统编人教A版高中必修第一册数学《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》集体备课教案教学设计

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高中数学一元二次函数方程和不等式二次函数与一元二次方程不等式讲义新人教A版必修一第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13.画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】方法一由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划降税后价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》最新教研教案教学设计(统编人教A版高中必修第一册)

第2课时一元二次不等式的应用学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式ax ＋bcx ＋d＞0(＜0) (其中a ，b ，c ，d 为常数)法一：⎩⎨⎧ ax ＋b ＞0(＜0)cx ＋d ＞0或⎩⎨⎧ax ＋b ＜0(＞0)cx ＋d ＜0 法二：(ax ＋b )(cx ＋d )＞0(＜0) ax ＋bcx ＋d≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧ax ＋b ≥0(≤0)ax ＋d ＞0或⎩⎨⎧ax ＋b ≤0(≥0)cx ＋d ＜0 法二：⎩⎨⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0(≤0)cx ＋d ≠0 ax ＋bcx ＋d ＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫<k≥k ≤k (其中k 为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0，c >0b ＝0，c <0a ≠0⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0设二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}B [∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．] 2．不等式x ＋1x ≥5的解集是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤14 [原不等式⇔x ＋1x ≥5x x ⇔4x －1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14.]3．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． a ＞4或a ＜－4 [∵x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4＜0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4＞0，解得，a ＞4或a ＜－4.]4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是________．{x |10≤x ≤30} [设矩形高为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x >0，y >0，x <40，y <40，xy ≥300，整理得y ＋x ＝40，将y ＝40－x 代入xy ≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30.]分式不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1. [解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3，∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}．(2)∵x＋1 2x－3≤1，∴x＋12x－3－1≤0，∴－x＋42x－3≤0，即x－4x－32≥0.此不等式等价于(x－4)⎝⎛⎭⎪⎫x－32≥0且x－32≠0，解得x<32或x≥4，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x<32或x≥4.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1<3.[解](1)根据商的符号法则，不等式x＋1x－3≥0可转化成不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x＋1)(x－3)≥0，x≠3.解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．(2)不等式5x＋1x＋1<3可改写为5x＋1x＋1－3<0，即2(x－1)x＋1<0.可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1.所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}．一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[思路点拨]将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.[解]设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依题意，得y≥2 400m×8%×78%，即－1225m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.求解一元二次不等式应用问题的步骤2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解]设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12－700x2×800×600，整理得x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.不等式恒成立问题[探究问题]1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a＝0，显然y>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－8a <0，解得a >12.2．若函数y ＝x 2－ax －3对－3≤x ≤－1上恒有x 2－ax －3<0成立，如何求a 的范围？提示：要使x 2－ax －3<0在－3≤x ≤－1上恒成立，则必使函数y ＝x 2－ax －3在－3≤x ≤－1上的图象在x 轴的下方，由y 的图象可知，此时a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＋3a －3＜0，(－1)2＋a －3＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋6<0，a －2<0，解得a <－2.故当a ＜－2时，有f (x )<0在－3≤x ≤－1上恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？提示：由于本题中已知a 的取值范围求x ，所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数，求参数x 的取值问题，则令y ＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x 2－4x ＋4＜0(－3)×2x ＋x 2－4x ＋4＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立．【例3】已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解] 设函数y ＝x 2＋ax ＋3－a 在－2≤x ≤2时的最小值为关于a 的一次函数，设为g (a )，则(1)当对称轴x ＝－a2<－2，即a >4时，g (a )＝(－2)2＋(－2)a ＋3－a ＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a >4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝22＋2a ＋3－a ＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，此时－7≤a <－4.综上，a 的取值范围为－7≤a ≤2.1．(变结论)本例条件不变，若y ＝x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立，求a 的取值范围．[解] 若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立可转化为：当－2≤x ≤2时，y min ≥2⇔⎩⎨⎧－a 2<－2，y min ＝(－2)2－2a ＋3－a ＝7－3a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－a2≤2，y min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋3－a ＝3－a －a 24≥2，或⎩⎨⎧－a2>2，y min ＝22＋2a ＋3－a ＝7＋a ≥2，解得a 的取值范围为－5≤x ≤－2＋2 2.2．(变条件)将例题中的条件“y ＝x 2＋ax ＋3－a ，－2≤x ≤2，y ≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ”，求a 的取值范围．[解] 法一：∵不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ， ∴函数y ＝x 2＋2x ＋a 2－3的图象应在x 轴上方， ∴Δ＝4－4(a 2－3)<0，解得a >2或a <－2.法二：令y ＝x 2＋2x ＋a 2－3，要使x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ，则a 满足y min ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.法三：由x 2＋2x ＋a 2－3>0，得a 2>－x 2－2x ＋3，即a 2>－(x ＋1)2＋4，要使该不等式在R 上恒成立，必须使a 2大于－(x ＋1)2＋4的最大值，即a 2>4，故a >2或a <－2.1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0，Δ<0.3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．在某集合A 中恒成立问题设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)若ax 2＋bx ＋c ＞0在集合A 中恒成立，则集合A 是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).1．思考辨析(1)不等式1x>1的解集为x <1.( )(2)求解m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立时，可转化为求解y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值，从而求出m 的范围．( )[提示] (1)1x >1⇒1x －1>0⇒x －1x <0⇒{x |0<x <1}．故(1)错． (2)m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立转化为m >y max ，故(2)错． [答案] (1)× (2)×2．不等式(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)x ＋4>0的解集为________．{x |－4<x <－3或x >－1} [原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为－4<x <－3或x >－1.]3．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是________．11 －2＜a ≤2 [当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)＜0，解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]>400，解得：15≤x <20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x ＜20.。

2.3+二次函数与一元二次方程不等式(共2课时)(教学课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)

(1)若此不等式的解集是 1,2 ，求a 的值；
(2)讨论此不等式的解集．
详解
(2) x2 x a2 a 0 就是 x2 x aa 1 0 ，即 x a 1 x a 0 ．
方程 x a 1 x a 0 的两根是 x1 a 1， x2 a ．
(①1)当由a题意1知a，，即1，a2是 1时x2 ， x此 a不2 等a式 0的的解两集根是，a 1, a ．
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法【练习 1】解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.
解 (3)方程 x2－2x－3＝0 的两根是 x1＝－1，x2＝3. 函数 y＝x2－2x－3 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．结合图象可得不等式的解集为{x|x<－1 或 x>3}．
函数的零点
ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0
其中a、b、c为常数，a≠0．
方程的根
2.使一元二次不等式成立的的所有解 x 组成的集合叫做一元二次不等式的解集(用集合的描述法表示).
函数图象与x 轴交点横坐标
3.方程ax2＋bx＋c=0的实数解x叫做二次函数y=ax2＋bx＋c的零点.
注：使得 ax2 bx c 0 成立的实数x（方程 ax2 bx c 0 的解）即为二次函数 y ax2 bx c 的零点．
学习新知
观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？
二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．

高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件

高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章二次函数与一元二次方程、不等式课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )．解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0，即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅；当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}；当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
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高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析

高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、本节知识结构框图二、重点、难点重点、难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式.三、教科书编写意图及教学建议本节引入了一元二次不等式，研究它的解法和应用.在探索一元二次不等式的解法时，教科书首先从二次函数的观点看一元二次方程、不等式，然后从一元二次不等式与相应函数、方程的联系中推导出求解一元二次不等式的一般性方法，进一步发展了用函数理解方程、不等式的思想方法.1.一元二次不等式的定义本节从一元二次不等式的定义讲起，为了体现一元二次不等式的现实意义，教科书设计了一个实际问题——求花圃的矩形栅栏的边长，为了解决这个问题，需要把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来，再解数学模型.学生在初中学过了用一元一次不等式表示不等关系，在本章的第一节又练习了用不等式或不等式组表示不等关系，因此教科书在这里直接利用不等关系“围成的矩形区域的面积要大于20”建立了一个不等式“”.这就是一个一元二次不等式，教科书接下来给出了一般的一元二次不等式的定义和一般形式.要回答上述问题，就需解这个不等式，这就引出了对一元二次不等式解法的研究.2.借助二次函数与一元二次方程、不等式的联系，获得求解一元二次不等式的一般性方法求解一元二次不等式通常有两种基本方法，一种是代数方法，即先对二次三项式进行因式分解，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组，再通过求解一元一次不等式组得到一元二次不等式的解集.但这种方法不适用于判别式的情况.另一种是函数方法，即借助二次函数图象，得到求解一元二次不等式的通性通法.教科书介绍的是后一种方法.在初中，学生学过了从一元一次函数观点看解一元一次方程、不等式，知道了解一元一次方程可以归结为在一次函数的函数值为0时，求自变量的值，解一元一次不等式或相当于在一次函数的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围，这种解法利用的三者的关系是：一次函数的图象与轴的交点就是一元一次方程对应的点，在轴上方或下方的点的集合就组成了一元一次不等式或的图象.为了将这种思想方法迁移到“二次”，在探索求解一元二次不等式的方法之前，教科书设计了一个思考栏目，先让学生回顾初中学过的从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，再从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法.在解答这个思考栏目时，教科书借助具体的一元二次不等式，阐述了二次函数与一元二次方程、不等式的联系：二次函数的图象与轴有两个交点，，这两个点满足解析式，且，所以交点的横坐标是一元二次方程的两个根，而图象位于轴下方的点都满足解析式，且，所以这些点的横坐标的取值范围就是不等式的解集.这样，教科书不仅借助具体的一元二次不等式回答了如何从二次函数的观点看一元一次方程、不等式，而且获得了这个不等式的解集.接下来，教科书对上述方法进行了归纳、概括，获得了求解一般一元二次不等式的解法.教学中可以引导学生发现，上述解法的关键是利用二次函数的图象与轴的相关位置确定不等式的图象对应的的取值范围，而确定的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根.于是，借助二次函数图象求解一元二次不等式的方法是：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.教科书接下来分，和三种情况，总结了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，利用这个对应关系就可以求解任意一元二次不等式了.需要说明的是，由于一般函数的零点的概念和性质在本书的“4.5函数的应用（二）”中才会有比较深入的介绍，所以教科书在这里只介绍了什么是二次函数的零点，而且没有推广这个概念.3.归纳用二次函数求解一元二次不等式的程序接下来，教科书安排了三道例题，示范如何用二次函数解一元二次不等式.这三道例题分别对应了与所求解的不等式相应的二次函数的图象与轴有两个交点、有一个交点和没有交点的情况，例3还代表了不等式的二次项系数的情况.通过解例1～例3中的不等式，教师可以引导学生总结用二次函数解一元二次不等式或的一般步骤：（1）检查二次项系数的符号，对于的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数.（2）计算判别式的值，如果，求方程的根；如果，说明方程无实数根.（3）画出二次函数的图象，结合图象得出不等式的解集.教师在教学中还需要注意，不要让学生通过记忆不同情况下不等式的解集的方式来解不等式，而是让学生画出相应二次函数的草图，数形结合地解不等式.在三道例题之后，教科书设计了一个框图，目的是更清晰地描绘出用二次函数求解一元二次不等式的程序.教学时可以让学生尝试在总结上述步骤的基础上，自己画出这个框图.4.应用一元二次不等式解决实际问题在本节的最后，教科书安排了两道例题来示范如何用一元二次不等式解决实际问题.实际上，用一元二次不等式解决实际问题时，难点在于建立一元二次不等式表示实际问题中的不等关系，但学生在本章的开始阶段已经重点学习了这个内容，而本节的重点是一元二次不等式的解法.因此，教科书在例4，例5中都直接给出了描述实际问题的二次函数，为建立不等式提供了方便.例如，在例4中，某条摩托车流水线生产的摩托车数量与创造的价值之间的关系表示为二次函数__ ，那么要求这条流水线创收60 000元以上需要生产的摩托车的数量，实际上就是求一元二次不等式的解集.接下来，教科书按照前面介绍的求解一元二次不等式的步骤求出了不等式的解集，并根据实际情况解答了问题.本节的练习和习题2.3中也安排了应用一元二次不等式解实际问题的题目，除了习题2.3中“拓广探索”的题目，其他的题都比较容易列出一元二次不等式.教学中要注意把握本部分内容的重点，把重点放在解一元二次不等式上.。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

重难探究•能力素养全提升
探究点一一元二次不等式的求解
【例1】解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
解(1)方程 2x -3x-2=0 的解是
2
1
x1=-2,x2=2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,
解原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0,
即(ax-2)(x+1)≥0,
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当 a>0 时,原不等式化为
2
-
(x+1)≥0,解得
③当 a<0 时,原不等式化为
2
-
(x+1)≤0.
2
当 >-1,即

a<-2
2
时,解得-1≤x≤ ;

2
x≥或
关系?
提示一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系
数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.
(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?
提示①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.
所以原不等式的解集是 <
1
- 2 ,或
>2 .
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.

《2.3-二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

《2.3-二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

二次函数与一元二次方程、不等式第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册

13
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论【例 2－1】解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1； (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
原不等式的解集为x|x≠23.
6
先转化为一般形式 y
6
5
4
3
2
1
–1 0 2 1 x
3
–1
y＝9x2－12x＋4
课堂精讲
解一元二次不等式的一般步骤 (1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集.
14
按判别式的符号分类，即 >0, =0, <0.
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论【例 2－1】解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 x1＝41(－a－ a2－16)，x2＝14(－a＋ a2－16).
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R；当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a>4或a<－4时，原不等式的解集为

人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式第2课时不等式的解法及应用(共33张PPT)

-
≥0;
+
解:(1)原不等式可化为 (-)( + ) ≥ ,
+ ≠ ,
解得

≤ - 或 ≥ ,

≠- .

所以 x<- 或 x≥ ,

所以原不等式的解集为{x|x<- 或 x≥ }.
数学
(2)
-
>1.
+
解:(2)原不等式可化为
数学
第2课时
不等式的解法及应用
数学
知识探究·素养启发
课堂探究·素养培养
数学
知识探究·素养启发
知识探究
一元二次不等式的解集是 R 或的含义
[问题1-1] 一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)时,相
对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么特征?一元二次不等式ax2+bx+c<0

-3<k≤0.故选 D.
)
数学

2
[变式训练 3-1] 若命题 p:存在 x∈R,使 2kx +kx+ <0 是假命题,则实数 k 的取

值范围为
.
2

解析:由命题 p 为假命题可知﹁p“∀x∈R,2kx +kx+ ≥0 恒成立”为真命题.

当 k=0 时满足题意;当 k≠0 时,则
> ,

所以 m<

-+
因为函数 y=

.

高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式教学案新人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(教师独具内容)课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题．教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题．教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念01一个未知数，并且未知数的□02最高次数是2的不等式，称为一一般地，我们把只含有□元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的□01零点．知识点三一元二次不等式的解集的概念02解使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的□01集合叫做这个一元二次不等式的□集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的□01字母表示题中的□02未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出□03关于未知数的不等式(组)；04求解所列出的不等式(组)；(3)□(4)结合题目的□05实际意义确定答案．【新知拓展】1．解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：(ⅰ)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；(ⅲ)由图象得出不等式的解集．②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．(2)含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.2．利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．( )(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．( )(3)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两解为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}．( )(4)用不等式解决实际问题最后要结合题目的实际意义确定答案．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________．(2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(3)当a>0时，若ax2＋bx＋c>0的解集为R，则Δ应满足的条件为________．(4)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________.(5)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．答案 (1)R (2){x |－4<x <1} (3)Δ<0 (4)4 (5)大于8小于等于403题型一不含参数的一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－x 2＋8x －3>0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0；(5)－12x 2＋3x －5>0；(6)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12，又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (5)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅. (6)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R .金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集．[跟踪训练1] 求下列不等式的解集： (1)x 2－3x ＋1≤0；(2)3x 2＋5x －2>0； (3)－9x 2＋6x －1<0；(4)x 2－4x ＋5>0； (5)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为{|x 3－52≤x ≤3＋52. (2)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－2. (3)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. 题型二含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )： (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[解] (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . ②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}． (2)若a ＝0，原不等式为－x ＋1<0，解得x >1；若a <0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1；若a >0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故①当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅；②当a >1时，由(*)式可得1a<x <1；③当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. 金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[跟踪训练2] 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a . 解原不等式得x >a 2或x <a . ②当0<a <1时，a 2<a ，解原不等式得x >a 或x <a 2.③当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. ④当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}. 题型三 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．[解] 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0，故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．[条件探究] 本例中把{x |－3<x <4}改为{x |x <－3或x >4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－3或x >4}，所以a >0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－b a ，－3×4＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15>0，解得x <－3或x >5，故所求不等式的解集为{x |x <－3或x >5}．金版点睛三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：[跟踪训练3] (1)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________；(2)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1解析 (1)由题意－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2.(2)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3，ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.题型四利用一元二次不等式判断车速例4 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h ，28521≈168.88)[解] 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h ，根据题意，得120x ＋1180x 2＞39.5.移项整理，得x 2＋9x －7110＞0.显然Δ＞0，x 2＋9x －7110＝0有两个实数根，即x 1≈－88.94，x 2≈79.94.然后，根据二次函数y ＝x 2＋9x －7110的图象，得不等式的解集为{x |x ＜－88.94或x ＞79.94}．在这个实际问题中，x ＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h. 金版点睛一元二次不等式的应用题常以二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.[跟踪训练4] 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12，即x 2＋10x －1200>0，解得x >30或x <－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m ，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2>10，即x 2＋10x －2000>0，解得x >40或x <－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h ，即超过规定限速，所以乙应负主要责任.题型五利用一元二次不等式解决利润问题例5 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ [解] (1)依题意，得y ＝[1.2(1＋0.75x )－(1＋x )]×1000×(1＋0.6x )＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)．∴所求关系式为y ＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)(0＜x ＜1)． (2)依题意，得1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)＞(1.2－1)×1000. 化简，得3x 2－x ＜0.解得0＜x ＜13.∴投入成本增加的比例x 的范围是0<x <13.金版点睛解不等式应用题，一般可按四步进行：①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；③解不等式(或求函数最值)；④回归到实际问题.[跟踪训练5] 将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．问为了使赚得的利润不少于8000元，售价应定在多少范围？这时应进货又在什么范围？解如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元．为了使赚得的利润不少于8000元，只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多．设该商品涨价x 元，则该商品销售时的单价是(50＋x )元，每个商品的利润是[(50＋x )－40]元，销售量是(500－10x )个．由题意可列不等式为[(50＋x )－40](500－10x )≥8000.整理，得x 2－40x ＋300≤0.解这个一元二次不等式，得10≤x ≤30.故该商品销售时的单价应定在大于等于60小于等于80之间．因为销售量和该商品涨价x 元之间是一次函数关系，且当该商品销售时的单价为60元时，其销售量是500－10×10＝400(个)；当该商品销售时的单价为80元时，其销售量是500－10×30＝200(个)．故这时应进货的范围为大于等于200小于等于400.1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．x 2－3x ＋5>0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2<0 D ．－2＋3x －2x 2>0 答案 D解析 A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x >－2＋22或x <－2－22}，用排除法应选D.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．0<x <2B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0即(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1.∴选B.3．若t >2，则关于x 的不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1t<x <t B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1t或x <t- 11 - C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ t <x <1t 答案 A解析 ∵t >2，∴t >1t， ∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0，解得1t<x <t . 4．在一幅长60 cm ，宽40 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积不大于2816 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的不等式是( )A ．(60＋2x )(40＋2x )≤2816B ．(60＋x )(40＋x )≥2816C ．(60＋2x )(40＋x )＞2816D ．(60＋x )(40＋2x )＜2816答案 A解析 “不大于”就是“≤”，所以根据题意可列出不等式为(60＋2x )(40＋2x )≤2816.5．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件这种风衣所需成本为c ＝500＋30x 元，假设所生产的这种风衣能够全部售出，问：该厂日产量多大时，可使该厂日获利不少于1300元？解设该厂日产量为x 件时，日获利为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由题意可得－2x 2＋130x －500≥1300.解得20≤x ≤45.∴当该厂日产量x 满足20≤x ≤45时，可使该厂日获利不少于1300元．。

人教A版高中数学必修一课件《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式(第1课时)

即不等
式的解集的端点值是相应方程的根．
32
【例 3】已知关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}，求关于 x 的不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集．
[思路点拨]
由给定不等式的解集形式
→
确定a<0及关于 a，b，c的方程组
→
用a表示b，c
→
代入所求不等式
→
求解cx2＋bx＋a<0 的解集
25
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0. 当－2<a<0时，2a≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；
26
当a<－2时，－1≤x≤2a. 综上所述，
当－2<a<0时，解集为x2a≤x≤－1
40
已知以 a，b，c 为参数的不等式如 ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号； 2根据根与系数的关系把 b，c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式； 3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
31
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解

新人教版高中数学必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

其中，，都是常数且 ≠ 0.
1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如，，等；
2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想
方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
③当 = −4时， Δ = 0，2 2 + + 2 = 0有两个相等实根1 = 2 = 1,
所以原不等式的解集为{| ≠ 1}
④当−4 < < 4时， Δ < 0，方程2 2 + + 2 = 0无解
所以原不等式的解集为R
【三个“二次”的关系】
1
1
【解】根据题意得： 180 2 + 20 > 39.5，整理得：
2 + 9 − 7110 > 0，方程 2 + 9 − 7110 = 0有两个实数
−9− 28521
= −88， 2
2
结合图像可知 2 + 9 − 7110
根1 =
=
−9+ 28521
2

= 80，
> 0的解集为
计算 = − 的值
>
=
方程 + + =
方程 + + =
有两个不等实根，
有两个相等实根，
( < )
原不等式的解集为
{| < 或 > ｝
<
( = = −

没有实根
)

高中必修第一册统编人教A版《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》优秀教学教案教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《一元二次不等式及其解法》第１课时。

从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。

从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。

同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。

课程目标学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

a.数学抽象：一元二次不等式的定义及解法； b.逻辑推理：理解三个二次的关系； c.数学运算：按步骤解决一元二次不等式； d.直观想象：运用二次函数图像解一元二次不等式；e.数学建模：将生中的不等关系转化为一元二次不等式解决；重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.多媒体（一）、情境导学问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０，其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝．整理得x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．一元二次不等式的定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.（二）、探索新知问题：二次函数y=x2-5x的函数图像如下，思考：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？我们知道，对于一元二次方程a x2+b x+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。

2.3二次函数与一元二次方程不等式说课课件高一上学期数学人教A版

六、教学过程
例题解析
【例1】求不等式 x2 5x 6 0的解集. 【例2】求不等式 9x2 6x 1 0的解集. 【例3】求不等式 x2 2x 3 0的解集.
设计意图：学生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了判别式大于0，等于0，小于0 对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性.通过例题，使学生初步运用结论来解决具体的一元二次不等式.利用对比加深印象，提高效果，进而总结出解不等式的步骤，提升逻辑推理、数学运算等素养.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
一、教材分析
教材分析学情分析教学目标教学重难点教学方法教学过程板书设计教学反思
选自2019人教版A版普通高中数学必修第一册第二章第三节
教材分析学情分析教学目标教学重难点教学方法教学过程板书设计教学反思
教材的地位和作用
二、学情分析
2
10
x
结论：
方程x2 12x 20 0的根为___x1___2_, x_2___1_0____二. 次函数的零点
不等式x2 12 x 20 0的解集为 ___x_2___x__1_0______.
不等式x2 12 x 20 0的解集为 ___x_x___2或 __x___1_0___.
一元二次不等式的解集
（1）将二次项系数化为正数 (a>0);
（2）计算判别式，判断方程是否有根;
（3）如果有根，求出方程的根；（4）画出相应二次函数的图象；
（5）画出相应二次函数的图象写出不等式的解集，大于取两边、小于取中间。
3.数学思想方法：数形结合
七、板书设计
学情分析教学目标

2019-2020学年高中数学人教A版(2019)必修第一册教师用书：2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2．3二次函数与一元二次方程、不等式考点学习目标核心素养一元二次不等式的解法掌握一元二次不等式的解法数学运算三个“二次”之间的关系理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系数学抽象一元二次不等式的实际应用会用一元二次不等式解决有关实际问题数学建模预习教材P50－P54，并思考以下问题：1．一元二次不等式的概念是什么？2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？1．一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a，b，c均为常数，a≠0)■名师点拨一元二次不等式概念中的关键词(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．4．求解一元二次不等式的过程判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()答案：(1)×(2)√(3)×不等式3x2－2x＋1>0的解集为()A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13 B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫13<x <1 C ．∅ D ．R解析：选D.因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析：选B.由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1x 2＝13×12＝ca，解得a ＝－6，c ＝－1.不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <52解不含参数的一元二次不等式解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0； (4)－12x 2＋3x －5>0.【解】 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－3或x >－12.(2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．1．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( ) A ．{x |x <－1} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 解析：选D.不等式－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，又二次函数y ＝2x 2－x －3的图象开口向上，所以不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32，故选D.2．解不等式：－2<x 2－3x ≤10. 解：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x >－2①，x 2－3x ≤10②，不等式①可化为x 2－3x ＋2>0，解得x >2或x <1. 不等式②可化为x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5. 故原不等式的解集为{x |－2≤x <1或2<x ≤5}．解含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解】 ①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1. ②当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1. ③当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 若a ＝1，即1a ＝1时，不等式无解；若a >1，即1a <1时，解得1a <x <1；若0<a <1，即1a >1时，解得1<x <1a.综上可知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <1.含参一元二次不等式的解法解关于x 的不等式x 2＋x －a (a －1)>0，(a ∈R )．解：因为关于x 的不等式x 2＋x －a (a －1)>0，所以(x ＋a )(x ＋1－a )>0，当－a >a －1，即a <12时，x <a －1或x >－a ，当a －1>－a ，即a >12时，x <－a 或x ＞a －1，当a －1＝－a ，即a ＝12时，x ≠－12，所以当a <12时，原不等式的解集为{x |x <a －1或x >－a }，当a >12时，原不等式的解集为{x |x <－a 或x >a －1}，当a ＝12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－12，x ∈R .三个“二次”之间的关系若关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．【解】由题意知⎩⎨⎧a <0，13＋12＝－ba ，13×12＝c a ，所以⎩⎨⎧a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0，解得－3<x <－2，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}．若将本例中“⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12”改为“{x |13<x <12}”，其他条件不变，如何求解？解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >013＋12＝－b a 13×12＝c a ，即⎩⎨⎧a >0，b ＝－56a <0，c ＝16a >0.代入不等式cx 2－bx ＋a >0，得16ax 2＋56ax ＋a >0(a >0)，即16x 2＋56x ＋1>0，化简得x 2＋5x ＋6>0，解得x >－2或x <－3.所以所求不等式的解集为{x |x >－2或x <－3}．三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：1．若不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．－3D ．－1解析：选A.因为不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |1<x ＜2}，所以1和2为方程(x －a )(x－b )＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以a ＋b ＝1＋2＝3，即a ＋b 的值为3.2．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立．所以Δ＝(－a )2－8a <0，解得0<a <8. 答案：0<a <8一元二次不等式的实际应用某小区内有一个矩形花坛ABCD ，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，如图所示．已知AB ＝3 m ，AD ＝2 m.要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，则DN 的长应在什么范围内？【解】设DN 的长为x (x >0)m ，则AN 的长为(x ＋2)m. 因为DN AN ＝DCAM ，所以AM ＝3（x ＋2）x ，所以S 矩形AMPN ＝AN ·AM ＝3（x ＋2）2x .由S 矩形AMPN >32，得3（x ＋2）2x >32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得0<x <23或x >6，即DN 的长的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <23或x >6.解不等式应用题的步骤1．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：选C.由题意知y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．2．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，求出该矩形边长的取值范围．解：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m ，0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．1．不等式3x 2－7x ＋2<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 D ．{x |x >2}解析：选A.因为3x 2－7x ＋2＝(x －2)(3x －1)<0，所以13<x <2.2．不等式(3x －2)(2－x )≥0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2或x ≤23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32≤x ≤2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤2解析：选A.原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －23(x －2)≤0，解得23≤x ≤2，故选A. 3．要使17－6x －x 2有意义，则x 的取值范围为________．解析：要使17－6x －x 2有意义，则7－6x －x 2>0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1. 答案：－7<x <14．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围为________．解析：由题意可列不等式如下：⎝⎛⎭⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5.答案：3≤t ≤5[A 基础达标]1．下列四个不等式： ①－x 2＋x ＋1≥0； ②x 2－25x ＋5>0； ③x 2＋6x ＋10>0； ④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：选C.①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．故选C.2．(2019·临川一中月考)不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a >4或a <－4}B ．{a |－4<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－4}D ．{a |－4≤a ≤4}解析：选A.不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，所以Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.3．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A ．{x |x <5a 或x >－a }B ．{x |x >5a 或x <－a }C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选A.方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a . 因为2a ＋1<0，所以a <－12，所以－a >5a .结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }，故选A.4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解析：选A.由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，则－1＋2＝－b a，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.所以2x 2＋bx ＋a ＝2x 2＋x －1＜0，解得－1＜x ＜12. 5．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________．解析：因为不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集为{}x |－7<x <－1，所以方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根为－7和－1，所以(－7)×(－1)＝21a，所以a ＝3. 答案：36．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________．解析：因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集为{x |1＜x ＜m }．所以a >0，且1与m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根．则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，m ＝a ，即1＋m ＝6m . 所以m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或m ＝2，当m ＝－3时，a ＝m <0(舍去)，故m ＝2.答案：27．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．解析：由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x 的最小值为20. 答案：208．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2>0；(2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1；(3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，所以(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0.所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥1. (3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R .9．已知关于x 的不等式x 2－x －m ＋1>0.(1)当m ＝3时，解此不等式；(2)若对于任意的实数x ，此不等式恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝3时，不等式为x 2－x －2>0，方程x 2－x －2＝0的两根为2和－1，根据函数y ＝x 2－x －2的图象，可知此不等式的解集为{x |x >2或x <－1}．(2)不等式x 2－x －m ＋1>0对任意实数x 恒成立，等价于二次函数y ＝x 2－x －m ＋1的图象在x 轴上方，即1－4(－m ＋1)<0，解得m <34，所以实数m 的取值范围是m <34. [B 能力提升]10．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅解析：选A.因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D 选项．11．已知A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－1<0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________．解析：方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，所以B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1a ＋1≥2，解得1≤a ≤2. 答案：1≤a ≤212．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由题意解得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8.答案：2≤x <813．解关于x 的不等式x 2＋3ax －4a 2<0(a ∈R )．解：由于x 2＋3ax －4a 2<0可化为(x －a )·(x ＋4a )<0，且方程(x －a )(x ＋4a )＝0的两个根分别是a 和－4a .当a ＝－4a ，即a ＝0时，不等式的解集为∅；当a >－4a ，即a >0时，解不等式为－4a <x <a ；当a <－4a ，即a <0时，解不等式为a <x <－4a .综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a >0时，不等式的解集为{x |－4a <x <a }；当a <0时，不等式的解集为{x |a <x <－4a }．[C 拓展探究]14．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝－2x ＋118x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？解：由题设条件应列式为－2x ＋118x 2≥22.5，移项、整理、化简得不等式x 2－36x －405≥0.因为Δ>0，所以方程x 2－36x －405＝0有两个实数根x 1＝－9，x 2＝45，所以不等式的解为x ≤－9或x ≥45.在这个实际问题中x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.。