磁场高斯定理与安培环路定理
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2、磁场的高斯定理和安培环路定理
L
B dl o I i
L
S
B dS 0 j dS
S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
高二物理竞赛课件：磁场的高斯定理和安培环路定理
13
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平 面平行，则有
dB' dB
dB''
dl'
l pd c
o dl''
ab
方向如图所示。
结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
14
是与环共轴的一系列同心圆。
11
设螺绕环的半径为
，共有N 匝线圈。
以平均半径 作圆为安培回路 L得：
R
L
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。 同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：
12
例4：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，
其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流
密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。
其方向与电流满足右手螺旋法则。
10
例3： 求载流螺绕环内的磁场。 解：设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I。
磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线 (即每一个圆线圈过圆心的垂线)
根据对称性知，在与环共轴的
圆周上磁感应强度的大小相等，
p
方向沿圆周的切线方向。磁感线
表达式
符号规定：穿过回路 L 的电
流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的，I 为正，否则为负。
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
3
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路 。
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。
r
4
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平 面平行，则有
dB' dB
dB''
dl'
l pd c
o dl''
ab
方向如图所示。
结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
14
是与环共轴的一系列同心圆。
11
设螺绕环的半径为
，共有N 匝线圈。
以平均半径 作圆为安培回路 L得：
R
L
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。 同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：
12
例4：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，
其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流
密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。
其方向与电流满足右手螺旋法则。
10
例3： 求载流螺绕环内的磁场。 解：设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I。
磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线 (即每一个圆线圈过圆心的垂线)
根据对称性知，在与环共轴的
圆周上磁感应强度的大小相等，
p
方向沿圆周的切线方向。磁感线
表达式
符号规定：穿过回路 L 的电
流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的，I 为正，否则为负。
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
3
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路 。
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。
r
4
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路
12磁场的高斯定理和安培环路定理解读
穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
磁通量单位：韦伯，Wb
2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r
磁场中的高斯定理和安培环路定理
规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：
L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
dl
0I
2π
2π
0
d
0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd
0I
d
2π r
2π
第九讲 磁场高斯定理和安培环路定理
Bdl
0
说明磁场为非保守场（涡旋场）。
3
至此，我们得到真空中稳恒磁场所满足的两 个基本方程：
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，是无旋场
比较
?
S
B dS 0
（磁通连续定理）
磁 场 B dl 0 I i
i
L
B dl 0 I i
4
作积分环路并计算环流 如图 r R
I
0
作积分环路并计算环流
R r
如图 r R
I
利用安培环路定理求 B
B dl 0 I
B dl Bdl 2rB
B dl Bdl 2rB
利用安培环路定理求 B
R
B
B dl 0 I
L
1. 只有被L连环着的电流才对 B 沿L的环流有贡献。 2. 取回路L的方向与电流方向成右手螺旋关系， 否则环流差一负号。
B dl B dl B dl
0 I ( d1 d2 ) 2 L 1 L2 I 0 ( ) 0 2
磁感应线都是闭合曲线
B 0
B ds 0 s B ds BdV
s V
8
磁通量单位：韦伯(Wb)1韦伯＝1T1米2
B ds 0
s
＝ E ds qi / 0
s i
静电场： 电力线起于正电荷、止于负电荷，是有源场。
B dl Brd
L
.
I
B
r
d
07磁场的高斯定理和安培环路定理
I
r L
B
7
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关健： 利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3、选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点 (2)环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算 r r (3)要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路 大小相等， 要求环路上各点 方向一致， 方向一致， r r µ0 ∑ I I 写成 B = 目的是将: B ⋅ dl = µ0 目的是将
3
2、磁通量
dΦm
r B
磁通量: 通过任一曲面的磁力线的条数。 磁通量 通过任一曲面的磁力线的条数。 1）穿过一面元的磁通量dΦ m ）
r r d Φ m = B ⋅ dS 单位：韦伯，Wb 单位：韦伯，
2）穿过某一曲面的磁通量 ）
dS
S
Φm = ∫
S
r r d Φ m = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdScosθ
a
b
r B
d
c
r B外 = 0
r cr r d r r ar r r r b r B ⋅ dl = ∫a B ⋅ dl + ∫b B ⋅ dl + ∫c B ⋅ dl + ∫d B ⋅ dl ∫ r r r c r a r r Q B ⊥ d l , cosθ = 0 ∫b B ⋅ dl = ∫d B ⋅ dl = 0, r d r r B = µ0nI B 螺线管外： 螺线管外： 外 = 0, ∫ B ⋅ dl = 0
磁场的高斯定理和安培环路定理
. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题： 如果通电螺线管的磁力线如下所示，图 中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式，即安 培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看， 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0
133磁场的基本特征 高斯定理和安培环路定理
S 恒定电流磁场是散度为零的场 B = 0
B d S = 0
1
1.磁感线
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
I I I
2
I S N S I N
3
直线电流的磁感应线
I I B
4
圆电流的磁感应线
I
5
通电螺线管的磁感应线
I
I
6
各种典型的磁感应线的分布：
围绕单根载流导线的任一回路 L
L2
对L每个线元 d l 以过垂直导线平面作参考分解 为分量 dl// 和垂直于该平面的分量 d l d l B 0 B d l B d l B d l //
L
B d l B d l I 证明步骤同上 // 0 L L //
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
7
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
8
1.磁力线的特征 无头无尾 与电流套连 与电流成右手螺旋关系 闭合曲线
I
2. 磁通量
B d s 单位：韦伯(Wb) m S
9
2. 磁通量 磁场的高斯定理
S B
ΔN B ΔS
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上 通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
讨论
S 0 1）Bd
S
磁场的基本性质方程
2）关于磁单极：
将电场和磁场对比： 由电场的高斯定理
d Sq 0 D
S
可把磁场的高斯定理写成 与电场类似的形式
BdS qm
S
q0 －自由电荷
qm － 磁荷
磁场的高斯定理和安培环路定律
0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的
磁场的高斯定理和安培环路定理.
第二4节 、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式，即安
培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第4节
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则：
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时，此电流为正，否则为负。
举例说明：
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节 有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自 由电流和束缚电流的总和。
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外：ΣIo = 0，H// = 0，B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节 例：当
R
第八章
时，即为无限长螺线管。
因此，长直螺线管内磁感应强度公式为：
B = o n I 此式表明，理想长直螺线管内部的磁感应强
注意：螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结 论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排 列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋 线形式相连形成螺绕环和螺线管，沿螺绕环 和螺线管有一电流分量通过，即等效一圆电 流和长直载流导线，因此它们的外部磁场不 为零。但相比内部磁场而言，则相对很小。
2π R
μ 0I
2π R
第八章
I R
r
13-2-磁场的高斯定理-安培环路定理
L1
电流在闭合回路内
n B dl 0 I i L i 1
电流在闭合回路外
——安培环路定理
路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所穿过 的各电流的代数和.
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 沿任一闭合
二、安培环路定理
说明：
n B dl 0 I i i 1
解方程求出B的大小，指出B的方向。
二、安培环路定理
例2.无限大载流薄平板的磁场
d B1
j
d
dB
P
dB 2
d l1
O
c
d l2
结论：
B
1 2
0 j
a
L
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀 磁场，大小相等，但方向相反。
二、安培环路定理
例3.载流螺线环内的磁场 一环形载流螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ，外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内 磁感应强度。
计2 有两半径分别为 R 和 2 R 的金属球壳同心放置
分析：（1） 内球壳接地，电势为零，但电量未必为零
（方法一：定义式求电势） 设内球壳带电为 q ，由高斯定理得
r
R
2R
q 4 r 2 0 r E q q0 40 r 2
2R R R
R r 2R r 2R
q
q q0 外球壳 (q q0 ) 无穷远
2R
C C1 C2 4 π 0 r 1 R 1 2R 4 π 0 2 R
24 π 0 R
L
（3）若 B d l 0 ，则回路内无电流穿过。
L
二、安培环路定理
磁的高斯定理和安培环路定理
m B dS 0
S
3. 磁场的高斯定理（磁通连续原理） (Gauss law of magnetic field ) 通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线，磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field ) 1.磁感应线(magnetic induction line)
① 磁感应线上每一点的 切线方向 ：该点磁感应强 度 B 的方向。
L
3.多根导线穿过安培环路：
d 1 d 2 d 0 i
L L L
4.环路不在一个平面内，这时把 d 分解到平
行与导线的平面 d 和垂直于导线的平面d L d L ( d + d ) d d
S
稳恒磁场
m B dS 0
S
静电场是有源场，电力线 有起始、终点
磁场是无源场，磁力 线无头无尾(闭合曲线)
E d 0
L
B d 0 I内
L
静电场是保守力场 ，是无 旋场，可引入“电势”概念
磁场是非保守力场 , 是 涡旋场 , 不可引入“势能 ”概念
成立的条件—— B 是常矢，面是平面。
en
θ
θ
en
B
通过任意闭合曲面S 上的的磁通量 φm：
磁场中的高斯定理及安培环路定理
P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； 磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义 通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的 磁通量，用 表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS
磁场的高斯定理和安培环路定理
磁场是无源场 磁场是 无源场 比较 静电场 稳恒 磁场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。 磁感应线闭合成环，或两端伸向 不存在磁单极（？） 高斯定理 环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
14-2磁场高斯定理和安培环路定理
环路L上的 B 与 L 相切或垂直，且相切部 分的 B 相等。这样才有可能将 B 提到积 分号外。积分环路一般为同心圆周和矩形。
步骤：
（1）分析磁场对称性
（2）选择合适回路通过待求的 B 场点
（3）求L内包围的电流的代数和 I内 （4）用安培环路定理求B;并说明方向 有时还可灵活应用叠加原理和“补偿 法”。
I
o
B d l
L
L
r
B
o I dl cos 0 L 2 r
o I 2 r dl 0 I 2 r 0
以无限长直电流的磁场为例验证 若电流反向
I
o
2 r 0 I dlcos LB dl 0 2 r
L
r B
可证： 对任何形式的电流所激 发的磁场、对任何形状的闭 合路径(环路), 安培环路定理 都成立。
S
B dS B cos d S 0
S
磁场是“无源场” 磁场是“涡旋场”
例：无限长直导线通以电流I，求通过如图所示的矩
形面积的磁通量。
解： a
I
非均匀场
b
面积元
l
x
元通量
0 I B 2x dS ldx dΦm B dS
I 0 O d B d S l d x m x dx 2x 0 Il a b 1 0 Il a b m d m dx ln S 2 a x 2 b
I内： 环路内，穿过以L为边界的所有曲面的电流。
规定：与L绕向成右旋的电流为正，反之为负。
I1
B d l I 2 I 0 1 2
L
I2
L
步骤：
（1）分析磁场对称性
（2）选择合适回路通过待求的 B 场点
（3）求L内包围的电流的代数和 I内 （4）用安培环路定理求B;并说明方向 有时还可灵活应用叠加原理和“补偿 法”。
I
o
B d l
L
L
r
B
o I dl cos 0 L 2 r
o I 2 r dl 0 I 2 r 0
以无限长直电流的磁场为例验证 若电流反向
I
o
2 r 0 I dlcos LB dl 0 2 r
L
r B
可证： 对任何形式的电流所激 发的磁场、对任何形状的闭 合路径(环路), 安培环路定理 都成立。
S
B dS B cos d S 0
S
磁场是“无源场” 磁场是“涡旋场”
例：无限长直导线通以电流I，求通过如图所示的矩
形面积的磁通量。
解： a
I
非均匀场
b
面积元
l
x
元通量
0 I B 2x dS ldx dΦm B dS
I 0 O d B d S l d x m x dx 2x 0 Il a b 1 0 Il a b m d m dx ln S 2 a x 2 b
I内： 环路内，穿过以L为边界的所有曲面的电流。
规定：与L绕向成右旋的电流为正，反之为负。
I1
B d l I 2 I 0 1 2
L
I2
L
磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
磁场中的高斯定理和安培环路定律
写成
L Bdl cos B dl 0 I
B 0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向
与环路方向一致， B // dl , cos 1 22
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
2.环流
Bdl
只与环路内的电流有关，
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
Bdl 0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若
B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
16
例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
B dl
L
0 I 2r
2r
0 I
B
Ir
L
I 向下时为负值。
13
当L B环 d路l 为 任0 意I形左状边时=：右边定理成立I。
LB dl LBdlcos
由于 Bdlcos Brd
2 0I rd
0 2r
0I
d r
L
θ
B
dl
当电流不在环路内时
r
选择如图所示的环路
b c d a
B dl ( )B dl
a
b
c
d
24
其中
c a
B dl B dl 0,
m dm B dS
/2
n
规定闭合面的外法线方向为正
§8-4 磁场的高斯定理与安培环路定理
一闭合路径的积分的值，等于 所包围的各电流的代数和. 注意
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
0 乘以该闭合路径
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
B dl 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
L
I1 I1
L
I2 I 3
l
L
R R
r
2π r 2 r 0r R l B dl 0 R2 I 0r 2 0 Ir 2π rB 2 I B 2 2π R R
B
0 I
B
dB
I
.
dI
B
B
的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
r R,
I
2π R 0 I B 2π r
B
I
l
d1 d2
o
B // S 0 I d BdS ldx 2 x 0 Il d dx B dS S 2 d x
0 I B 2 x
2 1
x
0 Il d2 ln 2 d1
二、安培环路定理
载流长直导线的磁感强 度为
0 I B 2π R
I
B2 dl B1 dl1 B2 dl2 d 2 dl1 2π r1 r2 B1 dl1 B2 dl2 0 l
B dl 0
l
0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2 0 I
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B dl ( I I ) 0 2 3
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（1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
（2）由毕 — 萨定律（或典型电流磁场公式）得 dB
（3）由叠加原理 B dB（分量积分）
• 电流的磁矩
Pm I Sn
3
典型电流磁场公式： 1. 无限长直电流：
0 I B 2a
2. 圆电流轴线上磁场：
0 IR i 0 Pm B 2 2 32 2 2 32 2( R x ) 2 ( R x )
不穿过 L 的所有电流的贡献）
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
(穿 过L )
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
I
i
: 穿过以 L 为边界的任意曲面的电流的代数和.
与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
规定：
Ii 0
Ii 0
例如
(穿过L )
I
L
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
比较
静电场
高斯定理
环路定理
1 E dS
0
q
内
E dl 0
L
有源场
保守场、有势场
B dS 0
S
B dl 0
L
稳恒 磁场
( R R )( R R )
2 2
4 q 2 Pm ( R2 R12 ) 4
解一错误，解二正确！
§ 10.3
磁场的高斯定理和安培环路定理 用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的 基本性质 一. 磁场的高斯定理 切向：该点 B 方向 1.磁感应线 疏密：正比于该点 B 的大小 闭合，或两端伸向无穷远； 与载流回路互相套联； 互不相交.
L2
L1
对
L
B dl 无贡献
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
将Ｌ投影到垂直于电流的平面 （即 B 线所在的平面）内
I
o
o
L
dl dl
dl dl// dl
L
dl //
LB dl L B ( dl // dl ) B dl // B dl L L B dl // 0 cos 0
如果规定 统一为： 与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
I 0
dl
I 0
L
B dl 0 I
3）闭合路径不包围电流
B dl B dl B dl
L L1 L2
L1 L2
I
0 I ( d d ) 2 0 I ( ) 0 2 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L 不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；
描述空间 矢量场一般方法
特点
2. 磁通量 通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
dS
B
dS
dm BdS B cosdS B dS
微元分析法（以平代曲，以恒代变）
m
m 0
S
B dS
n
对封闭曲面，规定外法向为正 进入的磁感应线 穿出的磁感应线
dB
R
dq dI 2
方向：
R
0dI
2r
1 0 0 R B dB dr 4 0 4
写成矢量式： B0 1 0R 4
[例四]带电圆环（ R1 .R2 . . ）顺时针旋转（ ）求 Pm
r
R2
解一： dq 2r dr
n
B
B
m 0
S
B dS 0
S
3. 磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零：
磁场是无源场
S
B dS 0
磁感应线闭合成环，无头无尾； 不存在磁单极子.
介绍：寻求磁单极问题（《教与学参考》Ｐ168－170） 1.理论需要
（1）对称性需要 产生 电场 电荷 运动磁荷？ 变化磁场
i
I1 2 I 2
注意
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关。
穿过 L 的电流：对 B 和
B : 与空间所有电流有关；
L
B dl 均有贡献。
不穿过 L 的电流：对 L上各点 B有贡献； 对 B dl 无贡献。
n
I
L
o
R
L
无限长（ R l ）载流直螺线管内的磁场：B 0 nI
(下讲用安培环路定理求解)
7
[例三] 均匀带电球面( R , ), 绕直径以 匀速旋转 求球心处 B0
x
解： 旋转带电球面 取半径 等效 许多环形电流
r
R
r 的环带
o
dI
流的贡献
L
0
( 穿 过L )
I
L
L
i
穿过L电流的贡献
2.推广：恒定磁场的安培环路定理
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
恒定磁场中，磁感应强度 B
沿任意闭合路径 L 的线 积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真 空磁导率的乘积. 成立条件：恒定电流的磁场
B : 环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过 L ，
I 0
I 0
统一为：
L
B dl 0 I
2）选在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
0 I LB dl LB cosdl L 2 r rd
L
0 I 2
2
0
d 0 I
I
d
r
B
若电流反向，则为 0 I
L
o
r
B
若电流反向
I
o
2 r I 0 B d l L 0 2 r dlcos
L
r B
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
与环路绕行方向成右旋关系的电流
对环流的贡献为正，反之为负。
如果规定
与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
方向如图
2 B dB R sin d 0 R 2 3 0 2 写成矢量式： B 0 R 3
3
0
练习： P 281 已知：
10-7
R . . .
求： B0 ?
思考： dq ? dI ? dB ?
r
o
dr
dq rdr
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意恒定电流磁场（从特殊到一般） 1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平 面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电 流成右旋关系。
0 I B d l d l cos0 L L 2 r
I
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
2
x
B2
0 NIR 2
R 2 32 2[( R ( x ) ] 2
2
B1
o1
o
o2
x
0 NI B0 0.72 实验室用近似 R 均匀磁场 0 NI
B01 B02 0.68
6
R
自学 P251 [例4] 载流直螺线管轴线上磁场.
n
用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。 比较
S
高斯定理
环路定理
内
1 静电场 E dS
恒定 磁场
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
S
LB dl ? ？
二.安培环路定理 1.导出： 可由毕 — 萨定律出发严格推证
练习
I
已知：I，a，b，l 求： m
dS
解：
l
0 I B 2r
方向：
o a
b
r
d S ld r
d m B dS
m
S
ab 0 Il dr 0 Il a b B dS ln 2r 2 a
a
§ 10.3 一般方法：
磁场的高斯定理和安培环路定理
产生 磁场 磁荷？ 运动电荷 变化电场
麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全
（2）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）
hc e n( ) 2g
基本电荷
（ n 为整数）
基本磁荷
（3）大统一理论要求： 带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量
基本磁荷
大统一能量尺度
g 16 Ge V m 2 ~ 10 2 c c hc
通知
1. 阶段二测试提醒： 本周六（6月4日）晚上7:30 – 8:20，X2321. 测试范围：CH9（静电场），请 同学相互转告！ 2. 交作业时间提醒： 第15周周二交No.9作业（磁感应强度）. 第16周周二交NO.10作业（环路 定律）. 第17周周二交NO.11作业（电磁感应）. 补交作业截止时间为17周周二，过期不候！
1
内容回顾：
点电荷电场： •
E
（2）由毕 — 萨定律（或典型电流磁场公式）得 dB
（3）由叠加原理 B dB（分量积分）
• 电流的磁矩
Pm I Sn
3
典型电流磁场公式： 1. 无限长直电流：
0 I B 2a
2. 圆电流轴线上磁场：
0 IR i 0 Pm B 2 2 32 2 2 32 2( R x ) 2 ( R x )
不穿过 L 的所有电流的贡献）
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
(穿 过L )
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
I
i
: 穿过以 L 为边界的任意曲面的电流的代数和.
与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
规定：
Ii 0
Ii 0
例如
(穿过L )
I
L
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
比较
静电场
高斯定理
环路定理
1 E dS
0
q
内
E dl 0
L
有源场
保守场、有势场
B dS 0
S
B dl 0
L
稳恒 磁场
( R R )( R R )
2 2
4 q 2 Pm ( R2 R12 ) 4
解一错误，解二正确！
§ 10.3
磁场的高斯定理和安培环路定理 用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的 基本性质 一. 磁场的高斯定理 切向：该点 B 方向 1.磁感应线 疏密：正比于该点 B 的大小 闭合，或两端伸向无穷远； 与载流回路互相套联； 互不相交.
L2
L1
对
L
B dl 无贡献
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
将Ｌ投影到垂直于电流的平面 （即 B 线所在的平面）内
I
o
o
L
dl dl
dl dl// dl
L
dl //
LB dl L B ( dl // dl ) B dl // B dl L L B dl // 0 cos 0
如果规定 统一为： 与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
I 0
dl
I 0
L
B dl 0 I
3）闭合路径不包围电流
B dl B dl B dl
L L1 L2
L1 L2
I
0 I ( d d ) 2 0 I ( ) 0 2 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L 不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；
描述空间 矢量场一般方法
特点
2. 磁通量 通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
dS
B
dS
dm BdS B cosdS B dS
微元分析法（以平代曲，以恒代变）
m
m 0
S
B dS
n
对封闭曲面，规定外法向为正 进入的磁感应线 穿出的磁感应线
dB
R
dq dI 2
方向：
R
0dI
2r
1 0 0 R B dB dr 4 0 4
写成矢量式： B0 1 0R 4
[例四]带电圆环（ R1 .R2 . . ）顺时针旋转（ ）求 Pm
r
R2
解一： dq 2r dr
n
B
B
m 0
S
B dS 0
S
3. 磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零：
磁场是无源场
S
B dS 0
磁感应线闭合成环，无头无尾； 不存在磁单极子.
介绍：寻求磁单极问题（《教与学参考》Ｐ168－170） 1.理论需要
（1）对称性需要 产生 电场 电荷 运动磁荷？ 变化磁场
i
I1 2 I 2
注意
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关。
穿过 L 的电流：对 B 和
B : 与空间所有电流有关；
L
B dl 均有贡献。
不穿过 L 的电流：对 L上各点 B有贡献； 对 B dl 无贡献。
n
I
L
o
R
L
无限长（ R l ）载流直螺线管内的磁场：B 0 nI
(下讲用安培环路定理求解)
7
[例三] 均匀带电球面( R , ), 绕直径以 匀速旋转 求球心处 B0
x
解： 旋转带电球面 取半径 等效 许多环形电流
r
R
r 的环带
o
dI
流的贡献
L
0
( 穿 过L )
I
L
L
i
穿过L电流的贡献
2.推广：恒定磁场的安培环路定理
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
恒定磁场中，磁感应强度 B
沿任意闭合路径 L 的线 积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真 空磁导率的乘积. 成立条件：恒定电流的磁场
B : 环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过 L ，
I 0
I 0
统一为：
L
B dl 0 I
2）选在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
0 I LB dl LB cosdl L 2 r rd
L
0 I 2
2
0
d 0 I
I
d
r
B
若电流反向，则为 0 I
L
o
r
B
若电流反向
I
o
2 r I 0 B d l L 0 2 r dlcos
L
r B
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
与环路绕行方向成右旋关系的电流
对环流的贡献为正，反之为负。
如果规定
与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
方向如图
2 B dB R sin d 0 R 2 3 0 2 写成矢量式： B 0 R 3
3
0
练习： P 281 已知：
10-7
R . . .
求： B0 ?
思考： dq ? dI ? dB ?
r
o
dr
dq rdr
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意恒定电流磁场（从特殊到一般） 1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平 面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电 流成右旋关系。
0 I B d l d l cos0 L L 2 r
I
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
2
x
B2
0 NIR 2
R 2 32 2[( R ( x ) ] 2
2
B1
o1
o
o2
x
0 NI B0 0.72 实验室用近似 R 均匀磁场 0 NI
B01 B02 0.68
6
R
自学 P251 [例4] 载流直螺线管轴线上磁场.
n
用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。 比较
S
高斯定理
环路定理
内
1 静电场 E dS
恒定 磁场
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
S
LB dl ? ？
二.安培环路定理 1.导出： 可由毕 — 萨定律出发严格推证
练习
I
已知：I，a，b，l 求： m
dS
解：
l
0 I B 2r
方向：
o a
b
r
d S ld r
d m B dS
m
S
ab 0 Il dr 0 Il a b B dS ln 2r 2 a
a
§ 10.3 一般方法：
磁场的高斯定理和安培环路定理
产生 磁场 磁荷？ 运动电荷 变化电场
麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全
（2）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）
hc e n( ) 2g
基本电荷
（ n 为整数）
基本磁荷
（3）大统一理论要求： 带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量
基本磁荷
大统一能量尺度
g 16 Ge V m 2 ~ 10 2 c c hc
通知
1. 阶段二测试提醒： 本周六（6月4日）晚上7:30 – 8:20，X2321. 测试范围：CH9（静电场），请 同学相互转告！ 2. 交作业时间提醒： 第15周周二交No.9作业（磁感应强度）. 第16周周二交NO.10作业（环路 定律）. 第17周周二交NO.11作业（电磁感应）. 补交作业截止时间为17周周二，过期不候！
1
内容回顾：
点电荷电场： •
E