【人教版】中职数学(拓展模块)：1.1《和角公式》ppt课件(2)
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高教版中职数学(拓展模块)1.1《两角和与差的正弦公式与余弦公式》word教案2
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正切公式，了解二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是二倍角公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】考虑到学生继续学习的需求，介绍两角和与差的正切公式。
例7是应用两角和正切公式的基本题目．例8的两道题目，对学生来说是比较困难的，但是这两道题目是非常关键的．要以他们为载体，提升学生的数学思维能力．对例8（2），要引导学生思考，将两个地方的1用tan 45︒替换，就可以利用两角和正切公式了．本例题所使用的方法，在三角式变形中经常使用．明确二倍角的概念．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值．求cos 2α时，使用的公式有利用同角三角函数关系、利用cos α和利用sin α的三类公式可供选择．选用公式2cos 212sin αα=-的主要原因是考虑到sin α是已知量．例10中，讨论2α角的范围是因为利用同角三角函数关系求sin 2α时需要开方．旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式．教材在求sin4α时，利用了升幂公式，由讨论2α角的范围来决定开方取正号还是负号．虽然这里就是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍．例11是三角证明题．证明的基本思路是将角用半角来表示，再进行三角式的化简．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】可以将75°角看作-1tan30tan45；（2）．25tan35）题可以逆用公式（）；（2）题可以利用tan(2525tan 35＝tan 603==；tan151tan 45tan15=-tan(4515)tan603=+==．公式．要注意应用这种变形方法来解决问题．tan15tan15的值．的值．22.5【教师教学后记】。
中职数学基础模块上册《角的概念与推广》课件
课程目标
理解角的概念及推广，掌 握角度的度量方法和相关 计算。
掌握象限角、轴线角、极 角等不同类型角的概念及 表示方法。
理解旋转角的概念及性质 ，掌握旋转矩阵的表示方 法。
了解角在几何、代数学、 物理学等学科中的应用， 能够解决相关问题。
02
角的概念与推广
角的基本概念
锐角
小于90°的角
直角
等于90°的角
角的应用场景
01 几何学
角是几何学中重要的基本概念，涉及到图形的形 状、大小和位置等
02 三角函数
角在三角函数中有着广泛的应用，如正弦、余弦 、正切等函数的定义都涉及到角度
03 旋转运动
在物理和工程学中，角度常常用于描述旋转运动 ，如机械臂的转动、车轮的转动等
03
角的度量与计算
角的度量方法
角度制
。
角的画法与性质的应用场景
实际生活
在日常生活中，角的画法与性质被广泛应用，如制作模 型、设计图纸、建筑测量等。
数学问题
在数学问题中，角的画法与性质也是必备的知识点之一 ，如解析几何、三角函数、极坐标等。
05
总结与回顾
本章重点回顾
角的概念及推广 角在坐标系中的表示
象限角与轴线角的概念 角的应用
学习方法总结
钝角
大于90°但小于180°的角
等于180°的角
平角
等于360°的角
周角
角的度量单位
度（°）和弧度（rad）
角的推广概念
01 象限角
将平面分成四个区域的角，分别为第一象限角、 第二象限角、第三象限角和第四象限角
02 轴线角
与轴线平行的角，通常用于描述旋转运动
03 终边相同的角
人教版中职数学(拓展模块)2
y l
OF x
思考4:若抛物线顶点在原点，焦 点在坐标轴上，其开口方向有哪 几种可能？
向左、向上、向下.
思考5：下列各图中抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别是什么？
yl
x2 y2
F
O x l 1 43 x2 y2 1
26
y
F
O
x
方程 y2＝－2px
焦点
(- p , 0) 2
准线
x=p 2
抛物线y2＝2px（p＞0）的范围、 对称性、顶点、离心率、焦半径分别 是什么？
范围: x≥0，y∈R；
对称性: 关于x轴对称；
顶点: 原点；
离心率: e＝1；
焦半径：
|
M. F
|=
x0
+
p 2
课题引入：过抛物线的焦点F作直线
交抛物线于A.B两点，线段AB叫做抛
物线的焦点弦，今天我们一起探讨
抛物线的
y2 16x.
课前练习: 若点M到点F（4，0）的距
离比它到直线l:x＋5＝0的距离少1， 求点M的轨迹方程. y M
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
探究（一）: 抛物线的生成方式
思考1:如图，一个动圆M经过一定点A，
且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是
什么？
l M
A
以点A为焦点, 直线l为准线的抛物 线.
思考2：抛物线的焦点弦 AB的长是否存在最小值？ 若存在，其最小值为多 y A 少？ 垂直于对称轴的焦点弦 O F x 最短，叫做抛物线的通 B 径，其长度为2p.
思考：△AOB面积如何求？
思考：为什么规定点F不在直线l
上？ l
OF x
思考4:若抛物线顶点在原点，焦 点在坐标轴上，其开口方向有哪 几种可能？
向左、向上、向下.
思考5：下列各图中抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别是什么？
yl
x2 y2
F
O x l 1 43 x2 y2 1
26
y
F
O
x
方程 y2＝－2px
焦点
(- p , 0) 2
准线
x=p 2
抛物线y2＝2px（p＞0）的范围、 对称性、顶点、离心率、焦半径分别 是什么？
范围: x≥0，y∈R；
对称性: 关于x轴对称；
顶点: 原点；
离心率: e＝1；
焦半径：
|
M. F
|=
x0
+
p 2
课题引入：过抛物线的焦点F作直线
交抛物线于A.B两点，线段AB叫做抛
物线的焦点弦，今天我们一起探讨
抛物线的
y2 16x.
课前练习: 若点M到点F（4，0）的距
离比它到直线l:x＋5＝0的距离少1， 求点M的轨迹方程. y M
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
探究（一）: 抛物线的生成方式
思考1:如图，一个动圆M经过一定点A，
且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是
什么？
l M
A
以点A为焦点, 直线l为准线的抛物 线.
思考2：抛物线的焦点弦 AB的长是否存在最小值？ 若存在，其最小值为多 y A 少？ 垂直于对称轴的焦点弦 O F x 最短，叫做抛物线的通 B 径，其长度为2p.
思考：△AOB面积如何求？
思考：为什么规定点F不在直线l
上？ l
高教版中职数学(拓展模块)1.1《两角和与差的正弦公式与余弦公式》ppt课件3
(1.6)
因为sin2 cos2 1 ，所以公式(1.6)又可以变形为
探
cos 2 2cos2 1
索 新
或 cos 2 1 2sin2
还可以变形为
sin2 1 cos 2 ,
2
cos2 1 cos 2 .
2
知
公式（1.5）、（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的
三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用．
巩
例8
已知
sin
3，且
5
为第二象限的角，求 sin2、cos2 的值．
固
解 因为 为第二象限的角，所以
知
识
cos 1 sin2 1 (3 )2 4
5
5
典 型
故 sin 2 2sin cos 24
25
例
cos 2 1 2sin2 7
题
25
巩 固
例9
已知cos
2
1 3
活
动
实践调查：用两角和与差的余弦
探
究
公式印证一组诱导公式
，且
(π, 2π) ，求
sin、cos
4
的值．
解 由 (π,2π) 知 (π , π)，所以
22
知
sin
1 cos2
1 1 2
2
识
2
2
93
故 sin 2sin cos 2 2 2 ( 1) 4 2
典 型 例 题
22
3
3
9
由于 (π , π) ，且
4 42
cos2
1 cos
建
cos 2 cos2 sin2 ．
构
人教版中职数学拓展模块《角公式的应用》教案 (一)
人教版中职数学拓展模块《角公式的应用》教案 (一)《角公式的应用》教案是人教版中职数学拓展模块中的一课，该课程主要讲述了角度的概念以及角公式在几何问题中的运用。
本文将从以下方面对该教案进行分析和评价。
一、教案的结构本教案由导入、讲解、实践、总结等四部分组成。
导入部分主要通过让学生思考一个问题引起学生兴趣，讲解部分对角度的概念和角公式进行深入的解释，实践部分让学生通过练习题巩固所学知识，总结部分则对本课所学内容进行清晰的概括和总结。
二、教案的教学目标该教案旨在帮助学生掌握角度的概念和角公式在几何问题中的应用，让学生能够灵活运用已学知识解决实际问题。
三、教案的教学方法该教案采用了多种教学方法，包括讲解、演示、练习、讨论等，通过多种方式对学生进行知识的传授和学习效果的检测，能够提高学生的学习热情和学习效果。
四、教案的实际应用该教案在实际应用中具有一定的可操作性和实用性。
通过让学生进行练习，帮助学生巩固所学知识，同时也能够让学生了解到角公式在实际问题中的应用，对于学生的学习和日后的生活都具有一定的指导和帮助作用。
五、教案的改进点该教案虽然在总体上比较完善，但在实际运用中，仍有一些需要改进的地方。
例如在实践部分可以加入一些具体的实际问题供学生思考和解决，同时也可以对所涉及的概念和公式进行深入的解释和分析，以增强学生的理解和掌握。
综上所述，《角公式的应用》教案是一份比较完善的教案，通过导入、讲解、实践、总结等四个部分对学生进行知识传授和学习效果检测，同时也具有一定的可操作性和实用性。
在实际应用中，还可以根据具体情况进行进一步改进，以满足不同学生的学习需求。
人教版中职数学(拓展模块)1.4《三角公式的应用》ppt课件1
2019/10/17
教学资料精选
11
谢谢欣赏！
2019/10/17
教学资料精选
12
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
4
5
4
问:做完这两题后对你有什么启发?
学会分析已知条件中的角和要求角之间的关系(拆角拼角).如:
,2 ( ) ( ),( x) ( x) , 2 等
4
42Βιβλιοθήκη 2问题3:(1) tan150 tan 300 tan150 tan 300
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
变式1: 在(1)中,若0 x ,求此函数值域.
变式2
:
求y
s in 2
1.1.1 两角和的余弦公式 课件-中职数学人教版拓展模块
温故知新
两角和的余弦公式
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β）
再 见
新知探究
例2 ，且的值.解 因为，且所以
=．
练习2 ，的值.
新知探究
练习4 求证：cos２α＝cos２α－sin２α．
新知探究
证明：cos２α－sin２α=cos αcos α－sin αsin α=cos２α．
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β）
新知探究
例1 求的精确值． 解 ＝ ＝－ ＝．
新知探究
练习1 求下列各式的精确值： （1） cos 75°；（2） cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°；（3）cos 22.5°cos 22.5°－sin 22.5°sin 22.5°；（4） cos215°－sin215°．
1.1.1 两角和的余弦公式
中职数学人教版中职数学拓展模块
问题导入
本章导语中需要求cos 75°的值．事实上，我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值， 能否根据这些值来求cos15°的值？ 一般地，怎样根据α和β的三角函数值求出cos（α+β）的值？
新知探究
我们首先研究角α和β均为锐角的情况． 如图所示，以坐标原点为中心作单位圆， 并设单位圆与x轴的正半轴交于点A（1，0），以Ox为始边作角α，α＋β，－β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，B，则点P，Q，B的坐标分别可表示为
P（cos α，sin α），Q（cos（α＋β），sin（α＋β）），B（cos（－β），sin（－β））．
新知探究
易证得△QOA△POB，则 ＝ ，即=， 两边平方，得2－2cos（α＋β） ＝2－2cos αcos β＋2sin αsin β， 化简，得
两角和的余弦公式
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β）
再 见
新知探究
例2 ，且的值.解 因为，且所以
=．
练习2 ，的值.
新知探究
练习4 求证：cos２α＝cos２α－sin２α．
新知探究
证明：cos２α－sin２α=cos αcos α－sin αsin α=cos２α．
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β）
新知探究
例1 求的精确值． 解 ＝ ＝－ ＝．
新知探究
练习1 求下列各式的精确值： （1） cos 75°；（2） cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°；（3）cos 22.5°cos 22.5°－sin 22.5°sin 22.5°；（4） cos215°－sin215°．
1.1.1 两角和的余弦公式
中职数学人教版中职数学拓展模块
问题导入
本章导语中需要求cos 75°的值．事实上，我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值， 能否根据这些值来求cos15°的值？ 一般地，怎样根据α和β的三角函数值求出cos（α+β）的值？
新知探究
我们首先研究角α和β均为锐角的情况． 如图所示，以坐标原点为中心作单位圆， 并设单位圆与x轴的正半轴交于点A（1，0），以Ox为始边作角α，α＋β，－β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，B，则点P，Q，B的坐标分别可表示为
P（cos α，sin α），Q（cos（α＋β），sin（α＋β）），B（cos（－β），sin（－β））．
新知探究
易证得△QOA△POB，则 ＝ ，即=， 两边平方，得2－2cos（α＋β） ＝2－2cos αcos β＋2sin αsin β， 化简，得
数学(拓展模块)第1章
sin αsin(－β)=cos αcos β+sin αsin β. 由此，我们得到了两角差的余弦公式 cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β. （1-2） 式（1-2）反映了α －β的余弦函数值与α ,β的三角函
数值之间的关系.
1.1 和角公式
学习提示
式（1-1）、（1-2）的特点可归纳为：任意 角、同名称、符号反.
数学
（扩展模块）
第1章 三角公式及应用
1.1 和角公式
1.2 正弦型函数
1.3
正弦定理与余弦定理
1.1 和角公式
1.1.1 两角和与差的余弦公式
我们知道：
cos 60°= 1 2
,cos 30°=
3 2 ，cos
60°+cos
30°=
1
2
3，
cos(60°+30°)=cos 90°=0，
显然
cos 60°+cos 30°≠cos(60°+30°)，
由此可知，一般情况下，对于任意两个角α 、β，cos(α +β)≠cos
α+cos β.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何
计算cos(α +β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.
1.1 和角公式
如图1-1所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α ,β.为简单起见， 我们先假定α ,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与 单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cos α,sin α)，点C的坐标为(cos β,
4
1.1 和角公式
例7是否还有别的解法？
1.1 和角公式
数值之间的关系.
1.1 和角公式
学习提示
式（1-1）、（1-2）的特点可归纳为：任意 角、同名称、符号反.
数学
（扩展模块）
第1章 三角公式及应用
1.1 和角公式
1.2 正弦型函数
1.3
正弦定理与余弦定理
1.1 和角公式
1.1.1 两角和与差的余弦公式
我们知道：
cos 60°= 1 2
,cos 30°=
3 2 ，cos
60°+cos
30°=
1
2
3，
cos(60°+30°)=cos 90°=0，
显然
cos 60°+cos 30°≠cos(60°+30°)，
由此可知，一般情况下，对于任意两个角α 、β，cos(α +β)≠cos
α+cos β.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何
计算cos(α +β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.
1.1 和角公式
如图1-1所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α ,β.为简单起见， 我们先假定α ,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与 单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cos α,sin α)，点C的坐标为(cos β,
4
1.1 和角公式
例7是否还有别的解法？
1.1 和角公式
高教版中职数学(拓展模块)1.1《两角和与差的正弦公式与余弦公式》ppt课件3
考
cos 2 cos2 sin2
(1.6)
因为sin2 cos2 1 ，所以公式(1.6)又可以变形为
探
cos 2 2cos2 1
索 新
或 cos 2 1 2sin2
还可以变形为
sin2 1 cos 2 ,
2
cos2 1 cos 2 .
5
5
典 型
故 sin 2 2sin cos 24
25
例
cos 2 1 2sin2 7
题
25
巩 固
例9
已知cos
2
1 3
，且
(π,
2π)，求
sin、cos
4
的值．
解 由 (π,2π) 知 (π , π)，所以
22
知
sin 1 cos2 1 1 2 2
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
第1章 三角计算及其应用
1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式
在两角和的正弦公式中，令 ，可以得到二倍角的正弦公式
动
sin 2 sin cos cos sin 2sin cos．
脑
即 sin 2 2sin cos
(1.5)
思 同理，公式（1.1）中，令 ，可以得到二倍角的余弦公式
中职数学(拓展模块上册)第二章《三角计算》课件
4
（2）将15°看成是45°与30°的差,利用式(2-1)得
cos15 cos 45 30 cos 45cos 30 sin 45sin 30 2 3 2 1 6 2
2 2 22
4
2.1 和角公式
2.1.1两角和与差的余弦公式
例2 设 cos = 3，cos = 4,并且α和β都是锐角，求cos(α+β)的值.
sin
sin
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
2.1 和角公式
2.1.2两角和与差的正弦公式
由此，我们得到了两角和的正弦公式
sin sin cos cos sin
(2-3)
式(2-3)反映了α+β的正弦函数值与α，β的正弦、余弦之间的关系.因此,式(2-3)称为两角和的 正弦公式.
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin
由此，我们得到了两角和的余弦公式
cos cos cos sin sin
” (2-2)
式(2-2)反映了α+β的余弦与α,β的正弦、余弦之间的关系.因此，式(2-2)称为两角和的余弦公式.
2.1 和角公式
2.1.2两角和与差的正弦公式 将式(2-3)中的β换成-β,则有
sin sin sin cos cos sin
sin cos cos sin
2.1 和角公式
2.1.2两角和与差的正弦公式
由此，我们得到了两角差的正弦公式
sin sin cos cos sin
55 55
2.1 和角公式
2.1.1两角和与差的余弦公式
中职数学 拓展模块 第1章 三角公式及应用
由此，我们得到了两角和的正弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsin β. （1-3） 式（1-3）反映了α+β的正弦函数值与α,β的三角函数值之 间的关系.
1.1 和角公式
将式（1-3）中的β换成－β，则有 sin(α－β) =sin［α+(－β)］ =sinαcos(－β)+cosαsin(－β) =sinαcosβ－cos αsinβ.
1.1 和角公式
又由于
OB· OC =（cos α，sin α）·（cos β,-sin β）
=cos αcos β－sin αsin β，
所以
cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β. 由此，我们得到了两角和的余弦公式
图1-1
cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β. （1-1）
数学
（扩展模块）
LOGO
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例7是否还有别的解法？
1.1 和角公式
例8 已知cosα= 3/5 ,α∈(－π/2 ,0)，求sin(α+ π/3)的 值.
解 利用式（1-3），首先应求出sinα的值. 由于cosα= 3/5 ,α∈(－π/2 ,0)，所以
1.1 和角公式
学习提示
逆向使用公式是非常重要的，往往会给解 题带来新的思路，使问题的解决变得简单化。
1.1 和角公式
例14 不用计算器,求下列各式的值： （1） sin15°cos15°； （2）2sin222.5°－1.
1.1 和角公式
将式（1-3）中的β换成－β，则有 sin(α－β) =sin［α+(－β)］ =sinαcos(－β)+cosαsin(－β) =sinαcosβ－cos αsinβ.
1.1 和角公式
又由于
OB· OC =（cos α，sin α）·（cos β,-sin β）
=cos αcos β－sin αsin β，
所以
cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β. 由此，我们得到了两角和的余弦公式
图1-1
cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β. （1-1）
数学
（扩展模块）
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例7是否还有别的解法？
1.1 和角公式
例8 已知cosα= 3/5 ,α∈(－π/2 ,0)，求sin(α+ π/3)的 值.
解 利用式（1-3），首先应求出sinα的值. 由于cosα= 3/5 ,α∈(－π/2 ,0)，所以
1.1 和角公式
学习提示
逆向使用公式是非常重要的，往往会给解 题带来新的思路，使问题的解决变得简单化。
1.1 和角公式
例14 不用计算器,求下列各式的值： （1） sin15°cos15°； （2）2sin222.5°－1.
中职数学拓展模块《二倍角的三角函数公式》课件
用二倍角公式来计算.
由α∈(π,2π)可知α2∈
所以
故
1.2二倍角的三角函数公式
例4
1.2二倍角的三角函数公式
做一做
1. 根据二倍角公式，完成下列各题： （1） sin 6α=2sin()cos()； （2） sin α=2sin()cos(). 2. 已知sin α= 且α是第一象限的角，求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 3. 已知tan 2α= 求tan α的值.
第一 单元
三角公式及应用
引例
刘徽的《海岛算经》中列有“海岛测望”一题：如图 1-1，有人望海岛AB，立两个高为3丈的标杆CD与EF，其距 离为1 000步，并且两个标杆的上下两端在同一水平线上.从 标杆CD退行123步，海岛峰顶A 、标杆上端C与G点共线.从 标杆EF退行127步，海岛峰顶A 、标杆上端E与H点共线.问 海岛的高度AB及海岛与标杆的距离BD各是多少?
ห้องสมุดไป่ตู้.2二倍角的三角函数公式
例1
已知cos α=－ 且
解因为α∈
所以
求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.
利用式（1-8）可得 sin 2α=2sin αcos α=2× 利用式（1-9）可得 cos 2α=2cos2α－1=2×
则
1.2二倍角的三角函数公式
例2
不用计算器,求下列各式的值： （1） sin 15°cos 15°； （2） 2sin222.5°－1. 解（1） sin 15°cos 15°= ×(2sin 15°cos 15°)
= sin(2×15°)= sin 30°= （2） 2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°)=－cos(2×22.5°) =－cos 45°=－
人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件(2)
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等，即
A
abc sin A sin B sin C
注意：
B
C
（1）正弦定理适合于任何三角形.
sinC sin 30
∵b c
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 5( sin 30
6
2)
19.32
课堂小结
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
absin C
B
A
c
b
证明：∵
S ABC
1 2
aha
B
ha
Da
同理
∴ SABC
S1CA∴a而BbC sSihna12ACBbCcAs1Di12nbcaAscicnsinAsiBn
2
2
B
1 2
中职数学拓展模块课件-和角公式
早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式.
随着时间的推移和研究的深入,现在数学中已很少使用公元2世纪的 推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式,再通过诱导公式得到两角 和的余弦公式.那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
化简.
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1.求下列各式的值. (1) cos105° ； (2) cos75° ； (3) cos55°cos10°+sin55°sin10° ； (4) cos²22.5°-sin²22.5°.
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
Sα-β
6.1.2 两角和与差的正弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 解
6.1.2 两角和与差的正弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 解
6.1.2 两角和与差的正弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
当P2、O、P3不在同一条直线上时，
∠P2OP3=∠P4OP1=α-β，
且 |OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1，
因此
ΔP2OP3≌ΔP1OP4，
所以
| P2P3|=| P1P4|.
当P2、O、P3在同一条直线上时，容易看
出也有| P2P3|=| P1P4|.
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
随着时间的推移和研究的深入,现在数学中已很少使用公元2世纪的 推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式,再通过诱导公式得到两角 和的余弦公式.那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
化简.
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1.求下列各式的值. (1) cos105° ； (2) cos75° ； (3) cos55°cos10°+sin55°sin10° ； (4) cos²22.5°-sin²22.5°.
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
Sα-β
6.1.2 两角和与差的正弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 解
6.1.2 两角和与差的正弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 解
6.1.2 两角和与差的正弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
当P2、O、P3不在同一条直线上时，
∠P2OP3=∠P4OP1=α-β，
且 |OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1，
因此
ΔP2OP3≌ΔP1OP4，
所以
| P2P3|=| P1P4|.
当P2、O、P3在同一条直线上时，容易看
出也有| P2P3|=| P1P4|.
6.1.1 两角和与差的余弦公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
和角公式PPT教学课件
5
44
4
解：
4
4
例题1
tan
4
tan
4
tan( 1 tan(
)
)
tan
4
tan
4
3 22
例题2
例题3
基础应用
例题3、计算
（1）1 tan15 1 tan15
tan 45 tan15 1 tan 45 tan15
tan（45
15 ） tan 60
3.
（2）1 cot15 = 1 tan 75 tan（45 75 ） tan120 3. 1 tan 75 1 tan 75
小实验
观察：
一部分变成蓝紫 色， 这部分的结构叫 胚乳，胚乳中贮存大 量的养料，其中淀粉 遇碘变蓝色。另一部 分变成了黄色，这部 分叫胚，它分四部分。
1.胚芽——发育成茎 和叶
2.胚轴——连接茎和 根
3.胚根——发育成根
4.子叶(只有一片).
比较异同
菜豆种子和玉米种子的比较表
种子 结构
种皮
菜豆种子 有
• 因为。。。。。。
种子的结构
（P125——130）
1、种子的结构分别由哪几部分组成？菜豆种子和玉 米种子有什么相同的和不同的地方？
2、种子萌发的条件有哪些？ 3、用自己的语言描述种子萌发的过程？ 4、叶芽的结构包括哪几部分？叶芽的各部分结构将 来各自发育成枝条的哪一部分？
5、叶芽和枝条有什么关系？枝条上的茎和叶分别是 叶芽的哪一部分发育成的？
目标1
目标2
基础应用
例题1、不查表求值
（1）tan 105 tan(60 45 ) tan 60 tan 45
1 tan 60 tan 45
人教版中职数学(拓展模块)1.1《和角公式
（2）两个奇数的积一定是 奇，数两个偶数的积 一定是 偶数，一个奇数与一个偶数的积一定 偶是数 .（填“奇数”或“偶数”）.
①与友期．行(约定) ②太丘舍去．(离开) ③时．年七岁(当时) ④尊．君．在不(古代尊称对方的父亲) ⑤相委．而去(丢下，抛弃)
⑥家．君．(古代对人称自己的父亲) ⑦下车引．之(牵引，拉)
⑧元方入门不顾．(回头看)
小结
作业
退出
引例
§1.1 和角公式
两角和的余弦 和角公式 公式应用 小结
⑨俱．乘船(一起) ⑩欲．依附(想要) ⑪辄．难之(当即) ⑫幸．尚．宽(幸，幸而，恰巧。尚，还) ⑬何为不可．(肯，同意) ⑭后贼．追至(作乱的人) ⑮纳．其自托．(纳，接纳，接受。托，请托，请求) ⑯宁．可以急相弃邪(难道) ⑰遂．(于是) ⑱携拯．如初(救助) ❸通假字。 尊君在不．(“不”通“否”，在句末表示询问)
小结
作业
退出
§1.1 和角公式引例两角和的余弦 和角公式 公式应用 小结
作业
❺一词多义。 以本世所以．以此．疑定（华与、“王所之”优组劣成（固介定词结，构根）据）
❻词类活用。 歆辄难．之(形容词的意动用法，以……难) ❼特殊句式。 ①倒装句 何为不可？(宾语前置，即“为何不可”) ②省略句 期日中。(省略主语“他们”和介词“于”，即“其期于日中”)
退出
§1.1 和角公式
引例
两角和的余弦 和角公式 公式应用 小结
作业
例1：利用和角公式，求下列三角函数的值：
(1) cos105 (2) sin75
(3) tan15
退出
§1.1 和角公式
引例
两角和的余弦 和角公式 公式应用 小结
作业
人教版中职数学(拓展模块)1.1《和角公式》ppt课件1
OP OQ cos( )
OP OQ cos cos sin sin cos(- ) coscos sinsin
公式理解 两角差的余弦公式
cos( - ) coscos sinsin
？ 两角和的余弦公式 用-b 代替b
1.1 和角公式
1.1.1 两角和与差的余弦
2016年3月
1.填表
弧度 6
角度 300
sin 1 2
cos
3
2
复习引入
4
3
450
600
2
3
2
2
2
1
2
2
复习引入
2. 设向量 a x1 ,y1 ,b x2 ,y2 ,它们的夹角为 ，则向
量 a b 是多少？
(
2
,
)
cos
5 13
,
(
,3
2
),求
cos(
).
2、已知 cos(
4
)=
5 5
，
(
2
, ),求
cos
。
解：
2
，
Βιβλιοθήκη 4-
-
3
4
，-
4
cos( ) 5
4
5
sin( ) 2 5
公式的逆用，变形用．
cos(+ ) coscos -sinsin
1、公式中两边的符号正好相反 2、式子右边同名三角函数相乘再加减，
且余弦在前正弦在后。
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和角公式
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan tan( ) 1 tan tan
tan( )
tan tan 1 tan tan
公式应用
例1：利用和角公式，求下列三角函数的值：
(1) cos105 (2) sin75 (3) tan15
公式应用
4 cos , ( , ) ， 例2:已知： 5 2
求cos( ) 和 sin(
6
4
) 的值。
公式应用
例3:化简下列各式：
点此进入
引例
角和的余弦
和角公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
(1) cos 40 cos 20 sin 40 sin 20
(2) sin59 cos14 cos 59 sin 14
tan23 tan 22 (3) 1 tan 23 tan 22
公式应用
例4:利用和角公式，将
3 cos x sin x
化为一个三角函数的形式。
公式应用
1 例5:已知 、 均为锐角，且 cos ， 7 11 cos( ) ，求 cos 以及角 的值。 14
公式应用
例6:在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断△ABC的形状。
小结
1.两角差的余弦公式 C 是两角和与 差的三角系列公式的基础，明确了各公 式的内在联系，就自然掌握了公式的形 成过程. C (a + b ) 2.公式 S ( a + b ) 与 S ( a - b ) ， 与 C T ( a + b ) 与 T ( a - b ) 的结构相同，但运算 符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬 硬套，要注意整体代换和适当变形.