点直线和圆的位置关系教案

教学过程一、课堂导入问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？二、复习预习1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半2、圆周角定理的推论： （1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.（2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径3、其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.三、知识讲解考点1点与圆的位置三种位置关系如图1所示，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，OA ＜rB 点在圆上，OB = r图1C点在圆外，OC＞r反之，在同一平面上，已知的半径为r⊙O，和A，B，C三点：若OA＜r，则A点在圆内若OB= r，则B点在圆上若OC＞r，则C点在圆外考点2直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.）1、当d＞r时，直线与圆相离(如图所示）2、当d＜r时，直线与圆相交（如图所示）3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线.考点3切线的判定和性质1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线考点4切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB,∠APO=∠BPO.考点5三角形的内心外心经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

四、例题精析例1【题干】若圆的半径为4cm，如果一个点和圆心的距离为6cm，则这个点和这个圆的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．点在圆内或点在圆外【答案】B【解析】∵圆的半径为4cm，点和圆心的距离为6cm，4＜6，∴这个点和这个圆的位置关系是点在圆外．故选B．例2【题干】如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD 于F，则以点B为圆心，长为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是多少？【答案】由题中已知条件，得BO⊥AC，BO=BD==，即点B到AC的距离为，与⊙B的半径相等；∴直线AC与⊙B相切．∵EF∥AB，∠ABC=90°，∴BE⊥EF，垂足为E．且BE=BC=×2=1＜，∴直线EF与⊙B相交．【解析】此题重点是根据题意和正方形的性质，分别找到圆心到直线的距离，再根据数量关系判断其位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．例3【题干】如图，在直角坐标系XOY中，已知两点O1（3，0）、B（-3，0），⊙O1与X轴交于原点0和点A，E是Y轴上的一个动点，设点E的坐标为（0，m）．（1）当点O1到直线BE的距离等于3时，问直线BE与圆的位置关系如何？求此时点E的坐标及直线BE的解析式；（2）当点E在Y轴上移动时，直线BE与⊙O1有哪几种位置关系？直接写出每种位置关系时的m的取值范围．【答案】（1）当m＞0时，如图所示：由已知得BE是⊙O1的切线，设切点为M，连接O1M，则O1M⊥BM，∴O1M=3，∵O1（3，0）、B（-3，0），∴BO1=6，∴BM===3，又∵OE⊥BO，∴Rt△BOE∽Rt△BMO1，∴=，即=，∴OE=，∴m=，∴E（0，）设此时直线BE的解析式是y=kx+m，将B（-3，0）及E（0，）代入上式，解得，∴直线BE的解析式为：y=x+，当m＜0时，E（0，-）由圆的对称性可得：k=-，m=-时，直线BE也与⊙O1相切，同理可得：y=-x-．（2）当m＞或m＜-时，直线与圆相离，当m=或m=-时，直线与圆相切，当-m＜时，直线与圆相交．【解析】（1）根据题意得出⊙O1的半径，判断出直线BE与⊙O1的关系，根据题意画出直线BE，连接O1M，由利用勾股定理求出BM的长，由相似三角形的判定定理得出Rt△BMO1∽Rt△BOE，求出BE的长，进而得出E点坐标，用带定系数法即可求出直线BE的解析式，根据对称的性质可知当m＜0时的直线解析式；（2）根据（1）所求出的m的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线BE与⊙O1的位置关系．例4【题干】已知⊙O的半径为5cm，P为圆外一点，A为线段OP的中点，当OP=12时，点A和⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定【答案】B【解析】∵A为线段OP的中点，OP=12，∴OA=6，∵OA＞5，∴点A在⊙O外，故选B．例5【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（3，0）为圆心的圆与x轴交于原点O和点B，直线l 与x轴、y轴分别交于点C（-2，0）、D（0，3）．（1）求出直线l的解析式；（2）若直线l绕点C顺时针旋转，设旋转后的直线与y轴交于点E（0，b），且0＜b＜3，在旋转的过程中，直线CE与⊙A有几种位置关系？试求出每种位置关系时，b的取值范围．【答案】（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，将点C（-2，0）、D（0，3）的坐标代入有：，解得：k=，b=3．∴直线l的解析式为：y=．（2）由题意得：旋转得到的直线l的解析式为：y=，当直线与圆相切时，有=3，解得：b=，∴当0＜b时，直线与圆相离；当b=时，直线与圆相切；当b＜3时，直线与圆相交．【解析】（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，将点C（-2，0）、D（0，3）的坐标代入求出k，b的值即可；（2）直线CE与⊙A有相交、相切和相离3种位置关系，然后分别求出对应情况下的b的取值范围即可．例6【题干】如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点，若∠CED ＝x °，∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则⋂DE 的长度是（ ）A ．()9090R x -π B ．()9090R y -π C ．()180180Rx -π D ．()180180Ry -π【答案】B【解析】：由切线长定理，知：PE ＝PD ＝PC ，设∠PEC ＝z °所以，∠PED ＝∠PDE ＝（x ＋z ）°，∠PCE ＝∠PEC ＝z °，∠PDC ＝∠PCD ＝（y ＋z ）°，∠DPE ＝（180－2x －2z ）°，∠DPC ＝（180－2y －2z ）°，在△PEC 中，2z °＋（180－2x －2z ）°＋（180－2y －2z ）°＝180°，化简，得：z ＝（90－x －y ）°，在四边形PEBD 中，∠EBD ＝（180°－∠DPE ）＝180°－（180－2x －2z ）°＝（2x ＋2z ）°＝（2x ＋180－2x －2y ）＝（180－2y ）°，所以，弧DE 的长为：(1802)180y R π-＝()9090R y -π 例7【题干】如图1，圆O 1与圆O 2都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与圆O 1交于点C ，与圆O 2交于点D ．经过点B 的直线EF 与圆O 1交于点E ，与圆O 2交于点F ．（1）求证：CE∥DF；（2）在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时（如图2），过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与圆O1的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明：连接AB；∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠BAD=∠E．又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，∴∠BAD+∠F=180°．∴∠E+∠F=180°．∴CE∥DF．（2）【解析】MN与⊙O1相切，过E作⊙O1的直径EH，连接AH和AB；∵MN∥DF，∴∠MEA=∠D．又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE，∴∠MEA=∠AHE．∵EH为⊙O1的直径，∴∠EAH=90°．∴∠AHE+∠AEH=90°．∴∠MEA+∠AEH=90°．又∵EH为⊙O1的直径，∴MN为⊙O1的切线．【解析】（1）只需连接AB，利用“圆的内接四边形的外角等于内对角”证明∠E+∠F=180°，从而证明CE ∥DF；（2）作辅助线：构造直径所对的圆周角是90°．利用平行线的性质求出∠ABE=∠AHE，根据“圆的内接四边形的外角等于内对角”得出∠D=∠ABE，所以得到∠MEA=∠AHE，∠MEA+∠AEH=90°，利用切线的判定定理，可知MN为⊙O1的切线．例8【题干】如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（-1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．【答案】∵OO′=r==，O′P==2同理可得：O′Q=1，O′R=，∴O′P＞r，点P在⊙O′外；O′Q＜r，点Q在⊙O′内；O′R=r，点R在⊙O′上．【解析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．例9【题干】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案】证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．∴DC是⊙O的切线．【解析】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．例10【题干】如图，将直角梯形ABCD置于直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，点D和坐标原点O重合．已知：BC∥AD，BC=2，AD=AB=5，M（7，1），点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度水平向左平移，同时点Q从点A沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，设移动时间为t 秒．（1）直接写出点Q和点P的坐标（用t的代数式表示）．（2）以点P为圆心，t个单位长度为半径画圆．①当⊙P与直线AB第一次相切时，求出点P坐标，并判断此时⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．②设⊙P与直线MP交于E、F（E左F右）两点，当△QEF为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）点P（7-2t，1），Q（5-t，t）；（2）①当⊙P与直线AB第一次相切时，则点P到直线AB的距离（7-2t-5+t）=t，解得t=，则点P（，1），此时⊙P与x轴相离；②根据题意，得E（7-3t，1），F（7-t，1）．要使△QEF为直角三角形，①若EF是斜边：根据勾股定理，得（2-t）2+2（1-t）2+（2-t）2=4t2，解得t=．②若QE是斜边：（-4）2+4t2=（t-4）2，解得t=；③若QF是斜边：4t2+（-4）2=（-4）2，解得t=5．【解析】（1）点P的纵坐标是1，横坐标即为点M的横坐标减去运动的路程；点Q的坐标运用解直角三角形的知识求解；（2）①根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径可以求得t的值，再进一步判断此时⊙P与x轴的位置关系；②分别表示点E和点F的坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可．课程小结1、本节课我们学习了点、直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。