数学建模选房问题

1
0
1
1
平米房子套
数
每 单 元 中 58 2
2
4
2
2
平米房子套
数
每 单 元 中 42 2
2
0
2
2
平米房子套
数
现有 486 个员工需要购房，每个员工限购 1 套，单位进行分批购房，并对
每批中的员工进行抽签排序，按分批及排列顺序进行选房。分批情况如下表：
第一批
第二批
第三批
员工数
127
109
250
职工选房时会考虑很多因素，如：位置、楼层、面积、户型、通风、阳光、
5.1.2 模型一的求解
对于问题 1 利用公式(1)和(3),一致性检验数据如表 5 示。
表5
判断矩阵 n λmax
CI
RI
CR
A0
6 6.4714 0.0943 1.24 0.0760
可见，判断矩阵的一致性比率均有 CR<0.10.即均可通过一致性检验。
各个因素的重要因子分别如表 6 示：
表6
重要 因子
面积，采光，通风作为第二准则层。对各套房子等级划分结果如表 2：
表 2 房子等级划分
1-4 层
5-8 层
9-11 层 12-14 层 15-18 层
1栋
C
A
B
2栋
E
B
C
3栋
D
C
B
D
E
4栋
D
C
B
C
D
5栋
C
A
A
对于问题三根据不同批次选房者选房首要考虑因素划分，第一批选房者首要
考虑因素为楼栋位置和楼层。第二批选房者在楼栋位置、楼层比较好的前提下主
λmax1 j tj
tj
λmax 2 j d e1 F
含义
表示第 i 个因素与第 j个因素比 表示第 j栋楼四个因素各自的权重向量
表示 wj 所对应的的最大特征根
表示第 j个阶段楼层四个因素各自的权重向量
表示 t j 所对应的的最大特征根 每一栋楼各自影响之间的权重向量 第 1、2、5 栋楼层阶段各自影响之间的权重向量
称判断矩阵）。容易看出，若 xi 与 x j 对 Z 的影响之比为 aij ，则 x j 与 xi 对 Z 的影响
之比应为 a ji
=
1 aij
。
定义 1 若矩阵 A = (aij )m×m 满足
1 （i） aij > 0 ，（ii） a ji = aij
(i, j = 1, 2,...m)
则称之为正互反矩阵(易见 aii = 1， i = 1, 2,...m )。
要考虑因素为面积和采光。第三批选房者在第一、二批选房后会把通风、单元作
为主要考虑因素。
对于问题四本文将新员工作为第四批选房者。综合考虑各批次选房策略如表 3：
表3 各批员工选房方案
1-4层 5-8层 9-11层 12-14层 15-18层
1栋
**
*
***
#
#
2栋
+
*
***
#
#
3栋
+
**
***
***
+
等级可近似用位置和楼层两个主要的因素来表示。 5.2.1.1 构造判断矩阵
根据 Saaty 的层次分析法本文采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵 的办法。准则层 2 各个因素对于准则层 1 中每一个位置等级的权重和每一个楼层 等级的权重，即每次取准则层 2 两个因子 xi 和 x j ，以 Bij 表示 xi 和 x j 对 Z 的影响
2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值
倒数
从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难 度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标 百度文库下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用 1—9 标度最为合适。
为了确定各准则在目标中所占的权重，我们构造 O-A 层的判断矩阵如表 4 表 4 O-A 层判断矩阵
栋、2 栋、5 栋的单元也完全相同，分配的房源共 752 套，面积有 78、58、42
平米三种，其中 78 平米与 58 平米为二室一厅，42 平米为一室一厅，房子位及
单元结构图见附录，各栋情况如下表：
一栋
二栋
三栋
四栋
五栋
层数
10
11
18
18
11
单元数
2
2
3
3
2
每单元房子 5
5
3
5
5
套数
每 单 元 中 78 1
(1)
满足(1)的判断矩阵称为一致矩阵. 但在构造判断矩阵时,要做 Cn2 = n(n −1) / 2 次 成对比较, 当 n 较大时,要做到完全一致是十分困难的.另外,在成对比较时,我 们采用了 1~9 的标度,就意味着接受一定程度的误差.因此,不应要求判断矩阵具 有严格的一致性,而是允许判断矩阵在一定程度上非一致. 于是,就要考虑如何 检验判断矩阵是否严重地非一致, 以便确定是否可以接受它.
S 表示 A 的除 λmax 外的其余 n-1 个特征根的和，则 λmax + S = n .因此 CI = λmax − n = −S n −1 n −1
可见，CI 其实是 A 的除 λmax 外其余 n-1 个特征根的平均值的绝对值。当 CI
稍大于 0 时,A 具有较为满意的一致性，否则,A 的一致性就较差。
虽然 CI 值能反映出判断矩阵 A 的非一致性的严重程度,但未能指明该非一致
性是否可以接受。因此,我们还需要引入一个度量的标准。即所谓随机一致性指
标 RI。它是用从 1~9 及其倒数中随机抽取的数字构造的 n 阶正互反矩阵,算出相
应的 CI，取充分大的样本，计算得的样本均值。下表列出了部分结果。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
R 0 0 0.5 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5
I
802421591
当 n≥3 时，把 CI 与 RI 之比定义为一致性比率 CR CR = CI ， （3） RI
由于 1,2 阶正互反矩阵总是一致矩阵，故 RI=0,此时,我们定义 CR=0。
当 CR<0.10 时，可以接受判断矩阵 A，否则，要对判断矩阵 A 做修正。
2
2
⎟ ⎟
⎜1/ 7 1/ 5 3 1/ 2 1 1 ⎟
⎜⎜⎝1/ 6 1/ 5 3 1/ 2 1
1
⎟⎟ ⎠
5.1.1.2 一致性检验
我们知道，若有三个物体甲、乙、丙，甲的重量是乙的 2 倍，而乙的重量又
是丙的 3 倍，则甲的重量必是丙的 2×3=6 倍. 根据这个原理,判断矩阵还应满足:
aij = aik akj , ∀i, j, k = 1, 2,⋯, n
比重并不一定相同，在选房者的心目中，它们各占有一定的比例。因此考虑以上 因素，构造判断矩阵对不同因素进行评价。
根据 Saaty 的层次分析法我们采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵
的办法。即每次取两个因子 xi 和 x j ，以 aij 表示 xi 和 x j 对 Z 的影响大小之比，全
部比较结果用矩阵 A = (aij )m×m 表示，称 A 为 Z − X 之间的成对比较判断矩阵（简
阳台、窗户等，为了购买到满意的房子必须在各因素进行权衡，且需根据分批及
排列采取选房策略。
请根据实际情况，建立模型解决如下问题：
1、选房应考虑哪些因素，并对因素进行评价？
2、若按最好、好、一般、不好、最坏对各套房子进行划分，请给出划分模
型及划分结果？
3、建立满意度模型，给出一种最佳选房策略，使自己选到的房子（对每批
大小之比，全部比较结果用矩阵 B = (bij )k×k 表示，称 B 为 Z − X 之间的成对比较
关于如何确定 aij 的值，Saaty 等建议引用数字 1—9 及其倒数作为标度。下
表列出了 1—9 标度的含义：
标度
含
义
1
表示两个因素相比，具有相同重要性
3
表示两个因素相比，前者比后者稍重要
5
表示两个因素相比，前者比后者明显重要
7
表示两个因素相比，前者比后者强烈重要
9
表示两个因素相比，前者比后者极端重要
位置 楼层 单元 面积 0.3762 0.2946 0.0566 0.1179
采光 0.078
通风 0.0767
由此可得：选房者选房时考虑以上因素的重要性有高到低排序如下：位置、 楼层、面积、采光、通风、单元 5.2 模型二的建立与求解
5.2.1 模型二的建立 由模型一可知，位置和楼层对于房间选择所占比例将近 70%，所以划分房间
表示不同楼不同阶段楼层所占权重矩阵
五、模型的建立与求解
建立递阶层次模型 在此问题中，本文根据住房的位置、楼层、单元、面积、采光、通风等因素 作为准则层。可以建立如下的层次结构模型。
目
选择房屋
标
层
准 则
12345 层栋 栋 栋 栋 栋 1
1- 5- 9- 1 2 - 1 5 4 8 11 14 18
对于问题三，对于第一批选房者来说会将住房位置和楼层作为首要考虑因 素，其选房方案为在住房位置和楼层较好的前提下（即该因素权重较大 ），户型 较大、采光、通风、单元较好的住房；对于第二批选房员工来说，由于第一批员 工优先选择楼栋位置和楼层较好的住房，所以第二批员工在选房时会在楼栋位置 和楼层相对较好的前提下，把面积、采光作为首要考虑因素。对于第三批员工来 说，由于第一、二批员工优先选择面积较大、楼栋位置、楼层、采光较好的住房， 所以第三批员工在选房时会在楼栋位置、楼层、采光相对较好的前提下，把通风、 单元作为首要考虑因素。
次分别进行讨论）？
4、单位引进新员工，新员工应如何选房？
二、问题分析
对于问题一，选择影响房间好坏的因素，本论文考虑的因素有位置、楼层、 单元、面积、采光、通风等六个因素。利用层次分析法来评价六个因素对选择房 间各自所占的权重，这样就能得知六个因素中，哪几个因素影响更强烈。
对于问题二，判断房间是否好坏，要划分各套房间的等级，由模型一得知， 影响因素位置和楼层所占权重将近 70%，因此可以近似用这两个因素去评价房间 好坏。利用层次分析法，分析另外四个因素分别对每一栋楼和每一阶段楼层的权 重，最终可以评定每一栋楼每一阶段楼层的房间等级。
设 λmax 为判断矩阵 A 的最大特征值, 可以证明,当 A 是一致矩阵时, λmax = n ,
否则, λmax > n . λmax 比 n 大得越多, 判断矩阵 A 的非一致程度越严重,于是利用
如下平均值 作为判断一致性指标.
CI = λmax − n ,
(2)
n −1
当且仅当判断矩阵 A 为一致矩阵时,CI=0. CI 的值越大,A 的非一致性越严重。 由代数知识可知, 判断矩阵 A 的 n 个特征根之和等于其对角线元素之和 n. 若以
4栋
+
**
***
***
***
5栋
+
*
*
#
#
注：‘*’‘**’‘***’‘+’分别表示第一、二、三批及新员工选房者，#表示 楼层不存在。
关键词：层次分析法 重要因子 判断矩阵
一、问题重述
买房是件大事，必须考虑交通状况、社区环境、户型结构等诸多因素，现某
单位提供了五栋房子供其职工选择，每栋房子中的各单元结构完全相同，且 1
层层层层 层
准
则
层
单面采通
2
元积光风
方
案
待选房间
层
5.1 模型一的建立与求解 5.1.1 模型一的建立 关于住房的选择，其衡量标准有很多。本文考虑其中影响较大的因素，如下：
⎧位置
⎪⎪楼层
选择房间的因素
⎪⎪单元 ⎨⎪面积
⎪采光
⎪ ⎪⎩通风
5.1.1.1 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的
选房问题
摘要
当今社会，单位分房是很多企业给职工的重要福利之一。然而，应该采用怎 样的衡量标准来选择最为合理，让自己满意的住房仍然备受关注。本文即主要分 析选房的各因素并对其进行评价、探讨如何权衡各因素而购得满意住房的问题， 试图给出可推广的解决方案。本文主要采用了层次分析法，它是提一种渐变、灵 活而又实用的多准则决策方法，特别适用于一些难于完全定量分析的、复杂模糊 的问题。
O
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A1
1
1
3
5
7
6
A2
1
1
4
2
5
5
A3
1/3
1/4
1
1/2
1/3
1/3
A4
1/5
1/2
2
1
2
2
A5
1/7
1/5
3
1/2
1
1
A6
1/6
1/5
3
1/2
1
1
⎛1 1 3 5 7 6⎞
⎜ ⎜
1
142
5
5
⎟ ⎟
⎜1/ 3 1/ 4 1 1/ 2 1/ 3 1/ 3⎟
A0 = ⎜⎜1/ 5 1/ 2 2 1
对于问题四，关于新职工房间的选择，本文把新职工作为第四批选房者，在 前三批职工选择后，第四批职工选择房间考虑的主要因素是通风。
三、模型假设
1、除考虑因素，其他因素对房间好坏影响可忽略不计； 2、选房职工遵循理性选择原理，不会舍本逐末； 3、选房顺序与职工的职称无关，完全是随机的；
四、符号说明
符号 aij wj
本文主要运用层次分析法对于问题一选房因素：位置、楼层、单元、面积、 采光、通风作如下评价。
表 1 各因素重要因子
位置 楼层 单元 面积 采光 通风
重要 因子
0.3762 0.2946 0.0566 0.1179 0.078 0.0767
对于问题二建立递阶层次模型，将楼栋位置和楼层作为第一准则层，单元、