Z变换

有单阶极点外，其它极点均在单位圆内，则
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证明： ∵ ， ， 除了在 点外，其它极点均在单位圆内 ∴ 在单位圆上无极点 可以有单阶极
这其实表明：如果 有终值存在，则其终值等 于 在 处的留数
常用信号的Z 10.6 常用信号的Z变换对 掌握常用的Z变换对，并要求熟记一些信号的z变换对。
利用Z变换分析与表征LTI LTI系统 10.7 利用Z变换分析与表征LTI系统 一、系统特性与 LTI系统的特性可以由 ROC来表征。 的关系: 或 描述，因而也可以由 连同
1、用定义求下列信号的 z 变换及收敛域。 (a) (b) (c)
(d)
(a)
z=0 的全部 z 平面
(b)
(c)
(d)
2、 根据单位阶跃信号 u(n) 的 z 变换 ，利用 z 变换的性质，求下列信号的 z 变换及收敛域。 (a) (b) (c) (d) (e)
(a)
(b) (c) （d）
显然，
，
取决于 处
的变化。 时， 最小，
当 时，在 呈单调变化
最大，
当
时，
可以看出： 越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统 的 衰减越快， 上升越快。 越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极 大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。 动画10.1为一阶系统幅频特性的定性分析 动画10.2 为一阶系统a大于0时极点变化的特性分析 动画10.3 为一阶系统a小于0时极点变化的特性分析
(e)
3、已知 (a) 确定与
变换为 有关的所有可能的收敛域；
(b) 求每种收敛域对应的离散时间序列； (c) 以上哪种序列存在离散时间傅立叶变换？
(a) 可能的收敛域有： (b)
(c) 当
时，所对应的序列
存在离散时间付里叶变换。
10.4 由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值 当ROC包括 时，Z变换在单位圆上的情况就是 ，因此 也可以利用零极点图对其进行几何求值。其方法与拉氏变换时 类似：考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢 量的长度与幅角变化的情况，即反映系统的频率特性。
,
例1一阶系统：
当
时，ROC包括单位圆。
3、根据总的ROC，确定每项的ROC； 4、利用常用变换对和Z变换性质求出每项的反变换。
例，
∴ 2、幂级数展开法:（长除法） 由 的定义，将其展开为幂级数，有 是有理函数时，可
展开式中 项的系数即为 。当 以通过长除的方法将其展开为幂级数。
●由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要 按降幂长除。 ●由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要 按升幂长除。 ●双边序列则先要将其分成两部分，分别对应信号的右边和左 边部分，再分别按上述原则长除。 3、留数法： 由留数定理有： 是C内的极点。 在 在 的部分 的部分 ， ， 是C内的极点。 是C外的极点。
三、利用单边Z变换分析增量线性系统：
∴
例： 解：
小结： 与拉氏变换的情况对照，可以发现S平面与Z平面之间存在着一 种影射关系。 就是这种联系。 将连续时间信号采样，可以得到：
，∴ ，∴
这种映射关系在数字信号处理，特别是数字系统设计中是非常 重要的。明确了这种关系就很容易对 Z 变换与拉氏变换的差异 之处有更清楚的认识。
10.2 Z变换的ROC ROC的特征： 1、 的ROC是 Z 平面上以原点为中心的环形区域。 无极点。 ， 。 。
2、在ROC内
3、有限长序列的ROC是整个有限 Z 平面（可能不包括 或 ）。 4、右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能不包括 5、左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包括 6、双边序列的 Z 变换如果存在，则ROC必是一个环域。
7、卷积性质： ，ROC包括： 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能扩大 8、Z域微分： 若 ， ，则 ， 的反变换
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 或具有高阶极点的 的反变换。
例1：
∵
∴
例2： ，
∵
，
，
∴
9、初值定理： 若 证明： 当 10、终值定理： 若 ， ， ， 除了在 可以 。 时有 。 ， ， ，则
如果没有公共区域则表达式
的 Z 变换不存在。 的极点所在
5、当 是有理函数时，其ROC的边界总是由 的圆周界定的。 6、若 的ROC包括单位圆，则有:
三、 如果
的几何表示——零极点图 是有理函数：
则由其全部的零极点即可表示出 ，最多相差一个常数因子。 在 Z 平面上表示出全部的零极点，即构成 的几何表示——零 极点图。如果在零极点图上标出ROC，则该零极点图可以确定一 个信号。 在 Z 平面上将零点、极点表示 出来即为零极点图。
（2）由系统的描述求得 （3）由 （4）作反变换得到 确定 。
三、由LCCDE描述的LTI系统的 双边作Z变换可得：
是一个有理函数。
的ROC需要通过其它条件确定，如： （1）系统的因果性或稳定性。 （2）系统是否具有零初始条件等。
例：由下列差分方程求出网络结构，并求其系统函数 和单位响应
解：
10.8 系统函数的代数属性与系统的级联,并联结构 系统函数的代数属性与系统的级联, 一、系统互联的系统函数: 1、级联： 2、并联： ，ROC包括： ，ROC包括：
当
时，
的DTFT存在 此时，ROC包括了单位圆。
例2
此时，ROC不包括单位圆，所以不能从 得到 。
简单通过将
例3
例4
一般情况下， 结论：
的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。
1、 Z 变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存在 Z 变换， 也不是任何复数 Z 都能使 收敛。 2、仅仅由 的表达式不能唯一确定一个信号，只有 连同 相应的ROC一道，才能与信号建立一一对应的关系。 3、 3 Z 变换的ROC，一般是 Z 平面上以原点为中心的环形区域。 ROC 4、如果 ，则其ROC是各个 的ROC的公共区域。
10.1 Z变换 变换 一、定义 ，其中 是一个复数。
当 时， 即为离散时间傅立叶变换（DTFT）。这表明： DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。
这表明：
的 Z 变换就等于对
作DTFT 。
因此，Z 变换是对DTFT的推广。
二、Z 变换的ROC Z 变换与DTFT一样存在着收敛的问题。 1、并非任何信号的 Z 变换都存在。 2、并非 Z 平面上的任何复数都能使 能使 收敛的点的集合就构成了 例1 收敛。 Z 平面上那些 的ROC。
3、反馈联接：
，ROC包括： 二、LTI系统的级联与并联结构： 由LCCDE描述的LTI系统，其系统函数为有理函数，可以将 其因式分解或展开为部分分式。 1、级联型：将 因式分解
其中 是二阶（或一阶）系统函数。由此即可得系统 的级联结构：
2、并联型：将
展开为部分分式
10.9 单边Z变换 单边Z 一、单边Z变换：
第十章 Z变换
学习目标： 掌握双边Z变换的定义，它与傅立叶变换之间的关系，Z变换收 敛域的作用及特征；学会利用零极点图分析系统的时域、频域 特性；掌握单边Z变换分析增量线性系统的方法；理解系统函 数在LTI系统分析中的重要性。 Z变换与拉氏变换的关系 Z变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。Z 变换的许多性质及其分析方法与基本思想都与拉氏变换有相 似之处。当然，Z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。
信号在时域反转，会引起
的零极点分布按倒量对称发生改变。
如果
是
的零/极点，则
就是
的零/极点。
即： 与 如右图所示。 例： 则
的零极点呈共轭倒量对称。
的ROC为： 的ROC为：
5、时域内插： 若 ， ；
则，
6、共轭对称： 若 ， ，则 。表明 ，
当 是实信号时， 于是有 如果有复数零极点，必共轭成对出现。
可以看出， r 影响了系统单位冲激响应 小， 收敛得越快。
的收敛速度， r 越
决定了 的振荡情况，若 则无振荡， 时有振荡， 越大振荡频率越高，当 时振荡频率最高。 在时域 r 确定了 在频域中 r 决定了 动画10.5为 ， 动画10.6 为 ， 动画10.7 为 ， 动画10.8 为 ， 动画10.9 为 ， 的收敛速率， 决定着 的振荡情况；而 峰值的大小， 确定着峰值的位置。 r 变化时系统时域、频域特性变化的演示； r 变化时系统时域、频域特性变化的演示； r 变化时系统时域、频域特性变化的演示； r 变化时系统时域、频域特性变化的演示； r 变化时系统时域、频域特性变化的演示。
例2二阶系统：
极点: 当 从 时，在靠近
零点：
（ 二阶）
处会出现频响极大值。
若 r 越接近于1， 的峰值越尖锐。由于极点远离原点， 和 的变化速率越慢。 随着r减小，极点靠近原点，频响趋于平坦，而 和 的变 化速率会加快。当极点很靠近单位圆时，也可以从零极点图粗 略确定系统带宽。
零极点图
二阶系 统幅频 特性的 作图过 程可以 参看动 画10.4
例1
极点： 零点：
（一阶）， ，
（N-1阶）
在 处，零极点抵消， 在有限 Z 平面内无极点。
例2
在 时，两部分收敛域无公共部分， 表明此时 不存在。
当
时，ROC为
。
例3
极点： 零点： （二阶）
}
在有限的Z平面上极点总数 与零点总数相同
若其ROC为： ① 存在。 ② 存在。 ③ 时， 时， 时， 为右边序列，且是因果的，但其傅氏变换不 是左边序列，且是反因果的，其傅氏变换不 是双边序列，其傅立叶变换存在。 是 是 是否因果的标志。 是否反因果的标志。
由几何法可以看出： （1） 影响。 处的零极点对幅频特性 没有影响，只对相位有
（2）当 旋转到某个极点 附近时，例如在同一半径上 时， 较短，则 在该点应当出现一个峰值， 越短， 附近越尖锐。若 落在单位圆上，则 ，则 处的峰 值趋于无穷大。 （3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反。
10.5 Z变换的性质 Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推论方法也相同。 主要讨论其ROC的变化。 1、线性：
ROC是否包括 ROC是否包括
10.3 Z反变换 反变换 一、定义 ∵ ∴ ，则 从 时， Z 沿着
令 、 ， ROC内半径为 r 的圆周变化一周。 ∴
其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周。
二、反变换的求取： 1、部分分式展开法： 当 是有理函数时, 的所有极点 展开为部分分式； ；
步骤：1、求出 2、将
单边Z变换是双边Z变换的特例，也就是因果信号的双边Z变换。 因此单边Z变换 的ROC一定是最外部极点的外部，并包括 。 所以在讨论单边Z变换时,不再强调其ROC。它的反变换也一 定与双边Z变换的反变换一致。
如果信号
不是因果序列，则其
与
不同。
例1
显然 例2
。
显然 ，这是因为 在 的部分对双边Z变换 起作用，而对单边Z变换不起作用所致。
称为系统函数。 1、因果性：如果LTI系统因果，则 时 的ROC是最外部极点的外部，并且包括 2、稳定性： 若LTI系统稳定，则 圆在 的ROC内。 即 ，
，所以， 。
的DTFT存在。表明单位
的ROC必包括单位圆。
因此，因果稳定的LTI系统其 的全部极点必须位于单位圆内， 反之亦然。当 是关于Z的有理函数时，因果性要求 的 分子阶数不能高于分母阶数。 二、LTI系统的Z变换分析法： （1）由 及 及 的 。 。 ，应包括 。
则 ，包括 。如果在线 性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。 2、时移：
则
，
。但在
和
可能会有增删。 ， 有
●当信号时移可能会改变其因果性，故ROC在 可能改变。
3、Z域尺度变换： 则 ∵ 当 时 收敛，则 时， ， 收敛。∴ 。
时，即为移频特性。
若 是一般复数 ，则 的零极点不仅要将 的零 极点逆时针旋转一个角度 ，而且在径向有 倍的尺度变化。 4、时域反转： 若 ， 域边界倒置） ，则 ， （收敛
二、单边Z变换的性质： 单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它性质与 双边Z变换的情况是一致的，只要所涉及的信号是因果信号。 时移特性：如果 证明： ，则
同理可得：
证明：
同理可得： 单边Z变换在将LCCDE变换为代数方程时，可以自动将方程的 初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。