高中数学必修二 6 3 2-6 3 4 平面向量数乘运算的坐标表示(第1课时)学案

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）

【学习目标】

一．平面向量的正交分解

把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解． 二．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．

在向量的直角坐标中i ，j ，0的坐标分别为i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 三．平面向量的坐标运算

(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则

①a ＋b ＝ ； ②a －b ＝ ； ③λa ＝ ．

(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标． 注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．

(2)已知向量AB

→的起点A (x 1

，y 1

)，终点B (x 2

，y 2

)，则AB →＝(x 2

－x 1

，y 2

－y 1

)．

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )．( )

(2)若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2.( ) (3)若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O .( ) (4)若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．( )

2.已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )

A ．(－2，－1)

B ．(2，1)

C ．(1，2)

D ．(－1，－2)

【经典例题】

题型一 平面向量的坐标表示

点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．

(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

例1 分别用基底{ i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标。

【跟踪训练】1 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，

（1）求向量OA

→的坐标；

（2）若B (3，－1)，求BA →的坐标．

【跟踪训练】3

题型二 平面向量的坐标运算

点拨： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行

例2 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3，4)，求a ＋b ， a －b ，3a ＋4b 坐标。

【跟踪训练】2（1）已知A ，B ，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB →＋2BC →＝

____________，BC

→－12AC →＝____________．

题型三 向量坐标运算的综合应用

例3.已知▱ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D 的坐标． 分析：教材P30例，解法1利用向量相等(即AB →＝DC →)求解，解法2利用向量的加法求解．想一想还有别的方法吗？

【跟踪训练】3已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP →＝OA →＋tAB →.

(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？

(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

【当堂达标】

1.设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA

→＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8) 2.已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)

3．已知MA

→＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12

AB →等于( )

A ．(0，5)

B ．(0，1)

C ．(2，5)

D ．(2，1)

4.在▱ABCD 中，A ＝(1,2)，B ＝(3,5)，AD

→＝(－1,2)，则AC →＋BD →＝( )

A ．(－2,4)

B ．(4,6)

C ．(－6，－2)

D ．(－1,9)

5.已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC

→＝2BD →，则x ＋y ＝________．

6.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c .

(1)求3a ＋b －3c ；

(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n

的值．

【课堂小结】

平面向量坐标运算的技巧:

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．