反比例函数的图像和性质的综合应用

反比例函数的图像和性质的综合应用

【基础知识精讲】

1、反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=k x

（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．

反比例函数y=

k x

（k≠0）还可以写成：①1

-=kx y （k≠0） ②k xy =（k≠0）. 2、反比例函数的概念需注意以下几点：（1） k 为常数，k≠0； （2）

k

x

中分母x 的指数为1；(3) 自变量x 的取值范围是x≠0的一切实数； （4） 因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数．

3、反比例函数的图象．

4、反比例函数y=k

x 具有如下的性质:

性质1、反比例函数k

y x

=

（0k ≠）（1）当0k >时，图象在一、三象限；在每个象限内，y 随x 增大而减小；（2）、当0k <时，图象在二、四象限；在每个象限内，y 随x 增大而增大；

性质2、反比例函数k

y x

=

（0k ≠）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形； 因此， 当点P （a ，b ）在图象上时，Q （－a ，－b ）和R （b ，a ）也在图象上。 5、反比例函数y=

k

x （k≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=k

x

（k≠0）的图像上任一点),(y x p

作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积

S 矩形=∣xy ∣=∣k ∣, S △POM =2

1

∣k ∣。

X

Y O

P (x, y)

M

N

一、【基础训练】

1. 反比例函y=5

m x

-的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m 的取值范围是( ) A.m<0 B.m>0 C.m<5 D.m>5

2. 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是反比例函数y=-2

x

图象上的两点,若x 1

系是( ) A.y 2y 1>0 D.y 1>y 2>0

3. 函数y=(2m 2

-7m-9)2

919

m m x -+是反比例函数,且图象在每个象限内y 随x 的 增大而减小,

则m=_____.

4. 如图,A 、B 是函数y=

1

x

的图象上关于原点O 对称的任意两点, AC 平行于y 轴,BC 平行于x 轴,则△ABC 的面积为________.

5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点，A 、B 、C 在双曲线x

y 6

=上，BD ⊥x 轴于

D , C

E ⊥ y 轴于E ,点，

F 在x 轴上，且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .

6．如图，已知矩形OABC 的面积为

1003，它的对角线OB 与双曲线y=k

x

交于点D ，•且OB ：OD=5：3，则k=________．

7.如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k

y x

(k>0)经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k= . 8.如图,直线l 和双曲线(0)k

y k x

=

>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是

S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ）

A. S 1＜S 2＜S 3

B. S 1>S 2>S 3

C. S 1=S 2>S 3

D. S 1=S 2

x

（x ＞0）的图像上，

顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2

x

（x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，

则点P 3的坐标为

x

y O

C

B

A

D

x

y

O

C A B y

F E

E C

B A

x

O

10.如图，已知动点A 在函数4

(0)y x x

=

>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，

延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC 。直线DE 分别交x 轴于点P ，Q 。当49QE DP =：：时，图中阴影部分的面积等于_______.

11．如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，

直线y =x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2．若反比例函数的

图象经过点B ，求此反比例函数表达式。

12.如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m

y x

=

（x>0）的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27，1

2

OC CA =。

（1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

O

A B C

x

y

y =x x

y A O P

B

C D