等比数列练习—1-解析版

等比数列练习—11．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则____．【答案】【解析】分析：由题意，互不相等的实数构成等差数列，设，又由成等比数列，求得，进而根据，即可求解.详解：由题意，互不相等的实数构成等差数列，设，又由成等比数列，所以，即，解得，所以三个数分别为，又因为，所以，所以实数.2．已知数列是等比数列，且，则________________．【答案】【解析】分析：根据数列是等比数列，将、分别代入，可以得到数列公比，从而求得通项公式。

详解：将带入数列的通项公式，可以得到首项为2，将带入数列通项公式可以得第二项为4，所以数列的公比所以所以所以数列的通项公式为所以3．已知函数，各项均为正数的数列满足，，若，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式，求得数列的奇数项；根据，求得偶数项的值，进而求得的值。

【详解】因为，所以，，因为数列各项均为正数，且设则，解得或舍）所以所以4．设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为________．【答案】【解析】分析：利用等差数列、等比数列的性质,可得方程=0,由此,即可得出结论.详解：因为后3个数成等差数列且和为15,故可依次设后3个数为5-d,5,5+d,（d且）又前3个数构成等比数列,则第一个数为（）,即（）+5-d+5=k,化简得=0,因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以k>.再由d且，得且故答案为：5．等差数列{a n}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，S n是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．S n=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，6．设数列的前项和为，，若对任意实数，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值是．【答案】5【解析】分析：先根据求出再把代入不等式化简得对任意实数，恒成立，再利用数形结合分析得到k的最小值.详解：因为，所以n≥2时，所以适合n=1.所以因为对任意实数，不等式恒成立，所以对任意实数，（）恒成立，所以对任意实数，恒成立，令），所以所以k的最小值为5.故答案为：5.7．已知数列的各项均为整数，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则__________．【答案】16【解析】分析：先设公差，表示第11项以及第12项，再根据第11项，第12项，第13项成等比数列解出公差，得到公比，进而求出.详解：设公差为，则因为第11项，第12项，第13项成等比数列，所以，因为为整数，所以，，8．在等比数列中，成等差数列，则_______【答案】3【解析】分析：根据条件可得，解得，代入即可.详解：成等差数列，则.由为等比数列，设公比为q，则.可得：，解得所以.9．已知实数，，成等比数列，，，成等差数列，则的最大值为___________．【答案】【解析】分析：把已知条件用数学式子表示出来，变形得，这样可以理解为是方程的两根，由判别式可得的范围．详解：由题意，即，∴是方程的两根，∴，解得，当时，满足题意．∴的最大值为．故答案为．10．已知等差数列中，，、、成等比数列，把各项如下图排列：则从上到下第行，从左到右的第个数值为__________．【答案】【解析】分析：应用首先求得数列的通项公式，然后确定第10行第11个数的下标，最后结合通项公式求解这个数即可.详解：设数列的首项为，公差为，由题意可得：，解得d=3，a1=2，则数列的通项公式.第10行第11个数的下标为：（）.所求值为.11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，称为公差比．现给出下列命题：①等差比数列的公差比一定不为；②等差数列一定是等差比数列；③若，则数列是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确的命题的序号为__________．【答案】(1)(3)(4)【解析】分析：（1）举例说明：公差比为0，a n+2﹣a n+1=0，数列{a n}为常数列，所以的分母为0，无是公差比为3的等意义；（2）等差数列为常数列时，不是等差比数列；（3）由a n=﹣3n+2=--差比数列；（4）a n=a1•q n﹣1，代入可知命题正确，综合可得答案．详解：（1）若公差比为0，则a n+2﹣a n+1=0，故{a n}为常数列，从而的分母为0，无意义，所以公差比一定不为零；（2）当等差数列为常数列时，不能满足题意；是公差比为3的等差比数列；（3）a n=﹣3n+2=--（4）a n=a1•q n﹣1，代入=q命题正确，所以，正确命题为①③④．故答案为：①③④12．已知数列的前的前项和为，数列的的前项和为，则满足的最小的值为__________．【答案】9【解析】由数列的前项和为，则当时，，所以，所以数列的前和为，当时，，当时，，所以满足的最小的值为.13．已知S n是等差数列{a n}（n属于N＋）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11．其中正确命题的序号是________．【答案】①②【解析】分析：由题意结合等差数列的前n项和与通项公式之间的关系逐一考查所给命题的真假即可.详解：由题意可得，，则，说法①正确；，说法②正确；，且，则，说法③错误；数列单调递增，且，据此可知数列{S n}中的最大项为S6，说法④错误.综上可得：正确命题的序号是①②.14．在数列中，，且，设数列的前项的积为，则________．【答案】【解析】分析：根据数列的递推关系式，利用归纳推理得到，即可求得的值．详解：由经过递推关系计算可得，由此归纳得出，所以．15．已知数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，，则__________．【答案】【解析】∵数列是等差数列，数列是等比数列∴，即；.∴故答案为16．已知数列为等差数列，且，则_________.【答案】【解析】分析：令b n=log2（a n﹣1），（n∈N+），依题意可求得b n=n，于是可得a n=2n+1，从而可求得=，利用等比数列的求和公式即可得到答案．详解：令b n=log2（a n﹣1），（n∈N+），依题意{b n}为等差数列，∵a1=3，a2=5，∴b1=log2（3﹣1）=1，b2=log2（5﹣1）=2，∵{b n}为等差数列，设其公差为d，则d=1，∴b n=n，∴a n=2n+1，∴==，显然{}是首项为，公比为的等比数列，∴+++…+=+++…+==故选：17．（安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2018届高三上学期“五校”联考）对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和__________．【答案】【解析】由，且，得，所以数列表示首项为，公差的等差数列，所以，所以，则，，两式相减可得，解得.18．设S n为数列{a n}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{c n}是首项为2、公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{c n}是“和等比数列”，则d=________.【答案】4【解析】由题意可知，数列{c n}的前n项和为，前2n项和为，所以==2＋=2＋，所以当d=4时，为非零常数．19．设数列是等比数列，且，，则数列的前15项和为__________．【答案】【解析】等比数列首项为,第二项为,故是首项为,公比为的等比数列.所以,所以,其前项和为,时,为.20．数列中，，（是常数，，，，），且，，成公比不为的等比数列，则__________，的通项公式__________．【答案】2【解析】∵，，∴，，∵，，成公比不为的等比数列，∴，即 ，解得 （舍去）或 ，∴ ，即 ，则，故数列 的通项公式为 ，故答案为 ， .21．若数列{}n a 中, 11a = , 131n n a a n ++=+ , *n N ∈ ,则122n a a a ++⋯+=__________． 【答案】23n n +【解析】 由题意得，数列满足111,31n n a a a n +=+=+， 则()()()()()()122123456212311331n n n a a a a a a a a a a a -++⋯+=++++++⋯+=⨯++⨯+()()(132113135213n n n n +⎡⎤++⨯-+=++++-+=⨯⎣⎦22．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和， 0n a >， 14a =， 37S =，且n S m <对任意正整数n 恒成立，则m 的取值范围是_______. 【答案】[)8,+∞【解析】由题意可得： 2q =，则：即：据此可得：m 的取值范围是[)8,+∞.23．已知数列{}n a 的前n 项和如果存在正整数n ，使得()()10n n p a p a +--<成立，则实数p 的取值范围是_____________．易知，数列{}n a 的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负， 于是不等式()()10n n p a pa +--<成立即存在正整数k 使得221k k a p a -<<成立， 只需要2422131k k a a a p a a a -<<<<<<<<，即 24．下列命题中(1)在等差数列{}n a 中, ()*,,,m n s t m n s t +=+∈N 是m n s t a a a a +=+的充要条件;(2)已知等比数列{}n a 为递增数列,且公比为q ,若10a <,则当且仅当01q <<;(3)若数列{}2n n λ+为递增数列,则λ的取值范围是[)2,∞-+;(4)12n n a ++=则数列{}n a 的通项公式为12n n a += (5)21714n n++<恒成立. 其中正确命题是_________(只需写出序号). 【答案】(2)【解析】(1)当m=n=s=t=1时,必要性不成立,故(1)错误;(2)在等比数列{}n a 为递增数列时, 10a <,则当且仅当01q <<,故(2)正确;(3) 数列{}2n n λ+为递增数列,由二次函数的性质可知, 则3λ>-,故(3)错误;(4)令n =1,则17a =,当n>1时, 121na ++-又17a =不满足该式,故数列{}n a 的通项公式不是12n n a +=,因此(4)错误;(5)当n=1时,(5)错误.因此正确命题是(2).点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{ ,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.。