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣，则*8,B y y A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个19．集合{}2|--6=0M x x x =，则以下错误的是（ ）A ．－2∈MB ．3∈MC ．M =－2，3}D ．M ＝－2，320．集合A=x } B=} C=}又则（ ） A ．（a+b ） A B ．(a+b) BC ．(a+b) CD ．(a+b)A 、B 、C 任一个参考答案1．B解析：根据新定义运算⊕判断． 详解：（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个． 故选：B. 点睛：本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用． 2．A 详解：6<,所以{}a M ⊆ ,故选:A3．B 详解：x|x 2＝1}＝－1,1}，另外三个集合都是1}，选B.4．C解析：联立1y x =+与26y x =+即可求出交点，然后用集合表示出来. 详解： 联立方程126y x y x =+⎧⎨=+⎩，解得5,4xy，即交点为()5,4--，则用集合表示为(){}5,4--.点睛：本题考查用集合表示点的集合，属于基础题. 5．C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解. 详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =， 所以集合{}2,4,8M =， 故选：C 6．D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉； ③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈． 详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈，若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈； 则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M=+-+∈那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 7．A解析：先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 详解：解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选A. 点睛：本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 8．D解析：对2m =或2322m m -+=分类讨论，结合互异性即可得到正确答案. 详解：若2m =，则2320m m -+=，根据集合中元素的互异性，舍去； 若2322,0m m m -+==或3，又0m ≠，故3m =． 故选：D 9．D解析：解一元二次不等式得到集合B ，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，结合数轴可得答案. 详解：集合B ＝x|x 2－3x ＋2<0}＝x|1<x<2}，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图,可知a≥2.故选：D 点睛：本题考查由集合的包含关系求参数问题，属于基础题. 10．B解析：根据题意求出集合中的元素，即可得出结果.因为{}{}|211,0,1M x Z x =∈-<≤=-， 所以M 的元素个数为3. 故选：B 点睛：本题主要考查集合中元素个数的判定，熟记集合的表示方法即可，属于基础题型. 11．C解析：根据不等式的特征用列举法表示集合A 进行求解即可. 详解：因为x ∈Z ，所以当0x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0,1y =±； 当1x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =； 当1x =-时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =，当x ∈Z ，1x >时，由1,x y y Z +≤∈可知：不存在整数y 使该不等式成立， 所以{}(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),(1,0)A =--, 因此A 中元素的个数为5. 故选：C 12．D 详解：A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中集合当k 取负数时，多出了若干元素；C 中集合当t=0时多了–3这个元素，只有D 正确．故选D ．13．B 详解：由R(实数集)、Q(有理数集)、*N (正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确．14．A解析：首先确定具有伙伴集合的元素有1,1-，“3和13”，“2和12”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 详解：根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A. 点睛：本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题. 15．D解析：由已知条件求得()2C A =，可得出()1C B =或3，然后对实数a 的取值进行分类讨论，确定方程()()22320ax x x ax +++=的解的个数，由此可求得实数a 的所有可能取值，即可得出()C S 的值. 详解：由题意可知，集合A 的真子集个数为()213C A -=，解得()2C A =， 由题中定义可得()()()21A B C A C B C B *=-=-=，()1C B ∴=或3.由题意可知，0为关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=的一根.当()1C B =时，则{}0B =，则方程230ax x +=只有一个实根0，可得0a =， 此时，方程220x +=无实根，则{}0B =满足条件；当()3C B =时，则关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=有三个根，必有0a ≠，此时，关于x 的方程230ax x +=的两根分别为10x =，23x a=-，分以下两种情况讨论：①若3a -是方程220x ax ++=的一根时，则22339210a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =±.当3a =-时，则()(){}{}22333200,1,2B x x x x x =--+==，合乎题意； 当3a =时，则()(){}{}22333202,1,0B x x x x x =+++==--，合乎题意；②当方程220x ax ++=有两个相等的实根，则280a ∆=-=，解得a =±当a =()(){}22320B x x x ⎧⎫⎪⎪=+++==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，合乎题意；当a =-()(){}22320B x x x ⎧⎪=--+==⎨⎪⎩，合乎题意.因此，{}3,S =--，即()5C S =. 故选：D. 点睛：以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数a 的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.解析：根据集合和元素之间的关系，直接判断即可得解. 详解：本题考查元素与集合的关系， 由{}|2A x x =<所以2A ∈错误，3 1.7322,A ≈<""⊆属于集合之间的关系，故B 错误，故选：D. 17．C解析：先化简集合A ，再根据a A ∈求解. 详解：集合{}{}*21A x N x =∈<=，因为a A ∈， 所以a 可能是1 故选：C 18．C解析：先求得集合A ，再由已知求得集合B ，由此可得选项． 详解：由已知得2*{|70,}A x x x x N =-<∈{}1,2,3,4,5,6=，又*8,B yy A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣{}1,2,4=，所以*8,B y y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为3个． 故选：C. 19．D解析：解一元二次方程，得到方程的解集，再逐个判断. 详解：{}{}2|60=2,3M x x x =--=-，2M ∴-∈，且3M ∈.∴A 、B 、C正确，D 项集合的表示方法错误.故选：D. 20．B1212122,2 1.2214 1.(224a A a k b B b k a b k k k k k ∈⇒=∈⇒=++=++=++因为为的倍数）所以(a+b) C。
高考数学一轮复习专题一集合与常用逻辑用语1集合综合集训含解析新人教A版
专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合 基础篇 【基础集训】考点一 集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二 集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇 【综合集训】考法一 集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析 因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)集合的基本运算(解析版)
第03讲集合的基本运算说明：如果素养目标比较多，模块导航和素养目标可以通栏排版，并能够运用这些语言解决集合运算的基本问题.知识点1并集1、并集的概念自然语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}图形语言2、并集的运算性质性质定义A B B A=满足交换律A A A=任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A A A∅=∅=任何集合与空集的并集等于这个集合本身()()A B C A B C=多个集合的并集满足结合律()A A B⊆ ,()B A B⊆ 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集A B⊆⇔A B B=任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然知识点2交集1、交集的概念2性质定义A B B A=满足交换律A∅=∅空集与任何集合的交集都是空集A A A=集合与集合本身的交集仍为集合本身()()A B C A B C=多个集合的交集满足结合律()()()A B C A C B C=多个集合的综合运算满足分配律()()()A B C A C B C=若A B A = ，则A B⊆交集关系与子集关系的转化()(),A B A A B B⊆⊆ 两个集合的交集是其中任一集合的子集知识点3全集与补集1、全集的概念自然语言一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .符号语言若,,,A U B U C U ⊆⊆⊆ ，则U 为全集.图形语言2、补集的概念自然语言若集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ð.符号语言{}U A x x U x A =∈∉且ð图形语言3、补集的运算性质性质定义()U A A U= ð任何集合与其补集的并集为全集()U A A =∅ ð任何集合与其补集的交集为空集()UUA A=痧任何集合补集的补集为集合本身,U U U U=∅∅=痧全集的补集为空集，空集的补集为全集知识点4德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U 为全集，A 、B 为U 的子集，则有（1）()()()U U U A B A B = 痧（2）()()()U U U A B A B = 痧2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的交、并、补。
人教A版必修一第一章1.1.1集合的含义与表示
• 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时， 用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
• 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法 的关键．,
• 〔跟踪练习3〕
• 用列举法表示下列集合：
• (1)不大于10的非负偶数组成的集合；
• [知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：
• (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的， 即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合 是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居 其一．
• (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一 个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
• 其中能够组成集合的是________. • [思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满
足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
• [解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些
标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
• ②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集 合．填②③.
• 『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于 看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑” 的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以 构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
• 2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同 一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．,
数学
必修① ·人教A版
第一章
集合与函数概念
• 据央视新闻报道，中国于2016年年中至2017年上半年间， 组织实施载人航天工程空间实验室任务．中国发射了“神 舟”十一号飞船，搭乘2名航天员，与天宫二号对接，在 飞船进入预定轨道的过程中包含了一些可以用函数描述的 变化规律，如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化 而变化，飞船外的温度和气压随飞船与地面的距离的变化 而变化，等等．
集合中的定义新运算(含答案)
集合中的定义新运算一、单选题(共10道，每道10分)1.设集合，，如果把b-a叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合2.若集合S满足对任意的，有，则称集合S为“闭集”，下列集合不是“闭集”的是( )A.自然数集B.整数集C.有理数集D.实数集答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合3.设和是两个集合，定义集合，如果，，那么( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合4.对于集合A，B，规定，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合5.定义，设集合，，则集合的所有元素之和为( )A.3B.0C.6D.-2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合6.设集合，集合，定义，则的元素个数为( )A.4B.7C.10D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合7.设集合，在上定义运算为：，其中，．那么满足条件的有序数对共有( )个．A.12B.8C.6D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，则A的所有子集中，“孤立元”仅有1个的集合共有( )个．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集．已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为，则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合10.对于集合M，定义函数，对于两个集合M，N，定义集合．已知，，下列结论不正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(95)
1.1 集合的概念一、单选题 1．满足条件∅{},,a b c M 的集合M 共有（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．集合*63A Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为（ ） A ．{}3,6B ．{}1,2,4,5,6,9C ．{}6,3,2,1,3,6----D ．{}6,3,2,1,2,3,6----3．用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，已知集合A 有三个真子集，()(){}22320,B x ax x x ax x R =+++=∈，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．54．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( ) A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集 D ．第二、四象限内的点集 5．集合x∈N*|x–3<1}用列举法可表示为A ．0，1，2，3}B ．0，1，2，3，4}C ．1，2，3}D ．1，2，3，4} 6．一次函数2y x =+和28y x =-+图象的交点组成的集合是（ ）A ．{2,4}B ．{2,4}x y ==C ．(2,4)D ．{(2,4)}7．设集合{}2280A x x x =+-=则下列关系正确的是.A ．2A -∈B ．2A ∈C ．2A ∉D ．4A -∉8．下列集合是有限集的是． A ．{x x 是能被3整除的数} B ．{}02x x ∈<<RC ．(){},25,,x y x y x +=∈∈N ND ．{x x 是面积为1的菱形} 9．一次函数1y x =+与26y x =+的图像的交点所组成的集合是（ ） A ．{}5,4--B ．5,6C ．(){}5,4--D ．(){}5,610．已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题1．已知关于x 的不等式2x x a +-≤2的解集为P ，若1P ∉，则实数a 的取值范围为________. 2．已知集合M 有2个元素x ，2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M；②1∈M；③x≠3.3．已知集合M ＝﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x 组成的集合为_________.4．若集合7{|||}5x x Z x m ∈-<且中只有一个元素，则实数m 的取值范围是________ 5．用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：_______. 三、解答题1．用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．2．已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.3．等差数列{}n a 首项和公差都是23，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）写出i S （1,2,3,4,5i =）构成的集合A ；（2）若将n S中的整数项按从小到大的顺序构成数列{}n c，求{}n c的一个通项公式.4．已知集合A=x|ax2-3x-4=0，x∈R}.（1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；（2）当A中有两个元素时，求a满足的条件；（3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件.5．已知集合2R R.{|8160,,}=-+=∈∈A x kx x k x（1）若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A；（2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围.参考答案一、单选题 1．B解析：由真子集的定义列出即可. 详解：解：由题意知：M 是{},,a b c 的真子集， 即{}a ，{}b ，{}c ，{},a b ，{},a c ，{},b c 共6个. 故选：B. 2．C解析：据题意可得3x -是6的约数，然后逐一检验x 的各个取值是否是正自然数，从而确定3x -的各个可能的取值，进而得到63x-的各个可能的取值,即可得出A 的列举法表示. 详解：∵6,3,,33x x Z Z x x∈∴-∈∈∴--*N 是6的约数， 31,32,33,36x x x x -=±-=±-=±-=±，31x -=,得2;x =∈*N 31x -=-,得4;x =∈*N 32x -=,得1;x =∈*N 32x -=-,得5;x =∈*N33x -=,得0x =,与已知x ∈*N 矛盾，故33x -≠； 33x -=-,得6x =∈*N ；36x -=,得3x =-, 与已知x ∈*N 矛盾，故36;x -≠36,x -=-得9x =∈*N .故3x -的值只能是1,1,2,2,3,6----， 对应63x-的值依次为6,6,3,3,2,1,----即{}6,3,2,1,3,6A =----. 故选：C . 点睛：本题考查集合的描述法与列举法的转化，关键是根据数的整除性得到3x -的可能的取值，根据x 的条件进一步确认3x -的可能取值，进一步得到集合A 的元素. 3．D解析：由已知条件求得()2C A =，可得出()1C B =或3，然后对实数a 的取值进行分类讨论，确定方程()()22320ax x x ax +++=的解的个数，由此可求得实数a 的所有可能取值，即可得出()C S 的值. 详解：由题意可知，集合A 的真子集个数为()213C A -=，解得()2C A =， 由题中定义可得()()()21A B C A C B C B *=-=-=，()1C B ∴=或3.由题意可知，0为关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=的一根.当()1C B =时，则{}0B =，则方程230ax x +=只有一个实根0，可得0a =， 此时，方程220x +=无实根，则{}0B =满足条件；当()3C B =时，则关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=有三个根，必有0a ≠，此时，关于x 的方程230ax x +=的两根分别为10x =，23x a=-，分以下两种情况讨论：①若3a -是方程220x ax ++=的一根时，则22339210a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =±.当3a =-时，则()(){}{}22333200,1,2B x x x x x =--+==，合乎题意； 当3a =时，则()(){}{}22333202,1,0B x x x x x =+++==--，合乎题意；②当方程220x ax ++=有两个相等的实根，则280a ∆=-=，解得a =±当a =()(){}22320B x x x ⎧⎫⎪⎪=+++==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，合乎题意；当a =-()(){}22320B x x x ⎧⎪=--+==⎨⎪⎩，合乎题意.因此，{}3,S =--，即()5C S =. 故选：D. 点睛：以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数a 的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解. 4．D 详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集5．C解析：解不等式求得x 的范围，再用列举法求得对应的集合. 详解：由31x -<解得4x <，由于x N *∈，所以1,2,3x =，故集合为{}1,2,3，故选C. 点睛：本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查列举法表示集合，属于基础题. 6．D解析：联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可. 详解：因为22482y x x y y x =+=⎧⎧⇒⎨⎨==-+⎩⎩， 所以两函数图象的交点组成的集合是{(2,4)}. 故选：D 点睛：本题考查用集合表示方程组的解，在表示点的集合时要采用合理的表示方法，属于基础题. 7．B解析：解一元二次方程求出集合A 的元素即可得出选项. 详解：因为2280x x +-=，解得14x =-，22x =， 所以 {}4,2A =-，即2A ∈. 故选B 点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 8．C解析：根据集合的表示和集合的分类标准，逐项判定，即可求解，得到答案． 详解：由题意，对于A 中，能被3整除的数有无数个，所以A 项为无限集； 对于B 中，在0到2中有无数个实数，所以集合{}02x x ∈<<R 为无限集； 对于C 中，该集合可表示为()()(){}0,5,1,3,2,1，为有限集； 对于D 中，面积为1的菱形有无数个，所以D 项为无限集． 故选C ． 点睛：本题主要考查了集合的表示，以及集合的分类，其中解答中正确理解集合的表示，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 9．C解析：联立1y x =+与26y x =+即可求出交点，然后用集合表示出来. 详解：联立方程126y x y x =+⎧⎨=+⎩，解得5,4xy，即交点为()5,4--，则用集合表示为(){}5,4--. 故选：C. 点睛：本题考查用集合表示点的集合，属于基础题. 10．B解析：让集合A 中每个元素等于1，求得a ，检验符号集合中元素的互异性，得a 的值，从而可得结论． 详解：①21a +=⇒1a =-，∴2(1)0a +=，2331a a ++=，则{}1,0,1A =，不可以， ②2(1)1a +=⇒0a =，∴22a +=，2333a a ++=，则{}2,1,3A =，可以， 或2a =-，∴20a +=，2331a a ++=，则{}0,1,1A =，不可以， ③2331a a ++=⇒1a =-，21a +=，2(1)0a +=，则{}1,0,1A =，不可以， 或2a =-，∴20a +=，2(1)1a +=，则{}0,1,1A =，不可以， ∴{0}B =， 故选：B ． 点睛：本题考查集合的概念，掌握集合元素的互异性是解题关键．二、填空题1．1 (,1]2 -解析：先根据1P∈得不等式解得范围，再根据其补集得结果. 详解：若1P∈，则12210111aaa a++∴≥∴>--≤2或12a≤-因为1P∉，所以11 2a-<≤故答案为：1 (,1]2 -点睛：本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.2．②解析：先由－1∉M求出x≠－1，x≠1且x≠3，，然后对①、②、③分别验证即可. 详解：依题意1212xxx x≠-⎧⎪-≠-⎨⎪≠-⎩解得x≠－1，x≠1且x≠3，对于①：当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0，2，故①可能正确；对于②：当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．故答案为：②3．﹣3，2}解析：由2∈M，可得22334242x xx x⎧+-=⎨+-≠⎩，或22334242x xx x⎧+-≠⎨+-=⎩，求出x的值，然后利用集中元素的互异性验证即可详解：解：∵2∈M；∴22334242x xx x⎧+-=⎨+-≠⎩，或22334242x xx x⎧+-≠⎨+-=⎩，解得：x＝1，﹣2，或2，﹣3；x＝﹣2，1时不满足集合的互异性；∴实数x组成的集合为﹣3，2}.故答案为：﹣3，2}. 4．23(,]55解析：解绝对值不等式可得7755m x m -<<+且0m >，由75y x =-图象关于75x =对称可知整数解为1x =或2，分别在两种情况下得到不等式组，解不等式组求得结果. 详解： 由75x m -<得：7755m x m -<<+且0m > 75y x =-图象关于75x =对称 ∴当整数解为1x =时，7015725m m ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得：2355m <≤当整数解为2x =时，7157235m m ⎧-≥⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，无解综上所述：23,55m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦本题正确结果：23,55⎛⎤⎥⎝⎦点睛：本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围问题，关键是能够根据不等式的解，确定整数解的可能的取值，从而构造出不等式组.5．(){,x y |0x >，}0y <解析：根据已知中“平面直角坐标系第四象限内的所有点”构成的集合，首先可得这是一个点集，用(),x y 表示，结合第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得到答案． 详解：解：∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，则描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点”构成的集合为(){,x y |0x >，}0y < 故答案为(){,x y |0x >，}0y <． 点睛：本题考查的知识点是集合的表示法，处理本类问题的关键有两个：一是元素是点集还是数集，二是元素满足的性质．三、解答题1．(x ，y)|－1≤x≤32，－12≤y≤1，且xy≥0}．解析：根据阴影部分表示点的特点，写出约束条件，即可求得结果. 详解：本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言． 用描述法可以表示为：(x ，y)|－1≤x≤32，－12≤y≤1，且xy≥0}． 点睛：本题考查用描述法表示集合，属简单题.2．()14；()2证明见解析.解析：()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.详解：()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N ≤∈，都有11i i a a +-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,kM M M 满足题意，且20ka =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211ka +=，222k a +=，231k a +=，240ka +=，且()224124kkkj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210ka +=，综上，原命题得证. 点睛：本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.3．（1）220,2,4,,1033⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）当n 为奇数，()()1314n n n c ++=；当n 为偶数，()324n n n c +=. 解析：根据等差数列的前n 项和直接写出n S .（1）根据n S 直接写出集合A ；（2）根据n S 写出集合数列{}n c 的各项，然后分类讨论求出{}n c 的一个通项公式. 详解：因为等差数列{}n a 首项和公差都是23，所以2121(1)(1)3233n S n n n n n =+-⋅=+（1）令1,2,3,4,5i =，得220,2,4,,1033A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）要想n S 为整数，只需1n +是3的整数倍数或都n 是3的整数倍数，即31()n k k N *=-∈或3()n k k N *=∈，当31()n k k N *=-∈时，31(31)k S k k -=-，当3()n k k N *=∈时，3(31)k S k k =+，于是数列{}n c 各项为：1111112(31)22c ++=⨯=⨯⨯-，22214(31)22c =⨯=⨯⨯+ 3131325(31)22c ++=⨯=⨯⨯-，44427(31)22c =⨯=⨯⨯+ 5151538(31)22c ++=⨯=⨯⨯-，666310(31),22c =⨯=⨯⨯+，由此可知：当n 为奇数时，11(1)(31)(31)224n n n n n c ++++=⋅⋅-=； 当n 为偶数，(32)(31)224n nn n n c +=⋅⋅+=. 点睛：本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了整数的整除性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.4．（1）答案见解析；（2）a>-916且a≠0；（3）a≥-916. 解析：（1）分a=0和a≠0两种情况讨论即可，（2）由A 中有两个元素可知方程为二次方程，且判别式大于零，从而可求出a 的范围， （3）A 中至少有一个元素包括（1）、（2）的情况，所以a 的范围是（1）（2）所求的a 的范围的并集 详解：解:（1）①当a=0时，方程-3x -4=0的根为x=-43. 故A=-43}. ②当a≠0时，由Δ=(-3)2-4a·(-4)=0，得 a=-916，此时方程的两个相等的根为x 1=x 2=-83. 综上，当a=0时，集合A 中的元素为-43；当a= -916时，集合A 中的元素为-83. （2）集合A 中有两个元素，即方程ax 2-3x -4=0有两个不相等的实根.所以09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，，解得a>-916且a≠0. （3）集合A 中有一个元素或两个元素. 当集合A 中有两个元素时， 由（2）得a>-916且a≠0； 当集合A 中有一个元素时，由（1）得a=0或a=-916. 综上，当A 中至少有一个元素时，a 满足的条件是a≥-916.5．（1）0k =，{2}A =；1k =，{4}A =；（2）{}[)01,+∞．解析：（1）当0k =时，易知符合题意，当0k ≠时，利用0∆=即可求出k 的值；（2）由A 至多有两个子集，可知集合A 中元素个数最多1个，再分0k =和0k ≠两种情况讨论，即可求出实数k 的取值范围． 详解：（1）①当0k =时，方程化为：8160x -+=，解得2x =， 此时集合{2}A =，满足题意；②当0k ≠时，方程28160kx x -+=有一个根，∴∆2(8)4160k =--⨯=，解得：1k =，此时方程为28160x x -+=，解得4x =，∴集合{4}A =，符合题意，综上所述，0k =时集合{2}A =；1k =时集合{4}A =； （2）A 至多有两个子集，∴集合A 中元素个数最多1个，①当0k ≠时，一元二次方程28160kx x -+=最多有1个实数根，∴∆2(8)4160k =--⨯，解得1k ，②当0k =时，由（1）可知，集合{2}A =符合题意， 综上所述，实数k 的取值范围为：{}[)01,+∞．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题．。
八年级数学定义新运算(人教版)(含答案)
定义新运算（人教版）一、单选题(共8道，每道7分)1.对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则x=( )A.-9B.-3C.0D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算2.现定义一种新运算：，对于任意整数，有，则的值为( )A.21B.22C.23D.26答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算3.对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，，则的值为( )A.45B.-37C.25D.41答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算4.我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数，我们可以得到，同理可得，，．那么的值为( )A.0B.1C.-1D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算5.对于任意的自然数和，定义新运算：，其中是一个确定的自然数．若，则( )A.1B.2C.3D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算6.在实数的原有运算法则中，我们补充定义“新运算”如下：当时，，当时，则．当时，的最大值为( )A.-1B.0C.1D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算7.对于任意不相等的两个非负实数和，定义一种新的运算，则下列关于这种运算的几个结论：①；②；③；④不存在这样的实数和，使得．其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算8.定义新运算△为：a△b=ab+2a+2b+2，若x△2△2△2△2△2=5118，则x=( )A.1B.2C.3D.无法确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算二、填空题(共7道，每道6分)9.定义一种新运算：，利用这种算法计算____．答案：8解题思路：试题难度：知识点：定义新运算10.定义新运算：，，请计算：(39*12)□3=____．答案：36解题思路：试题难度：知识点：定义新运算11.定义一种新运算“△”，其运算规则是．已知，则的值是____．答案：2解题思路：试题难度：知识点：定义新运算12.规定一种新的运算：，则4*（3*2）的值为____．答案：3解题思路：试题难度：知识点：定义新运算13.定义运算“*”的运算法则是，则（2*6）*8的值为____．答案：6解题思路：试题难度：知识点：定义新运算14.在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“※”如下：当时，；当时，，则当时，的值为____．答案：12解题思路：试题难度：知识点：定义新运算15.若一个正整数是3的倍数，将它的各个数字分别立方求和，称为第一次运算；得到一个新数，再将新数的各个数字分别立方求和，称为第二次运算；重复上述运算若干次，你会发现最后这个数将一成不变，称这个数为“魔”数．若现有一个3的倍数是9，则它的第三次运算结果是____，这个“魔”数是____．答案：513, 153解题思路：试题难度：知识点：定义新运算。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 习题课件(精选配套习题,含解析)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为 x＝2 或 x＝3，x2－x－2＝0 的解为 x＝2 或 x＝－1，所以集合 M 中含有 3 个元素．
4．设x∈N，且1x∈N，则x的值可能是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
解析：∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而 10 无意义，排除A、D， 故选B.
——能力提升—— 14．若11－＋aa∈A，且集合 A 中只含有一个元素 a，则 a 的值为 ______－__1_±__2___.
解析：由题意，得11－ ＋aa＝a， ∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1± 2.
15．已知数集 A 满足条件：若 a∈A，则1－1 a∈A(a≠1)，如果 a＝2，试求出 A 中的所有元素．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
8．有下列说法：
①集合 N 中最小的数为 1；②若－a∈N，则 a∈N；③若 a∈
N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( A )
A．0
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
10．设直线 y＝2x＋3 上的点集为 P，点(2,7)与点集 P 的关系 为(2,7)___∈__ P(填“∈”或“∉”)．
解析：直线 y＝2x＋3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 满足关系： y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当 x＝2 时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
(2)不能．理由：若－5 为集合 A 中的元素，则 a－3＝－5 或 2a－1＝－5.
高中数学 1.1.3集合的概念与运算课件1 新人教A版必修1
(1)A B
(2)A C
悟一悟
(1)若已知x∈A∪B，那么它包含三种情形： ①x∈A且x∉B； ②x∈B且x∉A； ③x∈A且x∈B，这在解决与并集有关问题
时应引起注意.
(2)若已知x∈A∩B ：
①若已知x∈A∩B，就可以断定x∈A且x∈B. ②要搞清两集合的公共元素是什么及两者间
解：
A
B
0
5
X
A B {x | 0 x 5}
解： B UC
B
C
0
10
X
B UC x x>0
解： A B C
A
B
0
5
10
C
X
ABC ∅
4.学校开运动会，设Ａ=｛x|x是参加一百米跑的 同学｝，Ｂ=｛x|x是参加二百米跑的同学｝， C= ｛x|x是参加四百米跑的同学｝，学校规定， 每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，
A∪B={x | x是等腰或直角三角形}
2.已知 S {x | 2x 1 0},T {x | 3x 5 0},
求 S T,S T ?
解： S {x | x 1},T {x | x 5},
2
3
S T {x | 1 x 5}, S T R
2
3
试一试
3.A {x | x 5}, B {x | x 0},C {x | x 10}, 则 A B, B C, A B C 分别是什么？
的关系;
比一比
并集的性质
1.AU B B U A
2.A U A A 3.A U A
交集的性质
1.A B B A
2.A A A
3.A
专题1.1 集合中的新定义问题(解析版).
专题1.1集合中的新定义问题集合新定义问题的类型：(1)新定义性质，(2)新定义运算．解决集合新定义问题的着手点：(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．1．若对任意x A ∈，有1A x ∈，就称A 是具有“伙伴关系”的集合，集合{1M =-，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．82D ．52【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1-，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，由组合数公式可得其个数依次为1234444415C C C C +++=故选：A ．2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1A =，2，3，4，5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个【解答】解：“孤立元“是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元“是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元“是3的集合：{3}；“孤立元“是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元“是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．共有13个；故选：D ．3．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =．则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※12b =，*a N ∈，*}b N ∈中的元素个数是()A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【解答】解：a ※12b =，a 、*b N ∈，若a 和b 一奇一偶，则12ab =，满足此条件的有11234⨯=⨯，故点(,)a b 有4个；若a 和b 同奇偶，则12a b +=，满足此条件的有11121039485766+=+=+=+=+=+共6组，故点(,)a b 有26111⨯-=个，所以满足条件的个数为41115+=个．故选：B ．4．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =，则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※8}b =中的元素个数是()A ．10B ．9C ．8D ．7【解答】解：由定义知，当a ，b 都为正偶数或都为正奇数时，a ※8b a b =+=，故(,)a b 是(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)；当a ，b 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a ※8b ab ==，故(,)a b 是(1,8)，(8,1)；故共9个元素，故选：B ．5．集合{0S =，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集有()个．A ．16B ．17C ．18D ．20【解答】解：当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含孤立元素，S 中无“孤立元素”的2个元素的子集A 为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个S 中无“孤立元素”的3个元素的子集A 为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个S 中无“孤立元素”的5个元素的子集A 为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的6个元素的子集A 为{0，1，2，3，4，5}，共1个故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个故选：D ．6．用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧⎪=⎨-<⎪⎩当当 ，若{1A =，2}，2{||1|1}B x x ax =++=，且*1A B =，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么()C S 等于()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：22|1|111x ax x ax ++=⇔++=或211x ax ++=-，即20x ax +=①或220x ax ++=②，{1A =，2}，且*1A B =，∴集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，1︒集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，0a ∴=；2︒集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即280a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =±综上所述0a =或a =±()3C S ∴=．故选：B ．7．在整数集Z 中，被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4；给出四个结论：（1）2015[0]∈；（2）3[3]-∈；（3）[0][1][2][3][4]Z =；（4）“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：201554030÷=⋯，2015[0]∴∈，故（1）正确；35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故（2）错误；整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =，故（3）正确；整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．故选：C ．8．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【解答】解：取集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}中任意两个元素m ni +和(p qi m+、n 、p 、)q Z ∈，则()()()()m ni p qi m p n q i S +++=+++∈；()()()()m ni p qi m p n q i S +-+=-+-∈；()()()()m ni p qi mp nq mq np i S +⋅+=-++∈；满足集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；①正确．当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x y =，得0S ∈，②正确对于集合{0}S =，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误取{0}S =，{0T =，1}，满足S T C ⊆⊆，但由于011-=-不属于T ，故T 不是封闭集，④错误．9．若集合{1n U =，2，3，，}n ，2n ，*n N ∈，A ，n B U ⊆，且满足集合A 中最大的数大于集合B 中最大的数，则称有序集合对(,)A B 为“兄弟集合对”．当3n =时，这样的“兄弟集合对”有对；当3n 时，这样的“兄弟集合对”有对（用含有n 的表达式作答）．【解答】解：当3n =时，{1n U =，2，3}，A 中的最大元素为2，则B 是{1}的非空子集，有1211-=个，此时A 有2个；A 中的最大元素为3，则B 是{1，2}的非空子集，有2213-=个，此时A 有4个；共有这样的“兄弟集合对”432114⨯+⨯=个，当3n 时，{1n U =，2，3，，}n ，当A 的最大元素为n ，此时A 有12n -个，B 是{1=，2，3，，1}n -的非空子集，有121n --个；当A 的最大元素为1n -，A 有22n -个，B 是{1=，2，3，，2}n -的非空子集，有221n --个；⋅⋅⋅当A 的最大元素为3，A 有22个，B 是{1=，2}的非空子集，有221-个；当A 的最大元素为2，A 有12个，B 是{1}=的非空子集，有121-个；故11223322112(21)2(21)2(21)2(21)2(21)n n n n n n -------+-+-+⋅⋅⋅+-+-22124222212122222222n n n n ----⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅+-+-123211231_)44444(2222n n n n ----=+++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅+114(14)2(12)1412n n ----=---124233n n =⨯-+．故答案为：14；124233n n ⨯-+．10．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则x b =，而b X +，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，令,x m n Q =∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222a m a b =-，222bn a b=--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x ==--，则120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则1(x a =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．11．设集合1{A r =，2r ，，}{1n r ⊆，2，3，，37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为【解答】解：设{5B =，10，15，20，25，30，35}，则card （B ）7=；可将A 集合分为4组：1{1A =，6，11，16，21，26，31，36}，则1()8card A =；2{2A =，7，12，17，22，27，32，37}，则2()8card A =；3{3A =，8，13，18，23，28，33}，则3()7card A =；4{4A =，9，14，19，24，29，34}，则4()7card A =．因为A 中的任何两个数之和不能被5整除，所以1A 和4A ，2A 和3A 中不能同时取数，且B 中最多取1个，所以最多的取法是取12A A 和B 中的一个元素，故card （A ）88117max =++=，故n 的最大值为17，故答案为：17．12．若使集合2(){|(6)(4)0A k x kx k x =--- ，}x Z ∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是(3,2)--，设B Z ⊆，对B 中的每一个元素x ，至少存在一个()A k ，有()x A k ∈，则B =．【解答】解：集合2{|(6)(4)0A x kx k x =--- ，}x Z ∈，方程2(6)(4)0kx k x ---=，0k ≠解得：16x k k=+，24x =，2(6)(4)0kx k x ∴--- ，x Z∈当0k =时，(A =-∞，4]；当0k >时，64k k <+，(A =-∞，64][k k+，)+∞；当0k <时，64k k +<，6[A k k=+，4]；∴当0k 时，集合A 的元素的个数无限；当0k <时，64k k +<，6[A k k =+，4]，集合A 的元素的个数有限，令函数6()g k k k=+，(0)k <则有：()g k - ，对于集合A ，[0，4]满足条件的元素只有0，1，2，3，4，只需6[k k+，0]包含的整数最小，题意要求x Z ∈，故只需65k k +>-，且64k k+- ，解得：32k -<<-，根据对()A k 的讨论，所以B Z =，故答案为：32k -<<-，B Z =．13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，b G ∈，都有a b G +∈；（2）存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）【解答】解：①对于任意非负整数a ，b 知道：a b +仍为非负整数，所以a b G ∈⊕；取0e =，及任意非负整数a ，则00a a a +=+=，因此G 对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a ，b 知道：a b +仍为偶数，故有a b G +∈；但是不存在e G ∈，使对一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，故②的G 不是“融洽集”．③对于{G =二次三项式}，若a 、b G ∈时，a ，b 的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G 不是和谐集，故③不正确；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，设1x a =+，2x c =+，则设12()(x x a c b d +=+++G ，取1e =，11a a a ⨯=⨯=，因此G 对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G 是“融洽集”．故答案为①④．14．设集合A R ∈，如果0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x A ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：①{|0}x Z x ∈≠；②{|0}x R x ∈≠；③1{|x x n =，*}n N ∈；④{|1nx x n =+，*}n N ∈其中以0为聚点的集合的序号是．【解答】解：（1）对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{|0}x x Z x ∈∈≠，都有0||0x x -=或者0||1x x - ，也就是说不可能00||0.5x x <-<，从而0不是{|0}x Z x ∈≠的聚点；（2）集合{|0}x R x ∈≠，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以），使得0||2ax a <=<，0∴是集合{|0}x R x ∈≠的聚点；（3）集合1{|x x n =，*}n N ∈中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a>，使10||x a n<=<，0∴是集合1{|x x n=，*}n N ∈的聚点；（4）中，集合{|1nx x n =+，*}n N ∈中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足得0||x a <<的x ，0∴不是集合{|1nx x n =+，*}n N ∈的聚点；故答案为：②③．15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2017[2]∈；②3[3]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确的结论序号有．【解答】解：①201754032÷=⋯，2017[2]∴∈，故①正确；②35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故②错误；③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，[0][1][2][3][4]Z ∴=，故③正确；④整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确．故答案为：①③④．17．设n 是正整数，集合{1M =，2，⋯，2}n ．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于41n +．【解答】解：考虑M 的2n +元子集{1P n =-，n ，1n +，⋯，2}n ，P 中任何4个不同元素之和不小于11242n n n n n -+++++=+，所以3k n + ，将M 的元配对为n 对，(,21)i B i n i =+-，1i n ，对M 的任一3n +元子集A ，必有三对1i B ，2i B ，3i B ，同属于(1A i ，2i ，3i 两两不同）又将M 的元配为1n -对，(,2)i C i n i =-，11i n - ，对M 的任一3n +元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与1i B ，2i B ，3i B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为21241n n n ++=+，故最小的正整数3k n =+．故答案为：41n +．18．定义集合运算：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，则集合A B ⊗的所有元素之和为．【解答】解：有题意：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，那么：当1x =时：2y =或4，可得:2z 、4，当2x =时：2y =或4，可得:4z 、8，故得z 的所有元素：2、4、8，即集合A B ⊗的所有元素为：2、4、8，元素之和为：24814++=．故答案为：14．19．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中：,)x a a b Q =+∈，则下列元素中属于集合M 的元素的是（填序号）．①0x =，②x =③3x =-，④x⑤x =+．【解答】解：①000x ==+，其中0a =，0b Q =∈，∴①满足条件．②01x ==+，其中0a =，1b Q =∈，∴②满足条件．③3x =-，其中3a Q =∈，但2b Q π=-∉，∴③不满足条件．④3x ===+，其中3a =，2b Q =∈，∴④满足条件⑤22440x =-+=+．其中4a =，0b Q =∈，∴⑤满足条件．故答案为：①②④⑤．20．如果非空数集A 满足：①0A ∉；②若x A ∀∈，有1A x∈，那么称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=；②2{|610}x x x -+ ；③2{|y y x=，[1x ∈，4]}；其中“互倒集”的是.（请在横线上写出所有正确答案的序号）【解答】解：对于①2{|10}x R x ax ∈++=，当3a =时，2{|10}x R x ax ∈++==∅，故不是互倒集；对于②2{|610}x x x -+ ；△364320=-=>，2{|610}x x x ∴-+ 是非空数集，且20{|610}x x x ∉-+ ，若21{|610}x x x x ∈-+ ，即211610x x -+ ，则221121116111(610x x x x x -+-+= ，故211{|610}x x x x ∈-+ ，故是互倒集；对于③2{|y y x =，[1x ∈，14]}[2=，2]，若11[2x ∈，2]，易知111[2x ∈，2]，故是互倒集；故答案为：②③．。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(54)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）A ．x|x ＝1}B ．x|x ﹣1＝0}C ．x ＝1}D ．1} 2．已知集合{(2)(2)0}M x x x x =+-=∣，则M =（ ） A ．{0,2}- B ．{0,2} C ．{0,2,2}-D ．{2,2}- 3．下列对象不能组成集合的是（ ） A ．不超过20的质数 B ．π的近似值C ．方程21x =的实数根D ．函数2,R y x x =∈的最小值 4．下列说法正确的是A ．0与的意义相同 B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 C ．集合是有限集 D ．方程的解集只有一个元素 5．下列关系中，正确的个数为 ①72∈R；②2∉Q ；③π∈Q；④|-3|∉N ；⑤4-∈Z.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．下列四个关系式中，正确的是． A ．{}a ∅∈B ．{}a a ∉C ．{}{},a a b ∈D ． 7．设{|1},A a a =<则（ ） A ．0A ⊆B ．{0}A ∈C ．{0}A ⊆D ．A ∅∈ 8．在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是A ．②B ．③C ．②③D ．①②③9．设集合A ＝x|﹣2＜x ＜4}，B ＝2，3，4，5}，则()R A B =（ ）A ．2}B ．4，5}C ．3，4}D ．2，3} 10．已知集合M ＝x∈N|4－x∈N}，则集合M 中元素个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号).①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.213∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤3Z -∉.正确的个数为______.3．下列四个说法中正确的个数是___________.①集合N 中最小数为1；②若a∈N，则-a ∉N ；③若a∈N，b∈N，则a+b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.4．定义集合A －B ＝x|x∈A，且x ∉B}，若集合A ＝x|2x ＋1>0}，集合B ＝x|23-x <0}，则集合A －B ＝____________.5．集合A=(x,y)|y=6-x 2,x∈N,y∈N},用列举法表示A 为_____.三、解答题1．已知函数f （x ）=2x -ax+b （a ，b∈R）.集合A=x|f （x ）-x=0}，B=x|f （x ）+ax=0}，若A=1，-3}，试用列举法表示集合B.2．用列举法表示下列集合：（1）6|,2x Z x Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭； （2）(x ，y)|y ＝3x ，x∈N 且1≤x<5}．3．用描述法表示下列集合：（1）正奇数集；（2）被3除余2的正整数的集合；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；（4）方程1x y -=-的所有解组成的集合．4．已知不等式2520ax x +->的解集是M ．（1）若2M ∈且3M ∉，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．5．把下列集合用适当方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）{|37}x N x ∈<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =∈≤≤；（5）{}2|320C x x x =-+=.参考答案一、单选题1．C解析：由集合的表示方法可选出答案.详解：通过观察得到：A ，B ，D 中的集合元素都是实数，而C 中集合的元素不是实数，是等式x ＝1；∴C 中的集合不同于另外3个集合．故选：C2．C解析：直接利用方程的解法化简求解.详解：因为集合{(2)(2)0}{2,0,2}M xx x x =+-==-∣， 故选：C3．B解析：根据集合的性质逐项判断.详解：不超过20的质数构成集合{2,3,5,7,11,13,17,19}；方程21x =的实数根构成集合{1,1}-；函数2,R y x x =∈的最小值构成集合{0}.而π的近似值标准不明确，不能组成集合.故选：B点睛：本题考查集合的概念，属于基础题.4．D详解：试题分析：0表示元素，0}表示集合，所以意义不同，故A 错误；B 中元素不满足集合的特征——确定性，故错误；C 选项中表示无限集，故也错误；D 中方程所以方程的解集只有一个元素.考点：1、集合的表示；2、集合的基本特征．5．C详解：72π是无理数，故③不正确；|-3|=3∈N，故④不正确；2Z =-∈，故⑤正确．综上①②⑤正确．选C ．6．D详解：试题分析：A 选项中集合和集合之间的连接符号不能是∈，故A 不对；B 选项中应该是{}a a ∈，故B 不对；C 选项集合与集合的关系，应是{}{},a a b ⊆，故C 不对；D 选项中因为集合{},a b 中由元素a ，故D 正确．考点：元素与集合关系的判断7．C解析：0A ∈,{}0A ⊆, A ∅⊆,选C.8．C解析： 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．对于一个元素，其要么属于集合，要么不属于这个集合，二者选一，不可不选.对于集合中任意两个元素，它们必不相等.9．B解析：首先根据补集的运算得到A R ，再根据交集的运算即可得出答案.详解：解：因为{}|24A x x =-<<，所以{|2R A x x =≤-或}4x ≥.所以(){}4,5R A B =故选：B.10．C解析：利用列举法确定集合M ，由此确定正确选项.详解：依题意,4x N x N ∈-∈，0,44x x =-=，符合，1,43x x =-=，符合，2,42x x =-=，符合，3,41x x =-=，符合，4,40x x =-=，符合，所以{}0,1,2,3,4M =，共有5个元素.故选：C二、填空题1．①④⑤解析：直接由集合中元素的确定性逐一核对五个命题得答案．详解：解：①不超过π的正整数的全体是确定的，能构成集合，∴选项①正确；②高一数学课本中的所有难题是不确定的，∴构不成集合，选项②不正确；③中国的大城市是不确定的，∴选项③不正确；④平方后等于自身的实数是0和1，确定，∴选项④正确；⑤高一（2）班中考500分以上的学生的全体是确定的，能构成集合，∴选项⑤正确． 故答案为：①④⑤．点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了集合中元素的特性，属于基础题．2．3解析：根据自然数集、整数集、有理数集、实数集的定义判断元素与集合关系即可.详解：对于①：R对于②：Q 为有理数集，13为无限循环小数，故为有理数，故②正确；对于③：N 为自然数集，0为自然数，故③正确；对于④：Q 为有理数集，π为无限不循环小数，故④错误；对于⑤：Z 为整数集，-3是整数，故⑤错误.故答案为：3点睛：本题考查元素与集合的关系，需熟记各个数集的定义及范围，属基础题.解析：直接由元素与集合的关系逐一判断即可.详解：①集合N 中最小数为0，故①错误；②若0∈N，则-0∈N ，故②错误；③若a∈N，b∈N，则a+b 的最小值为2，错误，当0a b 时，0a b +=；④所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性.故答案为：0个4．x|x≥2}解析：分别求出集合A,B 后，再根据所给的定义求解可得所求的集合．详解： 由题意得{}12102A x x x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭＋，2{|0}{|2}3x B x x x -=<=<， 所以1,2{|2}2A B x x x x x ⎧⎫-=-≥=≥⎨⎬⎩⎭且． 故答案为{|2}x x ≥．点睛：本题考查集合中的新运算问题，考查阅读理解和运算能力，解题的关键是读懂题意，然后再结合新运算进行解题，必要时要结合数轴进行求解．5．()()(){}0,6,1,5,2,2解析：分别令0,1,2x =，求得相应的y 的值，即可利用列举法求得集合A.详解：根据题意x 可能取的值为0,1,2，当0x =时,6y = ,符合题意；当1x =时,5y =,符合题意；当2x =时,2y =,符合题意， 故{(0,6),(1,5),(2,2)}A =.点睛：本题主要考查了集合的表示方法及其利用列举法表示集合，其中正确理解集合的表示方法是解答的关键.三、解答题1．解析：由题意可得f （1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，代入求出解析式，再解方程即可求解.：解答：A=1，-3}，∴f（1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，即1−a+b −1=b −a=0，（9+3a+b ）+3=3a+b+12=0，解得a=−3，b=−3.∴f（x ）+ax=2x +3x-3+（-3x ）=2x -3=0.∴B=2．（1）－4，－1，0，1，3，4，5，8}；（2）(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}． 解析：根据条件，求出集合的所有元素，然后列举法表示即可．详解：(1)因为6,2Z x Z x∈∈-，所以2x -是6的因数， 则21,2,3,6x -=，即x ＝1，3，4，0，－1，5，－4，8.所以原集合可用列举法表示为－4，－1，0，1，3，4，5，8}；(2)因为x∈N 且1≤x<5，所以x ＝1，2，3，4，其对应的y 的值分别为3，6，9，12.所以原集合可用列举法表示为(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}．3．(1) *{|2}1,x x n n =-∈N (2) {|3,2}x n x n =+∈N (3) {(,)|0}x y xy =(4) {(,)|1}x y x y -=- 解析：描述法表示集合即为(){}|x p x ,()p x 为元素的性质,根据这个概念写出集合即可 详解：解：（1）正奇数集可表示为*{|2}1,x x n n =-∈N ；（2）被3除余2的正整数集可表示为{|3,2}x n x n =+∈N ；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点(,)x y 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即0xy =,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(,)|0}x y xy =；（4）方程1x y -=-的解是满足方程的有序实数对(,)x y ,所以所有解组成的集合为{(,)|1}x y x y -=-点睛：本题考查描述法表示集合,考查数集与点集,属于基础题4．（1）132,.9a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 解析：（1）根据2M ∈且3M ∉知道2x = 满足不等式，3x =不满足不等式，解出即可得出答（2）根据1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭知道1,22是方程2520ax x +-=的两个根，利用韦达定理求出a 值，再带入不等式，解出不等式即可．详解：（1）23M M ∈⎧⎨∉⎩4809130a a +>⎧⇒⎨+≤⎩2139a a >-⎧⎪⇒⎨≤-⎪⎩1329a ⇒-<≤- 132,.9a ⎛⎤⇒∈-- ⎥⎝⎦ （2）∵1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ∴由韦达定理得15221222a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩解得2a =-∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 点睛：本题考查元素与集合的关系、一元二次不等式与一元二次等式的关系，属于基础题．5．（1）|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}；（2）{4,5,6}；（3）{}3,3-；（4）{}1,2；（5）{}1,2. 解析：根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出．详解：（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{2,4,6,8,10}=|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}．（2）{|37}x N x ∈<<={4,5,6}.（3）由29x =得3x =±，因此{}{}2|93,3A x x ===-. （4）由x ∈N ，且12x ≤≤，得1x =或2x =，因此{}{}|121,2B x N x =∈≤≤=.（5）由2320x x -+=得1x =或2x =，.因此{}{}2|3201,2C x x x =-+==.。
(完整)集合中的新定义题完美版
培优专题1新定义集合与抽象集合归类所谓“新定义集合”，就是在现有的运算法则和运算规律的基础上，定义一种新的运算。
“抽象集合"只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。
由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意,突出学生数学素质的考查,特别能够考查学生“现场做题"的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现，甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中,例如2008年福建：数域的判断,2006年四川：融洽集判断.下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性.【题型1】新运算问题【例1】定义集合A 与B 的运算：{|A B x x A =∈或,}x B x A B ∈∉⋂，已知集合{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,7A B ==，则()A B B =( ){}.1,2,3,4,5,6,7A {}.1,2,3,4B {}.1,2C {}.3,4,5,6,7D【例2】设,M P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈∉,则()M M P --等于( ）.A P .B M P ⋂ .C M P ⋃ .D M【题型2】元素或集合的个数问题【例3】设{}{}3,4,5,4,5,6,7P Q ==，定义P ※{}(,)|,Q a b a P b Q =∈∈，则P ※Q 中元素的个数为（ ）.3A .4B .7C .12D【例4】设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈∉。
已知{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==,则集合A B -的子集个数为（ ）.1A .2B .3C .4D【题型3】元素的和问题【例5】定义集合,A B 的一种运算:{}1212|,,A B x x x x x A x B *==+∈∈，若{}{}1,2,3,1,2A B ==,则A B *中的所有元素之和为（ ).9A .14B .18C .21D【例6】对集合{}1,2,3,,2001A =及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和"如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。
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集合中的定义新运算（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.设集合，，如果把b-a叫做集合
的“长度”，那么集合的“长度”是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
2.若集合S满足对任意的，有，则称集合S为“闭集”，下列集合不是“闭集”的是( )
A.自然数集
B.整数集
C.有理数集
D.实数集
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
3.设和是两个集合，定义集合，如果
，，那么( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
4.对于集合A，B，规定，则( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
5.定义，设集合，，则集合的所有元素之和为( )
A.3
B.0
C.6
D.-2
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
6.设集合，集合，定义
，则的元素个数为( )
A.4
B.7
C.10
D.12
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
7.设集合，在上定义运算为：，其中，
．那么满足条件的有序数对
共有( )个．
A.12
B.8
C.6
D.4
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，则A的所有子集中，“孤立元”仅有1个的集合共有( )个．
A.10
B.11
C.12
D.13
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集．已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为，则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
10.对于集合M，定义函数，对于两个集合M，N，定义集合
．已知，，下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合。