数值计算方法试题及问题详解

数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。

二、 二、选择题（每题2分）1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx xk k +=+)()1(收敛的充要条件是（ ）。

（1）1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ2、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰∑=-≈bani i n i x f C a b dx x f 0)()()()(中，当系数)(n iC 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式)),(4,2(1n n n n n n y x f hy h x hf y y +++=+求解初值问题1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（ ）。

(1)20≤<h , (2)20≤≤h , (3)20<<h , (4)20<≤h三、1、（8分）用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式拟合以下数据：2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxex ⎰-1时，(1) (1) 试用余项估计其误差。

（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)xx 11+=对应迭代格式n n x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。

判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。

选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。

2、（8分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2） （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。

五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如⎰'+'++=≈10)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf（1） （1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设]1,0[)(4C x f ∈，推导余项公式⎰-=1)()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。

2、 2、 用二步法)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα求解常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。

（ ）２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。

（ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。

（ ）４、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。

（ ） 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组bAx =都是病态的。

（用∞⋅） （ ）6、设n n R A ⨯∈，n n R Q ⨯∈，且有I Q Q T =（单位阵），则有22QA A =。

（ ）7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。

（ ）8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A ，则b a ,的值分别为=a 2，=b 2。

（ ） 二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设102139)(248+++=x x x x f ，则均差 =]2,,2,2[810 f __________，=]3,,3,3[910 f __________。

2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数，[]b a p ,∈为)(x f 的一个m 重零点，Newton 迭代公式)()('1k k k k x f x f mx x -=+的收敛阶至少是 __________阶。

３、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到__________阶的连续导数。

4、向量T X )2,1(-=,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1327A ，则 =1AX __________，=∞)(A cond __________。

5、为使两点的数值求积公式：⎰-+≈1110)()()(x f x f dx x f 具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=1x __________，=2x __________。

6、设n n R A ⨯∈，A A T =，则)(A ρ（谱半径）__________2A 。

（此处填小于、大于、等于）7、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2141021A ，则=∞→k k A lim __________。

三、简答题：（9分）1、 1、 方程xx 24-=在区间[]2,1内有唯一根*x ，若用迭代公式：2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0( =k ，则其产生的序列{}k x 是否收敛于*x ？说明理由。

2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、 3、 设001.0=x ，试选择较好的算法计算函数值2cos 1)(x x x f -=。

四、（10分）已知数值积分公式为：)]()0([)]()0([2)(''20h f f h h f f hdx x f h-++≈⎰λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

五、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为：2,1,00)(2101=>+=+k x x ax x kk k证明：对一切a x k k ≥=,,2,1 ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。

六、（9分）数值求积公式⎰+≈3)]2()1([23)(f f dx x f 是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？ 七、（9分）设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异，X 为精确解，0≠b ，若向量~X 是b AX =的一个近似解，残向量~X A b r -=，证明估计式：br A cond XXX )(~≤-（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。

八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ，并导出九、(9分)设)(x n 是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列，)1,,,2,1(+=n n i x i 为{})(1x n +ϕ的零点，)1,,,2,1)((+=n n i x l i 是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，∑⎰+=≈11)()()(n k k k b ax f A dx x w x f 为高斯型求积公式，证明：（1） （1）当j k n j k ≠≤≤,,0时，0)()(11=∑+=i j i kn i ix x A ϕϕ（2）⎰≠=ba j kj k dx x w x l x l )(0)()()(（3）∑⎰⎰+==112)()()(n k babak dxx w dx x w x l十、（选做题8分）若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+ ω，),,1,0(n i x i =互异，求],,,[10p x x x f 的值，其中1+≤n p 。