专题2 第5讲万有引力定律及其应用

(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T。
2 2 3 Mm 4 4 r 由G 可得出 M m r r2 T2 GT 2
若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径 r=R，则
M 4 3 R 3 3 。 2 GT
【变式训练】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗
【解析】选B、C。绕地球运行的飞船和“天宫一号”的速度小 于第一宇宙速度，选项A错；如不加干预，在运行一段时间后， 空气阻力对“天宫一号”做负功,“天宫一号”速率减小而做 向心运动，高度将缓慢降低，万有引力又会对“天宫一号”做 正功而使其动能可能会增加，故选项B、C对；航天员在“天宫
一号”中处于失重状态是因为其重力提供向心力，并不是不受
a1 r2 2 ＝ 2 ， 选项C正确；角速度之 选项B正确；向心加速度之比 a 2 r1
比
1 T2 ＝ ， 选项D正确。故选A。 2 T1
【总结提升】人造卫星运动规律分析 (1)在讨论有关卫星的运动规律时，关键要明确向心力、轨道 半径、线速度、角速度、周期和向心加速度，彼此影响、互 相联系，只要其中一个量确定了，其他的量也就不变了；只
的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是(
)
A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和 第二宇宙速度之间 B.如不加干预，在运行一段时间后，“天宫一号”的动能可能 会增加 C.如不加干预，“天宫一号”的轨道高度将缓慢降低 D.航天员在“天宫一号”中处于失重状态，说明航天员不受地
球引力作用
要一个量发生了变化，其他的量也随之变化。
(2)不管是定性分析还是定量计算，必须抓住卫星运动的特点。 万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，由方程
Mm v2 42 2 求出相应物理量的表达式即 G 2 m m r m 2 r ma， r r T
可讨论或求解，需要注意的是a、v、ω、T均与卫星质量无关。
4.7
103× 25 kg/m3＝2.98×104 kg/m3，选项D正确。
4.7
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人造卫星问题
【典例2】(2013· 抚顺一模)据报道， 我国自主研制的“嫦娥二号”卫星在 奔月的旅途中，先后完成了一系列高
难度的技术动作，在其环月飞行的高
度距离月球表面100 km时开始全面工 作。国际上还没有分辨率优于10米的 全月球立体图像，而“嫦娥二号”立体相机具有的这种高精度 拍摄能力，有助于人们对月球表面了解得更清楚，所探测到的
m1 m2
42 r1 r2 GT 2
3
，即T 2
42 r1 r2
3
G m1 m2
因此，当两星总质量 ，
变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的 n倍时，两星圆周
运动的周期为T′=
n3 T，选项B正确。 k
3.(多选)(2013·新课标全国卷Ⅰ)2012年6月18日，“神舟九 号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km的近圆形 轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处
(2)同步卫星。
等于地球的自转周期 。 ①运行周期：___________________ 赤道 共面，所有同步卫星高度_____ 相同 。 ②运行轨道：与_____
1.(2012·新课标全国卷)假设地球是一半径为R、质量分布均 匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内 物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比 为(
比可求，轨道半径r已知，故能求出卫星绕月球、月球绕地球
做圆周运动的线速度之比；由 2 可知能求出卫星绕月球、
T
月球绕地球做圆周运动的角速度之比。
【总结提升】估算中心天体的质量和密度的两条思路 (1)测出中心天体表面的重力加速度g。由 G Mm mg 求出M，
R2
进而求得
M M 3g 。 V 4 R 3 4GR 3
【变式训练】(2013·广东高考)如图，甲、乙两颗卫星以相同 的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列 说法正确的是( )
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
【解析】选A。甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速 圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。由牛 顿第二定律 G mM ma m 4 r m2 r m v ， 可得 a GM ， 2 2 2
地球引力作用，所以选项D错。
4.(多选)(2013·新课标全国卷Ⅱ)目前，在地球周围有许多人
造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且 轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只 受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是 ( A.卫星的动能逐渐减小 B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小 )
M 月m
RM H
R 02
2
m
4 2 R M H 。 TM 2
M地M月 4 2 R 0 。 b.对月球： G M
月
TE 2
【解析】选C。卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心 力是由它们之间的万有引力提供的，由牛顿第二定律及万有引 力定律得，对卫星 G
M月m 4 2 R M H TM 2
r2
2 3 Mm 4 r (3)由 G 得T= 2 ，则r越大，T_____ 越大 。 m 2 r， 2 r T GM Mm (4)由 G 2 ma n， 得an= GM ，则r越大，an_____ 越小 。 2 r r
2.近地卫星与同步卫星： 第一宇宙速度 ，是卫星绕 (1)近地卫星：近地卫星的线速度即_____________ 最大速度 ，也是发射卫星的_________ 最小速度 。 地球做圆周运动的_________
热点考向1
天体质量和密度的估算
【典例1】(2013· 太原二模)“嫦娥二号”卫星是在绕月极地 轨道上运动的，加上月球的自转，卫星能探测到整个月球的表
面。卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测，并获取了月球
部分区域的影像图。假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时 距月球表面高为H，绕行的周期为TM；月球绕地球公转的周期
【解题探究】 (1)请确定卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力。 提示：卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力是由 它们之间的万有引力提供的。
(2)设月球的质量为M月、地球的质量为M地、卫星的质量为m， 请写出天体质量的求解思路： ①物理规律。 牛顿第二定律 。 a._____________ 万有引力定律 。 b._____________ ②方程式。 a.对卫星：G
A.1
)
d d R d 2 R 2 B.1 C.( ) D.( ) R R R R d
【解析】选A。根据万有引力与重力相等可得，在地面处有：
4 3 m R G 3 2 mg R
在矿井底部有：
4 3 m R d G 3 mg， 2 R d
所以 g R d 1 d 。 故选项A正确。
g R R
2.(2013·山东高考)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互
引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速 圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、 距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动 的周期为T,经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期 为( )
GM r3 GM 则r越大，v、ω、an越小， ， T 2 ， a ＝ ， n 3 2 r GM r
T越大。
【解析】选A。设“嫦娥二号”和“嫦娥一号”的运动半径分 别为r1和r2，万有引力提供向心力，由 G Mm ＝ma＝m v ＝m 4 r 2 2
2 2
r
rT3 T r 可周期之比 1 ＝ 1 ， 选项A错误；线速度之比 v1 ＝ r2 ， T2 r23 v2 r1
第5讲 万有引力定律及其应用
1.卫星的线速度v、角速度ω 、周期T、向心加速度an与轨道半 径r的关系:
2 Mm v (1)由 G 得v= m ， 2 r r
GM ，则r越大，v_____ 越小 。 r GM ，则r越大，ω _____ 越小 。 3 r
(2)由 G Mm m2 r， 得ω =
行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一
近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝
6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为
( A.1.8×103 kg/m3 C.1.1×104 kg/m3 B.5.6×103 kg/m3 D.2.9×104 kg/m3 )
RM H
2
m
，对月球 G
M地M月 R 02
2 4 R 0 解以上两式得 M 月 TE 2 R M H 3 选项C正确。 =M ， ( ) ( )， 月 TE 2 M地 TM R0
【拓展延伸】上题中： (1)能否求出卫星与月球、月球与地球的万有引力之比？
提示：卫星与月球间的万有引力 F G
有关月球的数据比环月飞行高度约为200 km的“嫦娥一号”更 加详实。若两颗卫星环月运行均可视为匀速圆周运动，运行轨 道如图所示，则下列说法不正确的是( )
A.“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更长
B.“嫦娥二号”环月运行的速度比“嫦娥一号”更大
C.“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”更大 D.“嫦娥二号”环月运行的角速度比“嫦娥一号”更大
M 月m
RM H
2
月球与地球间 ，
的万有引力 F G M 地 M 月 ， 由于卫星的质量未知，故不能求出它
R 02
们之间的万有引力之比。