质点弹道基本方程及其解法
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
弹道学第四讲--非标准条件下质点弹道基本方程
vx v vy v
O’
g
R φ O1
g g0 (
R y 2 ) 2 g 0 (1 ) R y R
fanxiangwu made
1、考虑地球曲率及重力加速度变化时的弹丸运动方程
弹丸质心运动方程组
vx v y dv x y CH ( y )G (v)v x (1 ) 1 dt R R 2 dv y vx y y CH ( y )G (v)v y (1 ) 1 g 0 (1 ) 2 dt R R R dx y v x (1 ) 1 dt R dy vy dt v vx v y
dt
的乘积的2倍。
a x g ac
x
由理论力学知： ac等于地球自转角速度矢量Ω 和弹丸速度v
ac 2 v
将地球自转角速度矢量Ω 和弹丸速度v分别在地面直角坐标 系中投影。设3个坐标系方向的单位矢量分别为i、j、k。
fanxiangwu made
4. 考虑科氏惯性力的弹丸运动方程 科氏惯性力及其加速度
fanxiangwu made
2.考虑气温、气压非标准时的弹丸运动方程
气压通过改变空气密度影响弹道 气温通过影响空气密度和马赫数影响弹道 弹丸运动方程
1 V 2 Rx V S C x0 ( ) 2 a
p R
fanxiangwu made
2.考虑气温、气压非标准时的弹丸运动方程
i....... j.......k ac 2 v x ... y ... z v x .....v y .....v z
地球自转角速度矢量Ω 的大小取决于射击地点的纬度和射向。如设 地面坐标系中的x轴与正北方向夹角为a，顺时针旋转为正，Λ为纬度。 则：
第01章质点运动学方程总结
r (t )
dr (t ) 速度 v dt
2
r r (t2 ) r (t1 )
位移
d r (t ) dv (t ) a 加速度 a 2 dt dt
质点运动学（自然坐标系）
ds (t ) 运动方程 s (t ) 速率 v dt dv d 2 s(t ) a a t 加速度 路程 s s(t2 ) s(t1 ) dt dt 2 2
4、位移 描写质点位置的变化 r r2 - r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
xi yj zk
位移的大小： | r | (x) 2 (y ) 2 (z ) 2
d s (t ) s 平均速率 v 速率 v dt t 4、加速度 描写质点速度变化的快慢 a at an
加速度的大小：a
a a
表示速度大小变化的快慢 dt v2 4 法向加速度：an 表示速度方向的变化快慢
描述质点运动的四个基本物理量： r , r , v , a
5、速度
r 平均速度 v 方向与位移相同 t dr 方向沿运动轨迹的切 速度 v vx i v y j vz k 线并指向运动方向 dt
2 2 2 速度的大小： v vx v y vz
2
描写物体运动的快慢
6、加速度
描写质点速度变化的快慢
2
8
8、伽里略相对变换 v pD vPA v AB vBC vCD
交换下标速度改变符号,如：v AB v BA
位移、加速度同样适用
质点弹道基本方程及其解法
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１.２ 质点弹道的基本方程
• １.２.１ 基本假设，描述弹丸质心运动规律的 参量
• １.建立质点弹道方程组的基本假设 • 为了使问题简化，以便使基本方程能反映弹丸质心运动的主要规律，
引入下列基本假设： • ①弹丸在全部飞行时间内攻角δ＝０°； • ②弹丸是轴对称的； • ③气象条件是标准的，无风、雨、雪； • ④地表面是平面，重力加速度大小不变（ｇ＝９.８０７ｍ／ｓ２），
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１.２ 质点弹道的基本方程
• １.２.２ 以时间ｔ为自变量的弹丸质心运动微 分方程组
• 在前述基本假设条件下，作用于弹丸质心的只有重力和空气阻力，因 而可写出弹丸质心运动的矢量方程ｄｖ/ｄｔ＝ａｘ＋ｇ（１－５６）
• 这是以时间ｔ为自变量的运动方程。 • １.直角坐标系的弹丸质心运动微分方程组 • 将矢量方程（１－５６）在直角坐标上投影（图１－１１），即可写
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 这可以从表１－１中对照弹形系数ｉ和弹道系数Ｃ看出来。也就是说 ，同样形状、同样初速的弹丸由于直径的增大而使弹的质量增大得更 快，反而会使射程增大。
• ３.阻力函数Ｆ（ｖ）和Ｇ（ｖ） • Ｆ（ｖ）和Ｇ（ｖ）均含有阻力定律，且都是弹丸速度ｖ与声速ｃ的
函数，因而称为阻力函数。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 式中，Ｃｘ０Ｎ为所选用的阻力定律。 • ２.弹道系数 • 弹道系数Ｃ是外弹道学中的一个重要特征参量，它由表示弹丸形状的
量ｉ、表示尺寸大小的量ｄ及表示惯性的量ｍ等组成，因而弹道系数 反映了弹丸的组合特点。Ｃ在空气阻力加速度公式中与空气阻力加速 度成正比，因而为使火炮射程更远，应使Ｃ尽可能地小。或者说，在 相同初速和射角条件下，Ｃ越小，射程越远。由于Ｃ＝ｉｄ２/ｍ×１ ０３故改善弹丸的形状，可以减小弹形系数ｉ，因而可以减小弹道系 数Ｃ。至于弹丸的直径ｄ，它是与弹丸的质量相关的量，实际上因为 弹丸的质量ｍ通常与直径的立方ｄ３成正比，因此，在具有相同外形 的条件下，直径越大的弹丸，其弹道系数反而越小。
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st 0
k( st x)
st
st
O
x
mg
x
x
O
mg
x
第16页
质点系运动微分方程 内力 外力 质点系内力系主矢和对任一点主矩都等于零。
设质点系由 n 个质点所组成，将每一个质点 所受力分为外力协力 ，内Fi 力协力 。 Fi 对于每一个质点
矢量形式质点系运动微分方程。
第17页
d
( mi i ) Fi
A
A
B
C
O
b
c
FN
FT
x
M
o
G
h h
第15页
例9-5卷扬机钢丝绳绕过固定滑轮后悬吊着质量m=15t重物匀速下
降，速度0=20m/min。因为滑轮发生故障，钢丝绳上端突 然被卡住。这时，因为钢丝绳含有弹性，重物将发生上下
振动。设钢丝绳悬垂段弹簧刚度系数k=5.78MN/m, 试求因 为重物振动所引发刚丝绳最大拉力。
F ma
质量—— 质点惯性量度。
Ma
F
重力加速度g——物体仅受重力作用而自由降落。
表示了质点加速度、所受力以及质量之间关系。
第4页
第三定律（作用与反作用定律） ——两质点间相互作用力，总是大小相等，方向相反， 沿着两点连线分别作用在两质点上。
第5页
第四定律（力独立作用定律） ——若质点同时受到几个力作用，则其加速度等于各 力分别作用于该质点时所作用各加速度矢量和。
d
( mi i ) Fi
Fi
( i 1,2,,n )
dt
本章小结
第18页
提议
用MATLAB求解理论力学问题。
第19页
9-24 9-26 9-29
质点运动方程公式
质点运动方程公式质点运动方程公式是描述质点运动规律的数学公式。
在物理学中，质点是一个理想化的物体，忽略其大小和形状，只考虑其质量和位置。
质点运动方程公式可以用来描述质点在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化关系。
质点运动方程公式可以分为两种情况：匀速直线运动和变速直线运动。
对于匀速直线运动，质点的加速度为零，速度保持不变，质点运动方程公式可以简化为s = v × t，其中s表示质点的位移，v表示质点的速度，t表示时间。
对于变速直线运动，质点的加速度不为零，速度随时间变化，质点运动方程公式可以表示为s = ut + 1/2at^2，其中s表示质点的位移，u表示质点的初速度，a表示质点的加速度，t表示时间。
质点运动方程公式的应用非常广泛。
在日常生活中，我们可以通过质点运动方程公式计算出物体的位移、速度和加速度，从而了解物体的运动规律。
在工程领域，质点运动方程公式可以用来设计机械运动系统，优化运动轨迹，提高工作效率。
在天文学中，质点运动方程公式可以用来研究行星、卫星等天体的运动轨迹和速度变化规律。
质点运动方程公式还可以与其他物理公式相结合，进一步研究质点的运动特性。
例如，与牛顿第二定律结合可以得到质点的运动方程F = ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
通过解方程可以求解出质点的加速度，进而得到质点的速度和位移。
质点运动方程公式还可以应用于求解各种实际问题。
例如，可以用质点运动方程公式来计算汽车的行驶距离、飞机的飞行时间等。
在物理实验中，质点运动方程公式也是分析和解释实验结果的重要工具。
质点运动方程公式是描述质点运动规律的基本工具，应用广泛且具有重要意义。
通过理解和应用质点运动方程公式，我们可以更好地认识和掌握物体在空间中的运动规律，为解决实际问题提供有效的数学工具。
质点动力学的基本方程
y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m
质点的运动学问题及公式
质点的运动学问题及公式质点运动学是经典物理学中的一个重要分支，主要研究质点在空间中的运动规律。
本文将介绍质点的运动学问题，包括描述质点运动的基本概念和涉及的公式。
一、质点的基本概念质点是物理学中一个理想化的概念，假设物体维度非常小而质量无穷大。
质点没有大小和形状，只有质量和位置。
质点的运动学问题可以用一系列的物理量来描述。
1. 位移（Displacement）位移是研究物体位置变化的基本概念，用Δx表示。
如果质点从初始位置A移动到位置B，那么位移Δx可以表示为：Δx = xB - xA其中，xA和xB分别表示初始位置和终点位置的坐标。
2. 速度（Velocity）速度是描述物体移动快慢和方向的物理量，用v表示。
平均速度可以表示为：v = Δx / Δt其中，Δt表示时间间隔。
如果考虑时间间隔Δt趋向于0的情况，即瞬时速度：v = lim(Δt→0) Δx / Δt = dx / dt其中，dx表示位移的微元，dt表示时间的微元。
3. 加速度（Acceleration）加速度是描述物体速度变化快慢和方向的物理量，用a表示。
平均加速度可以表示为：a = Δv / Δt其中，Δv表示速度变化量，Δt表示时间间隔。
在问题求解中，如果考虑时间间隔Δt趋向于0的情况，即瞬时加速度：a = lim(Δt→0) Δv / Δt = dv / dt其中，dv表示速度的微元，dt表示时间的微元。
二、质点运动的基本公式在质点运动学中，一些常用的公式可以帮助我们解决运动分析问题。
下面列举几个常见的公式。
1. 速度与位移的关系根据速度的定义，可以得到速度与位移之间的关系：v = dx / dt对上式两边同时积分，得到位移与时间的关系：Δx = ∫v dt2. 加速度与速度的关系根据加速度的定义，可以得到加速度与速度之间的关系：a = dv / dt对上式两边同时积分，得到速度与时间的关系：Δv = ∫a dt3. 位移与加速度的关系将速度与位移的关系和加速度与速度的关系相结合，可以得到位移与加速度之间的关系：v dv = a dx对上式两边同时积分，得到位移与时间的关系：Δx = ∫v dv / a通过上述的公式，我们可以在给定位移、速度或加速度的条件下，推导出与时间相关的运动规律。
质点动力学基本方程
t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
第八章 质点动力学基本方程
动力学
引言
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 三. 动力学分类:⎧ 质点动力学 质点动力学是质点 系动力学的基础。
⎨ ⎩ 质点系动力学
四. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
第八章
质点动力学的基本方程
22
动力学
第八章
质点动力学的基本方程
23
动力学
第八章
质点动力学的基本方程
例8-4
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块 质量为m，弹簧刚度系数为k。在弹簧拉长变形量为a 时，释放物块。求物块的运动规律。
F O x
m
x
24
动力学
第八章
质点动力学的基本方程
25
动力学
θ0
n
29
动力学
第八章
质点动力学的基本方程
解：
视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带 着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度 时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。 质点在上升过程中，受到重力mg， 筒壁的法向力FN和切向力F的作用。 列出质点的运动微分方程在主法线上的投 影式
v2 m = FN + mg cos θ R
t = 0, x0 = 0, y 0 = 0; v0 x = v0 cos ϕ 0 v0 y = v0 sin ϕ 0 , 其中 v0 , ϕ 0 待求
t 瞬时 , M →A , x=S , y=H , vx , vy
32
动力学
第八章
质点动力学的基本方程
Northeastern University
§9-1
动力学的基本定律
重力加速度 g — 在重力作用下得到的加速度
一般取9.80m/s2 由第二定律得 P mg
物体所受的重力 重力加速度
力的单位：N（牛顿）
PAG 8
Northeastern University
§9-1
动力学的基本定律
PAG 9
Northeastern University
§9-2
质点的运动微分方程
将动力学基本方程 ma F 表示为微分形式的方程， 称为质点的运动微分方程。
质点运动微分方程的矢量形式
2 d r 质点动力学第二定律 ma F m 2 Fi dt
1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
§9-1
动力学的基本定律
质点动力学的基本方程 ma F
⑴ 质点在力作用下有确定的加速度，使质点运动状态 发生改变; ⑵ 对于相同质量的质点，作用力大，其加速度也大； ⑶ 用大小相等的力作用于质量不同的质点上，则质量 大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。 质量是质点惯性的度量。
PAG 7
y A
解:以滑块B为研究对象
max F cos
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
r 2 (cos t cos2 t ) ax x
B mg
0 ax r 2 (1 ); 0 F mr 2 (1 )
d 2x d2y d 2z m 2 Fix ; m 2 Fiy ; m 2 Fiz dt dt dt
x x(t ); y y(t ); z z(t ) 为质点直角坐标 式中， 形式的运动方程
质点的运动方程与动量守恒定律
质点的运动方程与动量守恒定律质点运动是物理学中的基本概念，也是许多实际问题的关键。
在研究质点运动时，我们常常需要借助运动方程和动量守恒定律来描述和解释质点的行为。
一、质点的运动方程质点的运动方程描述了质点在不同时刻的位置和速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，质点的运动方程可以表示为力对质点的作用导致质点加速度的改变。
具体而言，对于质量为m的质点，其运动方程可以表达为：$$m\cdot a = F$$其中，m表示质点的质量，a表示质点的加速度，F表示作用在质点上的合力。
在一维运动中，我们将质点沿x轴方向移动，并设此时的速度为v。
根据导数的定义，我们可以得到质点的加速度与速度之间的关系式：$$a = \frac{dv}{dt}$$从而得到一维质点的运动方程：$$m\cdot\frac{dv}{dt}=F$$为了具体描述质点的运动情况，我们常常将力F表示为与质点位置x相关的函数。
这样，我们就得到了包含位置、速度和时间的微分方程$$m\cdot\frac{dv}{dt}=f(x)$$二、动量守恒定律动量守恒定律是质点运动中另一个重要的物理定律。
根据动量守恒定律，封闭系统中的总动量在运动过程中保持不变。
具体而言，在忽略外力对系统的作用时，系统内各个质点的动量之和保持恒定。
设系统中有两个质点，质量分别为m1和m2，初始状态下分别具有速度v1和v2。
根据动量的定义，质点的动量等于质点的质量乘以其速度。
根据动量守恒定律，我们可以得到：$$m1\cdot v1 + m2\cdot v2 = m1\cdot v1' + m2\cdot v2'$$其中，v1'和v2'表示系统在某一时刻的最终速度。
上述方程表示了系统内质点动量的守恒性。
动量守恒定律在许多物理现象和实际问题中都有广泛的应用。
例如，当一个质点发生碰撞时，质点之间的相互作用力会改变它们的速度，但是它们的总动量在碰撞前后保持不变。
质点运动方程求质点轨迹
质点运动方程求质点轨迹
在物理学中，质点运动方程描述了质点在空间中的运动情况，可以通过求解质点运动方程来得到质点的轨迹。
质点运动方程可以表示为：
m(d^2r/dt^2) = F
其中，m是质点的质量，r是质点的位置矢量，t是时间，F是作用在质点上的力。
通过对质点运动方程进行求解，可以得到质点的位置随时间的变化规律，从而得到质点的轨迹。
对于简单的情况，可以直接求解得到解析式；对于复杂的情况，则需要使用数值方法进行近似求解。
质点轨迹的形状和大小取决于作用在质点上的力的性质和运动的初速度和初位置。
常见的质点轨迹包括直线运动、抛体运动、圆周运动、椭圆运动等。
在物理学和工程学中，质点轨迹的研究经常被用来解决实际问题，如飞行轨迹、弹道设计、机器人运动等。
- 1 -。
质点弹道基本方程及其解法
１.１ 大气特性及空气阻力
• １.１.１ 大气特性
• １.空气的状态方程与虚温 • 空气可近似看成理想气体，因此，其状态方程可用理想气体状态方程
来表示 • ｐ＝ρＲＴ（１－１） • 式中，ｐ为空气的压力，Ｐａ；ρ为空气的密度，ｋｇ／ｍ３；Ｔ为
空气的热力学温度，Ｋ；Ｒ为空气的气体常数，对于干空气实验值， Ｒ＝２８７Ｊ／（ｋｇ·Ｋ）。 • ２.标准气象条件 • 气象条件不仅随地点而变化，而且在同一地点还随时间和高度而变化 。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 其比例系数就是空气阻力系数Ｃｘ０。 • 空气阻力系数Ｃｘ０的下标ｘ表示作用力的方向（与Ｒｘ的下标意义相
同），０表示攻角δ＝０°。Ｃｘ０（ｖ／ｃ）的量纲为１，它是马赫 数Ｍａ＝ｖ／ｃ的函数，式中ｖ是弹丸相对于空气的速度，ｃ是声速 。当攻角δ≠０°时，空气阻力系数Ｃｘｖ／ｃ，δ()将既是Ｍａ又是δ 的函数。但一般保证飞行稳定的弹丸的攻角通常都很小，可以近似看 成δ＝０°。严格地说，空气阻力系数还应是雷诺数Ｒｅ的函数，但 实验证明，在Ｍａ＞０.６后，Ｒｅ的影响很小，主要由Ｍａ来确定 。
• Ｃｘ０－Ｍａ曲线的特点是：在亚声速段（Ｍａ＜０.８），Ｃｘ０几乎 是常数；在跨声速段（Ｍａ＝０.８～１.２），阻力系数激烈变化， 几乎是直线上升至最大值，这是波阻出现并迅速增大所致；过了Ｃｘ ０的最大值后，在超声速段（Ｍａ＞１.２），Ｃｘ０则随Ｍａ的增大 逐渐减小。
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１.１ 大气特性及空气阻力
第１章 质点弹道基本方程及其解法
• １.１ 大气特性及空气阻力 • １.２ 质点弹道的基本方程 • １.３ 非标准条件下质点弹道的基本方程
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１.１ 大气特性及空气阻力
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 火炮的弹道不可能也没有必要根据具体地点、时间的气象条件来计算 ，只能根据标准的气象条件进行弹道计算和编制射表。在火炮正式射 击时，则可根据当地的具体气象条件进行修正。
• １.１.２ 空气阻力、空气阻力一般表达式
• 由于空气有黏性及有一定的密度，弹丸在空气中飞行时，它必然给弹 丸以力的作用，这就是空气阻力。
式可以用量纲分析的方法得到，可以写为 • • • 式中，Ｒｘ为空气阻力，也称为迎面阻力或切向阻力，其方向与弹丸
质心速度矢量共线反向，Ｎ；ρ为空气密度，ｋｇ／ｍ３；Ｓ为弹丸 迎风面积，也称为弹丸特征面积，ｍ２，Ｓ＝π/４*ｄ２，ｄ为弹丸直 径。 • 式（１－３０）说明弹丸的空气阻力与弹丸的横截面积、弹丸的动能 及空气密度成正比。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 其比例系数就是空气阻力系数Ｃｘ０。 • 空气阻力系数Ｃｘ０的下标ｘ表示作用力的方向（与Ｒｘ的下标意义相
同），０表示攻角δ＝０°。Ｃｘ０（ｖ／ｃ）的量纲为１，它是马赫 数Ｍａ＝ｖ／ｃ的函数，式中ｖ是弹丸相对于空气的速度，ｃ是声速 。当攻角δ≠０°时，空气阻力系数Ｃｘｖ／ｃ，δ()将既是Ｍａ又是δ 的函数。但一般保证飞行稳定的弹丸的攻角通常都很小，可以近似看 成δ＝０°。严格地说，空气阻力系数还应是雷诺数Ｒｅ的函数，但 实验证明，在Ｍａ＞０.６后，Ｒｅ的影响很小，主要由Ｍａ来确定 。
• １.空气阻力的组成部分 • 此处简要说明对弹丸作用的空气阻力形成的基本原理，以便了解空气
阻力的实质以及找到在设计中减小空气阻力的办法。空气阻力主要由 摩擦阻力、涡流阻力及超声速时所特有的波动阻力所组成。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• ２.空气阻力的一般表达式 • 和对流体力学中绕流物体的阻力分析方法一样，弹丸的空气阻力表达
第１章 质点弹道基本方程及其解法
• １.１ 大气特性及空气阻力 • １.２ 质点弹道的基本方程 • １.３ 非标准条件下质点弹道的基本方程
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 弹丸在空气中飞行，作用于弹丸上的力主要有重力、空气阻力和科氏 惯性力。在火炮目前的射高（１０ｋｍ以下）和射程（５０ｋｍ以下 ）范围内，可认为重力加速度矢量ｇ的量值变化不大，可以把它当成 常数而不影响计算精度，国际计量检定中标准重力加速度ｇ的值为９ .８０６６５ｍ／ｓ２。在外弹道计算中，假设地表面为平面，ｇ的方 向垂直于地平面。在射程较小的情况下，也可以不考虑科氏惯性力的 影响。对弹丸在空气中飞行的主要影响是来自空气的阻力。因此，本 节着重介绍与空气阻力有关的大气方面的知识。
• Ｃｘ０－Ｍａ曲线的特点是：在亚声速段（Ｍａ＜０.８），Ｃｘ０几乎 是常数；在跨声速段（Ｍａ＝０.８～１.２），阻力系数激烈变化， 几乎是直线上升至最大值，这是波阻出现并迅速增大所致；过了Ｃｘ ０的最大值后，在超声速段（Ｍａ＞１.２），Ｃｘ０则随Ｍａ的增大 逐渐减小。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• １.１.１ 大气特性
• １.空气的状态方程与虚温 • 空气可近似看成理想气体，因此，其状态方程可用理想气体状态方程
来表示 • ｐ＝ρＲＴ（１－１） • 式中，ｐ为空气的压力，Ｐａ；ρ为空气的密度，ｋｇ／ｍ３；Ｔ为
空气的热力学温度，Ｋ；Ｒ为空气的气体常数，对于干空气实验值， Ｒ＝２８７Ｊ／（ｋｇ·Ｋ）。 • ２.标准气象条件 • 气象条件不仅随地点而变化，而且在同一地点还随时间和高度而变化 。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 从上面的讨论可以看出，可将空气阻力系数分开，成为摩擦阻力系数 Ｃｘｆ、涡阻系数
• Ｃｘｂ、波阻系数Ｃｘｗ的和，即 • Ｃｘ０ｖ／ｃ()＝Ｃｘｆ＋Ｃｘｂ＋Ｃｘｗ（１－３１） • 对这些系数的理论计算方法，是弹丸空气动力学的内容。由于空气动
力学的发展，对于不同形状的弹丸，这些系数在结合一定实验的条件 下，已经能够进行相当准确的计算，并给出空气阻力系数的具体数值 。但是它不一定适合工程应用，下面只给出传统的解决空气阻力系数 的方法。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• １.１.３ 空气阻力定律和弹形系数
• 对于一定形状的弹丸，只要通过风洞试验就可以测出其空气阻力系数 随马赫数变化的曲线。从外弹道计算的角度，没有必要都经过风洞试 验，而是采取某种相似的方法来设法求得其空气阻力系数的变化规律
• 由两个形状相近的弹丸所测出的两条Ｃｘ０－Ｍａ曲线发现，它们有 一定的相似性，即在同一马赫数Ｍａ１处，两个不同弹丸的Ｃｘ０的比 值与另一马赫数Ｍａ２处该两弹丸的Ｃｘ０比值近似相等，即
• 在我国弹道计算中所用的是西亚切阻力定律和４３年阻力定律。１９ 世纪（１８９０年）意大利弹道学者西亚切所确定的西亚切阻力定律 ，是以某弹头部长ｘ＝（１.２～１.５）ｄ的多种弹丸作出的平均的 Ｃｘ０－Ｍａ函数曲线，并给出了有关的数据表。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 后来苏联于１９４３年将其标准弹头的头部长取为ｘ＝（３～３.５ ）ｄ，作出了４３年阻力定律。这两种阻力定律的曲线如图１－８所 示，其中曲线Ⅰ为西亚切阻力定律，曲线Ⅱ为４３年阻力定律。从曲 线上可看出，由于西亚切的弹形粗短，其阻力系数比１９４３年的标 准弹形要大，而且在超声速以后其变化规律也有相当大的差别，因此 我国现在的弹道计算主要应用４３年阻力定律。
• • • 根据这一特点，就可以找到估算空气阻力系数的较简便的方法。
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１.１ 大气特性及空气阻力
• 只要预先选定一个或一组特定形状的弹丸作为标准弹丸，通过风洞或 射击试验的方法把它们的阻力系数曲线准确地测定出来（对于一组， 则求其平均阻力系数曲线），把它作为计算其他弹丸阻力系数的标准 。对于其他与标准弹形状相近的弹丸，只要设法测出任一Ｍａ时的阻 力系数，即可利用式（１－３２）的特点，把该弹丸的阻力系数曲线 求出。标准弹的阻力系数Ｃｘ０与Ｍａ的函数关系称为空气阻力定律 。