影院座位设计问题

摘要本文研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。

问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后运用Matlab软件求解出当地板线的倾角为ο10时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。

问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，再利用Matlab软件解得当地板线的倾角为ο15时，所有观众的平均满意0543.程度最大。

在问题二的基础上，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以ο5.2变化，增加到ο20后保持不变，第一排抬高2.1米。

本文所建立的模型通俗易懂，求解简单明了，对模型进行验证发现与现实生活中的实际情况十分吻合，因此具有很强的实用性和推广意义。

关键词：离散加权平均满意度优化模型一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。

求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。

(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。

二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。

根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。

本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。

针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。

对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。

本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。

三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。

四、符号说明α 水平视角 δ视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 β 仰角 αS观众对水平视角为α的满意程度 θ 地板线与水平线的倾角 βS 观众对仰角为β的满意程度d 第一排离屏幕水平距离 S平均满意程度 D 最后一排离屏幕水平距离βαc c , 视角α、仰角β在综合满意度i S 中的权重 h 屏幕的高度 l相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度五、模型的建立与求解5.1 问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角α和仰角β，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。

5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：其中，AB 为屏幕，MS 为地板线，OE 为所有的观众的眼睛所在的直线。

则由图可设视觉线OE 上任意一点P 的坐标为)tan ,(θx x ，屏幕上下点的坐标分别为),(c H d A --，),(c h H d B ---，AP 的斜率记为AP k ,BP 的斜率记为BP k 。

由斜率公式得：)(tan tan d x c H x k AP --+-=-=θβ，)(tan )tan(d x c h H x k BP --++-=--=θαβ (1.1) 则直线AP 和BP 的斜率与夹角α满足如下关系：)tan )(tan ()()(1tan 2c h H x c H x d x d x h k k k k AP BP AP BP ++-+-+++=+-=θθα (1.2) 仰角满足条件：]30,0[οο∈β 所以：33)(tan 033tan 0≤--+--≤⇒≤≤d x c H x θβ θθtan tan 3333c H x dc H -≤≤+-- (1.3) 由公式(1.1) (1.2)得到模型为：)tan )(tan ()()(arctan max 2c h H x c H x d x d x h ++-+-+++=θθα ⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+---≤≤θθtan tan 33330..c H x d c H d D x t s 5.1.2 模型Ⅰ的求解当ο10=θ时，用Matlab 软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为ο9522.13=α，仰角为ο30=β，7274.1=x 米。

即P 点的坐标为)3046.0,7274.1(为最佳位置。

离屏幕的水平距离为米2274.67274.15.4=+。

5.1.3 模型Ⅱ的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l （查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为θcos l ，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。

对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：)(cos )1(tan cos )1()(tan tan d l k c H l k d x c H x ---+---=--+--=θθθθβ (2.1) )tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((tan 2c h H l k c H l k d l k d l k h ++--+--++-+-=θθθθθθα (2.2)其中，n k ,,3,2,1Λ=，n 为地板线上的座位的总排数，且191]cos 5.14[=+=θl n 。

一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。

本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念。

由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k 排座位，建立观众对视角α、仰角β的满意度函数]1[如下：minmax min tan tan tan tan ααααα--=k k S (2.3) min max min tan tan tan tan 1βββββ---=k k S (2.4) 式中k k βα,为第k 排座位上观众视角和仰角，max max ,βα表示在θ给定的情况下最优满意度，min min ,βα表示在θ给定的情况下最差满意度。

视角α、仰角β在综合满意度k S 中的权重分别为βαc c ,，建立第k 排座位综合满意度函数如下：βαββααc c S c S c S kk k ++= (2.5)根据地板线倾角︒=10θ，通过计算可以得出οο8975.154210.5≤≤α， οο9149.400451.4≤≤β，主观给定权重4.0,6.0==βαC C ，根据模型的建立，可以得出：1357.0tan 5025.0tan 1596.34.06.04.06.0+-=++=++=k k k k kk k S S c c S c S c S βαβαβαββαα (2.6)将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为：1357.0)(cos )1(tan cos )1(5025.0)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((*1596.3max 2+---+--+++--+--++-+-=d l k c H l k c h H l k c H l k d l k d l k h S k θθθθθθθθθ 19,,3,2,1,cos )1(tan tan 33330..Λ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-≤≤+---≤≤k l k x c H x d c H d D x t s θθθ5.1.4 模型Ⅱ的求解用Matlab 软件运算求解（程序见附录2）可得：3635.2=x 米，4=k 排，最大满意度为6176.04=S ,最大视角为ο1282.13=α，仰角为ο9084.26=β,最佳位置离屏幕的水平距离为米8635.63635.25.4=+。

5.2 问题二5.2.1 模型Ⅲ的建立 要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S 的最大值。

由模型Ⅱ可知，第k 排观众的满意度为S ,则观众平均满意程度函数为：n S S n k k ∑==1，平均满意度S 的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角β和视角α所决定。

所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。

由式(1.1)可知，地板线倾角θ的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位(即x 取某一定值)，在θ逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。

仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角θ越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。

θ角变化α角变化θ角变化β角变化图2 视角α和仰角β随θ变化的变化曲线第一排观众的仰角为ο9149.40=β，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第k 排座位所对应的仰角的正切值：n k d l k c H l k k ,,3,2,1,)(cos )1(tan cos )1(tan Λ=---+---=θθθβ 其中n 为地板线上的座位的总排数：1]cos 5.14[+=θl n ，随着地板线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距l 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。

由于地板线倾角θ不超过ο20，所以2019≤≤n ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即ο0543.15≤θ。