范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-外部效应(圣才出品)

第24章

外部效应

1．假定有两个人在决定他们应把车开多快，个人i 选择速度i x 并从这一选择中得到()i i u x 的效用；假定

()0i i u x '>。不过，车开得越快，他们就越有可能发生撞车事故。令()12P x x ，为一事故发生

的概率，假设它关于每个自变量都是递增的；令0i c >是发生事故对个人i 带来的成本。假定每个人的效用关于货币都是线性的。

（a）说明从社会的观点来看，每个人都有激励把车开得过快。

（b）如果发生事故时个人i 被罚款的数量为i t ，为了把外部效应内部化，i t 应为多大？（c）如果用最优罚款，包括个人支付的罚款在内的总成本是多少？如何与事故的总成本进行比较？

（d）现在假设只有当不发生事故时个人i 的效用才是()i i u x 。在此情况下，适当的罚金是多少？

Suppose that two agents are deciding how fast to drive their cars.Agent i chooses speed i x and gets utility

()i i u x from this choice;we assume that ()0i i u x '>.However,the faster the agents

drive,the more likely it is that they are involved in a mutual accident.Let ()12P x x ，be the probability of an accident,assumed to be increasing in each argument,and let 0

i c >be the cost that the accident imposes on agent i .Assume that each

agent's utility is linear in money.

（a）Show that each agent has an incentive to drive too fast from the social point of view.

（b）If agent i is fined an amount i t in the case of an accident,how large should i t be to internalize the externality?

（c）If the optimal fines are being used,what are the total costs,including fines,paid by the agents?How does this compare to the total cost of the accident?

（d）Suppose now that agent i gets utility ()i i u x only if there is no accident.What is the appropriate fine in this case?

答：（a）给定当事人2的速度，当事人1选择最大化自己的期望效用：

得到一阶条件为：

对于当事人2也有类似的结果成立：

联立(1)、(2)两式，即可解得每个人的最优车速1x *和2x *

。

从全社会的角度看，两个人的总效用最大化问题为：

相应的一阶条件为：

联立以上两个式子即可解得每个人的社会最优车速****

12x x 和。

断言******1122x x x x > >，，下面来证明：利用对称性可知，如果***11x x >，那么必有***

22x x >；

如果***11x x <，那么必有***

22x x <。又因为：

这样如果假设()i i u x 单减，

()1211

p x x c x ∂ ∂，关于1x 和2x 单增，那么必有***

11

x x >，否则如果

相反的不等式成立，那么，就有：

这就和社会最优的条件相矛盾，所以***11x x >，***22x x >。

（b）当发生事故后，如果对行为人1处以数额为

t 的罚款，那么他的期望效用最大化问题为：

相应的一阶条件为：

把11**x x =和22**

x x =代入上式中，可知只有当12t c =时，征税的方法才可以使行为人1

的车速达到社会最优。类似的也有21t c =。

（c）由上问可以知道，最优罚款为：1212t t c c +=+。如果使用了最优罚款，那么在发生事故的情况下当事人所承担的总成本为[]122c c +，这是事故总成本的两倍。

（d）当不发生事故时，个人i 的效用才是()

i u

x ，当事人1的期望效用为：

两个人的总效用为：

采用类似于第（2）问的方法可知，达到社会最优的税收为：

这里1x ***和2x ***

是社会最优的开车速度。