图的连通度问题

图的连通度问题研究
1．图的连通度的定义
图要么是连通的，要么是不连通的。

但对于任意连通图来说，它们的连通程度也可能是不同的。

为了精确地体现连通的程度，下面将引入两个概念：边连通度和顶点连通度。

设G = (V, E)是一个n阶图。

如果G是完全图K n，那么我们定义它的顶点连通度为
κ(K n) = n– 1
否则，定义它的顶点连通度为
κ(G) = min{|U| : G v-u是非连通的}
即最小顶点数，删除这些顶点便是非连通图。

图G的边连通度定义为从图G中删除边而使G非连通的最小边数，用λ(G)表示。

这里的图G=(V, E)代表无向图或有向图，且没有自环和重边。

下面将主要讨论无向图的边连通度，有向图的边连通度和顶点连通图可以以此类推。

2．无向图的边连通度
在无向图G中，令顶点v的度数deg(v)表示与顶点v相连的边的数目。

无向图G的最小度δ(G)定义为：δ(G) = min{deg(v) | v属于G}。

考虑有向图G中，v 的入度表示为in-deg(v)，v的出度表示为out-deg(v)，相应的最小度为：δ(G) = min{in-deg(v), out-deg(v)| v属于G}。

在整篇文章中，图的点数用n表示，边数用m表示。

另u和v表示图G中的一对不相同的点。

定义λ(u, v)表示从图G中删除最少的边，使得u和v之间不存在任何路径。

在有向图G中，λ(u, v)表示从G中删除最少的弧(有向边)，使得不存在任何从u到v的有向路径。

注意到，在无向图中，有λ(u, v) =λ(v, u)，在有向图中却不符合这个等式。

显然，λ(u, v)就是图中u和v的最小割。

求两点之间的最小割，根据最大流
最小割定理，可以用最大流算法求解：令u为网络的源点，v为网络的汇点，每条边的容量为1，u到v的最大流便是u和v之间的最小割。

预流推进算法可以在O(nm)时间复杂度下求出最大流。

另外，每条边的容量都为1，可以用Hoproft
算法在)
O的时间复杂度下求出单位容量网络的最大流。

具体算法的实现不在本文讨论范围之内，这里不再赘述。

显然，图G的λ(G)即所有点对的λ(u, v)的最小值。

对于有n个点的无向图中，有n(n-1)/2个无序点对需要计算，而在有向图中有n(n-1)个有序点对需要计算。

然而，经过证明，计算λ(G)，远远不需要枚举这么多点对计算λ(u, v)。

考虑如下一个连通图G的抽象图，令S为图G中的一个最小边割集。

图1
在图1中，L和R分别表示被S分割开的两个点集，不妨叫L位于S的左侧，R位于S的右侧。

注意到，u为位于S一侧的任意一个顶点，那么至少存在一个顶点v在S的另一侧，使得λ(u, v) =λ(G)。

因此可以按如下方法求出λ(G)：算法1
输入图G = (V, E)
1．令u为V中任意一个顶点，令X = V– {u}。

2．枚举X中的所有点v，用网络流求出λ(u, v)。

3．则λ(G) min{λ(u, v) | v X
}。

继续观察图1，如果能找到一个集合Y，满足Y既包含L中的点又包含R中的点，即Y∩L≠ Ø 且Y∩R≠ Ø，那么就能把算法一第一步中的V替换成Y，仍能求得正确的λ(G)。

这样一个集合Y，叫做图G的λ覆盖(λ– covering)。

显然，T越小，需要求网络流的次数越少。

下面的分析将得到一个新的算法。

定理1：
如果λ(G) < δ(G) 那么有|L| > δ且|R| > δ (δ = δ(G))
证明：
设L = {v1, v2, …,v k}，显然有
deg(v1) + deg(v2)+…+deg(v k) >= k·δ(1)
同样有
deg(v1)+deg(v2)+…+deg(v k) = 2|E(<L>)| + |S| (2)
这里，|E(<L>)|表示点集L包含的所有边的集合。

(1)(2)两式的等号成立，当且仅当是完全图的情况。

因此联合(1),(2)两式可以得到δ·k≤k(k– 1) + |S|。

因为|S|=λ(G) < δ(G)，所以有δ·k < k(k– 1) + δ。

又因为L > 1即k >1(否则λ(G) = δ(G))，所以不等式两边同除以(k – 1)，得到k > δ，即有|L| > δ 。

同理可以证明|R| >δ。

根据定理1，可以得到下面的一些推论：
推论1 ：
当λ(G) < δ(G)时，那么L中至少存在一个点与S中的边不直接相连，R也同样。

推论1显然成立，否则|L| = δ。

推论1也说明在这个情况下，图的直径大于等于3。

推论2 ：
T为G的一个生成树，Y是T的非叶子顶点集合。

如果λ(G) < δ(G)，那么Y 是G的一个λ覆盖，也就是说L，R中至少有一个点在Y中。

分析：若L中顶点都是Y中的叶子顶点，那么就有|L| = |S| = δ，矛盾。

由推论2可以得到算法2：
算法2：
1．找到一棵生成树T，Y是T的非叶子顶点集合。

2．任选一个u，X = Y /{u}。

3．对于所有v属于X，求出λ(u, v)。

4．{}X v v u c ∈=|),(min λ
5．λ(G ) = min{c , δ(G )}
容易证明算法2的正确性：如果λ(G ) < δ(G )，那么Y 是G 的一个λ覆盖，则c 便是λ(G )；否则λ(G ) = δ(G )，步骤5将得到正确答案。

然而，求一个叶子顶点最少的生成树是NP-难问题。

因此算法2比较算法1的优势是，仅仅减少了λ(u , v )的计算量，而并没有降低时间复杂度的级别。

下面介绍一种另一种求解较小的λ覆盖方法，也是基于生成树的。

注意到推论2的证明也说明了当λ(G ) < δ(G )，L 或R 集合不可能只包含生成树的叶子顶点。

也就是说在λ(G ) < δ(G )的情况下，令Y 为生成树T 的非叶子顶点集合，那么Y 和V (T )都是图G 的一个λ覆盖。

下面的算法中，对于G 中的任意顶点u ，I (u )所有与u 相邻的边的集合，A (u )表示所有与u 相邻的顶点集合。

算法3 输入：图G
输出：生成树H (V , E ) 1．令V (H ) ← Ø，E (H ) ← Ø。

2．任选一个顶点，V (H ) ←)(}{u A u ⋃，E (H ) ←I (u )。

3．选择H 中的一个叶子结点w ，对于所有H 中的叶子结点r ，满足
|))()(()(||))()(()(|H V G V r A H V G V w A -⋂≥-⋂。

4．对于所有))()(()(H V G V w A v -⋂∈，把v 加入V (H )，把边wv 加入E (H )。

5．如果|E (H )| < |V (H )| - 1，那么转第3步，否则算法终止。

算法3是用贪心的方法生成叶子结点尽量多的生成树。

由此可以得到求λ(G )
的另一个算法：
算法4：
1．用算法3找到一棵生成树H ，Y 是H 的非叶子顶点集合。

2．任选一个u ，若|Y | < |V (H ) – Y |，则X = Y /{u }，否则X = (V (H ) – Y )/{u } 3．对于所有v 属于X ，求出λ(u , v )。

4．{}X v v u c ∈=|),(min λ
5．λ(G) = min{c, δ(G)}
根据算法第2步可以知道，算法4最多进行n / 2次网络流求解λ(u, v)。

还可以利用定理1和支配集改善了边连通度的算法。

在图G=(V, E)中，集合
D∈叫做支配集，当且仅当对于V中的任意点u，要么u属于D，要么和G中V
的一个顶点相邻。

推论3
设D为G的一个支配集，当λ(G) <δ(G)，那么D是G的一个λ覆盖，也就
是说L，R中至少有一个点在D中。

因为根据推论1可以知道，当λ(G) <δ(G)时，L和R中至少存在一个点与S
中的边不直接相连，因此若D只属于L或R，那么另一侧集合中至少有一个顶
点不被支配。

因此可以用贪心的方法求出极小支配集，然后利用与算法2类似的方法求出
边连通度。

根据均摊计算D中的每个顶点的λ(u,v)的复杂度，Matual能够将求
解λ(G)总的时间复杂度降到O(nm)。

具体的实现和证明方法，由于缺乏资料，所
以这里不能够提供，有兴趣的读者请上网寻找Matual的论文（我没有找到 ）。

三、图的连通度的一些研究成果
四、总结
大部分关于图连通度的算法都是几乎基于网络流的。

算法4和支配集的算法，经过实践，对于n < 500的随机数据都很快。

但存在一些极端情况：如非叶子结点个数为n/2的树等等。

如果在实践过程利用增广路算法求解λ(u, v)，将会比预流推进算法更好，因为总是求λ(u, v)的最小值，所以可以利用δ(G)和已求出的λ(u, v)进行限界，而且可以避免某些极端情况。

很可惜的是，没有能在网络上找到Matula目前最优算法的论文。

参考文献
《On the Evolution of Graph Connectivity Algorithms》Abdol–Hossein Esfahanian。