数值计算方法试题及问题详解

数值计算方法试题一

一、 填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)

2(2

1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在

（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，

则

a =( )，

b =（ ），

c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

0)(( )，

∑==

n

k k j

k x l

x 0

)(( )，当2≥n 时

=

++∑=)()3(20

4x l x x

k k n k k

( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞

=0)(k k

x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=

1

4)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨

⎧=+-=-2211

21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题

00

(,)()y f x y y x y '=⎧⎨

=⎩的改进欧拉法

⎪⎩⎪

⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]

0[111]

0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是

阶方法。

10、设

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，

其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、选择题（每题2分）

1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x

k k +=+)

()

1(收敛的充要条件是（ ）。

（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ

2、在牛顿-柯特斯求积公式：

⎰∑=-≈b

a

n

i i n i x f C a b dx x f 0

)()

()()(中，当系数)

(n i

C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，

（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

4、若用二阶中点公式))

,(4,2(1n n n n n n y x f h

y h x hf y y +++=+求解初值问题

1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为

（ ）。

(1)20≤

三、1、（8分）用最小二乘法求形如2

bx a y +=的经验公式拟合以下数

据：

2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx

e

x ⎰

-1

时，

(1) (1) 试用余项估计其误差。

（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

四、1、（15分）方程013

=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种

不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)

x

x 1

1+

=

对应迭代格式

n n x x 1

11+

=+；（3）13-=x x 对应迭代格式

131-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，

精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组f AX =，其中

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f

（1） （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR

迭代法。

五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪

⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dx

dy

用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足

)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =

六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如

⎰'+'++=≈1

0)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf

（1） （1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽

量高；（2）设

]1,0[)(4

C x f ∈，推导余项公式⎰-=1

)

()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。

2、 2、 用二步法

)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα

求解常微分方程的初值问题⎩⎨

⎧=='00)()

,(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方

法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二

一、判断题：（共16分，每小题２分）

１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵