双曲函数
双曲函数的积分与导数
双曲函数的积分与导数在数学中，双曲函数是一类重要的函数，由指数函数和对数函数组成。
双曲函数具有丰富的性质，其中包括积分和导数。
本文将探讨双曲函数的积分和导数性质，帮助读者更好地理解和运用这些函数。
一、双曲函数简介双曲函数包括双曲正弦函数（sinh(x)）、双曲余弦函数（cosh(x)）、双曲正切函数（tanh(x)）以及双曲余切函数（coth(x)）。
这些函数与常见的三角函数有着类似的性质，但有一些明显的区别。
双曲正弦函数定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数定义为：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))双曲余切函数定义为：coth(x) = 1/tanh(x) = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x))这些函数在数学和应用领域中有广泛的应用，特别是在微积分、概率统计、电工电子等方面。
二、双曲函数的积分双曲正弦函数的积分与普通正弦函数的积分类似，即：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C其中，C为常数。
2. 双曲余弦函数的积分双曲余弦函数的积分与普通余弦函数的积分类似，即：∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C其中，C为常数。
3. 双曲正切函数的积分双曲正切函数的积分与普通正切函数的积分类似，即：∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C其中，C为常数。
4. 双曲余切函数的积分双曲余切函数的积分与普通余切函数的积分类似，即：∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)| + C其中，C为常数。
三、双曲函数的导数1. 双曲正弦函数的导数d/dx sinh(x) = cosh(x)2. 双曲余弦函数的导数双曲余弦函数的导数为：d/dx cosh(x) = sinh(x)3. 双曲正切函数的导数双曲正切函数的导数为：d/dx tanh(x) = sech^2(x)其中，sech(x)为双曲余切函数的倒数。
双曲函数
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
y archx
o
x
o
y arthx
1
x
y
-1
o
1
x
(x y)
sh ( x y ) 。
（五）反双曲函数
（ 1） 反 双 曲 正 弦 函 数 ：
arshx ln( x x 1 ) ， x ( , ) ；
2
（ 2） 反 双 曲 余 弦 函 数 ：
archx ln( x x 1 ) ， x [1, ) ；
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
（ 1 ） 双 曲 正 弦 函 数 ： shx e e 2
x x
，
x
（ 2 ） 双 曲 余 弦 函 数 ： chx
e e 2
x
，
（ 3 ） 双 曲 正 切 函 数 ： thx
shx chx
e e e exຫໍສະໝຸດ xx x。
（二）双曲函数的性质
3 ． y thx 的 定 义 域 是 ( , ) ， 值 域 是 ( 1, 1 ) ， 它 是 奇 函 数 ， 在 ( , ) 内 单 调 增 加 。
（三）双曲函数的图象
y
y shx
y
1
y chx
o
x y
1
y thx
o
x
o
-1
x
（四）双曲函数之间的关系式
1 ． y shx 的 定 义 域 是 ( , ) ， 值 域 是 ( , ) ， 它 是 奇 函 数 ， 在 ( , ) 内 单 调 增 加 。
双曲函数的简单性质
双曲函数的简单性质
一、定义 双曲余弦：cosh()2
x x e e x -+= 双曲正弦：sinh()2
x x e e x --= 双曲正切：tanh()x x x x e e x e e
---=+ 二、性质
①22cosh ()sinh ()1x x -=
②2222cosh(2)cosh ()sinh ()2cosh ()112sinh ()x x x x x =+=-=+
③sinh(2)2sinh()cosh()x x x = ④22tanh()tanh(2)1tanh ()
x x x =+ ⑤221tanh ()cosh(2)1tanh ()
x x x +=- ⑥22tanh()sinh(2)1tanh ()
x x x =
- 由上述性质易证，可见其与三角函数的性质很相像，故上面三个函数的命名带有三角。
而性质①与标准双曲线方程的形式一致，故名双曲。
其实三角函数也叫圆函数。
事实上，由欧拉公式：
cos sin ix e x i x =+
可推导出：
cosh()cos()sinh()sin()tanh()tan()x ix x i ix x i ix =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此也可见三角函数与双曲函数的关系。
历史上有名的悬链线方程就是双曲余弦。
悬链线(Catenary)是指两端
固定的一条(粗细与质量分布)均
匀、柔软(不能伸长)的链条，在
重力的作用下所具有的曲线形
状。
伽利略曾猜测是抛物线。
虽
然伽利略错了，不过呢，抛物线与悬链线却存在这样的关系：
悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹。
双曲函数
（6）1 th x
2
1
2
ch x 在这里仅证公式（1） 。
。
shxchy chxshy
e x e x e y e y e x e x e y e y 2 2 2 2
e x y e y x e x y e ( x y ) e x y e y x e x y e ( x y ) 4 4
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ，
(0, ) 内 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在
单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x e x （1）双曲正弦函数： shx ， 2
e x e x （2）双曲余弦函数： chx ， 2
shx e x e x x x 。 （3）双曲正切函数：thx chx e e
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
o x o
1
y archx
x
y
y 2uy 1 0 ， u y y 2 1 ，
∵ u e x 0 ，∴ u y y 2 1 ，
即 e x y y 2 1 ， x ln( y y 2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x 2 1 ) ， x (, ).
双曲函数_精品文档
双曲函数双曲函数是一类特殊的数学函数，与三角函数密切相关。
双曲函数的研究与应用在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍双曲函数的定义、性质以及一些常见的应用。
定义：双曲函数是指一组涉及指数函数的函数族，其定义域为实数集，它们的计算结果和性质与三角函数非常类似。
我们可以通过指数定义来简单地记双曲函数：双曲正弦函数（sinh）：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数（cosh）：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数（tanh）：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲余切函数（coth）：coth(x) = 1/tanh(x) = cosh(x)/sinh(x) 双曲正割函数（sech）：sech(x) = 1/cosh(x)双曲余割函数（csch）：csch(x) = 1/sinh(x)性质：双曲函数具有许多有趣的性质，使得它们在数学和应用中都有广泛的应用。
以下是一些常用的性质：1. 对称性：双曲函数是奇函数还是偶函数取决于参数的奇偶性。
sinh(x)和csch(x)是奇函数，cosh(x)、tanh(x)和sech(x)是偶函数，而coth(x)则既不是奇函数也不是偶函数。
2. 增长性：双曲函数的增长速度比指数函数稍慢。
当x的值变得非常大或非常小时，双曲函数的增长速度将远远超过指数函数。
3. 反函数：每个双曲函数都有它的反函数，例如，sinh(x)的反函数是ln(x + √(x^2 + 1))。
4. 三角关系：双曲函数和三角函数之间存在着许多关系。
例如，sinh(x)和cosh(x)之间满足勾股定理：sinh^2(x) + cosh^2(x) = 1。
这类似于三角函数中的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
应用：双曲函数在数学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 振动现象：双曲函数在描述振动现象中起着重要的作用。
双曲函数公式
双曲函数公式
双曲函数：
1、定义：双曲函数是一种定义域为实数域或复数域，取值域为实数或复数的函数，其曲线是关于原点成对的对称的双曲线，即上下对称的双曲线。
2、基本形式：双曲函数的一般形式表达式为：y=A*tanh（BX+C）或者y=A*coth（BX+C），A、B、C均为常数，A为双曲函数的拉伸系数，B决定双曲函数的斜率，C决定双曲函数的位移。
3、特点：
（1）双曲函数的大致形状和正弦函数类似，但是它的斜率比正弦函数更快；
（2）双曲函数是非线性函数，它可以用来模拟非线性系统；
（3）双曲函数的函数值不会无限接近于零，也就是说，双曲函数的函数值是有界的；
（4）双曲函数的导数和自身具有固定的比例关系，该关系仅仅取决于双曲函数的参数B。
4、应用：双曲函数在电动机控制、机器人控制、电参量控制、自动控
制等方面有着重要的应用，并且可以用来替代正弦函数和余弦函数在相应领域内的应用。
双曲函数
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1和性质 t > 0 对于所有的 t。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
[3]实变双曲函数y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。
y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。
y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
高等数学第六节 双曲函数
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
双曲函数和差公式
双曲函数和差公式
双曲函数是一类与三角函数类似的数学函数，它们在数学、物理学和工程学中有广泛的应用。
双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）等。
差公式是指双曲函数的一种重要性质，它可以用来计算双曲函数的和、差等运算。
双曲函数的差公式可用以下公式表示：cosh(x + y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
sinh(x + y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
tanh(x + y) = (tanh(x) + tanh(y)) / (1 + tanh(x) *
tanh(y))
双曲函数的差公式在计算中起到了重要的作用，特别是在处理双曲函数的和、差等运算时，能够简化计算过程，并且可以降低计算误差。
除了差公式，双曲函数还有很多其他的数学性质和公式，例如导
数公式、积分公式等。
双曲函数还与指数函数、对数函数、幂函数等
有一些特殊的关系，可以通过这些关系进行更深入的数学研究和应用。
双曲函数在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在电磁学中描
述电场和磁场的分布、在振动学中描述弹性体的振动等。
双曲函数还
与概率论、统计学、信号处理等有密切的联系。
总之，双曲函数和差公式是数学中重要的概念和工具，通过它们
可以描述和计算多种数学问题，具有广泛的应用价值。
双曲函数 反双曲函数
双曲函数反双曲函数
双曲函数是指双曲正弦函数(sinh)、双曲余弦函数(cosh)、双曲正切函数(tanh)等。
它们与三角函数非常相似，但是其定义域与值域均为实数集。
双曲函数在数学、物理、统计学等领域都有广泛的应用。
反双曲函数是指与双曲函数互为反函数的函数，例如双曲正弦函数的反函数叫做反双曲正弦函数(arcsinh)。
反双曲函数的定义域和值域与对应的双曲函数相反，例如反双曲正弦函数的定义域是实数集，而值域是实数集中大于等于零的数。
反双曲函数同样在数学、物理、统计学等领域中有广泛的应用。
双曲函数
双曲函数百科名片双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录双曲函数的作用定义实变双曲函数图像的基本性质复变中的双曲函数?双曲函数与三角函数的关系恒等式反双曲函数双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数的作用定义实变双曲函数图像的基本性质复变中的双曲函数?双曲函数与三角函数的关系恒等式反双曲函数双曲函数与反双曲函数的导数∙双曲函数与反双曲函数的不定积分∙双曲函数与反双曲函数的级数表示∙实际应用∙参考文献展开编辑本段双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
编辑本段定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
泰勒级数的双曲函数
泰勒级数的双曲函数泰勒级数是高等数学中的一个重要概念，可以将各种函数近似表示成无穷多项式的形式，从而使得我们更加容易地对函数进行研究和计算。
其中，双曲函数是一类具有重要物理意义的函数，应用极广。
在本文中，我将讨论泰勒级数如何用于表示双曲函数。
首先，让我们了解一下双曲函数是什么。
双曲函数是指如下两个函数：$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$$$\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$这两个函数在数学以及物理学中都有广泛的应用。
在物理学中，它们常常用来描述具有不稳定平衡态的系统。
我们可以发现，双曲函数的定义中都是指数函数$e^x$和$e^{-x}$的线性组合。
因此，我们可以考虑使用泰勒级数来近似表示它们。
对于一个可导的函数$f(x)$，我们可以将它在某个点$x_0$处展开为如下泰勒级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$其中，$f^{(n)}(x_0)$表示$f(x)$在$x_0$处的$n$阶导数。
由于双曲函数是可导的函数，我们同样可以利用泰勒级数来表示它们。
对于$\sinh(x)$，我们将其在$x=0$处展开，则有：$$\sinh(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$同样地，对于$\cosh(x)$，我们也可以将其在$x=0$处展开，得到：$$\cosh(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$这两个级数在数学中被称为双曲正弦级数和双曲余弦级数。
值得注意的是，由于级数中含有无穷多项，实际应用中需要根据需要选取一定多项进行截断。
当选取的项数越多时，展开后的函数表示越精确，但是计算量也越大。
当然，我们也可以通过级数表示的方式来证明双曲函数的一些性质。
例如，我们可以利用双曲余弦级数和双曲正弦级数来证明以下公式：$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$通过代入上述级数并带入求和符号内，可以得到：$$\begin{aligned}&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\cdo t\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\sum_{n=0}^{\inf ty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{ n}\frac{x^{2m}}{(2m)!}\cdot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m))!}-\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{n}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\cd ot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m)+1)!}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{m=0}^{n}\frac{x^{2m} }{(2m)!}\cdot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m))!}-\sum_{m=0}^{n}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\cdot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m)+1)!}\right)\\=&1\end{aligned}$$在最后一步的变形中，我们使用了基本的数学公式，例如$1/2!=1/2\cdot1$等，将两个求和符号内的三角函数转化为了两个待证明的和式形式，最终证明了此公式的正确性。
双曲函数
双曲函数百科名片双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录展开编辑本段双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
编辑本段定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 −y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
双曲函数简介.doc
双曲函数双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以次类推定义 双曲函数（hyperbolic function ）可借助指数函数定义双曲正弦(sinh/sh) 2xx e e shx --=双曲余弦(cosh/ch) 2xx e e chx -+=双曲正切(tanh/th) chx shxe e e e thx xx x x =+-=-- 双曲余切(coth/cth) shxchxe e e e thx cthx x x x x =-+==--1 双曲正割(sech) x x ee chx hx -+==21sec双曲余割(csch)x x ee shx hx --==21csc 其中，指数函数（exponential function ）可由无穷级数定义(Tayor 展开)),(,!!3!21!320+∞-∞∈++++++==∑∞=x n x x x x n x e nn n xΛΛ e 是自然对数的底 e ≈2.71828 18284 59045...=ΛΛ++++++!1!31!21!11!01n ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function ）分别记为ar sh z 、ar ch z 、ar th z 等。
简单介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数
双曲函数[编辑]维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索射线出原点交双曲线于点，这里的被称为双曲角，是这条射线、它关于轴的镜像和双曲线之间的面积。
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。
最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”（有时也把双曲正弦写作sh，双曲余弦写作ch），从它们可以导出双曲正切函数“tanh”（有时写作th）等等。
其中的推导也类似于三角函数的推导。
双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。
在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。
目录[隐藏]∙ 1 基本定义∙ 2 与三角函数的关系o 2.1 几何关系∙ 3 恒等式∙ 4 反双曲函数∙ 5 双曲函数的导数∙ 6 双曲函数的泰勒展开式∙7 双曲函数的积分∙8 参考∙9 参见∙10 外部链接基本定义[编辑]sinh, cosh和tanhcsch, sech和coth∙∙∙∙∙∙如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是直角双曲线的右半边。
这是因为有以下的恒等式：同时对于所有的都有。
双曲函数是带有复数周期的周期函数。
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。
函数是关于y轴对称的偶函数。
函数是奇函数，也就是说对任意的x，都有 -sinh x= sinh -x 且。
与三角函数的关系[编辑]双曲函数与三角函数有如下的关系:∙∙∙∙∙∙几何关系[编辑]∙给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数∙在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系: ∙正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
双曲函数性质及应用举例
双曲函数性质及应用举例双曲函数是一类在数学中常见的特殊函数，其在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍双曲函数的定义、基本性质以及一些典型的应用举例。
双曲函数的定义双曲函数是指双曲正弦函数（sinh）和双曲余弦函数（cosh）。
它们与三角函数（正弦和余弦）具有类似的性质，但却展现出不同的曲线特性。
双曲正弦函数（sinh）的定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2双曲余弦函数（cosh）的定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2其中，e 表示自然对数的底。
双曲函数的基本性质双曲函数具有以下几个基本性质：1. 定义域和值域双曲函数 sinh(x) 和 cosh(x) 在实数域上定义，其定义域为所有实数。
而值域分别为实数集和正实数集。
2. 奇偶性双曲正弦函数 sinh(x) 是奇函数，即满足sinh(-x) = -sinh(x)。
双曲余弦函数cosh(x) 是偶函数，满足cosh(-x) = cosh(x)。
3. 对称性双曲正弦函数 sinh(x) 关于直线 y = 0 对称，即满足sinh(-x) = -sinh(x)。
双曲余弦函数 cosh(x) 则不具有对称性。
4. 求导双曲函数的导数非常简单。
对 sinh(x) 求导得到 cosh(x)，对 cosh(x) 求导得到sinh(x)。
这意味着双曲函数在微积分中具有很好的性质，方便进行相关计算和推导。
5. 反函数双曲函数的反函数分别为双曲反正弦函数（arcsinh）和双曲反余弦函数（arccosh）。
它们与双曲函数具有相似的关系，但是表达形式有所不同。
在某些应用中，需要通过反函数来解方程或计算特定值。
双曲函数的应用举例双曲函数在各个领域中都有广泛的应用。
下面列举几个典型的应用举例：1. 物理学在物理学中，双曲函数常常用于描述波动和振动的现象。
例如，声音和光的衍射、干涉和传播等都可以使用双曲函数来描述。
双曲函数.2
d=a1+a2 （28）
由（24）至（27）式得
a12―R12=a2= a22―R22 （29）
原来两导线表面的方程是
R1：（x―a1）2+y2= R12 （30）
R2：（x+a2）2+y2= R22 （31）
记
f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64）
尝试
φ=a0+a1f+a2g （65）
注意存在关系式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66）
将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组
－6βk3b1（r2－1）2=0,
－6βk3a1（r2－1）=0,
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0,
－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0,
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0,
利用反两曲余弦关系式
archx= In[（x+√x2―1）] （40）
对本题的精确解表示作简洁表示
c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41）
最后一式可以在一般手册上查到。
3、粒子运动轨迹
一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为
(完整版)双曲函数公式汇总
(完整版)双曲函数公式汇总引言双曲函数是数学中的一类特殊函数，与三角函数类似，但具有不同的性质和公式。
本文将对双曲函数的定义、性质和常见公式进行汇总，并提供相应的示例。
双曲函数的定义双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）以及它们的反函数。
它们的定义如下：- 双曲正弦函数（sinh）：$sinh(x)=\frac{{e^x-e^{-x}}}{{2}}$- 双曲余弦函数（cosh）：$cosh(x)=\frac{{e^x+e^{-x}}}{{2}}$- 双曲正切函数（tanh）：$tanh(x)=\frac{{sinh(x)}}{{cosh(x)}}$双曲函数的性质双曲函数具有以下性质：1. 对于任意实数 x，有 $cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1$。
2. 双曲正弦函数是奇函数，即 $sinh(-x) = -sinh(x)$。
3. 双曲余弦函数是偶函数，即 $cosh(-x) = cosh(x)$。
4. 双曲正切函数是奇函数，即 $tanh(-x) = -tanh(x)$。
常见公式下面列举了一些双曲函数的常见公式及其证明：- 双曲函数的和差公式：- $sinh(x_1 + x_2) = sinh(x_1)cosh(x_2) + cosh(x_1)sinh(x_2)$ - $cosh(x_1 + x_2) = cosh(x_1)cosh(x_2) + sinh(x_1)sinh(x_2)$ - $tanh(x_1 + x_2) = \frac{{tanh(x_1)+tanh(x_2)}}{{1 +tanh(x_1)tanh(x_2)}}$- 双曲函数的倍角公式：- $sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)$- $cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x)$- $tanh(2x) = \frac{{2tanh(x)}}{{1 + tanh^2(x)}}$- 双曲函数的倒数公式：- $sinh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$- $cosh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$- $tanh^{-1}(x) = \frac{{1}}{{2}}ln(\frac{{1+x}}{{1-x}})$示例以下是一些双曲函数的示例：- 计算 $sinh(0.5)$：sinh(0.5) = (e^0.5 - e^-0.5) / 2 ≈ 0.xxxxxxx- 计算 $cosh(-1)$：cosh(-1) = (e^-1 + e^1) / 2 ≈ 1.xxxxxxx- 计算 $tanh(2)$：tanh(2) = sinh(2) / cosh(2) ≈ 0.xxxxxxx结论本文简要介绍了双曲函数的定义、性质和常见公式，并给出了相关示例。
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▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
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中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
编辑
6
不定积分
编辑
7
级数表示
编辑
其他级数可根据双曲函数与三角函数的关系，用ix代替x（有些函数需要再乘以i或i）即可。
8
实际应用
双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。
编辑
阻力落体
在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所 受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。 解： 小石块遵循的运动方程为 mdv/dt=mg―μv2 ⑻ 这是Riccati方程，它可以精确求解。 依标准变换方式，设 v=（m/μ）（z′/z） ⑼ 代入⑻式，再作化简，有 z'' ―（gμ /m)z=0 ⑽ ⑽式的通解是 z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t） ⑾
导线电容
真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2，中心线相距为d(d >R1+R2）。试求它们间单位长度的 电容。 解： 设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。 我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是： 由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位 置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀 带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出 电容来。为此先求偶极线的等势面。 以偶极线所在的平面为zx平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。 这偶极线所产生的电势便为 φ=φ1+φ2 =（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2） =（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] ⒃ y P r2 r1 R2 ―λ +λ R1 x O a a a2 a1 图2：带电导线与其镜像 式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于 是，⒃式便化为 φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） ⒄ 由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑zy平面内任意一点P（z，y）的电势即 可。于是 φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } ⒅ 故偶极线的等势面方程便为
双曲余切：
双曲正割：
创建者：郑庄公
双曲余割： 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方 程。 如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x y= 1。这 基于了很容易验证的恒等式 百科消息：
双曲函数图像(2张)
其中，C1和C2是任意常数。 由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为 v（0）=0 ⑿ 这等价于 z′（0）=0 ⒀ 因此，容易定出 C2=C1 ⒁ 将⒁式代入⑾式，再将⑾式代入⑼式，就可得 满足初始条件的解 v=√mg/μ tanh（√μg/m t) ⒂ 我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响 较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直 线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此 时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。
在（51）式和（54）式中消去t，有 x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55） 利用恒等变换公式 cosh2x―sinh2x=1 （56） （55）式可以写成 x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57） （57）式是一种悬链线。 图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹 讨论： 因双曲余弦泰勒级数展开式是 cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58） 当v/c →0时，保留前2项，得 x=（qE/2m v02）y2 （59） （59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在 v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c<<1居陈列馆，探寻晚清名臣遗迹 ▪ 参加百科任务，赢高额财富值
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。函数 sinh x 是奇函数，就是说 sinh x = sinh (x) 且 sinh 0 = 0。 [2]
2
函数性质
对称。
编辑
y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点
y=cosh x，定义域：R，值域：[1,+∞)，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲 线，函数图像关于y轴对称。 y=tanh x，定义域：R，值域：(1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制 在两水平渐近线y=1和y=1之间。
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双曲函数
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在数学中，双曲函Βιβλιοθήκη 类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导 出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）依此类推。