高三数列综合专题复习

高三数列综合专题复习 班级 姓名 探究点3 数列与函数、不等式的综合问题1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 3a n ＋1，T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求T 2011的值．2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，k ，m ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．3. [2011·惠州一模] 已知f (x )＝log m x (m 为常数，m >0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝a n lg a n ，问是否存在实数m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围．[思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式，利用函数f (x )的解析式，可得{a n }的通项公式，再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列；(2)由数列{b n }的通项公式，知符合错位相减法求和；(3)由条件得不等式c n －1<c n ，分类讨论，化归为不等式恒成立问题求解．4.已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a +++=+++． （1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．5.已知曲线C ：440xy x -+=，数列{}n a 的首项14a =，且当2n ≥时,点1(,)n n a a -恒在曲线C 上，数列{}n b 满足12n nb a =-.（1）试判断数列{}n b 是否是等差数列？并说明理由；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n c 满足21n n n a b c =，试比较数列{}n c 的前n 项和n S 与2的大小.6.已知函数)(x f 满足：对任意的0,≠∈x R x ，恒有x xf =)1(成立，数列}{}{n n b a 、满足1,111==b a ，且对任意+∈N n ，均有.1,2)()(11nn n n n n n a b b a f a f a a =-+=++ ( I )求函数)(x f 的解析式; ( II )求数列}{}{n n b a 、的通项公式;(III)对于]1,0[∈λ，是否存在+∈N k ，使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由.探究点4 数列与导数、解析几何、不等式的综合问题1.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 .2. [2011·陕西卷] 如图,从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.现从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.[点评] 数列与解析几何的综合问题，往往是数列的某几项或数列的通项作为曲线上的点的坐标来建立关系，或者是含数列通项的点在曲线的切线上，这样就会把导数综合在一起．因此此类问题一般是数列的递推关系问题．3.已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n (n ∈N *) 均在函数)(x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ；4.已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为1(,0)n x +(*)n N ∈，其中1x 为正实数．（Ⅰ）用n x 表示1n x +； （Ⅱ）若14x =，记2lg 2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；5.已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程以()0f x =的两个根(α>β)，()f x '是()f x 的导数.设11()1,(1,2,3,)()n n n n f a a a a n f a +==-='.(1)求α、β的值； (2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln (1,2,3,)n n n a b n a βα-==-求数列{n b }的前n 项和Sn ．6.已知函数()x x x f -+=1ln )(，证明：()x x x ≤+≤+-1ln 1117.已知n 为正整数，曲线n n n n n L y x P nx y C 处的切线在其上一点),(:=总经过定点(1-,0)(1)求证点列：n P P P ,,,21 在同一直线上（2）若记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)++ f(n)=∑=n k i i f )(,其中k, n 为正整数且k ≤n 求证：∑=++<<+n i i n y n 121)1ln(1)1ln( (n *N ∈)探究点3 数列与函数、不等式的综合问题1.[解答] (1)由题意得a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)， 所以当n ≥2时，{a n }是等比数列．要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而t ＝1. (2)由(1)得知a n ＝3n －1，b n ＝log 3a n ＋1＝n ， 1b n ·b n ＋1＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1， T 2011＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2011b 2012＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12011－12012＝20112012.2.[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝k k ＋1. 所以⎝⎛⎭⎫m m ＋12＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1. 以下给出求m ，k 的三种方法：方法一：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0. 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．方法二：因为k >m ，所以k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1>m .即2m m 2－2m －1＋1<0，即m 2－1m 2－2m －1<0. 解得－1<m <1－2或1<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．方法三：因为k >m ≥2，所以k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1>2. 即m 2m 2－2m －1＋1<0，即2m 2－2m －1m 2－2m －1<0. 解得1－2<m <1－32或1＋32<m <1＋2， 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2、k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．3.[解答] (1)由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2，即log m a n ＝2n ＋2，∴a n ＝m 2n ＋2. ∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2. ∵m >0且m ≠1，∴m 2为非零常数，∴数列{a n }是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列．(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝m 2n ＋2log m m 2n ＋2＝(2n ＋2)·m 2n ＋2， 当m ＝2时，b n ＝(2n ＋2)·2n ＋1＝(n ＋1)·2n ＋2. ∴S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，① ①式乘以2，得2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3.② ②－①并整理，得S n ＝－2·23－24－25－26－…－2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23－[23＋24＋25＋…＋2n ＋2]＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23－23[1－2n ]1－2＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23＋23(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝n ·2n ＋3. (3)由题意c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·m 2n ＋2lg m ， 要使c n －1<c n 对一切n ≥2成立，即n lg m <(n ＋1)·m 2·lg m 对一切n ≥2成立，①当m >1时，有lg m >0，则n <(n ＋1)m 2对n ≥2成立； ②当0<m <1时，有lg m <0，则n >(n ＋1)m 2， ∴n >m 21－m 2对一切n ≥2成立，只需2>m 21－m 2，解得－63<m <63，考虑到0<m <1，∴0<m <63. 综上，当0<m <63或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项． 4.（1）解：当1n =时，有3211a a =，由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有()2331212a a a a +=+，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =． （2）解：由于()23331212n n a a a a a a +++=+++， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+． 所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．（3）解：由（2）知n a n =，则()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．所以13243511211111n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．∵()()11013n n S S n n +-=>++，∴数列{}n S 单调递增．所以()1min 13n S S ==． 要使不等式()1log 13n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要()11log 133a a >-．∵10a ->，∴01a <<．∴1a a ->，即102a <<．所以，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.解：（1）∵当2n ≥时,点1(,)n n a a -恒在曲线C 上∴11440n n n a a a ---+=-----------------------------------------------1分 由12n nb a =-得当2n ≥时，111122n n n n b b a a ---=---111422n n n n n n a a a a a a ----=--+11142244n n n n n a a a a a ----=--+-111222n n n n a a a a ---==--+----5分∴数列{}n b 是公差为12-的等差数列.-------------------------------------------------------6分 （2）∵1a ＝4，∴111122b a ==-- ∴111(1)()222n b n n =-+-⨯-=------------------------------------8分由12n n b a =-得1222n n a b n=-=+-----------------------------------------------10分 （3）∵21n n n a b c = ∴212(1)n n n c a b n n ==+＝112()1n n -+----------------------12分 ∴12n n S c c c =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+12(1)21n =-<+-----14分 6.解：( I )由x x f =)1(易得)0(,1)(≠=x x x f ----------------------------------------------2分( II )由2)()(1+=+n n n n a f a f a a 得21)(2111+=+=+nn n n n a a f a a a ，所以2111=-+n n a a .所以数列}1{na 是以1为首项，2为公差的等差数列所以12)1(211-=-+=n n a n ，得+∈-=N n n a n ,121.---5分因为.1211-==-+n a b b nn n 所以 113)52()32()()()(112211+++⋅⋅⋅+-+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n b b b b b b b b n n n n n 2212)22)(1(2+-=+--=n n n n .- (III)对于]1,0[∈λ时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，等价于]1,0[∈λ时，⋅-≥+-)1(222λn n)12(-n 恒成立，等价于]1,0[∈λ时，034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立，设034)12()(2≥+-+-=n n n g λλ，对于]1,0[∈λ，034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立， 10分则有⎩⎨⎧≥≥,0)1(,0)0(g g 解得3≥n 或1≤n --------------------------------------13分由此可见存在+∈N k 使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，其最小值为3. 14分探究点4 数列与导数、解析几何、不等式的综合问题2.[解答] (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x 得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k－1(x －x k －1)，由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)， 所以|P k Q k |＝e xk ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e－(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1.3.（Ⅰ）依题设)0()(2≠+=a bx ax x f ，由b ax x f +=2)('又由26)('-=x x f 得3=a ,2-=b ,∴xx x f 23)(2-=，所以nn S n 232-=，当2≥n 时=-=-1n n n S S a56)]1(2)1(3[)23(22-=-----n n n n n ，当1=n 时，51611213211-⨯==⨯-⨯==S a 也符合，∴)(56*N n n a n ∈-=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得)161561(21]5)1(6)[56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n ， ∴)1611(21)]161561()13171()711[(211+-=+--++-+-==∑=n n n b T ni i n ， ∴要使)(20)1611(21*N n m n ∈<+-恒成立，只要20)]1611(21[max mn <+-， 又∵21)1611(21<+-n ，∴只要2021m ≤，即10≥m ，∴m 的最小整数为10． 4.（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-． 即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+． （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=． 故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg 2lg32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg32n n n x x -+=-．从而12232n n n x x -+=-所以11222(31)31n n n x --+=- 5.解:(1) 由 210x x +-=得x =α∴β= (2) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(22221111n n n n n nn n n a a a a a a a a ββαα+++⎛+ ⎛⎫--=== ⎪--⎝⎭∴ 12n n b b += 又111l na b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为 公比为2的等比数列;∴)()12242112n n n S -==--7.解：（1）设切线L n 的斜率为k n ，由切线过点)0,1(-得切线方程为y=k n (x+1)则方程组⎩⎨⎧≥=+=)0()1(2y nx y x k y n 有解⎩⎨⎧==n ny y x x ， ……1分由方程组用代入法消去y 化简得 0)2(2222=+-+n n n k x n k x k （*）有4044)2(2222222nk n nk k k n k n n n n n =∴=+-=⋅--=∆ ………2分 代入方程(*),得01204)42(422=+-=+-⋅+x x nx n n x n 即 n nx y x x n n n ====∴,11即有即n P P P ,,,21 在同一直线x=1上 …………………4分(2) 解：由（1）可知 iy i f n y in 11)( 2==∴=………5分 设函数 F(x)=0)0(),,1(),1ln(=+∞-∈+-F x x x 有分时有有最小值即恒成立时有即当时有当恒成立时有即当时有当上为增函数在上是减函数在时当时当.8.......... .)0()(0),0()( )1ln(010)0()(01 . )1ln(100)0()(10),0()0,1()(0)('0;0)(',011111111)('F x F x F x F x x x F x F x x x x F x F x ，x F x ，F x x F x x x x x x x F >≠+><<-=><<-+><<=><<∴+∞-∴>><<<-∴+=+-+=+-=∴分即有取.....11).1ln(]ln )1[ln()2ln 3(ln 2ln 121111)(ln )1ln(1)(,,2ln 3ln )211ln(21)2(,2ln 11)1(ln )1ln()11ln(1)(),,,3,2,1(1)11+=-+++-+>+++==∴-+>=-=+>=>=-+=+>===∑∑==n n n n i i f nn nn f f f i i ii i f n i i x i ni n i1)1ln(1ln )]1ln([ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln 1121111)( )1ln(ln 1)(,,2ln 3ln 31)3(,1ln 2ln 21)2(,111)1()1ln(ln 1ln )1ln()11ln(1),,,3,2(1)11++<+=--++-+-+≤+++==∴--<=-<=-<===--<∴--=->-=-=∑∑==n n n n n ii f n n nn f f f f i i i i i i i n i i x ii ni n i 即有有再取综合上述有∑=++<<+nin yn 121)1ln(1)1ln( …………………14分。