人教A版(2019)高中数学必修二 6 4 3余弦定理 第1课时 学案(无答案)

6.4.3 余弦定理、正弦定理

第1课时 余弦定理

学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.

2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

情景导入

千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A ，B ，C ，岛屿A 与B 之间距离因A ，B 之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC ，BC 的距离分别为6 km 和4 km ，且AC ，BC 的夹角为120°，那么岛屿A ，B 间的距离如何计算呢？

一、余弦定理的推导

问题1 在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，怎样用a ，b 和C 表示c ?

提示 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，

那么c ＝a －b ，①

阅读教材42页 完成余弦定理的推导

问题2 在问题1的探究成果中，若A ＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？

知识梳理

1．余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边减去这两边与它们夹角的余弦的．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有

a2＝，

b2＝，

c2＝.

课堂练习在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋√2a c，则角B的大小是

A.45°

B.60°

C.90°

D.135°

二、已知两边及一角解三角形

例1(教材P43例5改编)（1）在△ABC中，已知b＝3，c＝23，A＝30°，求a的值；

(2)在△ABC中，已知b＝ 5，c＝5， cos C＝9

，求a的值.

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反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法

已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边．

跟踪训练1已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14

，则c ＝ .

三、已知三边解三角形

问题3 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？

提示 将余弦定理的公式进行变形.

知识梳理

余弦定理的推论：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 则cos A ＝ ，

cos B ＝ ，

cos C ＝ .

注意点：余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画．

例2（1）在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角的大小．

(2)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C 等于

A.90°

B.120°

C.135°

D.150°

反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法

利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．

课堂小结

1．知识清单：

(1)余弦定理．

(2)余弦定理解决的两类问题．

已知两角及一边解三角形（给出两边及夹角 两边及一边的对角） 已知三边解三角形

2．方法归纳：化归转化、数形结合．

3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件．

随堂检测

1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35

，则该三角形的第三条边长为( )

A ．52

B ．213

C ．16

D ．4

2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12

3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＋c 2＝3ac ，则角B 为( )

A.π6

B.π3

C.π3或2π3

D.π6或5π6