2020届高三第一轮复习讲义【22】-数列综合1

2020届高三第一轮复习讲义【22】-数列综合1（参数范围问题）一、同步知识梳理 1、数列求单调性；令()n f a n =，若()()01>-+n f n f ，则{}n a 递增；()()01<-+n f n f ，递减； 同理，已知0>n a ，令()n f a n =，若()()11>+n f n f ，则{}n a 递增；()()11<+n f n f ，递减； 2、数列凸凹性； 若221+++≥n n n a a a ，则{}n a 称之为上凸数列；若221+++≤n n n a a a ，则{}n a 称之为下凸数列； 上凸数列满足：()*+-∈<<≥≥≥≤≤≤≤N k n k a a a a a a n k k k ,11121ΛΛ，则k a 为最大值； 下凸数列满足：()*+-∈<<≤≤≤≥≥≥≥N k n k a a a a a a n k k k ,11121ΛΛ，则k a 为最小值；3、数列周期性；对于数列{}n a ，如果存在一个常数T （*T N ∈），使得对任意的正整数0n n >，恒有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。

若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n ≥，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质： ①周期数列是无穷数列，其值域是有限集；②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；③如果T 是数列{}n a 的周期，则对于任意的*k N ∈，kT 也是数列{}n a 的周期；④如果T 是数列{}n a 的最小正周期，M 是数列{}n a 的任一周期，则必有|T M ，即M kT =，*k N ∈；⑤已知数列{}n a 满足n t n a a +=（,*n t N ∈，t 为常数），,n n S T 分别为{}n a 的前n 项的和与积，若n qt r =+，0r t ≤<，,*q r N ∈，则n t r S qS S =+，()q n t r T T T =；常见形式：可参照函数周期性进行类比！ 例如：)(11)(x f a x f -=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. 则数列：nk n a a 11-=+，则{}n a 是以k T 3=为周期的周期数列；二、同步例题精讲！例1、已知数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2），首项31=a ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）数列{}n b 满足n a b n n 3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为nT ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．解析：（1）数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2）∴nn n a a 331=--，∵03≠n ，∴13311=---n n n n a a 为常数， ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3是等差数列，首项为131=a ，公差为1 n a n n =3，∴nn n a 3⋅= )(*∈N n （2）23413233343(1)33n nn S n n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L2345133233343(1)33n n n S n n +=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L 234112333333n n n S n -+-=+++++-⋅L1133322n n n S n ++=⋅-+ （3）数列{}n b 满足na b n n3log =，则n b nn ==3log 3，11n n b b +=111(1)1n n n n =-++因此有： 1111111(1)()()()223341n T n n =-+-+-++-+L =111+-n ∴由题知△ABC中，1sin cos sin 22n A A A =>恒成立，而对于任意n N *∈，1n T <成立，所以1sin 22A ≥即232sin ≥A ，又),0(π∈A ，即)2,0(2π∈A ∴3223ππ≤≤A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππA ．例2、已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ． （1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （3）设12111n nS a a a =+++L ，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a baS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．解析（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②，由②可得，11++=n n n b b a ③，将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ， 即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列．（2）设数列{}nb 的公差为d ，由101=a ，152=a，得2251=b ，182=b ， 所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， 所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ，2)4)(3(++=n n a n ． （3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， 所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立，令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. 故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞.例3、已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n b a f a =+，当k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值； （3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．解：(1) 证：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+，∴22n n a k +=∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. ∵常数0k >且1k ≠，∴2k 为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列.(2)当k =112n n a += , ()2n+2n f a =，所以2111122411423122212n n n n S n n n +⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+=++-- 因为1n ≥,所以，2111322n n n +++-是递增数列，因而最小值为1111513244S =++-=。

(3) 由(1)知，22lg (22)lg n n n n c a a n kk +==+⋅，要使1n n c c +<对一切*n ∈N 成立， 即2(1)lg (2)lg n k n k k +<+⋅⋅对一切*n ∈N 成立. 当1k >时，lg 0k >，21(2)n n k +<+对一切*n ∈N 恒成立； 当01k <<时，lg 0k <，21(2)n n k +>+对一切*n ∈N 恒成立，只需2min 12n k n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭， ∵11122n n n +=-++单调递增， ∴当1n =时，min 1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭.∴223k <，且01k <<，∴0k <<综上所述，存在实数(1,)k ∈+∞U 满足条件.例4、已知函数xx x f -=12log )(2，),(111y x P 、),(222y x P 是)(x f 图像上两点． (1)若121=+x x ，求证：21y y +为定值； (2)设⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n f n f T n 121Λ，其中*N n ∈且2≥n ，求n T 关于n 的解析式； (3)对（2）中的n T ，设数列{}n a 满足21=a ，当2≥n 时，24+=n n T a ，问是否存在角a ，使不等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211111aa …12sin 11+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n an α对一切*N n ∈都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：1）当121=+x x 时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅-=-+-=+=+2211222211221211212log 12log 12log )()(x x x x x x x x x f x f y y12log 2log 212212===x x x x ，所以21y y +为定值1． （2）由（1）得，1=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛n k n f n k f （1=k ，2，…，1-n ）， 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n n f n f n f T n 1221Λ，又 ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f n f n n f n n f T n 1221Λ，于是1)1(2⨯-=n T n ，所以21-=n T n （*N n ∈，2≥n ）．（3）由已知，n a n 2=，*N n ∈．由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211111a a …12sin 11+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a n α，得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+21111112a a n …αsin 11<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n a ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=21111112)(a a n n f …⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n a 11，则由题意可得0)(>n f ，于是121132111111121111111132)()1(121121+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++n a n a a a n a a a a n n f n f n n n n ΛΛ1484384)22()12)(32(2212)(32(12221132222<++++=+++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=n n n n n n n n n n n n n ， 所以)()1(n f n f <+，即)(n f 随着n 的增大而减小．所以当*N n ∈时，)(n f 的最大值为23)1(=f ， 若存在角α满足要求，则必须23sin >α． 所以角α的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛++322,32ππππk k ，（Z k ∈）三、同步课堂练习1、设二次函数)()4()(2R k kxx k x f ∈+-=，对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+.（1） 求函数)(x f 的解析式和值域；（2） 试写出一个区间),(b a ，使得当),(1b a a ∈时，数列}{n a 在这个区间上是递增数列，并说明理由； （3） 已知311=a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *∈，都有 ()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(131n n +-+--λ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.2、已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41 被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()a a g a f a n N n n n n +-+=∈10*（1）求函数f x ()的解析式； （2）求数列{}a n 的通项公式；（3）设()()b f a g a n n n =-+31，求数列{}b n 的最值及相应的n3、设数列{}n x 满足0>n x 且1≠n x ()n N *∈，前n 项和为n S ．已知点),(111S x P ，),(222S x P ，…，(),n n n P x S 都在直线b kx y +=上(其中常数b 、k 且0≠k ，1≠k ，0≠b )，又n n x y 21log =． （1）求证：数列{}n x 是等比数列； （2）若n y n 318-=，求实数k ，b 的值；（3）如果存在t 、∈s n *N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上．问是否存在正整数M ，当M n >时，1>n x 恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由．4、对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数t 的取值范围.四、回顾与总结1. 数列本就是特殊的函数，在做好基础求和与求通项的前提下，多利用函数的思想来处理数列的最值问题，参数范围问题；2. 注意对n 的整数限制，注意对n 的奇数、偶数讨论；3. 在处理最值问题时，要学会说理和检验；4. 在求范围问题时，要学会参变分离；五、课后练习及巩固1、已知定义在*N 上的函数)(x f ，对任意正整数1n 、2n ，都有1212()1()()f n n f n f n +=++，且(1)1f =. （1）若对任意正整数n ，有(2)1nn a f =+，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列；（2）若对任意正整数n ，()f n 使得不等式2()3log (1)28n f n x <+恒成立，求实数x 的取值范围．2、已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（1）当2=c 时，求n a ； （2）当1=c 时，求2014a 的值；（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．3、已知等差数列满足，． （1）求的通项公式；（2）若，数列满足关系式求证：数列的通项公式为；（3）设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围．}{n a 73=a 2675=+a a }{n a 222+=n a n m }{n b ⎩⎨⎧≥+==-,2,,1,11n m b n b n n }{n b 12-=nn b }{n b n n S n 22)()2()1(1<⋅++++⋅-+n n p n n S n p。