初三数学-一元二次方程的根的判别式练习题最新

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中考数学-一元二次方程根的判别式练习选择题

中考数学一元二次方程根的判别式选择练习题1.那么α= [ ]．2．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]．3．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]．A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．4．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]．5.则该方程 [ ]．A．无实数根； B．有相等的两实数根；B．C．有不等的两实数根；D．不能确定有无实数根．6．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．A．2； B．0； C．1； D．3．7．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．2； C．-1； D．0．8．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]．A．4； B．-7；C．4或-7； D．所有实数．9.A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．10．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．0； C．1； D．2．11．若方程k（x2-2x＋1）-2x2＋x＝0有实数根，则12．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则 [ ]．13．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]．A．4； B．1； C．-2； D．-6．14．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]．A．1； B．2； C．3； D． 4．答案1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A 9．B 10．D 11．C 12．B 13．B 14．C。

一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案

（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中，没有实数根，故本选项错误；

新人教版-九年级一元二次方程(根的判别式)

九年级一元二次方程（根的判别式）一．选择题（共10小题）1．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣32．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．44．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥45．如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＞B．m C．m= D．m=6．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号7．若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断9．关于x的一元二次方程x2+4kx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断10．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断二．解答题（共10小题）11．当实数k为何值时，关于x的方程x2﹣4x+3﹣k=0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根．12．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．13．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．14．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．15．已知关于x 的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．16．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．18．已知关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2+2x+1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）取k=﹣，用配方法解这个一元二次方程．19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣3时，求方程的根．20．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．2017年09月01日y1的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴m2﹣4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2，则m的值可以是：﹣3，故选：D．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4k=4﹣4k=0，解得：k=1．故选A．3．若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【解答】解：∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，解得：a=﹣1．故选A．4．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，解得：q＜16．故选A．5．如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＞B．m C．m= D．m=【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=32﹣4×2m=9﹣8m=0，解得：m=．故选C．6．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程2x2﹣5x+3=0有两个不相等的实数根．故选B．7．若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，∴，解得：k＞﹣1．故选A．8．一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【解答】解：在方程4x2﹣2x+=0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（）=0，∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．故选B．9．关于x的一元二次方程x2+4kx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【解答】解：在方程x2+4kx﹣1=0，△=（4k）2﹣4×1×（﹣1）=16k2+4．∵16k2+4＞0，∴方程x2+4kx﹣1=0有两个不相等的实数根．故选A．10．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．二．解答题（共10小题）11．当实数k为何值时，关于x的方程x2﹣4x+3﹣k=0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根．【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16﹣4（3﹣k）=0，解得k=﹣1；故原方程为：x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2．12．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，∴x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．13．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．14．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．15．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×m×（m﹣1）=0，且m≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x1=x2=﹣1．16．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．17．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2．18．已知关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2+2x+1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）取k=﹣，用配方法解这个一元二次方程．【解答】解：（1）∵（2k﹣1）x2+2x+1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0；∴4﹣4（2k﹣1）≥0，解得k≤1，∵2k﹣1≠0，∴k≠，∴k的取值范围为k≤1且k≠；（2）把k=﹣代入（2k﹣1）x2+2x+1=0，得﹣2x2+2x+1=0，移项得，﹣2x2+2x=﹣1，系数化为1得，x2﹣x=，配方得，（x﹣）2=，解得x﹣=±，∴x1=，x2=．19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣3时，求方程的根．【解答】解：（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=0，∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=﹣3．20．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，即4k＞﹣9，解得；（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；如果k=﹣1，原方程为x2﹣3x+1=0，解得，，．（如果k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2）。

专题1-3 一元二次方程根的判别式(原卷版)

（苏科版）九年级上册数学《第1章一元二次方程》专题1-3 一元二次方程根的判别式◆1、一般地，式子b 2﹣4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2﹣4ac ．◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③计算b 2﹣4ac 的值；④根据b 2﹣4ac 的符合判定方程根的情况．◆4、运用根的判别式时的注意事项（1）将方程化成一般形式后才能确定a ，b ，c 的值．（2）确定a ，b ，c的值时不要漏掉符合．【例题1】（2023•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．x 2+4＝2xB ．（x +1）2＝0C ．x 2﹣2023x ＝0D ．x 2+2＝3x【变式1-1】（2023春•淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．无法判断【变式1-2】（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（）A．（x﹣3）2＝4B．x2＝x C．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0【变式1-3】（2023•郯城县二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情况为（）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【变式1-4】（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有一个根是x＝1【变式1-5】（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为1【变式1-6】（2023•扶沟县二模）若|a﹣3|+=0，则关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+2＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【例题2】（2023•安徽模拟）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．﹣2B．﹣2或6C．6D．﹣6或2【变式2-1】（2023•淮阳区校级三模）若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0 有两个相等实数根，则m 的值是（）A．﹣1B．1C．﹣9D．9【变式2-2】（2023春•乐清市月考）若关于x的方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（）A．﹣4B．4C．8D．16【变式2-3】（2023•永嘉县二模）若关于x的方程x2+6x+18a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．―12B．12C．﹣2D．2【变式2-4】（2023•驻马店二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，则m 的值是．【变式2-5】（2023•永嘉县三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b 的值是．【例题3】（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0【变式3-1】（2023•金水区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　．【变式3-2】（2023•中牟县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1【变式3-3】（2023春•宁明县期中）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【变式3-4】（2023•市北区三模）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．【变式3-5】（2023•兰考县一模）如果关于x的一元二次方程kx2+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜13B．k＜13且k≠0C．―13≤k＜13且k≠0D．―13≤k＜1且k≠0【变式3-6】（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．【例题4】（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【变式4-1】若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为．【变式4-2】（2023•曹妃甸区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（）A．18B．10C．4D．2【变式4-3】关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是．【变式4-4】若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k （1﹣k）的值为（）A．3B．﹣3C．―72D．72【变式4-5】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【变式4-6】若关于x的一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b―45）的值为．【例题5】（2023•丰台区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．【变式5-1】（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．【变式5-2】（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【变式5-3】（2023•大兴区二模）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．【变式5-4】（2023•顺义区二模）已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．【变式5-5】（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【例题6】（2023•新乡三模）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，则m的值可以是（）A．3B．2C．1D．0【变式6-1】（2023•内乡县三模）定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m有两个不相等的实数根，则m的值可以为（）A．2B．3C．4D．5【变式6-2】（2023•枣庄二模）定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k 为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【变式6-3】（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【变式6-4】（2023•息县一模）定义新运算：a◎b＝ab﹣b2，例如1◎2＝1×2﹣22＝2﹣4＝﹣2，则方程2◎x＝5的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【变式6-5】定义新运算：对于任意实数，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；（2）若3⊕a的值小于10，请判断方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情况．【变式6-6】（2022•石家庄模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）x ☆4＝20，求x ；（2）若2☆a 的值小于0，请判断方程：2x 2﹣bx +a ＝0的根的情况．【例题7】（2023•宁南县模拟）已知等腰三角形ABC 的一边长a ＝6，另外两边的长b ，c 恰好是关于x 的一元二次方程x 2﹣（3k +3）x +9k ＝0的两个根，则△ABC 的周长为．【变式7-1】（2022春•双流区期末）已知等腰△ABC 的底边长为3，两腰长恰好是关于x 的一元二次方程14kx 2―(k 3)x 2+3＝0的两根，则△ABC 的周长为．【变式7-2】（2023•莱芜区三模）已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n 分别是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个根，则k的值等于（）A．3B．5或9C．5D．9【变式7-3】（2023春•鄞州区期中）若等腰△ABC的一边长6，另两边长恰好是关于x方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则△ABC的面积为．【变式7-4】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．【变式7-5】已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【变式7-6】（2022春•长兴县期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣b）x2﹣2cx+a+b＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若a＝5，b＝3，求这个一元二次方程的根；（3）若AD是BC边上的高，AB=BD＝3，求CD的长．∴CD=4 3．。

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0⇔方程有________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0⇔方程__________实数根．二、例变讲练例1 方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0例2 已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3 已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4 若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________．变4 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4. 若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5. 若关于x的方程x2＋x－94a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠1 D．m≥－2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．10. 等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x ＝_______________．两，不相等，－b±b2－4ac 2a(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有________个________的实数根，x 1＝x 2＝______________．(3)b 2－4ac ＜0⇔方程__________实数根．两，相等，－b 2a，无二、例变讲练例1 方程3x 2－2x －1＝0的根的判别式为b2－4ac ＝16，此方程有两个__________的实数根．不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 D例2 已知关于x 的方程x 2－3x ＋2－m 2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示)；解：b 2－4ac ＝4m 2＋1；(2)说明不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解：b 2－4ac ＝4m 2＋1≥1>0，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x －3m ＝0.求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m －3)2－4×(－3m)＝m 2－6m ＋9＋12m＝m 2＋6m ＋9＝(m ＋3)2，∵无论实数m 取何值，总有(m ＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，则m 的取值范围是______________．m≥－1变3 已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．k>－1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2－4x －c ＝0的根的判别式Δ＝4，则c ＝_________．-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A ．(x －1)2＝0B ．x 2＋2x －19＝0C ．x 2＋4＝0D ．x 2＋x ＋1＝0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是_________．m<－44. 若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为 x ＝x=_____________－14， x 1＝x 2＝125. 若关于x 的方程x 2＋x －94a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．a>－196. 已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥－2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x2－4x －5＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________．k ＜158. 求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5，∵m2≥0，∴16m 2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m 为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋2m ＝0.(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－4×1×2m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x ＝1代入原方程，得：1－(m ＋2)＋2m ＝0，∴m ＝1，∴方程的另一个根为2×11＝2. 当1，2为直角边长时，斜边长＝12＋22＝5，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋5＝3＋5；当2为斜边长时，另一直角边长＝22－12＝3，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋3＝3＋ 3.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋5或3＋ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，求n 的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得：n ＝10，综上所述：n ＝10.。

一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok

一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok1.1) 对于方程2x-5x-a=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25+8a，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以25+8a>0，解得a>-25/8，所以a的取值范围为a>-25/8.2) 当方程的两个根互为倒数时，根据一元二次方程的求根公式，有x1x2=-a/2，又因为x1x2=1/x1，所以x1^2=-a/2，代入原方程得2x-5x-2x1^2=0，解得x1=±√(5/2)，代入x1x2=-a/2得a=5.2.1) 将方程展开得x^2-5x+6-p=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25-24+4p=1+4p，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以1+4p>0，解得p>-1/4，所以p的取值范围为p>-1/4.2) 当p=2时，代入方程得(x-3)(x-2)=2，展开得x^2-5x+4=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1，x2=4.3.将方程化简得2kx+k-2=0，由于方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0，解得k=1，代入方程得3x-1=0，解得x=1/3.4.1) 将方程化简得x^2+(4-a)x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=(4-a)^2-12，要使方程有实数根，即Δ≥0，所以(4-a)^2-12≥0，解得a∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。

2) 当a=4-2√3时，代入方程得x^2+(4-4+2√3)x+3=0，解得x1=√3-1，x2=-(√3+1)。

5.1) 将方程化简得4x^2-4mx+m^2-4m+1=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=16m-4m^2，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以m∈(-∞,0)∪(1,4]。

2) 当m=4时，代入方程得4x^2-16x+17=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(4-√3)/2，x2=(4+√3)/2.6.1) 将方程化简得4x^2-3x-m=0，由于方程有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=9+16m>0，解得m>-9/16，所以m的最小整数值为-1.2) 当m=-1时，代入方程得4x^2-3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1/4，x2=1.7.根据一元二次方程的求根公式，判别式Δ=25-12m，要使判别式为1，即Δ=1，解得m=2或m=1/3.当m=2时，代入方程得2x^2-10x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√13)/2，x2=(5+√13)/2.当m=1/3时，代入方程得x^2-5/3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√5)/6，x2=(5+√5)/6.8.删除此段落。

初三数学《一元二次方程根的判别式》练习题(含答案)

一元二次方程根的判别式一、填空题（本大题共8小题）1.若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是2.关于x 的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．3.方程222(4)20k x x k --+-=没有实数根，那么k 的最小正整数值是4.关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根，则m 的取值是 .5.关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．6.关于x 的二次方程22(31)910mx m x m --+-=有两个实数根，则m 的取值范围是 .7.方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是8.已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．二、解答题（本大题共10小题）9.已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -10.不解方程判定下列方程根的情况：⑴2210x ax a ++-=；220+=；⑶4(1)30x x +-=；⑷2(1)(2)x x m --=11.已知方程2210x x m +-+=没有实数根求证：方程2121x mx m ++=一定有两个不相等的实数根12.关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．13.已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．14.当m 是什么实数时，关于x 的二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=都有实数根。

15.求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．16.若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．17.对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．18.已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．一元二次方程根的判别式答案解析一、填空题 1.23m >且1m ≠2.1k >；2400k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >3.解得92k >,∴最小正整数值是54.1m =±5.8;由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =． 6.15m ≤且0m ≠7.9k <且0k ≠8.-1;∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．二、解答题9.∵0>△，∴2m >;∴|1||1||2|23m m m m -=-+-=-10.⑴两个不等的实数根；⑵无实数根；⑶两个不相等的实数根；⑷两个不相等的实数根11.证明：由题意得44(1)0m ∆=--+<，解得0m <∴224(121)4840m m m m --=-+>则方程2121x mx m ++=一定有两个不相等的实数根12.由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠13.当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为：224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．14.根据题意得22204160(4)4(445)0m m m m m ≠⎧⎪-≥⎨⎪-⋅--≥⎩，解得514m -≤≤且0m ≠15.∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+=∵20m ≥∴原方程有两个实数根．16.0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．17.∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=--- ()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+ ∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．18.由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．。

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。

2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。

3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。

6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。

9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。

2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。

10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。

一元二次方程根的判别式练习题

一元二次方程根的判别式练习题一元二次方程根的判别式练题一）填空1.方程x^2+2x-1+m=0有两个相等实数根，则m=1．2.a是有理数，b是整数，方程2x^2+(a+1)x-(3a^2-4a+b)=0的根也是有理数．3.当k＜1时，方程2(k+1)x^2+4kx+2k-1=0有两个实数根．4.若关于x的一元二次方程mx^2+3x-4=0有实数根，则m 的值为正数．5.方程4mx^2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m=1/4．6.若m是非负整数且一元二次方程(1-m^2)x^2+2(1-m)x-1=0有两个实数根，则m的值为0或2．7.若关于x的二次方程kx^2+1=x-x^2有实数根，则k的取值范围是[0,1/4]．8.二次方程(k^2-1)x^2-6(3k-1)x+72=0有两个实数根，则k=3或-2/3．9.若一元二次方程(1-3k)x^2+4x-2=0有实数根，则k的取值范围是[-1/3,1/3]．二）选择10.关于x的方程：m(x^2+x+1)=x^2+x+2有两相等的实数根，则m值为[1/2]．11.当m＞4时，关于x的方程(m-5)x^2-2(m+2)x+m=0的实数根的个数为B．1个．12.如果m为有理数，为使方程x^2-4(m-1)x+3m^2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为(m-1)^2．13.若一元二次方程(1-2k)x^2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是D．3．14.若一元二次方程(1-2k)x^2+12x-10=0有实数根，那么k 的最大整数值是A．1．15.方程2x(kx-5)-3x^2+9=0有实数根，k的最大整数值是D．2．16.若方程k(x^2-2x+1)-2x^2+x=0有实数根，则k=1/2．17.若方程(a-2)x^2+(-2a+1)x+a=0有实数根，则a∈(0,1/2]∪[2,∞)．18.若m为有理数，且方程2x^2+(m+1)x-(3m^2-4m+n)=0的根为有理数，则n的值为D．-6．三）综合练19.如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a^2x^2+(a^2+b^2-c^2)x+b^2=0无解．20.当 $a=-1$，$b=0$ 时，方程$x^2+2(1+a)x+(3a^2+4ab+4b^2+2)=0$ 有实数根。

初中九年级数学《一元二次方程根的判别式》习题1

《一元二次方程根的判别式》习题
1．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．
2．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．
3．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是
____．
4．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为
_____．
5．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．
6．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．
7．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．
8．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根．
9．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：
（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；
（3）有两个不相等的实数根．
10．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．
11．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）没有实数根．
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九年级数学(一元二次方程根的判别式)练习题试题

轧东卡州北占业市传业学校蠡园九年级数学<一元二次方程根的判别式>练习题苏科自助内容：1．一元二次方程求根公式为2.用公式法解以下方程：(1)x 2－3x ＋2＝0 (2)x 2－4x ＋4＝0 (3)2x 2－2x ＋1＝0思考：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由____ ___确定的，我们把b 2－4ac 称一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“Δ〞〔读作delta 〕表示．当∆＞0时⇒ ，反之也成立；当∆＝0时⇒ ，反之也成立；当∆＜0时⇒ ，反之也成立．这样我们可以不解方程，通过计算b 2－4ac 的值就能直接判断方程的根的情况了思考：当Δ_____0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根？例题讲解：例1.不解方程，判别以下方程根的情况：(1)2x 2＋3x －4＝0 (2)16y 2＋9＝24y (3)5(x 2＋1)－7x ＝0练习1．不解方程，判别以下方程的根的情况：(1)3x 2＋2x －1＝0 〔2〕－4y 2＋6y －94＝0 〔3〕12y 2－y ＋5＝0 例2．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＝0，请你根据以下条件求k 的取值范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．练习2．关于x 的方程2x 2－(4k ＋1)x ＋2k 2－1＝0，k 取什么值时(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程无实数根．例3．关于x 的方程k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，当k ____________时，这个方程有两个不相等的实数根；当k ___________时，这个方程有两个相等的实数根；当k __________时，这个方程没有实数根；当k __________时，这个方程只有一个根．练习3．关于x 的方程(1－2k )x 2－21－kx －1＝0有两个不相等的实数根．〔1〕求实数k 的取值范围；〔2〕化简|k ＋2|＋k 2－4k ＋4．例4．关于x 的方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0．求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根．例5．a 、b 、c 是一个三角形的三条边长，并且关于x 的方程(c ＋a )x 2＋2bx ＋(c －a )＝0有两个相等的实数根，试判定这个三角形的形状．课后作业：1．填空：(每题5分，共30分)〔1〕2x 2＋3x －k ＝0的根的判别式Δ＝______，当k ___________时，方程有实数根．〔2〕当m ___________时，关于x 的方程3x 2－2(3m ＋1)x ＋3m 2－1＝0有两个不相等的实数根．〔3〕关于x 的一元二次方程mx 2＋(2m －1)x －2＝0的根的判别式的值为4，那么m ＝___________．〔4〕关于x 的方程x 2－2(k ＋1)＋k 2－1＝0有实数根，那么k 的取值范围是___________．〔5〕如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6＝0没有实数根，那么a 的最小整数值是_________．2．不解方程判别方程根的情况：(每题6分，共18分)〔1〕2x 2－4x ＋1＝0；〔2〕6x (6x －2)＋1＝0；〔3〕(x －4)(x ＋3)＋14＝0．3．分别根据下面的条件求m 的值：(每题8分，共32分)〔1〕方程x 2－(m ＋2)x ＋4＝0有一个根是－1；〔2〕方程x 2－(m ＋2)x ＋4＝0有两个相等的实数根；〔3〕方程mx 2＋4x ＋2＝0没有实数根；〔4〕方程x 2－2x －m ＝0有实数根．4．(此题10分)关于x 的方程(m ＋1)x 2－(2m －1)x ＋m －1＝0．〔1〕当m 取什么值时，这个方程有两个实数根？〔2〕当m 取什么值时，这个方程没有实数根？5．(此题10分)判断关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2(a －2)＝0的根的情况，并说明理由．拓展延伸题1．求证：关于x 的方程2x 2＋(2k －3)x －3k －1＝0必有两个不相等的实数根．2．用长为50㎝的铁丝能否围成一个面积为160㎝2的矩形方框？ 3．设a 、b 、c 分别是三角形的三边长，当m ＞0时，关于x 的方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2max ＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．4．假设关于y 的方程y 2＋2y ＝a ＋9无实根，试判断关于x 的方程x 2＋ax －2a ＋5＝0的根的情况．5．关于x 的方程kx 2－4x ＋3＝0有实数根，且k 为非负整数．〔1〕求k 的值；〔2〕求方程的根．。

中考数学-一元二次方程根的判别式练习填空题

中考数学一元二次方程根的判别式填空练习题1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是28．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有____．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____．12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____．13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根．答案1．22．13．有两个不相等的4．6，-46．167．4，18．两个有理数根9．m=011．m，n为不等于零的任意实数12．b2-c2+a2=013．任意实数14．k≤115．无实数16．也有相等的。

解一元二次方程公式法根的判别式测试题及参考答案(精编)

公式法解一元二次方程精编测试题一、选择题1.下列关于方程有两个不相等的实数根的是（）A ．y 2﹣2y +2＝0B ．x （x ﹣2）＝﹣1C ．（x ﹣k ）（x +k ）＝2x +1D ．t 2+1＝02.若关于x 的方程x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根,则m n 的值（）A ．-4B ．﹣2C ．2D ．43.关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围为（） A ．m ＜94 B ．m ≤−94 C ．m<−94 D ．m ＞944.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是（）A ．x 2-x+14=0B ．x 2-2x=-3C ．x 2+x+2=0D ．x 2+5x=05.关于x 的一元二次方程x 2+（﹣k +2）x ﹣4+k ＝0根的情况,下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定6.关于x 的一元二次方程（a +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根,则a 的取值范围是（）A ．a ≤14且a ≠﹣2B ．a ≤14C ．a ＜14且a ≠﹣2D ．a ＜147.若一元二次方程x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m （m ≠0）,则b +√b 2−16=（） A ．m B ．﹣m C ．2m D ．﹣2m8.已知a 是一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个实数根中较小的根,则a 2﹣4a +2025的值是（）A ．2023B ．2024C ．2025D ．20269.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的边长,则一元二次方程（a +b ）x 2+2cx +a +b ＝0的根（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断10.关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k +1）x +1＝0有实数根,则k 的取值范围是（）A ．k ＞14且k ≠1B ．k ≥14且k ≠1C ．k ＞14D ．k ≥1411.若x= -1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0的一个根,则2025-2a+2b 的值（）A.2023B.2024C.2026D.202712.若(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)-6=0,则x 2+y 2的值是（）A.-2B.3C.3或-2D.3或2二、填空题13. 若一元二次方程x 2＋ax ＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是n （n ≠0）,则a ＋√a 2−16的值_____. 14.关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2x+1=0有实数根,则点Q(m-5,-m+3)在第______象限.15. 关于x 的一元二次方程x 2-2x+3a-2=0有实数根,若a 为正整数,方程的根_________．16.若|b-1|+√a −4=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0(k ≠0)有实数根,则k 的取值范围是__________．17. 把4个数a,b,c,d 排成2行,2列,两边各加一条竖直线记成|a b cd |,定义|a b c d |=ad-bc ．如：|5623|=5×3−6×2=3．则方程|x 16xx |=−9的根的情况__________________．三、解决问题18.解方程3x 2﹣4√3x +2＝0 x 2﹣3x -2＝02x 2+3x +3＝034x 2−2x −12=0x (2x -4)＝5-8x 2x 2−2√2x +1=019．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +3n-2＝0有实数根．（1）求n 的取值范围；（2）若n 为正整数,求出此时方程的根．20.关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于3,求m 的取值范围．21.已知关于x 的方程x 2﹣（m +3）x +4m ﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m 取何值,这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝5,另两边b ,c 的长度恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长．22.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16cm ，BC ＝8cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以2cm/s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 边以4cm/s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，运动时间为t （s ）．（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值？（2）△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．参考答案一、选择题CDAAA ADAAD DC二、填空题13. -2n14. 二15. x1=x2=116.k≤4且k≠017.有两个相等的实数根三、解决问题18.解方程（1）x1=2√3+√63, x2=2√3−√63（2）x1=−3+√172, x2=−3−√172（3）无实数根（4）x1=4+√223, x2=4−√223（5）x1=2+√14 , x2= 2+√14（6）x1=x2=√2219（1）∵方程有实数根∴△=(-2)2-4×1×（3n-2）=12-12n≥0∴n≤1（2）∵m为正整数, n≤1∴n=1当n=1,方程为x2-2x+1=0∴ (x-1)2=0,x1=x2=-120（1）证明：∵a＝1,b＝﹣m,c＝2m﹣4 ∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0∴方程总有两个实数根（2）∵△＝（m﹣4）2≥0∴x=−b±√b2−4ac2a=m±|m−4|2∴x1＝m﹣2 , x2＝2∵方程有一个根小于3∴m﹣2＜3∴m＜521（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0∴无论m取何值,方程总有实数根.（2）∵△ABC为等腰三角形∴b＝c或b、c中有一个为5①当b＝c时,△＝（m﹣5）2＝0,m＝5∴原方程为x2﹣8x+16＝0∴b＝c＝4∵b+c＝4+4＝8＞5∴4,4,5能构成三角形,周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时,将x＝5代入原方程, 25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0∴m＝6,∴x2﹣9x+20＝0∴x1＝4,x2＝5∵4,5,5能组成三角形∴周长为4+5+5＝14综上,三角形的周长是13或14．22（1）t=2s(2)因为方程的△＜0，所以不能.。

一元二次方程及根的判别式单元训练题

一元二次方程及根的判别式单元训练题一．选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．230x x y ++=B ．10x y ++=C ．20x =D ．2150x x++= 2．下列方程中，①2210x -=，②20ax bx c ++=，③2(2)(3)3x x x +-=-，④22120,52xx x x -=-=⑤，一元二次方程的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．关于x 的一元二次方程2(2)10a x x -+-=，则a 的条件是( ) A ．4a ≠B ．3a ≠C ．2a ≠D ．1a ≠4．一元二次方程(2)50x x --=中一次项的系数是( ) A ．2-B ．2C ．5-D ．1-5．把一元二次方程(2)(2)x x x +-=化成一般形式，正确的是( ) A ．240x x -+=B ．240x x --=C ．240x x ++=D ．240x x +-=6．一元二次方程2253y y -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A ．2-，3-，5-B ．2，3-，5-C ．2，5-，3D ．2-，3-，57．一元二次方程2210x +=的根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8．方程2(1)9x +=的解为( )A ．12x =，24x =-B ．12x =-，24x =C ．12x =，24x =D ．12x =-，24x =-9．一元二次方程24x =的根是( ) A ．2x =B ．2x =-C ．12x =，22x =-D ．11x =，21x =- 10．（2022春•高邮市期末）用配方法将方程2430x x --=变形，结果正确的是( ) A ．2(2)70x --=B ．2(2)10x --=C ．2(2)70x +-=D ．2(2)30x +-=11．用配方法解方程220x x +=，变形后的结果正确的是( )A ．2(1)0x +=B ．2(1)1x +=C ．2(2)4x +=D ．2(2)0x +=12．（2022秋•罗山县校级月考）下列配方法解方程时，配方错误的是( ) A ．2670x x +-=化为2(3)0x +=B ．2540x x --=化为2541()24x -=C ．22990x x +-=化为2(1)100x +=D ．23420x x --=化为2210()39x -=13．（2022秋•东光县校级月考）若21x -比x 大1，则关于x 的值，下列说法正确的是()A ．不存在这样x 的值B ．只存在一个x 的值C ．存在两个不相等的x 的值D ．无法确定14．（2022春•莱芜区期末）以x ( ) A ．240x x c --=B ．240x x c +-=C ．240x x c -+=D ．240x x c ++=15．（2022秋•新民市期中）用公式法解一元二次方程237x x +=时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述中，正确的是( ) A ．3a =，1b =-，7c = B ．3a =，1b =，7c =-C ．3a =，1b =-，7c =-D ．3a =，1b =，7c =16．一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为( ) A ．11B ．27C ．5或11D ．21或2717．（2022•仓山区校级模拟）方程23x x =的解是( )A ．0x =B ．3x =C ．0x =或3x =D ．x =18．（2022秋•江油市月考）方程22x x =的解是( )A ．2x =B ．0x =C ．12x =，20x =D ．1x =20x =19．若实数x ，y 满足2222(5)(8)0x y x y +++-=，则22x y +的值为( ) A ．8或5-B ．5C ．5-D ．820．已知实数x 满足222()4()120x x x x ----=，则2x x -的值是( ) A ．2-B ．2-或6C ．6D ．60421．若实数m 、n 满足22222(3)4(3)120m n m n +-+-=，则223m n +的值为( )A ．2B ．6C ．6或2-D ．6或222．（2021秋•静安区期末）对于二项方程0(0,0)n ax b a b +=≠≠，当n 为偶数时，已知方程有两个不相等的实数根，那么下列不等式成立的是( ) A ．0abB ．0abC ．0ab >D ．0ab <23．（2022秋•甘井子区校级月考）若关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有两个不相等实根，则k 的取值范围是( ) A ．4k <B ．4k >-C ．4k <且0k ≠D ．4k >-且0k ≠24．已知关于x 的一元二次方程2(1)410m x x -++=有实数根，则m 的取值范围为( ) A ．5mB ．5m <C ．5m <且1m ≠D ．5m 且1m ≠25．（2022秋•灌南县校级月考）已知一元二次方程2340mx x +-=的解是11x =，24x =-，则一元二次方程2(23)3(23)40m x x +++-=的解是( ) A ．11x =-，2 3.5x =- B ．11x =，2 3.5x =-C ．11x =，2 3.5x =D ．11x =-，2 3.5x =26．关于x 的方程230x mx ++=的一个根为1，则方程的另一个根与m 的值分别为( ) A ．3x =，4m =-B ．3x =，4m =C ．3x =-，4m =-D ．3x =-，4m =27．设a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为( ) A ．2024B ．2021C ．2023D ．202228．（2022秋•吴江区校级月考）铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x 个球队参赛，则下列方程中正确的是( ) A ．(1)45x x +=B ．1(1)452x x +=C ．(1)45x x -=D ．1(1)452x x -=29．某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是( ) A ．21525(1)400x -=B ．2400(1)1525x +=C ．2400400(1)400(1)1525x x ++++=D ．24001525x =30． “武鸣沃柑”是南宁市拥有的地理标志产品之一，具有皮薄肉厚，香甜多汁等特点．武鸣某村合作社2019年种植沃柑100亩，2021年种植沃柑144亩．若设该合作社种植沃柑面积的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为( ) A ．100(12)144x += B ．2100100(1)100(1)144x x ++++= C ．2144(1)100x -= D ．2100(1)144x +=二．填空题31．关于x 的方程2(1)230m x x -+-=是一元二次方程，则m 的取值是．32．（2022秋•龙岗区校级月考）关于x 的方程|1|(3)10a a x x --+-=是一元二次方程，则a 的值是．33．（2022秋•岳阳楼区月考）一元二次方程2278x x -=的一般形式是、 34．（2022秋•新北区校级月考）将方程3(1)2(2)8x x x -=++化为一般形式为． 35．（2022春•通州区校级月考）一元二次方程290x -=的两根分别是． 36．（2022秋•珠海校级月考）一元二次方程228x =的解为．37．（2022•南京模拟）用配方法解一元二次方程22530x x --=，可以写成2()x h k +=的形式，则．38．（2022秋•五台县期中）将方程280x mx -+=用配方法化为2(3)x n -=，则m n +的值是．39．（2022春•洞头区期中）已知关于x 的方程20(0)ax bx c a --=≠的系数满足0a b c --=，且420a b c +-=，则该方程的根是．40．（2022•利州区一模）定义新运算“*”，规则：()*()a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，如3*13=，(=若210x x +-=的两根为1x ，2x ，则12*x x = ．41．（2022•杜尔伯特县一模）方程220x x -=的实数解是．42．（2022春•拱墅区期中）对于实数m ，n ，先定义一种运算“⊗”如下：22,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时，若(2)10x -=⊗，则实数x 的值为．43．请阅读下列材料：解方程：222(1)5(1)40x x ---+=．解法如下：将21x -视为一个整体，然后设21x y -=，则222(1)x y -=，原方程可化为2540y y -+=，解得11y =，24y =．（1）当1y =时，211x -=，解得x =（2）当4y =时，214x -=，解得x =综合（1）（2），可得原方程的解为1x =2x =，3x =4x =．参照以上解法，方程4260x x --=的解为．44．（2022秋•惠济区校级月考）已知方程222(1)16x y +-=，则22x y +的值为． 45．已知关于x 的一元二次方程22(1)2(1)10k x k x -+-+=有两个实数根，则k 的取值范围是．46．（2022秋•港南区月考）关于x 的方程2(21)10(kx k x k k -+++=为非零常数），下列说法：①当1k =时，该方程的实数根为2x =；②1x =是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根．其中正确的是．47．（2022•江阳区模拟）已知a ，b 是方程2350x x --=的两根，则代数式322610a a b -+= ．48．已知1x 、2x 是一元二次方程22350x x +-=的两个根，则12x x += ，12x x = ． 49．某商品原价为200元，连续两次涨价后售价为288元，设平均每次涨价的百分率为x ，根据题意可列方程为．50．（2022秋•东莞市校级月考）一花户，有25m 长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12)m 的面积为2100m 的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m 的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm ，则可列方程为．三．解答题51．若关于x 的方程|3|(1)23k k x x --+=是一元二次方程，求k 的值． 52．（2022秋•临沭县校级月考）解方程：24480x -=．53．（2022秋•南关区校级月考）用配方法解方程：240x x +-=．54．（2022秋•鄄城县期中）已知关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=．（1）若方程有不相等实数根，求k 的取值范围．（2）若方程有两个相等实数根，求此时方程的根．55．在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同．（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x 米，请列出方程，不做解答．（2）求方案二中扇形的半径；（其中3π≈，结果保留根号）（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．56．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件，这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．。