二次函数中的符号问题

第二十二章二次函数

22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质

第2课时：二次函数中的符号问题

【教学目标】

1.复习巩固二次函数的图象及其性质。

2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确

定a,b,c,△等式子的符号。

【学情分析】

学生之前已经系统学习了二次函数的定义，图像及性质等基本知识，但是缺乏对知识之间内在联系的再认知，本节课内容的复习既是旧知识的再现，又是知识内部联系规律的生成，考虑到本节课要应用图像分析系数，要运用规律综合解决一些问题，所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结，重视原理的建构和方法的应用。

【教学重、难点】

教学重点是：掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。

教学难点是：运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。

【教学方法】启发引导、观察、探索

【学法引导】化归迁移举一反三

【教学过程】

一、知识链接温故而知新

（一）回味知识点：

1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关？

2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。

3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。（二）归纳知识点：

抛物线y=a x2+bx+c的符号问题：

（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定：

开口向上a>0

开口向下a<0

（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:

交点在x轴上方c>0

交点在x轴下方c<0

经过坐标原点c=0

（3）b的符号：由对称轴的位置确定：

对称轴在y轴左侧a、b同号

对称轴在y轴右侧a、b异号

对称轴是y轴b=0

简记为：左同右异（4）b2-4ac的符号：

由抛物线与x轴的交点个数确定:

与x轴有两个交点b2-4ac>0

与x轴有一个交点b2-4ac=0

与x轴无交点b2-4ac<0

抛物线y=a x2+bx+c的符号问题：

（5）a+b+c的符号：

由x=1时抛物线上的点的位置确定。

（6）a-b+c的符号：

由x=-1时抛物线上的点的位置确定。

你还可想到啥？

利用以上知识主要解决以下几方面问题：

（1）由a,b,c,△的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置；（2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,△等符号及有关a,b,c 的代数式的符号；

二、探究活动

【活动一】快速回答：

抛物线y=a x2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：

【活动二】想一想

（2009年枣庄市）二次函数的图象如图所示，

则下列关系式中错误的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．＞0 D ．＞0

三 、 教学互动 效果检测

1.（2008甘肃兰州）已知二次函数

c bx ax y ++=2

（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D

2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①

a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

c bx ax y ++=2

ac b 42-c b a ++

O

3．（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数

2

y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5

（第3题）

四、这节课你有哪些体会？

1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的联系；

2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想，即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联系等；

3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分析……

五、【当堂检测题】：

1. 若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=a x 2＋bx ＋c 经过

象限．

2.（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所

示，则下列关系式不正确的是

A ．a ＜0 B.abc ＞0 C.c b a ++＞0

D.ac b 42-＞0

3.（2009

年黄石市）已知二次函数

2

y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；

④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③

④⑤

4.（2009

年齐齐哈尔市）已知二次函数

2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程2

0ax bx c ++=的两

根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正

确的个数（） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个