第八节分子对称性和分子点群

二、分子点群
1、群的基本概念 i、群的定义 一个集合G含有A、B、C、D等元素，在这些元
素之间定义一种运算（通常称为“乘法”），如果满足下四个 件，则称为集合G为群。
封闭性 缔和性
有单位 元 素
G含有A、B、C、D等元素，若A和B是G中任意两个元 2 素，则有 AB C 及 A D ，C和D仍属G中的元素
Cn 轴定义
将分子图形以直线为轴旋转某个角度能产生 分子的等价图形。
单重（次）轴C1 二重（次）轴C2 三重（次）轴C3
2 2 / 2 2 / 3
n重（次）轴Cn 2 / n 操作定义
旋转轴能生成n个旋转操作，记为： … , C n , Cn …
2
…


C ,C
C
2 E , C n , C n , C n3 , … , C n 1 n n E ) (C n
n
C1
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错
CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 点群表示 点群示例
群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
的，每个元素与自身共轭，即
… E C2 C2 E
1 2 v




每个元素为一类。

C2 v群共有四类，
… s s s s C C2 C C E v v

1 2 2 v
Cn 群
点群定义 点群表示
点群示例
无任何对 称 元素
对称元素是n重旋转轴，共有n个旋转操作， 标记为Cnn 。

BF3
C2 H 2Cl2
有对称中心
无对称中心
（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 ( S n ) 如果分子图形绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的 镜面反映，可以产生分子的等价图形，则将该轴和镜 面组合所得到的对称元素称为象转轴。

S n Cn s h s h Cn
S sh C
k n k n k n





S
S
C
sh

k n
(k为奇数时)
(k为偶数时) (n为奇数时) (n为偶数时)
S1 s h S 2 C2 s h i



n n
S
n n
E

（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 ( S n )

操作演示
在反式二氯乙烯分子中, Z轴是C2轴, 且有垂直于Z轴的镜面,因此Z轴必 为S2 (见左图), 此时的S2不是独立的。 而Y轴不是C2轴, 且没有垂直于Y 轴的镜面, 但Y轴方向满足S2对称性 (见右图), 此时的S2是独立的。
E , C n , C n2 , … , C n 1 n 1 v 2 v … n s , , v
C
nv
,s
,s

C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
点群示例
Cnv 群
C v
C3v
CO
NH 3
点群定义
Cnh 群
群中含有一个 Cn 轴，还有一个垂直于Cn 轴面σh,当 n为奇数时，此群相当于Cn 和σh的乘积，当n为偶数时，Cnh相当 于Cn 和 i 的乘积，因此群阶为2n。
G中各元素之间的运算满足乘法结合率，即三个元 素相乘其结果和乘的顺序无关，即 ( AB)C A( BC )
G中具有单位元素，它使集合G 中的任一元素足于 ER RE R
1 1
G中任一元素R均有其逆元素 R ， R 有逆元素 且有 RR 1 R 1 R E
亦属于G，
B、ຫໍສະໝຸດ Baidu的阶和子群
s z 2
y
x
对称操作的乘积
如果一个操作产生的结果和两个或多个其他操作 连续作用的结果相同，通常称这一操作为其他操 作的乘积。

Example 分子具有 A B , C , D 等对称操作，若其中某些操作 , 满足于关系A B C ， 即对分子先后施行 和 B A 操作， 其结果相当于对分子单独施行 C 操作，则称 C 为 A 和 B 的乘积。
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和 子群的关系为： 大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类 若X和A是群G中的两个元素，有 X 1 AX B ，这时，称A 和 B为共轭元素。群中相互共轭的元素的完整集合构成群的类。 Example 在 H 2O的 C2v群中的任意两个元素之积是可以交换
C C n×s
2 … , C nn 1 , s E ,C n,C n , C 2×s , … , C n 1 × s n h n h h
, C n×s

h
nh
h
,
点群示例
Cn
C 1h
HClO
C 2h
C4 H 6
点群定义
Dn 群
要素（点、线、面及其组合）。
转 120
o
（1） 恒等元素 ( E ) 和恒等操作 ( E )

恒等操作
恒等操作是所有分子几何图形都具有 的，其相应的操作是对分子施行这种 对称操作后，分子保持完全不动，即 分子中各原子的位置及其轨道的方位 完全不变。
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )

n
n1

n n
E

（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )

操作演示
C３
C２
（3）对称面 s 和反映操作 s

对称面所相应的对称操作是镜面的一个反映
s v 面：包含主轴
对称面
s h 面：垂直于主轴 s d 面：包含主轴且平分相邻 C2轴夹角
2
（4）对称中心 (i ) 和反演操作 ( i ) 对于分子中任何一个原子来说，在中心点的另一侧，必能 找到一个同它相对应的同类原子，互相对应的两个原子和 中心点同在一条直线上，且到中心点有相等距离。这个中 心点即是对称中心。
将这首诗从头朗诵到尾, 再反过来, 从尾到头去朗 诵, 分别都是一首绝妙好 诗. 它们可以合成一首 “对称性”的诗，其中 每一半相当于一首“手 性”诗.
一 、对称元素和对称操作
每一次操作都能够产生一个和原来图形等 价的图 对称操作 形，经过一次或连续几次操作能使图形完全复原。
对称元素 对分子几何图形施行对称操作时，所依赖的几何