2017年第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题

第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题（预赛）

（2017年10月28日）

先自己做一遍，别看答案。填空题分值很高；有原题；不难。斯托克斯公式应会让很多同学忽略。

一、填空题（本题满分42分，共6小题，每小题7分）

1、已知可导函数()f x 满足0()cos 2()sin 1x f x x f t tdt x +=+⎰

则

()f x =__________。

2

、极限(2limsin n →∞=____________。

3、设

(),w f u v =具有二阶连续偏导数，且,u x cy v x cy =-=+，其中c 为非零常数，则21xx yy w w c

-=_____________。

4、设()f x 有二阶连续导数，且''(0)0=0(0)6f f f ==、（），，则()

24sin lim n f x x →∞=

___________。

5、不定积分()sin 2sin 21sin x e x I dx x -==-⎰

______________。

6、记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分 _________V

zdxdydz =⎰⎰⎰。

二、（本题拿满分14分）设二元函数(),f x y 在平面上有连续的二阶偏导数，则任何角度α,定义一元函数，()()cos sin g t f t t ααα=，，若对任何α都有 22()()00dg t d g t dt dt

αα=>且，证明()0,0f 是(),f x y 的极小值。

三、（本题满分14分）（斯托克斯公式，以前没考过的。）

设曲线Γ为在2221,1,0,0,0x y z x z x y z ++=+=≥≥≥上从()1,0,0A 到(0,0,1B ）的一段，求曲线积分I ydx zdy xdz Γ

=++⎰。

四、（本题满分15分）设函数()0f x >且在实数轴上连续，若对任意实数t ，有 ()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰

，则,()a b a b ∀<，有()22

b a b a f x dx -+≤⎰。

五、（本题满分15分）设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数，若 ()lim n p n n a a λ+→∞-=，其中λ为常数，证明lim n n a n p λ→∞=。